Теория и численное моделирование распространения и разрушения внутренних гравитационных волн в атмосфере Кшевецкий Сергей Петрович

Содержание к диссертации

Введение

1. Волны малой амплитуды в безграничной изотермической атмосфере 54

1.1. Уравнение для волн малой амплитуды в изотермической атмосфере 54

1.2. Решение задачи Коши для волн в безграничной изотермической атмосфере 55

1.3. Проекционные операторы для акустических и внутренних гравитационных волн в безграничной изотермической атмосфере 56

1.4. Псевдодифференциальные уравнения для акустических и внутренних гравитационных волн в безграничной изотермической атмосфере 58

1.5. Геометрическая интерпретация акустических и внутренних гравитационных волн как кривых в ортогональных подпространствах 58

1.6. Предельный переход к однородному газу 60

1.7. Краткое изложение результатов 61

2. Волны малой амплитуды в нсизотермической атмосфере 62

2.1. Предварительный анализ 62

2.2. Уравнения для волн малой амплитуды в неизотермической атмосфере 63

2.3. Волны с Iі = 0 « 1, длинные акустико-гравитационные волны 64

2.4. Упрощенная модель распространения внутренних гравитационных волн 66

2.5. Упрощенная модель распространения акустических вата 69

2.6. Расщепление задачи о распространении акустико-гравитационных волн на подзадачи о распространении внутренних гравитационных и акустических волн 71

2.7. Распределение энергии начального возмущения между волнами различных типов 76

2.8. Локализованным начальным условиям ддя общей гидродинамической задачи могут соответствовать нелокализованные начальные условия для акустических и внутренних волн. 77

2.9. Расщепление двумерной задачи о распространении волн малой амплитуды над плоской Землей на подзадачи о распространении акустической и гравитационной волн 79

2.10. Расщепление пространственной задачи на подзадачи для акустической, гравитационной волн и стационарного вихревого движения 81

2.11. Исследование условий применимости приближения квазистатики в задачах о генерации волн 84

2.12. Разделение акустических и гравитационных волн в задаче о генерации волн внешними источниками 86

2.13. Уравнения нелинейного взаимодействия акустических и гравитационных волн 87

2.14. Краткое изложение результатов 89

3. Дифференциальные свойства полей волн различных типов 96

3.1. Двумерный случай 96

3.2. Дифференциальные свойства полей волн различных типов в пространственном случае 102

3.3. Редукция условий сшивания полей на классе кусочно-гладких функций 103

3.4. Сравнение полученных условий сшивания с соотношениями Ренкина- Гюгонио 106

3.5. Наблюдения негладких волн в натурных и численных экспериментах 109

3.6. Отсутствие предельного перехода к квазистатическому приближению в нелинейном случае на классе кусочно-гладких функций 111

3.7. Краткое изложение результатов 112

4. Длинные внутренние гравитационные волны малой амплитуды 114

4.1. Основные уравнения. Краевая задача на собственные значения 115

4.2. Другие формы краевой задачи 117

4.3. Исследование зависимости спектра оператора внутренних волн от стратификации 118

Рассматриваемые стратификации 118

Сплошной спектр оператора L 119

Точечный спектр оператора L 119

Оценка параметров волноводной моды для реальной стратификации 122

4.4. Общее решение задачи о распространении волн 123

4.5. Асимптотика решения задачи о распространении волн при t 124

4.6. Краткое изложение результатов 124

5. Квазиволповоднос распространение внутренних гравитационных волн малой амплитуды 127

5.1. Основные понятия 127

5.2. Функция Иоста, задача рассеяния и коэффициент отражения волн 129

5.3. Квазиволноводные моды внутренних волн в модели с двухслойной стратификацией 131

Основные уравнения. 131

Квазиволноводная мода волны Лемба 133

Квазиволноводные моды внутренних гравитационных волн 133

Волноводная мода в двухслойной модели 136

5.4. Квазиволноводные моды для модели атмосферы CIRA-1961 136

5.5. Сравнение двухслойной и непрерывной моделей 141

5.6. Теорема об ортогональности квазиволноводных мод 143

5.7. Распространение волн в неэкспоненциальной атмосфере в приближении суперпозиции квазиволноводных мод 145

5.8. Краткое изложение результатов 147

6. Квазиволноводное распространение внутренних гравитационных волн малой, но конечной амплитуды 151

6.1. Вывод нелинейных уравнений, описывающие квазиволноводное распространение внутренних гравитационных волн 151

6.2. Несингулярная теория возмущений для комплексной системы уравнений типа КдВ 155

6.3. Приближение, при котором излучение из квазиволновода не учитываются 155

6.4. Влияние эффектов излучения из квазиволновода на солитонный распад нелинейных внутренних гравитационных волн 156

6.5. Заключение. Краткое изложение результатов 159

7. Методы численного моделирования распространения волновых возмущений малой амплитуды в стратифицированном полем тяжести газе 161

7.1. Численные модели распространения волн малой амплитуды в иедиссипативной атмосфере 161

Введение в проблему 161

Уравнения линейной теории акустико-гравитационных волн в иедиссипативной неизотермической атмосфере 163

Обобщенные решения задачи 164

Уравнения в безразмерных переменных 167

Конечно-разностная схема для интегрирования уравнений 168

Равномерно-сходящаяся итерационная процедура решения разностных уравнений 171

Доказательство сходимости разностной схемы, при котором одновременно исследуется существование решения для случаев /? ^ 0 и /? = 0. Исследование предела 0 —» 0. Дифференциальные свойства решения при 0 ф 0 и 0 = 0 173

Результаты тестовых расчетов. 178

Геометрическая интерпретация равномерной сходимости. 181

Равномерный метод второго порядка точности. 182

7.2. Численные линейные модели волновых процессов в диссипативной атмосфере 183

Уравнения для вата в диссипативной неизотермической атмосфере. 183

Анализ устойчивости задачи о распространении волн в диссипативной неизотермической атмосфере. 184

Дискретизация по пространственным переменным уравнений для диссипативной атмосферы 185

Дискретизация уравнений диссипативной модели по времени. Итерационная процедура решения конечно-разностных уравнений, сходящаяся равномерно по параметру 0 187

Сходимость разностных решений к точным. Существование решения точных уравнений. Исследование зависимости решения от параметра 0 188

7.3. Трехмерные модели. Обобщение основных теорем на трехмерные задачи 189

7.4. Краткое изложение результатов 191

8. Численное моделирование процесса распространения внутренних гравитационных вон конечной амплитуды в атмосфере. Солитонные эффекты при распространении внутренних волн 193

8.1. Введение в проблему 193

8.2. Основные уравнения нелинейной модели без диссипации; используемые предположения 196

8.3. Особенности моделирования распространения нелинейных внутренних волн в газе 197

8.4. Исследование влияния конечности шагов сетки на поведение численного решения нелинейной задачи 199

Дисперсионная регуляризация уравнений модели 202

8.5. Обобщение функционала волновой энергии на нелинейные задачи. Численные методы решения нелинейных уравнений для тяжелого газа 203

Обобщение функционала волновой энергии на нелинейный случай. Связь консервативности с устойчивостью. 203

Дифференциально-разностные уравнения, аппроксимирующие уравнения динамики тяжелого газа 206

Дискретизация по времени. Конечно-разностные уравнения. Сравнение численной схемы с известными 211

Итерационная процедура для решения конечно-разностных уравнений, сходящаяся равномерно по параметру /? 213

Программа, программирующая вычисления 214

8.6. Численное моделирование солитонного распада внутренних гравитационных волн. Сравнение квазистатической модели, регуляризованной диссипативным членом, с неквазистатической. Исследование различных регуляризации квазистатической модели. 214

8.7. Численная нелинейная модель для тяжелого газа с учетом диссипативных процессов 221

8.8. Краткое изложение результатов и их обсуждение 222

Результаты исследования нелинейных уравнений и численных схем их интегрирования 222

Результаты численного исследования солитонных эффектов при распространении нелинейных внутренних гравитационных волн и их обсуждение 223

9. Вертикальное распространение нелинейных внутренних гравитационных волн и их разрушение 225

9.1. Введение в проблему 225

9.2. Численная модель. Постановка задачи 226

9.3. Вертикальное распространение мод внутренних гравитационных волн, разрушение волн 226

Параметры модели и метод расчета 226

Случай малых амплитуд. 227

Эффект разгона волной течения и сверхвращение атмосферы Венеры. 231

Случай умеренных амплитуд 232

Случай больших амплитуд 237

9.4. Сравнение с данными ракетных измерений 242

9.5. Краткое изложение результатов. Заключение 245

10. Эффект перемешивания как солитонный распад внутренних волн 248

10.1. Основные уравнения и используемые предположения 249

10.2. КдВ-модель и процессы перемешивания внутренними волнами 250

10.3. Постановка численного эксперимента 251

10.4. Результаты численного моделирования. Сравнение с результатами лабораторных экспериментов 252

• Проекционные операторы для акустических и внутренних гравитационных волн в безграничной изотермической атмосфере
• Расщепление пространственной задачи на подзадачи для акустической, гравитационной волн и стационарного вихревого движения
• Сравнение полученных условий сшивания с соотношениями Ренкина- Гюгонио
• Квазиволноводные моды внутренних волн в модели с двухслойной стратификацией

Введение к работе

Последние несколько десятилетий отмечены значительным прогрессом в понимании волновых движений в атмосфере. Было установлено, что волны в процессе их генерации, распространения и затухания переносят энергию и количество движения в размерах, достаточных для того, чтобы играть существенную роль в глобальном балансе энергии и количества движения атмосферы.

