Содержание к диссертации
Введение
1 Контуры амеб и логарифмическое отображение Гаусса 16
1.1 Контур компактифицированной амебы гиперплоскости . 20
1.2 Контуры комплексных прямых 26
1.3 Примеры амеб комплексных прямых 28
1.4 Контуры амеб для ферматик 30
1.5 Основная теорема о связи между контурами и логарифмическим отображением Гаусса 34
2 Критические точки мономиальных функций на алгебраических множествах и асимптотика разностных уравнений 40
2.1 Критические точки мономиальных функций на гиперповерхностях и логарифмическое отображение Гаусса 42
2.2 Вспомогательные утверждения 44
2.3 Теорема о плотности мономиальных функций с морсовски-ми особенностями 46
2.4 Многомерные разностные уравнения 49
2.5 Многомерная версия теоремы Перрона об асимптотике решений разностных уравнений 1-го порядка 54
Заключение 57
- Контуры комплексных прямых
- Основная теорема о связи между контурами и логарифмическим отображением Гаусса
- Вспомогательные утверждения
- Многомерная версия теоремы Перрона об асимптотике решений разностных уравнений 1-го порядка
Введение к работе
Определение амебы алгебраической гиперповерхности было сформулировано относительно недавно в известной монографии Гельфанда-Капранова-Зелевинского [13] (1994 г.). Неудивительно, что ввиду фундаментальности понятия амебы оно могло возникнуть и в более ранних исследованиях, связанных с разложением Лорана рациональных функций многих переменных, либо в попытках описать предельные положения алгебраических множеств [10] (1971 г.).
Пионерскими работами по теории амеб являются статьи Форсберга-Пассаре-Циха [12] (2000) и Михалкина [18] (2000). После этих работ появилось множество других, связанных как с описанием самих амеб (Михалкин-Рульгорд [19], Энрикес [15], Теобальд [24], Нисс [20]), так и с их применением в теории димеров (Кеньон-Окуньков-Шеффилд [17]), в теории расширений неархимедовых нолей (Айнзидлер-Капранов-Линд [11]), и др. Благодаря этим работам получило существенное развитие новое направление — тропическая геометрия (Капранов, Штурмфельс, Михалкин и др.) Недавно, Лейнартасом-Пассаре-Цихом [5] (2005) теория амеб была применена к исследованию асимптотик многомерных разностных уравнений, играющих важную роль в теории обработки цифровых сигналов, в частности, при исследовании устойчивости цифровых рекурсивных фильтров [9].
Введение
Несмотря на обилие работ по тематике, лишь в С2 хорошо исследована структура амеб и развиты методы их построения, а в n-мерной ситуации многие фундаментальные вопросы остаются неисследованными. Например, строение контура амеб даже для плоскостей произвольной размерности пока неизвестно (в данной работе полностью исследованы два крайних случая — размерности 1 и коразмерности 1).
Цель диссертации состоит в описании контуров амеб для поверхностей произвольной коразмерности, их логарифмического отображения Гаусса, а также исследовании критических точек мономиальпых функций и приложении полученных результатов к описанию асимптотики решений разностных уравнений.
Исследование контуров амеб комплексных плоскостей проводится с использованием понятия компактифицированной амебы [12] и логарифмического отображения Гаусса [16]. Для формулировки теоремы о контурах амеб произвольных поверхностей понятие логарифмического отображения Гаусса обобщается на случай поверхностей произвольной коразмерности.
Критические точки мономиальных функций исследуются с привлечением теории Морса [6]. В основе исследований асимптотики решений разностных уравнений лежит результат Лейнартаса-Пассаре-Циха — многомерная версия теоремы Пуанкаре для систем разностных уравнений с переменными коэффициентами [5], а также теория многомерных вычетов и некоторые факты топологии гиперповерхностей в комплексном торе [2].
Перейдем к изложению основных результатов диссертации, опубликованных в статьях [25]—[28].
