Содержание к диссертации
Введение
1. Подготовительные результаты 14
1.1; Уравнение минимальных поверх ностей 14
1.2. Минимальные поверхности над полуполосой и их глобальная харак теристика 16
1.3. Пример минимальной поверхности над полуполосой. 18
1.4. Изотермические координаты на минимальной поверхности и конформ ное отображение на полуполосу. 20
2. О стабилизации минималь ных поверхностей над полуполосой 42
2.1. Оценка конформного отображения и принцип Фрагмена—Линделефа для голоморфных в полуполосе функций 42
2.2. Голоморфные функции в метрике поверхности и принцип Фрагмена—Линделефа 46
2.3. О допустимой скорости стремления к нулю гауссовой кривизны минималь ной поверхности над полуполосой 50
2.4. О допустимой скорости стремления к постоянной градиента решения уравнения минимальных поверхностей над полуполосой 58
2.5. Теоремы типа Фрагмена—Линделефа для минимальной поверхности над полу полосой 61
Список литературы 71
- Минимальные поверхности над полуполосой и их глобальная харак теристика
- Голоморфные функции в метрике поверхности и принцип Фрагмена—Линделефа
- О допустимой скорости стремления к нулю гауссовой кривизны минималь ной поверхности над полуполосой
- Теоремы типа Фрагмена—Линделефа для минимальной поверхности над полу полосой
Введение к работе
Теория минимальных поверхностей интенсивно развивалась в течение всего последнего столетия и продолжает развиваться в различных направлениях в настоящее время. Важнейшие результаты этой теории стали классическими и широко известными благодаря работам Ф.: Альмгрена, С.Н. Бернштейна, Л. Берса, Дж. Дугласа, И.С.С. Ниче, Р. Оссермана, А.В. Погорелова, Дж. Саймонза, Г. Федерера, Р. Финна, У. Флеминга, А.Т. Фоменко, а также в самые последние годы — Ю.А. Аминова, Э. Бомбьери, А.А. Борисенко, Э.Де Джиорджи, Э. Джу-сти, О.В. Иванова, В.М. Миклюкова, У. Микса, И.Х. Сабитова, Л. Саймона, В.Г. Ткачева, А.А. Тужилина, Д. Хофмана и др.
Минимальные графики z = /(х,у) над областями R2 описываются квазилинейным дифференциальным уравнением
* U + iv/i2)+ в» wi+lWp)= ' (ол)
где / = f(x,у), U = %, fv = %, IV/|2 = fl + /2.
Особое внимание многих исследователей было направлено на изучение решений этого уравнения в неограниченных областях. В значительной мере этому способствовала знаменитая теорема С.Н. Бернштейна (1915) [5], о том, что всякое целое решение уравнения (0.1) является линейной функцией переменных х, у. В работах Р. Финна [43], Л. Берса [6], X. Джеикинса [11], Р. Оссермана [30], Л. Саймона [37], В.М. Миклюкова [21] теорема С.Н. Бернштейна была распространена на различные классы уравнений типа минимальных поверхностей.
Другим важным результатом для минимальных графиков над неограниченными областями в R2 является следующая теорема И.С.С. Ниче 1965 года [28]:
Пусть Оа С R2 — сектор раствора 0 < а < тг и пусть f — решение уравнения минимальных поверхностей в 0,а..Если f < 0, на границе dQa) то f < 0 всюду в Па.
В связи с этим, И.С. С. Ниче был поставлен следующий вопрос. Будет ли единственным С2- решение / уравнения минимальных поверхностей с некоторым значением на границе 5ГЇ, где Q, С Па?