Согласно современным представлениям энергетический бюджет верхних атмосфер планет определяется в основном усвоением солнечной радиации и притоком энергии из нижележащих слоев атмосферы; при этом важное место в переносе энергии принадлежит внутренним гравитационным волнам (ВГВ). Важными источниками ВГВ всех масштабов в атмосфере являются метеорлогические и турбулентные процессы (ветры в горах, циклонические вихри, фронты, струйные течения и т.п.).

Диссипация волновой энергии обеспечивает притоки тепла, сравнимые с солнечными. Разрушение волн приводит к формированию турбулентности в верхней атмосфере. Распространяющиеся ВГВ влияют на процессы распространения радиоволн. Перенос импульса волнами влияет на циркуляцию атмосферы. Без всестороннего учета воздействия волновых процессов невозможно построение теории теплового режима, циркуляции, состава термосферы и мезосферы.

Диссертация посвящена исследованию процессов распространения и разрушения нелинейных внутренних гравитационных ваїн (ВГВ) в атмосфере. Основное внимание уделяется изучению гидродинамических моделей, описывающих нестационарные процессы в газе, стратифицированном полем тяжести, развитию численных и аналитических методов решения уравнений. Разработанные методы применяются затем для исследования процессов распространения и разрушения внутренних гравитационных волн в атмосфере; результаты расчетов сравниваются с имеющимися экспериментальными данными.

Диссипативная задача

Атмосферный газ рассматривается как сплошная среда [1]. Динамика нейтрального газа в переменных Эйлера описывается системой уравнений гидродинамики (0.1), учитывающей поле тяжести, с уравнениями состояния и внутренней энергии для газа. Ниже для примера выписаны двумерные уравнения, описывающие динамику газа в атмосфере

(01) + + = д(ри) , д(ри2) , d(puw) дР д (,,ди\

dt дх dz дх

OP d ( . .dw\ . л.

d[pw) d(puw) d(pw2)

dt дх dz

OP dt

Q(x,z,t) = -fz( (z)fz(T0(z))y

Здесь p - плотность; и, w - компоненты горизонтальной и вертикальной скоростей; Р = -— давление; g — ускорение свободного падения, 7 — показатель адиабаты; s(z), k(z) — коэффициенты вязкости и теплопроводности, /і — молекулярный вес, R — универсальная газовая постоянная; Г — температура. Для упрощения выписаны уравнения для случая двух пространственных измерений, іиг, причем ось z направлена вертикально вверх; і t — время. Внешние источники 7i(x,z, І), (і = 1,2,3), учитывающие возможное внешнее воздействие на атмосферный газ, предполагаются известными. Первое уравнение — закон сохранения масс. Второе и третье — закон количества движения, записанный для горизонтальной и вертикальной компонент. Предполагается, что имеется только одна массовая сила — сила тяготения р д . Последнее уравнение системы (0.1) является следствием закона сохранения энергии. _ de dvi дь Его также можно вывести из закона изменения внутренней энергии р— = т- тг dt Oik oxi

Для удобства мы выбрали компонентную запись этого уравнения; по повторяющимся индексам предпаїагается суммирование. Здесь Рік — теїгаор напряжений; jt — вектор потока тепла; V{ — вектор скорости с компонентами и, w; Хк — радиус—вектор точки с компонен d d d д О _ тами х, z. Символ — обозначает индивидуальную производную: — = —+u-—Hw— Для dt dt dt Ox az ньютоновских жидкостей Ргк = — PSik + p lki где бік — символ Кронекера и p ik — тензор, компоненты которого пропорциональны компонентам тензора скоростей деформации -г-2" Охк UV Свертка $&-%- - является квадратичной по скоростям. Мы предполагаем, что амплитуды дхк скоростей невелики, вклад диссипативных эффектов невелик, поэтому слагаемое pik—— ОХк ОТ опускаем. Для вектора потока тепла ji справедлив закон Фурье jt = — ктг 1], причем CJJ0 і к зависит только от z. Учтем, что ре = p jf = гуР, где с„ — теплоемкость моля при постоянном объеме. Подставляя в уравнение для внутренней энергии выражения для е, ji, Рік, получаем последнее уравнение системы (0.1) для давления.

Вязкие члены в законе количества движения взяты в упрощенном виде. Для длинных (/? = j С 1) внутренних гравитационных волн, которыми будем в основном интересе / , sdu\ . соваться, существенен только один вязкий член: — I s{z)— 1. Аналогично в последнем уравнении системы (0.1) учитывается только член теплопроводности с производными по z; слагаемым теплопроводности с производными по х можно пренебречь. До высоты 100 км диссипативные члены для изучаемых процессов не важны [242].

Краткий обзор современных динамических моделей атмосферы дан в Приложении 0.1.

Предполагается, что в отсутствие волн атмосфера однородна по х, стационарна и ветер отсутствует. Это соответствует частному случае системы (0.1), когда все частные производные по х и по t равны нулю, qi(x,z,t) = 0 (i=l,2,3), и = w = 0. Про этот частный случай будем говорить, что он соответствует невозмущенной атмосфере. Параметры невозмущенной атмосферы называются фоновыми.

Невозмущенная атмосфера характеризуется функциями Т0(г), Ро(г), Po{z) — фоновыми температурой, плотностью и давлением. Полагая все производные по времени в (0.1) равными нулю, с/ (х, z, t) = 0, и = w = 0 получим уравнение, связывающее фоновые параметры атмосферы ЭР (0.2) -1+Род = Учитывая уравнение Клапейрона—Менделеева, из уравнения (0.2) получаем, что po(z), To{z), Pq{z) связаны соотношениями (0.3) . , рр(0)Я(0) / Г dz \ RTp(z) Po{z) = -Щ-схр Гl W)) н{2) = -щ- Poiz) = Z)9 2) Одну из функций можно выбирать произвольным образом. Обычно известными считают ц(г) и Тй(г) или ц(г) и Я(г), a po(z), PQ(z) вычисляют по формулам (0.3). Существуют эмпирические модели атмосферы, которые позволяют по дате, по месту положения, по индексу геомагнитной активности восстановить многие параметры атмосферы, в том числе функции T0(z), H(z), /i(z). Мы не будем здесь обсуждать эти модели. В качестве примера на Рис. 0.1 показана функция H(z) для одной из моделей атмосферы 400.00- 300.00 I 200.00 100.00 0. 0.00 2000 40.00 60.00 80. Шкала высот (км) РИС. 0.1. Зависимость H(z) для стандартной модели атмосферы Уточним: в действительности в физике атмосферы под фоновыми температурой, плотностью понимают результат усреднения реальных температуры, плотности по результатам многолетних наблюдений. Эти функции с большой точностью удовлетворяют соотношениям (0.2), (0.3), поэтому отличие нашего определения фоновых температуры, плотности от общепринятых несущественно. Сплошные среды, параметры которых зависят от координат, называются неоднородными. Если параметры неоднородной среды зависят таїько от одной координаты, то среда называется стратифицированной или слоистой. Tq(z), po{z) зависят только от z. Следовательно, мы рассматриваем атмосферу как стратифицированную среду.

Атмосфера, в которой Т0 не зависит от z, называется изотермической. Реальная атмосфера, как показывает график на Фиг. 0.1, является неизотермической.

В последнем уравнении системы (0.1) Q учитывает теплопроводность, а также дополнительное нагревание. Это нагревание, в конечном счете, учитывает нагрев газа солнечным излучением и высыпающимися энергичными частицами. Оно компенсирует выравнивающее действие теплопроводности и обеспечивает стационарность неизотермической атмосферы.

В настоящее время для функций ;(г), k(z) построены эмпирические формулы, по которым эти коэффициенты вычисляются через температуру. Для атмосферы Земли 8 км H(z) 60 км, плотность po(z) изменяется с высотой на 11 порядков, функции s(z), k(z) изменяются в 20 раз для 0 км z 500 км. Атмосфера очень динамична, изменчива. з Поэтому, насколько это возможно, функции s(z), «(г), H(z) не конкретизируются, и рассматривается общий случай. Верхние граничные условия стандартные м f ди = 0 — = 0, w\tmh = 0, на высоте h = 500 км. Верхние граничные условия (0.4) в настоящее время используются в большинстве научных работ, посвященным исследованию атмосферных волн. Решение задачи о распространении волн в атмосфере не очень чувствительно к выбору верхних граничных условий. Это связано с выравнивающим действием вязкости и теплопроводности на больших высотах и с тем, что граничные условия ставятся на большой высоте. В то же время верхние граничные условия все еще являются предметом постоянных научных дискуссий.

Нижние граничные условия - условия на поверхности планеты (0.5) П=о = 7Ъ(0), и ,_о = 0, w\z=0 = 0,

Такие нижние граничные условия используются многими авторами при решении атмосферных задач. Тем не менее, правильный выбор нижних граничных условий в настоящее время тоже все еще являются предметом научных дискуссий. У поверхности Земли имеется пограничный слой, и взаимодействие атмосферы с поверхностью Земли имеет очень сложный характер. Однако нюансы в постановке нижних граничных условий обычно существенно сказываются только в слое атмосферы толщиной менее 1 км. Мы будем интересоваться поведением атмосферного газа вдали от поверхности планеты, поэтому граничные условия (0.5) приемлемы для наших целей. Атмосфера предполагается безграничной вдоль оси х. Начальные условия: u(:r,z,0) = fi(x,z), w(x,z,0) = f2(x,z), (0.6) Т(х,г,0) = f3(x,z), p(x,z,0) = f4(x,z). Функции fi(x,z), (і = 1,2,3,4) предполагаются известными.