Введение
Первая глава посвящена изучению контуров амеб различных поверхностей. Мы будем рассматривать поверхности в (С\{0})", поэтому введем для этого множества специальное обозначение
Т = (С\{0})п.
и будем называть его комплексным n-мерным тором.
Понятие амебы, впервые введенное Гельфандом-Капрановым-Зеле-винским для гиперповерхности в [13], без изменений можно перенести на произвольное алгебраическое множество [21].
Определение. Амебой Лу алгебраического множества V С Тп называется образ V при логарифмическом отображении Log : Tn —* Rn, действующем по формуле:
Log : (zi,...,zn) -f (log\z^\,... ,log\zn\).
Важным при изучении амеб является понятие контура амебы [21].
Определение. Контуром амебы Лу называется множество Су критических точек логарифмического отображения Log, суженного
на V:
Log:V -> Rn.
Строение контура описывается с помощью логарифмического отображения Гаусса. В данной работе понятие логарифмического отображения Гаусса, введенное Капрановым в [16] для гиперповерхностей, обобщается на случай поверхности V коразмерности к.
Определение. Пусть Gv(n,k) — грассманиан fc-мерных подпространств в Сп. Логарифмическим отображением Гаусса назовем отображение 7 : V —> Gr(n,fc), которое каждой гладкой точке z Є regV ставит в соответствие нормальное подпространство j(z) к образу log У.
Введение
В случае гиперповерхности в торе
V = {z Є Тп : f(z) = 0}
(т.е. в случае, когда к = 1 и, тем самым, Gr(n, 1) = CPra_i) логарифмическое отображение Гаусса 7 : V — CP„_i имеет следующий аналитический вид:
Теорема [18], [24]. Точка гиперповерхности V является критической для отображения Log\v тогда и только тогда, когда ее образ при логарифмическом отображении Гаусса леоісит в действительном проективном подпространстве RPn_i С CPn_i.
Таким образом, контур Су амебы Ау гиперповерхности есть множество Logfr"1 (МРП_!)).
Граница амебы дЛу для гиперповерхности V всегда входит в контур Су, но в общем случае не совпадает с ним. Поэтому границу дАу мы назовем внешней частью контура, а дополнение Су \ дЛу — внутренней частью.
Описание контура амебы поверхности произвольной коразмерности является трудной задачей. Определенные затруднения вызывает уже построение амебы гиперплоскости в С3. Поэтому в первой главе вначале подробно изучаются две крайние ситуации:
случай гиперплоскости в Сп и
случай комплексной прямой в С".
В обоих случаях описание строения контура амебы дается в явном виде, однако в случае гиперплоскости это удается сделать лишь с привлечением понятия компактифицированной амебы [12].
Введение
Определение. Компактифицированной амебой Ау проективного алгебраического многообразия V С СР„, заданного в однородных координатах (Z0 : : Zn), называется образ этого многообразия при моментном отображении и: СР„ —> „
{Zo""-z")-*\z0\ + - + \zn\
в стандартный симплекс S„ = {t Є En+1 : ,- ^ 0, t0 -\ \- tn = 1}.
Для компактифицированной амебы аналогично определяется ее контур, как образ множества критических точек проекции Log|v при моментном отображении и.
В параграфе 1.1 доказывается теорема, описывающая строение контура компактифицированной амебы гиперплоскости (данное утверждение является усилением предложения 4.2 из [12]).
Теорема 1.1. Компактифицированная амеба Ау гиперплоскости
V={zeTn:f = b0 + blZl + +bnzn = 0}, bj ф 0,
есть n-мерный многогранник в симплексе Ега с 2(n + 1) гипергра/пями, заданный условиями
п
1=0 кфі
где Pj — \bj\. Внешняя часть контура амебы (т.е. лежащая на границе дАу) состоит из п + 1 симплициальных граней Ау:
11 Є „ : Pjtj = ^2Pktk > , j = 0,...,n,
I Mi J
а внутренняя часть — из 2n — n — 2 многогранников вида
|ієЕп:/М* = Х^|> /C{0,...,n}, 2<#/
Введение
Амеба комплексной прямой в С уже не всегда имеет контур. В параграфе 1.2 приводятся условия существования контура амебы комплексной прямой и описание его строения.