Проблема единственности является одной из основных при изучении решений уравнения (0.1) над неограниченными областями. Первые результаты в этом направлении, в том числе, для областей более общего вида, были получены в 1981 году В.М. Миклкжовым [23]. Исследованию поведения решений уравнения минимальных поверхностей и уравнений. типа минимальных поверхностей, заданных над неограниченными областями, посвящены работы Д.К. Ноулза [29], В.М.Миклюкова [22]— [24], А.Г. Воробьева, В.М.Миклюкова [10], В.И. Пелиха [32, 33], Р. Лан-жевина, Г. Левитта, X. Розенберга [19], В.М. Миклюкова, В.Г. Ткачева [25, 26], Л.Ф. Тэма [39], Р. Ланжевина, X. Розенберга [20], Е.Ф. Ванга [7, 8], В. Хенгатнера, Г. Скобера [44], Р. Са Ярпа, X. Розенберга [38], В.Г. Ткачева [40], СО. Хогана, Д. Сигела [45], П. Коллина [15], П. Кол-липа, Р. Краста [16], А.Н. Кондрашова [17].
Необходимо отметить, что успехи в развитии теории минимальных поверхностей в значительной мере обусловлены тесной взаимосвязью между геометрическим строением и функциональными свойствами этих поверхностей. В частности, ключевую роль во многих исследованиях играет тот факт, что сужение координатной функции на минимальную поверхность является гармонической функцией в ее метрике. В случае двумерных минимальных поверхностей известно их полное описание в терминах голоморфных функций (представление Вейерштрасса). Это дает возможность прямого применения для исследования минимальных поверхностей методов теории конформных отображений.
Целью диссертации является следующее.
Исследование асимптотического поведения функций, голоморфных в метрике минимальной поверхности, заданной над полупо-лосой. В частности, получение для этих функций версий хорошо известного принципа Фрагмена—Линделефа.
Изучение допустимой скорости стабилизации "на бесконечности" геометрических характеристик минимальных поверхностей.
Исследование асимптотического поведения решения /(ж, у) уравнения (0.1).
Основные результаты диссертации базируются на применении методов теории конформных отображений поверхностей на плоские области.
Работа носит теоретический характер. Следующие результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми:
теоремы типа Фрагмена—Линделефа для функций голоморфных в метрике минимальной поверхности, заданных над полу пол осой;
оценки допустимой скорости стремления к постоянному вектору градиента решения уравнения минимальной поверхности, заданного над полуполосой;
оценки допустимой скорости стремления к нулю гауссовой кривизны минимальной поверхности над полуполосой.
Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании геометрических свойств минимальных поверхностей в R3, квазилиней-
ных эллиптических дифференциальных уравнений, а также могут найти применение в специальных курсах по математическому анализу.
Результаты работы докладывались на международном конгрессе ассоциации "Женщины-математики" (Москва, 1994 г.), на международной конференции "Математика. Моделирование. Экология" женщин-математиков (Волгоград, 1996 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава и семинарах "Геометрический анализ и его приложения" кафедры математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета (1992—2003 гг.), 11-ой Саратовской зимней школе-конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения" (2002 г.), региональной научной конференции "Математический анализ и его приложения" (Волгоград, 2002 г.).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[4].
Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на девять параграфов, списка литературы и изложена на 75 страницах: Нумерация параграфов подчинена нумерации глав. Библиография содержит 45 наименований.
Сделаем несколько замечаний относительно обозначений, принятых в работе.
Для обозначения частных производных нами будут использоваться традиционные обозначения в виде индекса, например, fx{x, у),f'y(х, у) и т.п., а также в виде дроби ^(х,у), (х, у). Для удобства мы часто вместо указанных полных вариантов обозначений будем использовать сокращенные: fx, fy.. Пусть также V/ = {fx^fy)~ градиент функции ffay).
Для области D С R2 символом D будем обозначать замыкание, символом dD —границу D.
Через Cl(D) нами будет обозначаться пространство / раз непрерывно дифференцируемых в D функций.
Остальные обозначения вводятся непосредственно в тексте работы.
Переходя к изложению основных результатов диссертации, отметим, что нумерация лемм и теорем соответствует принятой в тексте диссертации.
Полученные в диссертационной работе результаты касаются следующего частного случая минимальных поверхностей.
Пусть поверхность М с R* суть график z = f{x,y) решения уравнения (0.1) над полуполосой
П = {(х, у) R2 : 0 < х < +оо, 0 < у < а] >
где f(x,y) Є С2(П)ПС(П).