Будем интересоваться решением задачи (0.1), (0.4), (0.5), (0.6) при t 104 сек « 10 час. Замечание о временном интервале, на котором нас интересует решение задачи, существенно. Например, если мы решаем задачу о генерации волн в атмосфере сгорающим спутником или метеоритом, то на небольших временах основным эффектом будут ударные волны. Однако спустя несколько часов результатом уже будет конвективное пятно и конвективные потоки в атмосфере. При этом с математической точки зрения решается одна и та же задача, но с физической точки зрения мы имеем дело с разными задачами. В действительности и математические методы решения этих задач могут различаться: методы, созданные для расчета ударных волн, вообще говоря, не годятся для расчета конвективных структур при больших t.

Приведем примеры физических задач, в которых используется математическая модель (0.1), (0.4), (0.5), (0.6) (возможно, как часть более сложной модели):

возмущение атмосферы высыпающимися энергичными частицами в полярных широтах или сгорающими метеоритами и спутниками

возмущение параметров атмосферы после взрыва (в том числе, через несколько часов после взрыва)

возмущение атмосферы пожарами и землетрясениями

экологические задачи: перенос примесей при авариях на большие расстояния

задачи краткосрочного расчета погоды

задача общей циркуляции атмосферы

(7) распад волн и образование турбулентности

В общем случае рассматриваемая нелинейная задача неустойчивая; это ясно из общих физических соображений. Приведем примеры начальных условий или источников, приводящих к неустойчивым задачам:

слой холодного и тяжелого газа находится при t = 0 над слоем теплого и легкого газа

сдвиг поля скоростей при t = О

можно подобрать источник тепла q3(x, z, t), подогревающий газ внизу, при котором задача будет неустойчивой. Задача о нагреве жидкости или газа снизу называется задачей Бенара.

Таким образом, если рассматривать задачу в общем виде, с произвольными начальными данными и с произвольными источниками z, t), (i=l,2,3), можно прийти к выводу, что она некорректна с математической точки зрения.

Необходимо сузить класс рассматриваемых задач, ограничившись конкретной проблемой.

Недиссипативная задача

По оценкам в атмосфере ниже 100 км диссипативиые эффекты несущественны. Поэтому наряду с диссипативной задачей рассмотрим упрощенную задачу с s(z) = к(г) = (07) + 0 + «= д(ри) д{ри2) d(puw) дР - + - + -97- = - + 91 0, d(pw) d(puw) djpw1) дР , / ,ч dt дх dz dz + л_ + я. = —37 -Р9 + Яг[х, z, t), ( + Ю ] для которой граничные условия по вертикали задаются в следующем виде: f =o = bOM)i w\z=hl=0, hi = 100 км

Будем предполагать, что или b(x, t) = 0 или b(x, t) периодическая функция.

Система уравнений (0.7) в основном и будет изучаться в диссертации. В модели (0.7) атмосферный газ рассматривается как идеальная сжимаемая жидкость, находящаяся в поле тяжести.

Анализ недиссипативной задачи в приближении волн малой амплитуды, случай изотермической атмосферы

Изучаемые уравнения очень сложные. Даже упрощенные, линеаризованные уравнения не удается решить аналитически. Однако имеется частный случай, который хорошо изучен. Это случай изотермической недиссипативной атмосферы. В изотермической атмосфере, по определению, температура среды Т0 не зависит от координат. Тогда Po(z) = Ро(0) ехр(- ), Я = &&. Если в случае изотермической атмосферы пренебречь в уравнениях нелинейными и диссипативными слагаемыми, то задача решается аналитически.

Рассмотрим систему уравнений (0.7) для случая изотермической атмосферы в приближении малых амплитуд. При принятых упрощающих предположениях уравнения приобретают вид: (0.8) Hipt + Hux + Hwz-w = 0, щ + дН {ф + ф)х = 0, wt+gH( + iJ )z-g(] = 0, Л + (7-1) (их + и г) = 0, где ,, .ч (Т(х, z, t) - Tp) p(x,z,) 0(x, z, t) = , ф(х, z, ) = In To "v " Po(z)

Приближение малых амплитуд означает, что скорости газа малы по сравнению со скоростью звука и что отклонение температуры и плотности от фоновых тоже мало. Поэтому слагаемые, содержащие любые произведения функций и, w, ф, ф, малы по сравнению со слагаемыми, содержащими эти функции только в первой степени; они отбрасываются. Такая процедура перехода к упрощенной системе уравнений называется линеаризацией, а упрощенная система уравнений называется линейной, поскольку таковой и является с математической точки зрения.

Обычно переход к линейным уравнениям осуществляют с помощью предварительного введения безразмерных переменных и последующего отбрасывания слагаемых, содержащих амплитудный параметр во второй и более высокой степенях. Не будем это без необходимости делать, поскольку процедура линеаризаіщи стандартная и изложена во многих монографиях и учебниках.

Рассмотрим гармонические волны. Уравнения (0.8) имеет три типа частных решений:

(1) волны Лэмба:

(0.9) ф, и, р expi(Arxi — Ui,t)exp I—ЇТ"2) w = 0, и\ = sk\,

Здесь cs = у/ідН — скорость звука. Амплитуда колебаний растет с высотой. Однако плотность газа быстро убывает с высотой. Поэтому плотность энергии этих волн, пропорциональная произведению плотности газа на квадрат амплитуды волны, экспоненциально убывает с высотой. Это приповерхностные волны; в безграничной атмосфере волны Лэмба отсутствуют.

(2) акустические волны: ф, u,w,ехр і (кхх + kzz - uAt) exp {wtt) » 2,у Vі 4Я2Д у 72Я2(А;2 + А;2 + Ш ) V где ил, кх, кг — действительные. Поскольку последнее слагаемое под корнем всегда меньше единицы, то можно записать приближенное дисперсионное соотношение w 19н(к1 + к1 + -±У хорошо аппроксимирующее точное. Частота, период акустических волн в атмосфере лежат в диапазонах 0.21 сек"1 и J-r r иА со, 0 ТА 4 мин 53 сек у АН Акустические волны в стратифицированной среде представляют собой не потенциальное, то близкое к потенциальному движение жидкости. (3) внутренние гравитационные волны: фл и, w, р ехр і (кхх + кгг - uGt) ехр (—) 4 = hi» (kl + « + -ij)fi- .A- t 7"" 1. ) 2 V 4WV\ V 72№(tl + 4 + ,)V где uq, kxt kz— действительные. Поскольку последнее слагаемое под корнем всегда меньше единицы, то можно записать приближенное дисперсионное соотношение , „ (7-1)0 Частота, период гравитационных волн в атмосфере лежат в диапазонах О uG \ « 0.04сек -1, 5 мин 14 сек Тс со Внутренние гравитационные волны представляют собой вихревое движение жидкости. Ротор скорости строго горизонтален. (4) В трехмерном случае добавляется еще один вид решений — стационарные вихри с ротором, направленным вертикально. Для них из = 0, w = 0, вертикальная структура возмущения может быть произвольной. При учете сил Кориолиса вихри начинают двигаться; это волны Россби. С волнами Россби связано существование циклонов и антициклонов.

ЗАМЕЧАНИЕ 0.0.1. Амплитуда акустических и гравитационных колебаний экспоненциально растет с высотой. Плотность газа экспоненциально падает с высотой. В результате плотность энергии этих собственных колебаний, пропорциональная произведению плотности на квадрат амплитуды, не изменяется с высотой.

Общее решение трехмерной задачи — суперпозиция перечисленных четырех видов решений. В двумерном случае имеется только три типа частных решений: волны Лемба, акустические волны и внутренние гравитационные волны. Если двумерная атмосфера безграничная, то остается только два типа частных решений: акустические волны и внутренние гравитационные волны.

Квазигидростатическое приближение

Уравнения (0.1) очень сложные. Автору неизвестно ни одно нетривиальное решение этих уравнений. Обычно пытаются решить уравнения численно.

Формально численное решение можно построить для любого t. Однако погрешности вычислений накапливаются. Оценка погрешности численного решения полных гидродинамических уравнений показывает, что на временах порядка одного периода ВГВ погрешность уже может быть не меньше амплитуды ВГВ. Поэтому надежно смоделировать распространение ВГВ обычными методами с необходимой точностью в рамках полной системы гидродинамических уравнений не удается.

Рассмотрим структуру погрешности. Полные гидродинамические уравнения описывают не только распространение ВГВ, но и распространение акустических волн (АВ). Аппроксимируя уравнения (0.1) или (0.7) конечно-разностными, мы заменяем производные конечными разностями. Например, д/(х, г, t) f(x, z, tm) - f(x, z, tj) 1 d2f(x, z, t,) dt t 2 dt2 " Здесь г — шаг по времени. Последний член учитывает погрешность. d2f(x 2 t) d2f(x, г, ti) Для акустических волн : J « и\ /(ar, z, t)\. Оценим я2 г , , N at2 и d f(x,z, tj) 2 і г/ лі

Для внутренних волн : ——— « wG /(x, 2, ).