Теорема 1.2. Контур амебы комплексной прямой в Сп,п> 2, задаваемой уравнениями
z2 = a2zi + b2
, zn = ^nZ\ + bn непуст тогда и только тогда, когда
аф,
Vk, 1 = 2,...,п.
При этих условиях контур амебы представляет собой образ вещественной прямой х Im -^- = у Re -*- на комплексной плоскости переменного
a,j dj
z\ = х + гу при отображении Log.
В параграфе 1.3 эта теорема иллюстрируется примерами. Параграф 1.4 посвящен применению контура амебы при построении ретракций ферматик
V = {(zuz2)eC2: zk1+zk2 = l}.
В заключительном параграфе первой главы описывается связь между контуром амебы и логарифмическим отображением Гаусса для алгебраической поверхности КсС" произвольной комплексной размерности d.
Теорема 1.3. Точка z Є vegV является критической для отобра-Log тогда и только тогда, когда образ j(z) логарифмического отображения Гаусса содержит
хотя бы п — 2d + 1 линейно независимых над С вещественных векторов при 2d ^ п,
хотя бы один вещественный вектор при 2d ^ п.
Введение
В частности, в случаях гиперповерхностей (d = п — 1) и кривых (d = 1) точка z критическая тогда и только тогда, когда логарифмическое отображение Гаусса *y(z) вещественно.
Приведенная теорема 1.3 обобщает результаты статей [18], [24] для гиперповерхностей.
Вторая глава посвящена исследованию критических точек мономи-альных функций на алгебраических поверхностях применительно к описанию асимптотического поведения решений разностных уравнений.
Мономиальные функции
zq = z?...z, qeZn,
суженные на алгебраическое множество V Є Тп, играют важную роль в теории разностных уравнений, т.к. выступают ядрами интегральных представлений для экспоненциальных решений [5], [7] вида
f(x) = Jzxu(z), xeZn, (0.1)
где Ck Є Zk(V) — fc-мерный цикл, a u(z) — голоморфная fc-форма на характеристическом множестве V разностного уравнения.
С целью изучения асиптотического поведения решения f(x), его рассматривают на диагональной подпоследовательности
х = I q, I — со,
где q Є QPn-i — фиксированное направление. На такой подпоследовательности интеграл (0.1) представляет собой функцию
f{ql) = J{^Mz)=J^^M^
которая уже имеет вид осциллирующего интеграла [8] с фазой F(z) = (q,\nz).
Введение
В асимптотической теории таких интегралов важную роль играют критические точки фазы, которые в данном случае совпадают с критическими точками монома zq на V. Эти критические точки связаны с логарифмическим отображением Гаусса следующим утверждением.
Предложение 2.1. Точка z Є regV — критическая для функции z9\v тогда и только тогда, когда логарифмическое отображение Гаусса принимает в ней значение q:
7(2) =
По методу перевала [8] асимптотика решений f(ql) дается явной формулой в морсовских критических точках. Поэтому, одним из основных результатов второй главы является
Теорема 2.1. На многообразии V = {z Є Tn : P{z) = 0} функции I zq | = |zi91... znqn\ имеют лишь морсовские критические точки для почти всех направлений q — (qi,..., qn) QPn-i за исключением, может быть, некоторого алгебраического подмножества в QP„_i.
Отметим, что в размерности п = 2 эта теорема была доказана в работе [3].
Параграф 2.4 является вводным для следующего параграфа. В нем излагаются известные результаты об асимптотике разностных уравнений.