Будем предполагать, что на горизонтальных участках границы дН функция f(x,y), либо функция /у{ХіУ) (если существует в П), обращается в нуль, то есть выполнено одно из условий:
(І) если f(x, у) Є С(П), то Дгг, у)У'ц = 0;
(ІІ) если f(x,у) СХ(П), то /у{х,у)\д"п = 0,
где #"П — горизонтальные участки границы дїі. На вертикальном участке решение f(x, у) произвольно.
В первой главе диссертации, носящей вводный характер, даются определения и доказываются вспомогательные факты, необходимые для получения основных результатов работы.
В частности, в параграфе 1.1 указываются другие известные формы записи уравнения (0.1), описывающие минимальные графики z =
Для минимальных поверхностей, заданных над полуполосой П, и удовлетворяющих условиям (і) или (ii), вводится в рассмотрение следующая величина
м=/тЙ^р*'0<з:<+00'
В лемме 1.1 показано, что величина \і не зависит от х и характеризует строение минимальной поверхности "в целом".
Индуцированная из R3 метрика на поверхности z = /(re, у) имеет вид
ds) = (1 + fx)dx2 + 2fxfydxdy + (1 + fl)dy\ (0.2)
Заменой координат (х, у), метрика ds2j может быть приведена к конформному виду
ds) = \{щ v){du2 + dv2), (0.3)
где X(u,v)— положительная функция (см., например, [9], стр 74). Координаты ии1»,в которых метрика поверхности имеет вид (0.3), называются изотермическими или конформными.
На минимальной поверхности изотермические координаты могут быть введены, например, с помощью отображений:
и = X,
, v = G(xt у)
f =x + F{x,y),
^ Г] =y + G{x,y), где
ds.
= /.(М)ЛСМ Л + 1+/?(«,.)
(Л) >Л + 1^/(М)|' Vi + iv/(*,^)l2
а (а;о,г/о)— произвольная фиксированная точка в П (см., [31], стр. 73). В параграфе 1.4 (леммы 1.2, 1.4 ) показано, что координаты (и, v), впервые рассмотренные С.Х Мюнцем и Т. Радо в 1925 году, дают конформное представление минимальной поверхности М над полуполосой Пш
Пщ = {(u, v) R2 : 0 < и < +оо, Сі < v < сг},
ГДЄ Сі, С% = COnst И С2 — Cj = jLt.
Координаты (, 77), введенные И.С.С. Ниче [28], обладают некоторым дополнительным свойством, также используемым в настоящей работе.
Минимальные поверхности над полуполосой и их глобальная харак теристика
Пусть z = f(x, у) — С2-решение уравнения (1.1), заданное над полуполосой и М — график этого решения в R3. Символами д ІЇ и 9"П обозначим, соответственно, вертикальный и горизонтальные участки границы дії полуполосы Предположим, что решение f{x,y) удовлетворяет на границе дЛ одному из следующих условий: На вертикальном участке д Л границы решение f(x,y) может принимать произвольное значение. Отметим также, что из условия (і) следует, что частные производные fx и fy непрерывно продолжаются вплоть до границы д"П. Более того, не ограничивая общности, можем считать, что эти производные непрерывны в П. Для заданной поверхности z = f{x,y) введем в рассмотрение следующую величину Лемма 1.1. ЕСЛИ решение f(x y) уравнения (1.1) удовлетворяет условиям (і) или (и), то функция pf{x) является постоянной на промежутке (0, +оо). Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что уравнение минимальных поверхностей (1.1) можно переписать в виде (1.3), и воспользоваться формулой Грина. Пусть Х2 Xi 0 — заданы произвольным образом. Обозначим через В прямоугольник, Тогда при выполнении какого-либо из условий: (і) или (Н), будем иметь, что по замкнутому контуру границы дВ прямоугольника В верно следующее равенство Отсюда находим, что Далее, применяя формулу Грина, получаем Следовательно, Тем самым /i/(a;) не зависит от я, то есть является константой. Лемма доказана. В дальнейшем величину / (Х) будем обозначать через fj,. Из сказанного ясно, что величина fi однозначно определяется решением f(x,y) уравнения (1.1) и, следовательно, является глобальной характеристикой этого решения. 1.3. Пример минимальной поверхности над полуполосой Рассмотрим семейство функций При каждом а функция z — f(x,y) задает поверхность Шерка (см. [41], стр. 49) над областью Действительно, с помощью элементарных преобразований получим, что Выразим х(у z) из данного уравнения и увидим, что все точки рассмотренной поверхности также будут удовлетворять уравнению или, разделив переменные у и z, запишем в виде которое с точностью до изометрии (сдвига вдоль осей X, Y, Z) характеризует все минимальные поверхности в R3, представимые в виде суммы функций от каждой переменной Рассмотренное семейство функций на горизонтальных участках границы области удовлетворяет условию (і).