Здесь uja — частота акустических волн, uq — частота внутренних гравитационных волн. Для рассматриваемых волн и)\ Jq почти для всех кх, кг. В геофизике наиболее инте U ресны волны с кг jj, к 1 100 - 1000 км; для них — - = 103 — 105.

Следствие 0.0.1. Погрешность дискретизации уравнений, возникающая от акустических волн, в 103 — 105 раз больше, нем погрешность дискретизации, возникающая от внутренних гравитационных волн.

Добавим: несколько периодов гравитационных волн (5 — 10 часов) — это не меньше чем 102 периодов акустических волн. Для акустических волн это огромное время. Погрешности от акустических волн очень долго накапливаются, и «забивают» ВГВ. Если даже численный метод устойчив, результаты расчетов спустя 5 — 10 часов реального времени вызывают сомнения и смоделировать распространение гравитационных волн не удается.

Даже если акустические волны отсутствуют при t = 0, они возбуждаются позже, за счет нелинейных эффектов, за счет округлений при счете, за счет используемых итерационных процедур, за счет погрешностей дискретизации.

Обсуждаемая трудность не является специфической проблемой ВГВ; наоборот, она характерна для многих геофизических задач. Уравнения современных геофизических моделей сложны и учитывают процессы с существенно различными временными масштабами. Часто нам особенно интересны медленные процессы, происходящие на большом временном интервале. Погрешности численного счета, происходящие от быстро протекающих процессов, на несколько порядков превышают погрешности от медленно протекающего процесса; поэтому эти погрешности мешают численному моделированию медленно изменяющегося решения. Для построения медленно изменяющегося решения необходимы специальные численные методы. Проблема численного интегрирования уравнений, описывающих процессы с существенно различными временными масштабами, ежегодно обсуждается на семинарах EGS/EGU (см. секция "Balance in atmosphere-ocean dynamics"Ha ); автор диссертации является многолетним активным участником этих семинаров.

Исторически первое решение проблемы накопления погрешностей от АВ было предложено Ричардсоном в 1922 г. Ричардсон предложил такое упрощение уравнений, которое исключает АВ из модели, а вместе с ними устраняет проблемы, связанные с этими волнами. Следующие рассуждения приводят к этому упрощению.

Эксперименты показывают, что для большинства волновых возмущений в атмосфере характерный вертикальный масштаб 1г 10 км. Для среднемасштабных и крупномасштабных процессов, особенно интересных для геофизики, горизонтальный масштаб 1Х 100 -г- 1000 км. Поэтому имеем задачу с малым параметром Р = { 0.1 -г- 0.01.

Введем безразмерные переменные: F, , fix , z ±, Т-Т (0.10) t = P Jf, х = !щ, z = -, ф = ,, Р- Ра , и , w оро сту/дНо ору/дНо

Здесь а - амплитудный параметр, Я0 lz - среднее значение масштаба стратификации Я(г). В качестве временного масштаба взят период длинных гравитационных волн.

В безразмерных переменных получаем, что ( + tel + ЄіаҐ) о (02) Ю"2 -г 10 4. Поэтому при решении геофизических задач комбинация (2 + а + д ) отбрасывается. В научной литературе соответствующее приближение часто называют квазистатическим или гидростатическим (приближение квазигидростатики). В квазигидростатическом приближении уравнение для вертикальной скорости заменяется на следующее (О.п) - — - рд + - (ф)—j = 0, или чаще + да = 0, поскольку диссипативные члены тоже малы. (0.11) — фундаментальное уравнение современной геофизики и динамической метеорологии. В размерных переменных наиболее часто используемая замкнутая система уравнений квазигидростатического приближения имеет вид: д(ри) 0(ри2) д(рии ) _ дР dt дх дг дх п ЭР дР д(иР) d(wP) _ dt + дх + dz д ( .ди\ Q(x,z,0 = (k( (To(2))).

Анализ показывает, что уравнения (0.12) квазигидростатического приближения не учитывают АВ. Именно это обстоятельство позволяет эффективно моделировать распространение ВГВ с помощью квазигидростатической системы уравнений. (Приближение несжимаемой жидкости является другим часто используемым приближением, позволяющим исключить АВ из модели. Можно показать, что приближение несжимаемости среды изменяет скорость распространения ВГВ на 40%, поэтому при рассмотрении динамических процессов, в которых существенную роль играют ВГВ, использовать это приближение нежелательно.) Квазигидростатическое приблиокение сейчас используется во многих численных моделей динамики атмосферы при моделировании процессов с периодами больше, чем 15 минут. К задачам такого типа относятся задачи общей циркуляции атмосферы и прогноза, задача о генерации ВГВ авроральными высыпаниями энергичных частиц и авроральными токами. Акустические волны быстро затухают и рассеиваются в атмосфере, они не дают вклад в асимптотику при больших t. Поэтому сделанное упроіцение разумно.

Переходя от системы уравнений (0.1) к системе уравнений (0.12) мы встречаемся с первой теоретической проблемой. Как поставить задачу для квазистатических уравнений? Исходная система уравнений требует четыре функции в качестве начальных условий: р(х,г,0), u(x,2,0), w(x,z,0), Р(х, 2,0). Именно четыре эти функции можно получить из эксперимента. Квазистатическая задача требует только две функции в качестве начальных условий:

Р(х, z, 0) или р(х, z, 0) и й(х, z, 0) или w(x, z, 0).

Здесь над функциями поставлен знак "тильда", потому что очевидно, что в общем случае Р(х, 2,0) ф Р(х, 2,0), р(х, z, 0) Ф р(х, 2,0), й(х, 2,0) Ф и(х, 2,0), w(x, 2,0) Ф ltf(x, 2, 0). Следовательно, переход к уравнениям квазистатического приближения нетривиален. По начальным условиям для полной задачи необходимо вычислить начальные условия для квазистатической задачи. Эта задача по пересчету начальных условий называется проблемой квазистатического приспособления или квазистатической адаптации. Она обязательно решается в некотором приближении при подготовке начальных данных для метеорологических моделей.

Аналогично, если решаем задачу с внешними источниками, то по заданным источникам 9i(х, 2, t), q2(x, г, t), 7з(я, z, t) для полной задачи, может быть, нужно вычислять источники 7i(х, 2, t), q2(x, 2, t) (}з(х, z, t), q x, z, t) для квазистатической модели.

Некоторое время считалось, что квазигидростатическое приближение можно использовать почти всегда. Предполагалось, что если при t = 0 условие квазигидростатичности в атмосфере нарушено, то осуществляется переходный процесс, в течение которого быстро происходит квазигидростатическая адаптация мстеополей. После этого осуществляется квазигидростатическая или близкая к квазигидростатической эволюция параметров среды, и уравнения (0.12) уже применимы.

Однако диссертантом построены приближенные аналитические решения уравнений квазигидростатической модели, контрпримеры, показывающие, что в нелинейном случае гладкого решения квазигидростатической системы уравнений при достаточно больших t, вообще говоря, не существует [4], [5], [150]. Это зависит от начальных условий, но такие случаи нередки. Предельный переход 0 — 0 можно понимать только в слабом смысле, даже в случае, когда акустических волн нет.

Изложим кратко аналитическую модель, показывающую нетрииалыюсть предельного перехода к квазигидростатическому приближению.

Анализ нелинейных уравнений аналитическими методами

Система уравнений Кортевега-де Вриза как модель нелинейных внутренних волн Пусть имеется волновод, в котором распространяются длинные слабо нелинейные волны. Предположим, что поведение газа в волноводе описывается системой уравнений . - і \ \ ь . v( ,r./) = sin( .r) ехр -М 0"(x,z,O, /// // /// / 7/ шіп(А,Я)//, =/?«!, kn=nnlh РИС. 0. (0.7). На нижней и верхней границах волновода задано условие твердой поверхности w(x,z = 0,t) = w(x,z = Лі,і) = 0. Пусть 0- = 1- малый амплитудный параметр, /? = Iі Сосредоточим внимание на внутренних гравитационных волнах. Решение уравнений (0.7) будем искать по методу Галеркина: u(x,2,0 = X (:M)Sn(z), п где Sn(z) — система функций, образующих базис (Здесь для упрощения изложения основных идей допущены не принципиальные неточности. Детальный вывод уравнений (0.13) дан в Приложении 0.3 и в [5].). Базисные функции Sn(z) возьмем из линеаризованной задачи. Для 9п(х, t) в [3], [4], [5] выведена система уравнений: V- лшл! . Р 2 Z "». v z n,tn (0.13) fl? + с& + -J2 й Ч + мпвпххх + О ( т2 + /?4) = о, где х и t — безразмерные координата и время, введенные в (0.10), , /4(7-1) fc _шг (7-е2,) з с«-±у7(1 + 4А:2) n_V Мп_ 7-1 С" Здесь 0п(х, і) — горизонтальные профили волновых мод. Волны с п 0 распространяются вправо, и волны с п 0 распространяются влево, с_„ = -с,, ы константы, определяющие эффективность нелинейного взаимодействия мод. Они выражаются громоздкими интегралами, подынтегральные выражения которых содержат функции Sn(z), Sl{z), Sm(z) и их производные. Нелинейные слагаемые в (0.13) возникли из нелинейных слагаемые в гидродинамических уравнениях. Дисперсионные члены - {lc 0"II и : zf( QZxx возникли из слагаемого po f» содержащегося в гидродинамическом уравнении для вертикальной скорости; они учитывают слабое отклонение от локального гидростатического равновесия. Изменение вертикальной структуры волны со временем учитывается за счет суперпозиции мод, подобно тому, как это происходит в методах Фурье или Галеркина.