Пусть f(x) = f(xh...,xn) — комплекснозначная функция дискретного аргумента х Zn. На векторном пространстве всех таких функций рассмотрим линейные операторы сдвига
$jf(x) = f(x + ej) = f(xU , Xj-i,Xj + 1, xj+h ..., xn), j = 1,..., n.
Введение
С помощью набора S = (Si,... ,8п) можно поставить в соответствие каждому полиномиальному символу P(x,z) = ^ oJa(x)za с переменны-
ми коэффициентами общий скалярный разностный оператор P{x,8)f{x) = Y,*aW(x + <*).
В одномерном случае асимптотика решений разностного уравнения описывается теоремами Пуанкаре и Перрона.
Теорема Пуанкаре [23], [1]. Предположим, что коэффициенты a-j(x) одномерного разностного уравнения
f(x + k) + ak^(x)f(x + k-l) + --- + ao(x)f(x)=0, х Є Z, (0.2)
имеют конечные пределы
lim а3(х) =: а3, j = 0,..., к — 1,
и корни Ai,..., А* предельного характеристического уравнения Р(оо, z) = 0 все различны по модулю. Тогда для любого ненулевого решения f(x) уравнения (2.5) предел
существует и равен одному из характеристических корней Xj.
Теорема Перрона [22], [1]. Предположим, что выполнены все условия теоремы Пуанкаре для уравнения (0.2), и, более того, что а0(х) ^ 0 для всех х Є Z. Тогда существуют к решений fi(x),..., fk{x) этого уравнения, удовлетворяющих
Шп%У)=А
г->оо
Введение
Лейнартасом-Пассаре-Цихом в [5] исследована многомерная ситуация
1) систем разностных уравнений
P1(x,6)f(x) = --- = Pn(x,6)f(x) = 0,
(0.3)
2) скалярных разностных уравнений с постоянными коэффициентами
P(5)f(x) = 0.
(0.4)
Ими введен вектор Горна
f(x + е„)
ffix + ег]
№ '"" №
/(аИ-1)
выступающий многомерным аналогом отношения }{.(х,' (термин объясняется тем, что такой вектор участвует в определении общего гипергеометрического ряда, введенного Горном в [14]).
В данной работе вводится понятие логарифмического вектора Горна
Цх + ег)
,bg
f(x + еп)
позволяющее формулировать результаты об асимптотике решений разностных уравнений в терминах амеб.
Для систем разностных уравнений (0.3) в [5] доказана многомерная версия теоремы Пуанкаре. Скалярные уравнения (0.4) среди всех решений имеют решения с хаотическим поведением, поэтому для них рассматривается класс допустимых решений, задаваемых интегралами вида (0.1).
Введение
Для получения асимптотики допустимых решений скалярного уравнения (0.4) оно дополняется в [5] до системы
' P(S)m-= аа/(:г + а) = 0
і аЄА
k аєА аеА
которая называется ассоциированной для уравнения (0.4).
Ассоциированной системе удовлетворяют функции
1 [ zx dz dz dzi dzn
rv{x) - ,„ .. / -T-r-r , = Л...Л ,
"V ' (2m)n J P(z) Z' Z 2i Zn'
в которых интегрирование по характеристическому множеству V в решениях общего вида (0.1) заменяется интегрированием по циклам, лежащим в связных компонентах Е„ дополнения амебы Лу [12]:
Г„ = Log-1 и, и є Ev.
Эти функции являются фундаментальными решениями для уравнения (0.4), поскольку
гДе <^,о — функция, равная нулю на всех х Є Z", кроме точки 0, в которой ее значение равно 1. Тогда решения уравнения (0.4) получаются как линейные комбинации фундаментальных решений:
/(і)=^а,ад, а„ = 0. (0.5)
V V
Введение
Такие решения соответствуют решениям общего вида (0.1) в случае циклов Ck максимальной размерности к = п — 1, и для них доказана следующая
Теорема [5]. Если для направления q Є QP„_i все корни \j(q) предельной характеристической системы
( P(z) = 0
| fiii = ...= *"р*п
простые, и модули \Xj(q)\ попарно различны, то для любого ненулевого решения f[x) вида (0.5) предел вектора Горна при х = ql, I —> оо? равен одному из характеристических корней.