По лемме 1.1 заключаем! что величина // есть константа. Найдем \і. Для производных fx, fv имеем Поскольку (л— величина постоянная , то для ее вычисления достаточно взять предельное значение при х — +оо, то есть Для подынтегральной функции имеем, что при любом у [0, а] кроме того, при любом х 0 выполняется неравенство Нижняя и верхняя границы этого неравенства стремятся к 0 при х +со, следовательно Таким образом, подынтегральная функция при ж — +оо стремится к 1 равномерно относительно у в [0, а]. Используя теорему о предельном переходе под знаком интеграла ([42], стр. 660), получим 1.4. Изотермические координаты на минимальной поверхности и конформное отображение на полуполосу Квадрат элемента длины на поверхности z = f{x y)i как на поверхности в евклидовом пространстве, вычисляется по формуле Метрика ds/ называется индуцированной метрикой на поверхности. Так метрика пространства определяет метрику на любой лежащей в нем поверхности ([12], стр. Определение 1.1. Локальные координаты {uyv) на поверхности М С R-3 называются изотермическими (конформными), если индуцированная из R3 метрика dsj на поверхности, записанная в координатах («,г ), имеет вид ds2f = X(u, v){du2 + dv2), где Х(щ v)— положительная функция, называемая конформным множителем. Определение 1.2. Поверхность М называется регулярной [34, стр. 131J, если у каждой точки этой поверхности есть окрестность, допускающая регулярную параметризацию, т. е. задание уравнениями в параметрической форме: где x{u,v),y{u,v),z(u,v)— регулярные (k раз непрерывно дифференцируемые функции, k 1), удовлетворяющие условию: При к — 1 поверхность называется гладкой. Отметим тот очевидный факт, что всякая поверхность, представленная в непараметрическом виде z = f{x,y), задается в параметрической форме с помощью уравнений удовлетворяет условию и автоматически является регулярной. Известна следующая теорема о существовании изотермических координат (см. [9], стр. 74). Теорема 1.1. Пусть М— произвольная регулярная (класса С ) поверхность в Я3. Тогда для любой точки Р поверхности М существуют окрестность U, Р Є U, и локальные координаты (u,v) в этой окрестности, такие что индуцированная метрика ds2 на поверхности М, записанная в координатах [u, v), имеет вид ds2 = Л(ТІ, v)(du2 + dv2). В случае минимальных поверхностей для изотермических координат можно получить явные формулы. Доказательство этого известного факта содержится, например, в [31].