Полагая в (0.13) а = 0 и 0 = 0, приходим к известному результату линейной теории длинных внутренних ваїн: каждая волновая мода п распространяется с собственной скоростью Сп без изменения формы. Поэтому можно сказать, что уравнения (0.13) описывают нелинейную вашу как систему взаимодействующих между собой волновых мод. Если пренебречь в (0.13) взаимодействием различных волновых мод и оставить только одну из них, предполагая, что только одна мода была возбуждена первоначально, то получится классическая КдВ-модель (0.42) нелинейных внутренних волн. В отличие от КдВ-модели (0.42), уравнения (0.13) позволяют рассматривать сразу несколько волновых мод, каждая из которых взаимодействует с остальными.

Граничные условия влияют на функции Sn(z) и, как следствие, на постоянные F,. При любых однородных граничных условиях распространение внутренних волн описывается уравнениями типа (0.13). В этом смысле конкретный вид граничных условий не важен, если мы обсуждаем влияние нелинейности уравнений на поведение волн на качественном уровне. Известно, что длинные внутренние гравитационные волны распространяются почти горизонтально. Если длинная внутренняя гравитационная волна была возбуждена недалеко от поверхности Земли, то она достигнет верхней границы волновода только спустя большое время: tpa3Mpn, « pjljj- Поэтому, система (0.13) пригодна также для моделирования неволноводного распространения внутренних гравитационных валн, но только пока волны не достигнут высоты hi.

Качественный анализ влияния нелинейности уравнений на свойства внутренних волн

Система уравнений (0.43) очень интересна с физической точки зрения и неоднократно предпринимались попытки проинтегрировать (0.43) точно. В настоящее время найдены некоторые точно интегрируемые случаи для двух - и трех—волновых систем. Исчерпы-ваюпгую информацию о точно интегрируемых системах КдВ можно найти в [7], [8], [10], [11], [9], [14], [16], [12].

В [4] Кшевецким СП. и Лебле СБ. была развита несингулярная теория возмущений, дающая приближенное решение системы уравнений (0.43). Это решение имеет вид: (0.14) Є"(х, 0 « GS(x, 0 - - Пт f во (х - Cn(t - t% t ) x тфпфі xe x{x-cn(t ),t )dt Здесь функции 0o(x,t) являются решениями уравнений Кортсвега—де Вриза [17]: (0.15) Єй + с„ Є х + F Ql eg, + Мп в%ххх = 0.

Начальные условия для Q„(x,t) ставятся так: 6q(x,0) = 0"(х,О).

В правой части (0.14) слагаемые суммы учитывают нелинейное взаимодействие различных мод. Нелинейное взаимодействие каждой волновой моды с собою учитывается непосредственно функцией во(х,). Приближенное решение учитывает нелинейное взаимодействие различных мод и самовоздействие мод неравноправно. Это имеет место потому, что каждая мода движется относительно других; это ослабляет взаимодействие различных мод. Взаимодействие различных мод существенно проявляет себя только при столкновении мод, когда носители волн перекрываются. В то же время нелинейное самовоздействие мод действует постоянно и ничем не ослабляется; поэтому эффекты нелинейного само-воздействия более существенны. В [4], показано, что эффекты взаимодействия мод п,т пропорциональны . Поскольку с„ —» 0 при п — 0, то для высших мод знаменатели \{сп — Ст)\ малы, и взаимодействие мод уже необходимо учитывать в главном порядке теории возмуіцений. Последний член в правой части (0.14) учитывает некоторые слабые дисперсионные эффекты.

Уравнение (0.15) интегрируется методом обратной задачи рассеяния ( [17], [18], [19], [20], [21], [22])). Волны, описываемые уравнениями этого типа, распадаются с течением времени на солитоны и волновой хвост сравнительно небольшой амплитуды [17]. Волновой хвост остается сзади основной, солитонной части волны [17].

Внутренние волны приближенно описываются уравнениями КдВ (0.15). Следовательно, они должны вести себя подобно волнам, описываемым уравнением КдВ: при t — со они должны распасться на солитоны и волновой хвост небольшой амплитуды, распространяющийся сзади основной волны. Главная энергия волн содержится в головной части, состоящей из солитонов. Солитонное решение для (0.15) имеет вид: (0.16) eo(0" = 6% eecfc (J n, « - .

Понимая поведение нелинейных внутренних волн, можно сформулировать вопросы, представляющие физический интерес. Важнейшими характеристиками распада волн на солитоны являются масштабы и количество генерируемых солитонов. Оценим размеры солитонов, получающихся из типичных для атмосферы внутренних волн, а также их количество. У солитона нелинейный и дисперсионный члены имеют один и тот же порядок. Используем это при оценках. Пусть U — амплитуда горизонтальной скорости в волне, и I — горизонтальный размер солитонной волны. Тогда для солитона имеем (0.17) u L „ HL „ 1 ( н -LV .IZJL. К дх I g У9 кгН) дх3 V Нк3 Из (0.17) получаем оценку для размера солитона: (0.18) I Согласно радарным измерениям [23], [24], [25], [26], характерный вертикальный размер типичной внутренней гравитационной волны на 90 км равен 2 км, при амплитуде горизонтальной скорости 20 — 30 м/с. Подставляя k i 2км, U 20м/с в (0.18) получим, что горизонтальный размер I солитона приблизительно равен 4 км. Волны именно такого горизонтального масштаба и преобладают в наблюдениях [23], [24], [25], [26].

Согласно теории уравнения КдВ ([17], [18], [19], [20], [21], [22])), солитоны, образующиеся в результате распада волн, имеют приблизительно ту же амплитуду, что и распадающаяся ватна (передние солитоны имеют несколько большую, а задние несколько меньшую амплитуду). При этом интеграл от горизонтального профиля волны сохраняется. Поэтому число солитонов можно грубо вычислить путем деления горизонтального масштаба исходной волны на размер солитона. Следовательно, в рассматриваемом примере из волновой моды с k l 2 км, с амплитудой горизонтальной скорости 20 м/с и горизонтальным размером 500 км должно получиться более 100 солитонов.

Таким образом, аналитическая модель показывает, что нелинейные среднемасштабные и крупномасштабные внутренние гравитационные волны должны распадаться с течением времени на уединенные волны существенно меньших масштабов — солитоны. Размеры образующихся солитонов зависят как от параметров среды, так и от амплитуды распадающейся волны. Для типичных атмосферных внутренних волн размеры образующихся солитонов должны быть одного порядка с масштабом стратификации среды или меньше. В принципе, размеры солитонов в модели не ограничены снизу и могут быть скаль угодно малы. Это зависит как от начальных условий, так и от стратификации среды.

Образующиеся солитоны — суть вихри или система вихрей расположенных один над другим. Поскольку внутренние гравитационные волны представляют собою вихревое движение жидкости, то солитонный распад - - это распад вихрей большого масштаба на вихри меньших масштабов. В атмосфере постоянно присутствуют вихревые волновые движения малых масштабов. Часто мелкомасштабные волновые движения отождествляют с фоновой турбулентностью. Турбулентность понимается здесь в самом широком смысле — все мелкомасштабные движения, которые не удается разрешить на разностной сетке в крупномасштабных и мезомасштабных моделях атмосферных процессов, относятся к фоновой турбулентности. Солитонный распад может быть одним из важных механизмов образования фоновой турбулентности и представляет интерес для изучения.

Квазигидростатическое приближение. Дисперсионный член как регуляри-затор в нелинейной модели

Изучение предельного случая /? = 0 интересно в силу нескольких причин. Прежде всего, случай 0 = 0 соответствует квазистатическому приближению. Квазистатическое уравнение (0.20) используется сейчас как фундаментальное уравнение атмосферы [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34], [35], [73], [36]; предложено оно было Ричардсоном в 1922г. [2]. В терминах гидродинамических уравнений квазистатическое приближение соответствует dw пренебрежению членом вертикального ускорения р—г- в уравнении для вертикального at импульса /л,лч dw ЭР (0.19) р- + — +рд = о, при этом уравнение (0.19) превращается в квазистатическое уравнение (0.20) — + рд = 0. В безразмерных переменных малый отбрасываемый член р— оценивается как О{02). В терминах уравнений (0.43), при /3 = 0 имеем систему квазилинейных уравнений: (0.21) ej + с0х +1 Я1те-е; = о тп.п Система уравнений (0.21) исследована автором и Лебле СБ. в [4]. Приближенное решение уравнений (0.21) имеет вид (0.14) при /? = 0, но уравнение (0.15) заменяется следующим (0.22) 9Ь + с + l eseg, = 0.

Уравнение (0.22) хорошо изучено (см. например, [132]). Известно, что если РпОц(х) 0, и если начальные условия заданы на классе гладких, убывающих при х —» со функций,

ТО ГЛаДКОе решение Существует ТОЛЬКО ДО НеКОТОрОГО t = ЬгеаЪ

Время опрокидывания tbreak невелико. Численные эксперименты, проведенные в [37], [5], [150] показали, что для волн с амплитудой горизонтальной скорости 20 — 80 м/с на высоте 90 км В геофизических задачах особенно интересно решение при больших t. Чтобы обеспечить существование решения при всех t, в нелинейных задачах решение обычно ищется на классе кусочно—гладких функций [61]. Один из способов построения кусочно—гладкого решения состоит в следующем. В решаемые уравнения добавляется специальное слагаемое, называемое регуляризатором, с малым параметром перед ним. Оно подбирается так, чтобы обеспечить существование гладкого решения. Полученные новые уравнения называются регуляризованными. Уравнения решают, и затем малый параметр перед добавленным слагаемым устремляют к нулю [41], [40], [39]. Добавленный в уравнения малый член исчезает. Если при этом существует предельное решение задачи, то оно называется обобщенным. При численном решении задачи регуляризация часто осуіцествляется неявно, за счет эффектов численной диссипации и дисперсии; поэтому отсутствие регуляризующего члена в явном виде в уравнениях модели не означает, что уравнения не регуляризуются.