Геометрически это означает, что предел логарифмического вектора Горна для направлений q попадает на контур амебы характеристического множества V = {z Є Cn : P(z) — 0}. Однако, в силу определения фундаментальных решений V„(x), решения вида (0.5) равны нулю для направлений q, соответствующих внутренней части контура амебы Ау. Следовательно, предельные положения вектора Горна для решений (0.5) заполняют лишь внешнюю часть контура амебы характеристического множества.
Итак, решения вида (0.1) в случае циклов с*, максимальной размерности к = п — 1 реализуют асимптотику лишь на внешней части контура амебы Ау- Поэтому естественно искать решения с асимптотикой на внутренней части контура в классах с^ Hk(V),k = 1,..., п — 2. В соответствии с теоремой Бернштейна-Данилова-Хованского [2] элементы группы Hk(V) реализуются циклами в сечениях V комплексными плоскостями.
Введение
В параграфе 2.5 в случае разностных уравнений первого порядка, т.е. с характеристическим полиномом вида
P{z) = b0 + b\zx + У bnzn, bj ф О,
показывается, что решения вида (0.1) при произвольных к ^ 1 реализуют асимптотику и для направлений q, соответствующих внутренней части контура. Для этого по произвольному мультииндексу
/ = (г'ъ-»*'*) С {!,...,п}
выбираются специальные сечения V = {P(z) = 0} плоскостями
Si = {zj = const, j . I}-
Затем вводятся фундаментальные решения
1 f zx dz' dr/
{2т)к J P(z) zh zik
где Г/„ = Log-1 it, и принадлежит EiyV — связной компоненте дополнения амебы Av{\Si С Kfc.
Таким образом, для разностных уравнений 1-го порядка доказывается следующая многомерная версия теоремы Перрона.
Теорема 2.2. Предельные положения логарифмического вектора Горна для фундаментальных решений (0.6) скалярного разностного уравнения P(S)f(x) = 0 первого порядка заполняют весь контур амебы характеристического множества.
Я выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Циху за постановку задач и внимание к работе.
Контуры комплексных прямых
Определение амебы алгебраической гиперповерхности было сформулировано относительно недавно в известной монографии Гельфанда-Капранова-Зелевинского [13] (1994 г.). Неудивительно, что ввиду фундаментальности понятия амебы оно могло возникнуть и в более ранних исследованиях, связанных с разложением Лорана рациональных функций многих переменных, либо в попытках описать предельные положения алгебраических множеств [10] (1971 г.).
Пионерскими работами по теории амеб являются статьи Форсберга-Пассаре-Циха [12] (2000) и Михалкина [18] (2000). После этих работ появилось множество других, связанных как с описанием самих амеб (Михалкин-Рульгорд [19], Энрикес [15], Теобальд [24], Нисс [20]), так и с их применением в теории димеров (Кеньон-Окуньков-Шеффилд [17]), в теории расширений неархимедовых нолей (Айнзидлер-Капранов-Линд [11]), и др. Благодаря этим работам получило существенное развитие новое направление — тропическая геометрия (Капранов, Штурмфельс, Михалкин и др.) Недавно, Лейнартасом-Пассаре-Цихом [5] (2005) теория амеб была применена к исследованию асимптотик многомерных разностных уравнений, играющих важную роль в теории обработки цифровых сигналов, в частности, при исследовании устойчивости цифровых рекурсивных фильтров [9].