Для дальнейших рассуждений на поверхности М введем изотермические координаты. Образуем три функции: где (x0,j/o) бП- произвольная фиксированная точка. Так как П — односвязная область, то интегралы не зависят от пути интегрирования и, следовательно, G{x y) и F{x,y) — однозначные функции в П. В дальнейшем точку вещественной плоскости {х,у), будем отождествлять с точкой х + гу комплексной плоскости. Определение 1.3. Отображение w(х,у) — u(x,y)+iv{x,y) является голоморфным в метрике поверхности dsf, если 1. функция u MV являются гармоническими в метрике d$f, то есть 2. и и v - это пара сопряженных в метрике ds/ функций, то есть для них выполнено где Д, V — метрический лапласиан и градиент, соответственно. В общем виде лапласиан и градиент в метрике выглядят следующим образом ([18], стр. 516): где (хі, Х2)— локальные координаты, Ф(а;і, :)- гладкая функция, (ди)-матрица, обратная к матрице метрики поверхности (gij), д = det(gij). Замечание. Метрические операторы Д и V— это инвариантные дифференциальные операторы, действующие на функциях (не зависящие от системы координат) (см.[36], стр. 356). Скалярное произведение произведение векторов а = (01,0:2), Р — (/ 1)/) в метрике (1.9) находится по формуле ([12], стр. 34): Имеет место [31] Лемма 1.2. Отображение w — u + iv} где голоморфно в метрике d,Sf. Доказательство. В нашем случае матрица метрики поверхности Найдем частные производные функций u(x,y) и v(x,y): Подставляя значения ux, uy из (1.13) в формулу (1.10) получаем: Тогда в силу (1.3), заключаем, что Аи = 0. То есть и — гармоническая функция в метрике dSf. Аналогично, для Av будем иметь Таким образом, заключаем, что v(x y) также является гармонической в метрике ds/. Установим теперь ортогональность градиентов Vu(xyy) и Vv(xty) в метрике dsj. Из формулы (1.11) получаем, что координаты вектора градиента Vu(i, у) равны: а координаты градиента Vv{x,y); Скалярное произведение (VIA, Vu) в метрике поверхности найдем но формуле (1.12) Покажем теперь, что в метрике ds/ выполняется условие Vu = \Vv\. Имеем +2ЛЛУ!«У2и + (1 + /2)(V2n)2 и, используя полученные значения координат (1-14), (1.15), будем иметь Аналогично, находим Лемма доказана. Приведем доказательство следующего утверждения для отображения С(х,2/) [31]. Лемма 1.3. Отображение Q — + ЇЇ?, где голоморфно в метрике dsf. Доказательство. Проверим гармоничность в метрике ds/ функций (х,у), rj(xty). Имеем Вычислим значение AF(x,y) в метрике dsf. По формуле (1.10) нахо- И мы установим, что Д = 0. Найдем лапласиан Ат) в метрике поверхности dsf. Имеем Применяя формулу (1-11) и условие (1.4), получаем Следовательно, Аг} = 0и т}(х,у) — также гармоническая в метрике поверхности. Покажем, что и 7] есть пара сопряженных в метрике dsj функций, то есть проверим следующие равенства:
Голоморфные функции в метрике поверхности и принцип Фрагмена—Линделефа
Как следствие из доказанной выше теоремы 2.3 можно получить принцип Фрагмена—Линделефа для голоморфной функции в метрике поверхности z = f(x,y), заданной над полугголосой П. Известно, что функция /г(ж, у) является голоморфной в метрике поверхности тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений Бельтрами в метрике этой поверхности (см.[9], стр.72). В случае графиков эти уравнения имеют вид: В случае, когда f(x,y) = const, производные fx fy равны нулю и система Бельтрами превращается в обычную систему Коши—Римана. Также известно ([9], стр. 72), что голоморфные в метрике поверхности dsf функции являются голоморфными, либо антиголоморфными в традиционном смысле в изотермических координатах на поверхности. Пусть М— это рассматриваемая нами минимальная поверхность z — f{x,y), заданная над полуполосой П, с граничными условиями (і) или (ІІ). Справедливо следующее утверждение. Обозначим через К(сс,у) гауссову кривизну поверхности z = f(x,y). Как известно из курса дифференциальной геометрии ([12], стр. 90), Покажем, что для минимальной поверхности выполняется следующее неравенство После возведения обеих частей этого равенства в квадрат, получим Так как выражение Iflfy в левой части равенства можно представить в виде то будем иметь Поскольку выражение в правой части этого равенства не может быть отрицательным, следовательно Из последнего неравенства заключаем, что гауссова кривизна минимальной поверхности не может быть положительной. Теорема 2.5. Пусть j{x y) — С2-решениеуравнения минимальных поверхностей (1.1) над полуполосой удовлетворяющее одному из условий: (і) или (п).