Этот метод построения глобального решения нелинейных гидродинамических уравнений был предложен фон Нейманом и Рихтмайером в [38] при решении задачи о распространении ударных волн в газе; позже метод стал широко применяться в теории нелинейных уравнений [41], [39], [40].

Методом регуляризации обобщенное решение уравнений (0.21) можно построить следующим образом. Уравнения (0.21) заменим следующим (0.23) 0? + cnenx + %J2 Fm/m - еад« = 0, Кп, є 0, п,т Уравнения (0.23) решаем. Затем вычисляем предел є —» 0. Если этот предел существуют, то соответствующее предельное решение считается обобщенным решением системы (0.21). Посмотрим, какое решение дает обычный метод регуляризации уравнений (0.21). Приближенное решение уравнений (0.23) выглядит аналогично (0.14), но уравнения КдВ (0.15) надо заменить уравнением Бюргерса (0.24) % + СпвЪ + f F„"A"C - єКпв&х = 0. Уравнение Бюргсрса (0.24) хорошо изучено, поэтому можно сказать, что получится, если использовать эту регуляризацию. В примере с одной модой этот метод должен давать известный треугольник. Эволюция волны качественно изображена на рисунке 0.3. Рис. 0.3. Качественная картина эволюции волны в квазигидростатической модели, регуляризованной обычным способом, с помощью добавления малого диссипативиого слагаемого. Слева изображено начальное возмущение. Справа - волна, формирующаяся через некоторое время

Получаемое обобщенное решение не единственно, оно зависит от регуляризации. Важен правильный подбор регуляризатора. В точках разрыва 6"1:с — оо. Поэтому, если уж регуляризовать квазистатическую задачу, то с помощью предельного перехода /3 — 0 от решения нсквазистатической задачи. Попробуем представить себе получаемое таким способом обобщенное решение. Из солитонного решения (0.16) при Р — 0 получается «решение», отличное от нуля только в одной точке. Если начальное условия для уравнения КдВ задано отрицательной, убывающей на бесконечности функцией, то при Р —» 0 размеры образующихся солитонов устремятся к нулю, а число их к бесконечности. Можно предположить, что предельная внутренняя гравитационная волна, если наблюдать ее на фиксированной высоте, будет похожа на частую стиральную доску или гребенку. Например, из кноидальных волн уравнения КдВ в рассматриваемом пределе получается ограниченное «решение», не являющееся непрерывным ни в одной точке. Схематически получаемая картина изображена на Рис. 0.4. Это новый, пока мало исследованный класс обобщен

Рис. 0.4. Качественная картина эволюции волн при очень малых р. Слева изображено начальное возмущение. Справа - волна, формирующаяся через некоторое время вследствие эффектов солитонного распада. При (3 — 0 размеры образующихся солитонов стремятся к нулю, а число их к бесконечности ных решений, и в настоящее время имеются только несколько работ, в которых развита соответствующая математическая теория для уравнения КдВ. Краткий обзор работ, посвященных проблеме регуляризации уравнения (0.22) и проблеме предельного перехода р — 0 в уравнении (0.15) дан в Приложении 0.4.

Замечание 0.0.2. Значение в точке для предельного решения не определено. Тем не менее, для гиперболического уравнения теория регуляризации с помощью дисперсионного члена построена в [175], [190], [191], [19]. В частности, Питером Лаксом показано, что

для получаемого обобщенного решения можно вычислить результат усреднения по любой конечной области. Физический прибор имеет конечные размеры, поэтому сравнение результатов вычислений с экспериментом возможно, получаемое обобщенное решение имеет физический смысл.

Историческое замечание 0.0.1. 18 июля 1872 года Карл Вейерштрасс представил Берлинской академии наук доклад, в котором был построен пример непрерывной функции, недифференцируемой ни в одной точке [62]. (Это функция ). Позже п= функции такого рода стало возможным рассматривать как решения дифференциальных уравнений. Проведенный анализ показывает, что решение дифференциальных уравнений в частных производных может быть даже не непрерывным ни в одной точке, и при этом претендовать па физический смысл. Замечание 0.0.3. Уравнения (0.13) учитывают только гравитацио7тые волны и не учитывают волны Лемба. С учетом волн Лемба уравнения для функций вп приобретают вид: (0.25) Г + с + Fm, 0T4 + уЛ/„ 6?„ + 0{а2 + Р4) = 0, где су = ±cs = ±v/7. Mi —0 — для волны Лемба /под\ , -л. I 4Ь 1) и (п-І)тг ., Ь-ср (0.26) Сп = ±4/ , кп = , М„ = — с V 7(1 + 4/ 2) /г, 7- п = 2,3,... — для внутренних волн .

Здесь са — скорость звука. Видно, что для волны Лемба дисперсионная постоянная Mi = 0. Следовательно, аналитическая модель показывает, что в случае, когда возбуждена волна Лемба, гладкое решение системы уравнений (0.7) динамики тяжелого газа может существовать лишь конечное время, даже если начальные условия заданы гладкими функциями. Поэтому проблема регуляризации существенна не только для системы (0.12) уравнений квазистатической модели, но и для полной системы уравнений (0.1).

Негладкие, обобщенные решения нелинейных уравнений можно вводить различными способами; выбор правильного регуляризатора диктуется физическими соображениями. По некоторым свойствам волна Лемба похожа на акустическую волну. Например, при малых амплитудах она распространяется со скоростью звука. Поэтому, на первый взгляд, регуляризовать уравнения (0.1) динамики тяжелого газа нужно как в теории ударных волн, добавлением исчезающе малых диссипативных членов в уравнения.

Однако имеются соображения, приводящие к иному выбору. Уравнения (0.25) выведены для изотермической атмосферы. Реальная атмосфера неизотермическая. В работах автора показано, что в модели атмосферы с реалистичным профилем плотности волны Лемба отсутствуют (см. главы 5, б), однако можно построить волновой пакет из части спектра внутренних гравитационных волн, который будет похож по своим свойствам на волну Лемба. Для гравитационных волн регуляризатором является дисперсия. Таким образом, вопрос о регуляризации уравнений (0.1) является нетривиальным.

Вывод 0.0.1. Аналитическая модели показывает, что

(1) решение нелинейных уравнений квазистатической модели неединственно. Неединственность связана с потерей гладкости при больших t и с тем, что обобщенное решение можно определить различными способами например, обычная, диссипатпивная регуляризация нелинейных уравнений дает кусочно-гладкое обобщенное решение. (Уместна аналогия с теорией ударных волн.) Однако это обобщенное решение не совпадает с тем. что получается с помощью предельного перехода /? —» 0 из полных уравнений. В этом смысле обобщенное решение квазистатических уравнений, получаемое с помощью диссипативной регуляризации уравнений, неверно правильное обобщенное решение уравнений квазистатической модели естественно получается с помощью предельного перехода 0 —+0 из решений полных уравнений. Это обобщенное решение не является кусочно-гладким и, вообще говоря, принадлежит к классу ограниченных функций, не являющихся непрерывными ни в одной точке для волн Лемба вопрос требует специального рассмотрения.

Основные направления, цели исследований

Данное исследование посвящено изучению процессов распространения и разрушения нелинейных внутренних волн.

Цепочка логических рассуждений, включающая в себя переход от гидродинамических уравнений (0.7) к уравнениям (0.13) для волновых мод, приближенное решение системы уравнений (0.13) для волновых мод,, анализ полученного приближенного решения (0.14), (0.15), обратное возвращение к гидродинамическим переменным, весьма длинная. Выводы, основанные на таких сложных рассуждениях, могут вызывать сомнения. Более того, имеется определенное противоречие между изложенными результатами аналитических исследований задачи и существующими численными моделями атмосферных процессов. Анализ аналитической модели (0.13) показывает, что гладкое решение квазистатической модели существует только до некоторого t = tыеак, и время tbreak сравнительно невелико. Однако в настоящее время существуют численные квазистатические гидродинамические модели, позволяющие получать решение для больших t. Существующие гидродинамические численные модели не выявляют процессов, похожих на солитонный распад внутренних волн.

Поэтому прямое численное моделирование критических ситуаций на основе примитивных гидродинамических уравнений может существенно дополнить асимптотические аналитические исследования и важно с принципиальной точки зрения — это независимая проверка теории. Исследование, не завершенное численным моделированием солитонных эффектов с помощью прямого численного интегрирования гидродинамических уравнений, не достигает цели. При численной проверке теории аналитическая и численная модели выполняют роль теста по отношению друг к другу. Поэтому такое комбинированное аналитическое и численное исследование задачи представляется весьма надежным. Сформулируем цели и задачи численных исследований: разработать методы численного интегрирования гидродинамических уравнений негидростатической модели атмосферного газа, стратифицированного полем тяжести; сравнить аналитическую и численную модели, изучить распад волн на солитоны с помощью численного интегрирования уравнений динамики тяжелого газа проверить результат аналитической модели об отсутствии гладкого решения квазистатической задачи при больших t; численно исследовать зависимость решения квазистатической задачи от используемой регуляризации квазистатических уравнений использовать полученную численную модель для изучения процессов разрушения волн в атмосфере, в частности, для решения задачи вертикального распространения и разрушения ВГВ в атмосфере; сравнить с экспериментом.