Несмотря на обилие работ по тематике, лишь в С2 хорошо исследована структура амеб и развиты методы их построения, а в n-мерной ситуации многие фундаментальные вопросы остаются неисследованными. Например, строение контура амеб даже для плоскостей произвольной размерности пока неизвестно (в данной работе полностью исследованы два крайних случая — размерности 1 и коразмерности 1).
Цель диссертации состоит в описании контуров амеб для поверхностей произвольной коразмерности, их логарифмического отображения Гаусса, а также исследовании критических точек мономиальпых функций и приложении полученных результатов к описанию асимптотики решений разностных уравнений.
Исследование контуров амеб комплексных плоскостей проводится с использованием понятия компактифицированной амебы [12] и логарифмического отображения Гаусса [16]. Для формулировки теоремы о контурах амеб произвольных поверхностей понятие логарифмического отображения Гаусса обобщается на случай поверхностей произвольной коразмерности.
Критические точки мономиальных функций исследуются с привлечением теории Морса [6]. В основе исследований асимптотики решений разностных уравнений лежит результат Лейнартаса-Пассаре-Циха — многомерная версия теоремы Пуанкаре для систем разностных уравнений с переменными коэффициентами [5], а также теория многомерных вычетов и некоторые факты топологии гиперповерхностей в комплексном торе [2].
Основная теорема о связи между контурами и логарифмическим отображением Гаусса
Наличие такой самоорганизации было установлено, например, в монокристаллах сложных бромидов (в частности, CsCdBr3), легированных РЗ -її ионами [15] или ионами Ст [16]. При этом, для кристаллов CsCdBr3, активированных ионами Но3+ с концентрациями всего лишь Ю"1- -! ат. %, эффективность ап-конверсионной люминесценции при накачке в районе 1 мкм достигает 30 % от ее значения при прямом возбуждении люминесцирующего иона коротковолновыми источниками накачки [17].
Механизм, благоприятствующий ассоциации примесных ионов в димеры, связан в случае Re :CsCdBr3, (Re -трехвалентный редкоземельный ион) с условием сохранения электронейтральности кристалла при гетеровалентном замещении катионов матрицы примесными ионами [15]: трехвалентные РЗ ионы замещают двухвалентные катионы Cd2+ с образованием ассоциатов [Re3+-Vcd-Re3+] (Vcd - вакансия в подрешетке кадмия), совокупный электрический заряд которых равен заряду трех замещаемых ионов Cd2+, и таким образом электронейтральность кристалла сохраняется.
Образование подобного рода примесно-вакансионных ассоциатов, способствующих понижению энергии растворения гетеровалентных примесей, характерно и для кристаллов форстерита MgaSiC [18]. В частности, оно наблюдалось ранее для ионов Сг3+ при повышенных концентрациях примеси, вводимой в этот кристалл [19].
Димеры в монокристаллах имеют фундаментальное научное и практическое значение, поскольку являются комплексами для изучения ион-ионных взаимодействий, перекачки энергии, структуры локализаций примесей [20-23]. Они также могут определять в кристаллах ряд интересных процессов, таких как оптическая бистабильность и кросс-релаксация [20-21]. Взаимодействия, под влиянием которых формируются димеры (магнитные диполь-дипольные, электрические), могут существенно влиять на структуру энергетических уровней этих ионов, и наблюдение парамагнитных димеров методом стандартного электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) может быть затруднительно, что не всегда позволяет получить полную информацию о параметрах димерного центра.
В настоящее время большой интерес у исследователей в мире приобретает высокочастотный ЭПР. Отдельным классом можно выделить перестраиваемый по частоте высокочастотный ЭПР, как метод, реализующий наибольшее число преимуществ: непрерывная перестройка частоты в широких пределах позволяет точно определять расщепления энергетических уровней, изучать тонкие эффекты пересечения или антипересечения уровней, исследовать очень широкие линии поглощения. Повышение частоты, помимо этого, увеличивает разрешение спектров.