И пусть г/(х)— положительная, неубывающая, непрерывная на (О, +оо функция, для которой Тогда, если всюду в полуполосе П выполнено то f(x, у) =0— в случае (і) и /(#, у) = к х + &,&,& = const, — в случае (п). Доказательство. Как было установлено в параграфе 1.4 главы 1 отображение w = u + iv (и,соответственно, С — 4 + щ) голоморфно в метрике dsf и осуществляет введение на графике z — f{x,y) изотермических координат -(и, v) (и,соответственно, (,77)). Условия (і) или (п) на решение / позволяют заключить, что отображение w = и + w, (соответственнее = + щ) однолистно в П. При этом образом П в плоскости (и, v) является полуполоса где сь С2 = consi И С2 — Сі = /г. Введем в рассмотрение комплекснозначную функцию Для функции х{%,у) справедлива следующая лемма. Лемма 2.2. Функция х(х, у) голоморфна в метрике поверхности М. Доказательство проведем следуя [27, стр. 113]. Для функции х{%іУ) вещественную и мнимую части обозначим имеем аналогично, для хг іхіУ) Подставим значения - -, - , - , - - в систему уравнений Вельтрами (2.3). Таким образом, необходимо проверить справедливость следующего равенства Перемножив матрицы в правой части, и воспользовавшись равенством для вторых частных производных функции /(#, у) Jxjyjxy (.1 г JxlJyy + (і + JyJJxXi после элементарных преобразований получим нужное. Лемма доказана. Таким образом, согласно лемме 2.1 сложная функция Х(х(и, -и), у (и, v)) = х(и, v), где (x(ii, v),y(u, и))— отображение, обратное к гу = ад (г, у), голоморфна в евклидовой метрике в области Пш. Так как функция замены координат МО = («(, ), «(іЧ))і связывающая две пары изотермических координат (u, v) и (, 77) на поверхности М, есть голоморфная функция, то = ХКС,П), v&t/)) (2.8) голоморфна в области П как суперпозиция голоморфных функций. Производная функции (2.8) по комплексному параметру С xd v)
О допустимой скорости стремления к нулю гауссовой кривизны минималь ной поверхности над полуполосой
Ниже мы приведем еще несколько результатов, связанных с ростом или убыванием гауссовой кривизны минимальной поверхности, заданной над полуполосой. Доказательства этих результатов опираются на известные теоремы типа Фрагмена—Линделефа о росте и об убывании голоморфных функций, заданных в полосообразной области. Приведем формулировки этих утверждений для голоморфных в полуполосе функций. Пусть Имеют место теоремы (см. [14, стр. 209, 223, 228]). Теорема 2.7. Пусть функция h(w) — голоморфна в полуполосе ПШ) непрерывна вплоть до ее границы и удовлетворяет условиям Теорема 2.8. Пусть функция h{w) голоморфна, в Пш, непрерывна и ограничена в ее замыкании я удовлетворяет условию где Lw— кривая, начинающаяся в какой-либо конечной точке границы области Uw и идущая в бесконечность, оставаясь в области Uw, то Теорема 2.9. Пусть функция h{w) голоморфна и ограничена в области Uw, непрерывна в ее замыкании, а, кроме того, удовлетворяет условию Используя отображение w — u + гг , приходим к следующим теоремам типа Фрагмена — Линделефа для функций, голоморфных в метрике минимальной поверхности z = /(х, у) в полуполосе П. Пусть для f выполнены граничные условия (і) или (іі). Теорема 2.10. Если функция h(x, у)— гомоморфна в метрике dsj в области ТІ, непрерывна в її и удовлетворяет условиям Доказательство. Для голоморфной в области Пад функции будут выполняться все условия теоремы 2.7, причем Теорема 2.11. Яусть функция h(xfy) голоморфна в метрике dsf в П, непрерывна и ограничена в П и удовлетворяет условию где L— кривая, начинающаяся в какой-либо конечной точке границы области П я идущая в бесконечность, оставаясь в области П, то Доказательство. Пусть образом кривой L при отображении w — u + iv является кривая LWi лежащая в Пш. Тогда, если то для образов будет выполнено непрерывная и ограниченная в Пад, также удовлетворяет условию \og\h(u,v)\ _ Применяя теорему 2.8, заключаем, что h[w) = 0 в П и, следовательно в полуполосе П. Теорема доказана. Теорема 2.12. Если функция h{x, у) — голоморфна в метрике ds/, ограничена в области П и непрерывна в ее замыкании, и, кроме того, удовлетворяет условию Доказательство.