Аналитические формулы (0.14), (0.15) получены в приближении слабой нелинейности. Чем меньше амплитуда волн, тем точнее формулы. Поэтому корректно сравнивать аналитическую модель с численным решением гидродинамических уравнений при сравнительно небольших амплитудах, но па больших временах. Погрешность численного решения гидродинамических уравнений накапливается со временем. Вследствие слабой нелинейности основной вклад в погрешность численного метода дают линейные члены уравнений. Для проведения запланированных исследований необходимо, прежде всего, добиться необходимой точности линейных численных моделей распространения волн в стратифицированном полем тяжести газе.

Изучение литературы по численным методам решения уравнений динамики тяжелого газа показало, что сходимость используемых другими авторами методов не доказана даже в приближении волн малых амплитуд. Поскольку надежность используемых численных методов важна для проводимого исследования, диссертант взял на себя труд заполнить существующий пробел и провести исследование численных методов. Причем исследование численных методов построено так, что попутно исследована корректность линейных задач динамики тяжелого газа. Исследована корректность следующих линейных задач, часто встречающихся в геофизических приложениях: двумерной, с учетом и без учета диссипативных процессов, трехмерной, с учетом и без учета вращения Земли. Корректность задач исследована для квазистатических и неквазистатических уравнений.

Изучение решаемой задачи показало, что она нестандартная, и что понятий, существующих в современной теории численного интегрирования уравнений в частных производных, недостаточно для ее адекватного анализа. Для обоснования численного метода обычно доказывают сходимость численного решения к точному. Однако известно, что существуют обыкновенные дифференциальные уравнения с гладкой и ограниченной правой частью, которые практически не удается решить обычным методом Рунге—Кутта, хотя сходимость этого метода доказана и не вызывает сомнений. К таким «плохим» уравнениям относятся так называемые жесткие обыкновенные дифференциальные уравнения, называемые в литературе также уравнениями с большой константой Липшица или сингулярно—возмущенными уравнениями (эти близкие по смыслу термины введены различными авторами, чтобы выделить класс «плохих» уравнений). Все эти «плохие» уравнения, если их записать в безразмерных переменных, содержат малый параметр перед старшей производной [67], [66], [69]. Для этих уравнений обычной сходимости численного метода недостаточно. Более жесткие требования, предъявляемые к численным методам решения таких уравнений, кроме обычной сходимости включают Б-сходимость [69] или равномерную по параметру сходимость метода [70].

Безразмерные уравнения, описывающие распространение внутренних гравитационных волн в атмосфере, содержат малый параметр при старшей производной по времени — перед членом вертикального ускорения. Это не обыкновенные дифференциальные уравнения, а уравнения в частных производных, причем волнового типа. Обычное понятие жесткости из теории обыкновенных дифференциальных уравнений неприменимо к рассматриваемой задаче, поскольку уравнения в частных производных качественно сложнее обыкновенных дифференциальных уравнений. Тем не менее, аналогия имеет место.

Численное решение может сходиться к точному как равномерно по параметру, так и неравномерно. Для решения задачи применимы только методы, сходящиеся равномерно по малому параметру. Поэтому одной из важных задач исследования была следующая построить теорию численного интегрирования уравнений динамики газа, стратифицированного полем тяжести, учитывающую наличие малого параметра при производной по времени; построить численные методы, сходящиеся равномерно по параметру (3.

На физическом языке обсуждаемая трудность численного интегрирования уравнений геофизической гидродинамики объясняется следующим образом. Если решается полная система уравнений для тяжелого газа, то наряду с внутренними гравитационными волнами возбуждаются акустические волны. Погрешность аппроксимации дифференциальных операторов разностными записывается через высшие производные от решения. Акустические волны высокочастотные и имеют большие высшие производные; поэтому они дают основную погрешность при численном счете. Периоды внутренних гравитационных волн на несколько порядков превышают периоды акустических волн. Погрешность численного интегрирования накапливается со временем и на временах порядка нескольких периодов внутренних гравитационных волн может стать столь большой, что смоделировать распространение внутренних гравитационных волн с приемлемой точностью не удастся. Однако при специальном методе численного интегрирования, сходящемся равномерно по параметру /?, погрешности от акустических волн не накапливаются, но взаимно уничтожают друг друга; поэтому удается моделировать поведение внутренних гравитационных волн на больших временах.

Поскольку малый параметр входит при производной по времени, то понятие равномерной сходимости в данном случае не может быть простым. Сходимость может быть равномерной только на некотором классе начальных условий, соответствующем внутренним гравитационным волнам. Чтобы построить теорию равномерно сходящихся методов, необходимо прежде выделить в пространстве начальных условий подпространства, которые соответствуют акустическим и внутренним гравитационным волнам. Причем необходимо сделать это для произвольной стратификаїщи среды. Таким образом, развитие теории численного интегрирования уравнений динамики стратифицированного газа невозможно без развития теории, классифицирующей волновые возмущения в стратифицированном газе, в зависимости от стратификации.

То есть, чтобы построить равномерно сходящиеся методы и доказать теоремы о равномерной сходимости, прежде необходимо дать определения терминам "акустическая волна" и "внутренняя гравитационная волна", пригодные для случая распространения волн в среде с неэкспоненциальной стратификацией и позволяющее выделить и изучить множества начальных данных, соответствующих волнам каждого типа; исследовать зависимость точного решения гидродинамических уравнений от параметра 0 задачи.

Особенностью применяемого подхода является параллельное, аналитическое и численное изучение волн. Численные модели позволяют максимально приблизиться к условиям реального распространения волн в атмосфере. Аналитические модели позволяют понять физику происходящих процессов и проконтролировать численные модели. Они позволяют нащупать, найти критические случаи, когда численные модели могут давать значительные погрешности или вообще приводить к неправильному результату. Например, если дисперсионная постоянная Мп в (0.25) очень мала, то в результате распада крупномасштабных волн на солитоны могут образовываться волны с очень малыми масштабами. Очевидно, такие ситуации являются интересными с физической точки зрения и критическими для численных методов решения задачи.

Значения постоянных Мп в (0.26) зависят от стратификаїщи среды. Формулы в (0.26) соответствуют изотермической атмосфере, в то же время реальная атмосфера неизотермическая. Таким образом, одно из направлений аналитических исследований состоит в создании ряда новых интересных аналитических моделей, более точно учитывающих реальные условия распространения волн в атмосфере.

Основные цели аналитического исследования внутренних гравитационных волн проще всего сформулировать перечисляя недостатки аналитических моделей распространения нелинейных внутренних волн. Так, например, система уравнений (0.13) выведена в предположении, что стратификация среды по плотности экспоненциальная, и что волны распространяются в волноводе. В действительности плотность атмосферного газа изменяется с высотой по более сложному, неэкспоненциальному закону, и вопрос о существовании волновода в атмосфере и о том, что можно называть волноводом в случае бесконечной атмосферы является предметом дискуссий по настоящее время. Стратификация атмосферы зависит от времени года, времени суток, гелиогеофизических условий. Одной из целей исследования является изучение зависимости свойства нелинейных внутренних волн от стратификации. В частности, представляется интересным обобщить модель (0.13) на случай реальной стратификации атмосферы и исследовать распространение внутренних гравитационных волн в среде с реальной стратификацией.

Влияние стратификации на распространение волн малой амплитуды ранее изучалось многими авторами с помощью численного моделирования, с помощью пространственно—лучевого метода, с помощью ВКБ— метода. Тем не менее, развитый математический аппарат теории распространения внутренних волн малой амплитуды в газе не был построен. При выводе нелинейных модельных уравнений типа (0.13) используются математические конструкции линейной теории, недостаточное развитие которых сдерживает, в том числе, развитие нелинейной теории атмосферных внутренних гравитационных волн. Таким образом, в представленной работе задачи аналитических исследований заключаются в следующем развить математический аппарат теории волн малой амплитуды: ввести такие важные атрибуты, как функциональное пространство, в котором существует решение, подходящее скалярное произведение, и т.д. изучить зависимость спектра оператора внутренних волн от стратификации; в частности, выяснить, существует ли дискретный спектр у матричного эволюционного оператора внутренних волн и для каких стратификации он существует построить общее решение задачи о распространении волн малой амплитуды, применимое для произвольной стратификации, и изучить его вывести новые нелинейные уравнения, более точно учитывающие реальные условия распространения волн в атмосфере, чем уравнения (0.13); изучить эти новые нелинейные модели

В процессе исследований диссертантом доказана теорема о том, что при любой приемлемой для атмосферы Земли модели стратификации волноводиые моды длинных внутренних волн отсутствуют [230], [71]. Для внутренних волн характерен квазиволноводный режим распространения. Во многих случаях квазиволноводные моды внутренних волн способны играть роль волноводных мод. Поэтому задачи аналитического исследования были скорректированы в следующем направлении: изучить квазиволноводные моды внутренних волн развить теорию квазиволноводного распространения внутренних гравитационных волн малой и конечной амплитуды.