Высокочастотная перестраиваемая по частоте ЭПР спектроскопия стала развиваться в СССР с середины 60-х годов [24], через 20 лет после открытия явления ЭПР Е. К. Завойским в 1944 году [25], с появлением высокочастотных перестраиваемых источников излучения - ламп обратной волны (ЛОВ) и соответствующим развитием техники миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов [26,27]. В нашей стране была создана линейка ЛОВ генераторов, непрерывно перекрывающих диапазон частот от 30 до 1500 ГГц не имеющих аналогов в мире. ЛОВ обладают монохромным и когерентным излучением, большим диапазоном электрической перестройкой частоты и достаточной для спектроскопии мощностью электромагнитного излучения, составляющей десятки милливатт.
Вспомогательные утверждения
В начале 90-х годов в Казанском физико-техническом институте был разработан и изготовлен высокочастотный перестраиваемый ЭПР спектрометр [28]. В качестве генераторов использовались ЛОВ диапазона от 65 до 535 ГГц. Данный спектрометр был разработан для исследования кристаллических веществ, легированных примесными ионами, и показал хорошие результаты при изучении монокристаллов легированных ионами с целым спином. Эти ионы являются некрамерсовыми. В кристаллических полях низкой симметрии структура электронных уровней этих ионов состоит из отдельных синглетов, имеющих большие начальные расщепления в нулевом магнитном поле. Поэтому наблюдать парамагнитный резонанс на таких ионах затруднительно.
Синтетический форстерит, активированный хромом, зарекомендовал себя как эффективный лазерный материал для перестраиваемой генерации в диапазонах 1,03-1,37 мкм [1,5]. Это говорит о перспективности применения монокристаллов форстерита в качестве матрицы для твердотельных устройств квантовой электроники и оптоэлектроники. В тоже время, структура примесных центров РЗ ионов в форстерите и оптические свойства материала практически не изучены. Поскольку РЗ ионы в других кристаллических матрицах часто используются в качестве активных элементов в квантовой оптике и оптоэлектронике, исследование структуры и свойств примесных центров РЗ ионов в форстерите является актуальной задачей. Целью данной работы являлось изучение структуры примесных центров, образованных различными примесными РЗ ионами в синтетическом форстерите и проверка гипотезы о преимущественном образовании димерных центров при гетеровалентном замещении РЗ ионами ионов двухвалентного магния. Для решения поставленной задачи были исследованы методом высокочастотной и стандартной ЭПР спектроскопии образцы синтетического форстерита. Образцы были выращены с различными концентрациями примесных парамагнитных ионов и в некоторых случаях со-легирваны дополнительными оптически не активными ионами. Впервые методом ЭПР были исследованы монокристаллы форстерита, легированные РЗ некрамерсовыми ионами. Была обнаружена высокая самоорганизация трехвалентных ионов гольмия и тербия в димеры в процессе роста кристаллов из расплавов. Для ионов тулия обнаружено большое число различных парамагнитных центров. Предложены структуры данных парамагнитных центров. Для исследованных центров определены параметры эффективного спинового гамильтониана. Полученные результаты имеют фундаментальный характер и практическую значимость для создания новых оптических и квантово электронных устройств. Предложен и исследован новый материал, в котором происходит самоорганизация трехвалентных РЗ ионов в димеры. Полученные результаты могут быть использованы для создания ап-конверсионных устройств, элементов квантового компьютера, новых люминофоров и других устройств квантовой электроники. Примесные РЗ ионы в форстерите замещают ионы Mg преимущественно в кристаллографической позиции М2 с зеркальной симметрией кристаллического поля. Примесные ионы TbJT и HoJT в синтетическом форстерите обладают димернои самоорганизацией, что приводит к существенному превышению концентрации димеров над концентрацией одиночных ионов. Предложены структуры димерных центров, состоящие из двух РЗ ионов замещающих ионы Mg в позициях Ml или М2 с магниевой вакансией между ними. Примесные ионы Тт3+ в форстерите образуют большое количество центров, отличающихся, вероятно, типом локальной компенсации избыточного положительного заряда примесного иона
Многомерная версия теоремы Перрона об асимптотике решений разностных уравнений 1-го порядка
В настоящее время монокристаллы, активированные ионами переходных элементов, представляют большой научный и практический интерес, так как вводимые в них примеси определяют оптические, магнитные и диэлектрические свойства кристаллов и существенно влияют на работу приборов квантовой электроники и оптоэлектроники. Одним из таких материалов является синтетический форстерит (Mg2Si04).