Рассмотрим функцию h(u,v) h{x{u,v),y{u,v)), голоморфную в nw. Ясно, что Таким образом, голоморфная в полуполосе Пш и непрерывная в ее замыкании функция h{u,v) удовлетворяет всем условиям теоремы 2.9. Следовательно, h(u, v) = 0 в Пш и в полуполосе П. Теорема доказана. Для гауссовой кривизны К(х, у) минимальной поверхности z = f(x, у) в полуполосе П с условиями (і) или (ii) на границе будут справедливы следующие утверждения. Теорема 2.13. Если К(х7у) удовлетворяет условиям во всей области П. Доказательство. Заметим, что Тогда, учитывая (2.11), для голоморфной в метрике ds/ функции хс имеем Таким образом, получаем неравенство Теорема доказана. Имеет место теорема. Теорема 2.14. Пусть L— кривая, начинающаяся в какой-либо конечной точке границы области П и идущая в бесконечность, оставаясь в области П. Если К(х, у}— ограничена в П и Доказательство. Заметим, что хс голоморфна в метрике поверхности f(x} у), а также, ограничена в П. Это следует из (2.12) и ограниченности К(х,у). Причем в силу очевидного неравенства и стремления заключаем, что Следовательно, по теореме 2.11 получаем, что Тогда, используя (2.11), устанавливаем равенство Следовательно, f(x,y) линейная функция. При этом, f{x,y) = 0 в случае (i), f{x,y) kx + b, где к,b = const, в случае (И). Теорема доказана. Теорема 2.15. Если К{х,у)— ограничена в П и непрерывна в ее замыкании и, кроме того, удовлетворяет условию Доказательство. Имеем, что для хс (#)/) выполнены все условия теоремы 2.12, причем, используя (2,12) и f(x,y) — линейная функция. При этом, f(x,y) = 0 — в случае (І), /(яг, у) кх + Ь} где k,b = const — в случае (ii). Теорема доказана. Приведем еще две небольшие теоремы, связанные с градиентом решения уравнения минимальных поверхностей над полуполосой. Теорема 2.16. Пусть L— кривая, начинающаяся в какой-либо конечной точке границы области П и идущая в бесконечность, оставаясь в области П. Если градиент Vf(x, у) непрерывен и ограничен в П и удовлетворяет условию logV/(s,y)-/3 где /?— постоянный вектор из R2, то f(x, у) = 0 - в случае (i)t f(x, у) = kx + 6, /с, 6 = const, - в случае (и). Доказательство. Также как и в теореме 2.6, рассмотрим голоморфную в метрике поверхности z = f(x,y) функцию Ф(х,у) = Х{Х- У) & где $ Є С— постоянное комплексное число. Аналогично, выберем в так, чтобы по лемме 2.3 было выполнено следовательно, logfo(a:,y) Таким образом, функция Ф(х, у) удовлетворяет всем условиям теоремы 2.11, и поэтому Ф(х,у) = 0 в полуполосе П. Отсюда, вектор градиента есть постоянный вектор в П и f(x,y) линейная функция. При этом, f(x,y) = 0 — в случае (i), f(x, у) = kx+b, k,b = const — в случае (ii). Теорема доказана. Теорема 2.17. Если градиент V/(a;,2/)— непрерывен и ограничен в П я, кроме того, удовлетворяет условию IogV/(x,0) - p\\Vf{x,a) /3 = _то J етгх/ц где 0— постоянный вектор из R2, то f{x,y) = 0 - в случае (i), f(x, у) = kx + b, k,b = const, - в случае (ii). Доказательство. Обратимся опять к функции Ф(х,у). Тогда о и, следовательно, Таким образом, функция Ф(а;, у) удовлетворяет всем условиям теоремы 2.12, и потому Ф(х,у) = 0вП. Таким образом, Vf(x,y) есть постоянный вектор в П и /(х,у)— линейная функция. При этом, f(x,y) = 0 — в случае (і), /(х,у) = кх + 6, k,b = const — в случае (ii). Теорема доказана.