Форстерит, легированный ионами хрома, известен как активная лазерная среда ближнего инфракрасного диапазона. Впервые в 1988 году лазерная генерация в диапазоне 1,170-1,370 мкм [1] была получена на ионах Сг4+, замещающих кремний Si4+ в тетраэдрической позиции. К настоящему времени получены максимальная мощность в импульсном режиме до нескольких гигаватт [2], а в непрерывном режиме 1,1 Вт [3]. Кроме этого, в импульсном режиме на этих кристаллах получены импульсы длительностью менее 20 фс [4]. Недавно в синтетическом форстерите, со-легированном ионами трехвалентного хрома и одновалентного лития, была получена импульсная и непрерывная лазерная генерация в новом для перестраиваемых твердотельных лазеров спектральном диапазоне (1,03-1,18 мкм) [5].
В последнее время внимание исследователей привлекает использование форстерита в виде наноструктурированных объектов (нанокерамики, нанопроволочек, нанопорошков). Во многих случаях наноструктурированные материалы технологичнее традиционных, они могут иметь совершенно другие свойства, отличные от свойств монокристаллических материалов того же состава. Уже имеются сообщения о перспективах применения наноструктурированной стеклокерамики форстерита для оптоволокна ИК-диапазона [6] и высокодобротной керамики для устройств микро и миллиметровой беспроводной связи [7,8]. Практически все перечисленные выше применения форстерита относятся к форстериту, легированному ионами переходной группы железа. Значительно меньше сведений имеется о форстерите, легированном редкоземельными (РЗ) ионами. Хотя имеются сообщения о перспективах использования форстерита, легированного ионами тербия, как люминофора для плазменных панелей [9] и наночастиц форстерита, легированных ионами европия и тербия в качестве люминофора для автоэмиссионных дисплеев [10]. Однако возможности применения форстерита, легированного РЗ ионами, могут быть и шире. В последнее время рассматриваются возможности применения РЗ ионов и их димеров в кристаллических матрицах для построения элементов квантового компьютера, в том числе оптической и квантовой памяти [11-13]. Это могут быть и активные среды для квантовых устройств, таких, например, как ап-конверсионные преобразователи излучения, поскольку известно, что ряд трехвалентных РЗ ионов (Но3+, Тш3+, Рг3+ и др.) в диэлектрических кристаллах обладает ап-конверсионной люминесценцией [14]. Кристаллы, легированные этими ионами, представляют интерес как активные среды твердотельных ап-конверсионных лазеров видимого диапазона с оптической накачкой лазерными диодами ближнего ИК-диапазона. При этом, важнейшим условием существования в кристаллах эффективной ап-конверсии, протекающей по механизму кооперативного взаимодействия ионов, является относительно небольшая величина расстояния между взаимодействующими РЗ-ионами. Это условие реализуется, в частности, когда в кристаллах присутствуют ассоциаты, состоящие из двух РЗ-ионов, занимающих соседние катионные позиции. Поэтому особый интерес с точки зрения поиска новых активных сред ап-конверсионных лазеров представляют материалы, в которых по каким-либо причинам наблюдается самоорганизация примесных ионов в димеры, приводящая к существенному превышению концентрации димерных центров над одиночными ионами.