Теоремы типа Фрагмена—Линделефа для минимальной поверхности над полу полосой
Как следствие из доказанной выше теоремы 2.3 можно получить принцип Фрагмена—Линделефа для голоморфной функции в метрике поверхности z = f(x,y), заданной над полугголосой П. Известно, что функция /г(ж, у) является голоморфной в метрике поверхности тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений Бельтрами в метрике этой поверхности (см.[9], стр.72). В случае графиков эти уравнения имеют вид: В случае, когда f(x,y) = const, производные fx fy равны нулю и система Бельтрами превращается в обычную систему Коши—Римана. Также известно ([9], стр. 72), что голоморфные в метрике поверхности dsf функции являются голоморфными, либо антиголоморфными в традиционном смысле в изотермических координатах на поверхности. Пусть М— это рассматриваемая нами минимальная поверхность z — f{x,y), заданная над полуполосой П, с граничными условиями (і) или (ІІ). Справедливо следующее утверждение. Лемма 2.1. Если h{x, у) = Л-і(ж, y) + ih2(x, у) — голоморфная функция в метрике поверхности М, то h(u,v) = h(x(u v),y(utv)) — голоморфная функция в Ylw. Обозначим через К(сс,у) гауссову кривизну поверхности z = f(x,y). Как известно из курса дифференциальной геометрии Покажем, что для минимальной поверхности выполняется следующее неравенство После возведения обеих частей этого равенства в квадрат, получим Так как выражение Iflfy в левой части равенства можно представить в виде Поскольку выражение в правой части этого равенства не может быть отрицательным, следовательно Из последнего неравенства заключаем, что гауссова кривизна минимальной поверхности не может быть положительной. Теорема 2.5.
Пусть j{x y) — С2-решениеуравнения минимальных поверхностей (1.1) над полуполосой удовлетворяющее одному из условий: (і) или (п). И пусть г/(х)— положительная, неубывающая, непрерывная на (О, +оо функция, для которой Тогда, если всюду в полуполосе П выполнено (и,соответственно, С — 4 + щ) голоморфно в метрике dsf и осуществляет введение на графике z — f{x,y) изотермических координат -(и, v) (и,соответственно, (,77)). Условия (і) или (п) на решение / позволяют заключить, что отображение w = и + w, (соответственнее = + щ) однолистно в П. При этом образом П в плоскости (и, v) является полуполоса Для функции х{%,у) справедлива следующая лемма. Лемма 2.2. Функция х(х, у) голоморфна в метрике поверхности М. Доказательство проведем следуя [27, стр. 113]. Для функции х{%іУ) вещественную и мнимую части обозначим имеем Подставим значения - -, - , - , - - в систему уравнений Вельтрами (2.3). Таким образом, необходимо проверить справедливость следующего равенства Перемножив матрицы в правой части, и воспользовавшись равенством для вторых частных производных функции /(#, у) Jxjyjxy (.1 г JxlJyy + (і + JyJJxXi после элементарных преобразований получим нужное. Лемма доказана. Таким образом, согласно лемме 2.1 сложная функция где (x(ii, v),y(u, и))— отображение, обратное к гу = ад (г, у), голоморфна в евклидовой метрике в области Пш. Так как функция замены координат МО = («(, ), «(іЧ))і связывающая две пары изотермических координат (u, v) и (, 77) на поверхности М, есть голоморфная функция, то голоморфна в области П как суперпозиция голоморфных функций. Производная функции (2.8) по комплексному параметру С