Актуальность проблемы

Приведенный аналитический пример показывает, что квазигидростатическая модель, использующая диссипативную регуляризацию уравнений, в ряде случаев может приводить к качественно неверным, ошибочным решениям. Актуальность исследования следует, прежде всего, из того, что квазигидростатическая модель, регуляризовапная с помощью исчезающе малой искусственной или численной диссипации, используется сейчас при решении большинства задач динамики атмосферы и океана. Что касается негидростатических моделей, то проблема накопления погрешностей от АВ ранее не была решена. Выполнение сформулированной программы исследований привело к решению этой проблемы, что в ряде случаев должно привести к качественному улучшению прогностических расчетов.

Сформулированная сложная проблема порождает ряд более простых. Даже в линейном приближении предельный переход /? — О для уравнений (8.34) или (??) не изучался, и его нельзя изучить пока не сформулированы теоремы существования для задач с (3 ф О и /3 —» 0. Предельный переход /? —» 0 может существовать только на некотором классе начальных условий, который необходимо выделить и изучить. Таким образом, реализация сформулированной программы требует не только построения новых численных методов, но и, прежде всего, более глубокого математического изучения уравнений модели.

Предыдущее изложение обосновывает необходимость математического изучения уравнений модели и развития специальных высокоточных методов решения уравнений. Обсудим физические проблемы. В неквазистатической модели исходное волновое возмущение может распадаться на волны очень мелких масштабов вследствие солитонных эффектов [4], [5], [150]. Квазигидростатическая модель, регуляризованная диссипативным членом, принципиально не описывает разрушение ВГВ вследствие солитонных эффектов. ВГВ мелких масштабов постоянно присутствуют в атмосфере, океане. Существует проблема происхождения этих волн. Поэтому солитонный распад ВГВ интересен как один из возможных механизмов образования мелкомасштабных волн в атмосфере, океане. Неоднородности, создаваемые волнами мелких масштабов, часто представляются как случайные, и их удобно рассматривать как турбулентность. При расчете глобальной циркуляции атмосферы необходимо учитывать турбулентность, создаваемую разрушаюищмися ВГВ. Поэтому важной и актуальной научной задачей является изучение процессов распространения и разрушения внутренних волн, взаимодействия волн суіцественно различных масштабов.

Научная новизна результатов работы

Научная новизна работы заключается в разработке методов численного и аналитического описания распространения и разрушения внутренних гравитационных волн в средней и верхней атмосфере, в изучении процессов распада волн в зависимости от амплитуды воли и от стратификации. В диссертации получен ряд новых результатов, из которых важнейшими являются следующие: для широкого класса математических моделей акустико-гравитационных волн в атмосфере доказаны теоремы существования; исследован предельный переход (3 — 0; изучена гладкость решения, в зависимости от параметра /?; построен ряд математически обоснованных нелинейных численных моделей, описывающих динамику атмосферного газа в интервале высот 0 — 500 км; аналитически и численно показано, что гладкое решение нелинейных уравнений квазистатической модели, вообще говоря, не существует при достаточно больших t; изучена зависимость обобщенного решения нелинейной квазистатической задачи от регуляризации; показано, что обычно используемая диссипативная регуляризация уравнений квазистатической модели дает обобщенное решение, которое невозможно получить с помощью предельного перехода /3 —» 0 из полной модели;

исследовано вертикальное распространение нелинейных внутренних волн в атмосфере и их разрушение; исследована зависимость эффекта от амплитуды; выявлены и изучены различные сценарии распада волн, в зависимости от амплитуды; впервые численно смоделирован и исследован распад внутренних волн, распространяющихся в стратифицированном полем тяжести газе (в атмосфере) на со-литоны; оценено время распада и параметры образующихся мелкомасштабных уединенных волн; для уравнений, описывающих распространение длинных внутренних волн малой амплитуды в атмосфере, исследована зависимость спектра эволюционного оператора от стратификации. Рассмотрен широкий класс стратификации, приемлемых физически, и показано, что для них не может быть более одной точки дискретного спектра. Для этой точки спектра получена оценка через параметры среды. Исследованы собственные функции. Построено общее решение задачи о распространении длинных внутренних волн малой амплитуды, применимое для широкого класса стратификации, и вычислена асимптотика t — оо; показано, что для длинных внутренних волн характерно квазиволноводное распространение. Вычислены квазиволноводные моды внутренних волн для стандартной модели атмосферы и для двухслойной модели. Построена теория квази-волноводного распространения волн малой и конечной амплитуды; показано, что механизм разрушения внутренних волн в эффекте перемешивания аналогичен распаду на солитоны в уравнении КдВ, в случае, когда нелинейность значительно превосходит дисперсию; выполнено численное моделирование эффекта на основе системы уравнений КдВ и показано удовлетворительное согласие с экспериментом.

Научная и практическая ценность

Научная и практическая ценность работы заключается в том, что построенные математические обоснованные численные модели распространения атмосферных волн пригодны для количественного описания динамических процессов в атмосфере, для решения задач о распространении волн в атмосфере от естественных и искусственных источников.

Результаты численных экспериментов по распространению и разрушению нелинейных ВГВ в атмосфере необходимы для интерпретации наблюдаемых данных.

Влияние мелкомасштабных флуктуации на осреднениые, крупномасштабные параметры атмосферы обычно учитывается в геофизических моделях с помощью дополнительных диссипативных членов в гидродинамических уравнениях (члены турбулентного переноса). Наличие нелинейных процессов преобразования крупномасштабных возмущений в мелкомасштабные препятствует уточнению описания динамики параметров атмосферы (океана) с помощью уравнений для осредненных величин, поскольку модель должна быть самосогласованной. Это известная «проблема подсеточных волн». В диссертационной работе построена численная модель, описывающая распространение волн с существенно различающимися масштабами, с учетом их взаимного влияния и взаимной генерации. Она пригодна для изучения процессов разрушения внутренних волн и изучения связи параметров образующихся мелкомасштабных возмущений с параметрами распадающихся волн.

Разработанные методы решения задачи о распространении волн в атмосфере внедрены и используются в Институте динамики геосфер РАН для расчета генерации и распространения волн в атмосфере от источников разнообразной природы и на кафедре физики атмосферы СПбГУ для изучения влияния процессов распространения и разрушения ВГВ на циркуляцию и тепловой режим атмосферы.

Изложенные исследования представляют цикл взаимосвязанных работ по решению важной проблемы создания численных и аналитических методов решения задач о распространении и разрушении нелинейных внутренних гравитационных волн в атмосфере. Построенная теория распространения волновых возмущений в стратифицированном полем тяжести газе, развитые методы решения уравнений динамики стратифицированного газа, позволили поставить и решить негидростатическую задачу о распространении волновых возмущений в атмосфере, изучить процессы разрушения внутренних гравитационных волн.

При выполнении настоящей диссертационной работы получены следующие основные новые научные результаты, сформулированные в виде теоретических положений, выносимых на защиту: доказано, что регуляризация квазигидростатической модели с помощью диссипа-тивного члена приводит к обобщенным решениям, которые невозможно получить с помощью предельного перехода из полной, негидростатической модели; причем нсгидростатическая модель выявляет распад ВГВ на мелкомасштабные ВГВ вследствие солитонных эффектов; построен численный метод, обладающий свойством равномерной по параметру Р = Iі сходимости на классе решений, соответствующих ВГВ, и свободный от накопления погрешностей вызванных АВ; разработана численная нсгидростатическая модель вертикального распространения и разрушения ВГВ в реально стратифицированной атмосфере; выявлен новый механизм разрушения ВГВ и образования конвективных пятен вследствие доминирования эффектов нелинейности над эффектами дисперсии; построены математические методы, позволяющие разделить в начальном условии вклады ВГВ и АВ с помощью решения выведенных дифференциальных уравнений для вата малой амплитуды, а также построены асимптотические при t — со формулы для волновых полей, применимые к атмосфере с любой устойчивой стратификацией.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, определяется тем, что проведенный анализ основан на фундаментальных уравнениях гидродинамики и термодинамики. Достоверность утверждений, сформулированных в виде теорем, подтверждается приведенными доказательствами. В тех случаях, когда доказательства не предъявлены, достоверность подтверждается сравнением результатов проведенных параллельных аналитических и численных исследований. Полученные результаты сопоставлены также с результатами других авторов, с результатами натурных и лабораторных исследований волн.

Диссертация состоит из введения, 10 глав, заключения и списка литературы. Содержит 180 страниц текста, 39 страниц 11 приложений, 42 страниц рисунков, содержащих 73 графика. Библиография из 299 названий.

Проекционные операторы для акустических и внутренних гравитационных волн в безграничной изотермической атмосфере

Очень удобную интерпретацию АВ и ВГВ можно дать в к -представлении. Рассмотрим пространство 4-столбцов, которое обозначим S. 4-столбцы П , П , П, П образуют базис в пространстве S. Любая акустико-гравитационная волна представима в виде (1.12) Х(кх, кг, t) = Хл(кх, кг, t) + XG(kx, кг, t), где Хл(кх, кг, t), Xdkx, кг, ), в свою очередь, представимы в виде сумм (см. формулу (1.7)) Хл(кх,кг,1) = А+(кх,кг,1)П+(кх,кг) + А-(кх,кг,1)11д(кх,кг), XG(kx,kz,t) = В+(кх,кг,1)Пс{кх,кг) + В-(кх,кг,1)Пс(кх,кг). Здесь A+(kx,kz,t), A [kx,kz,t), B+(kx,kz,t), B (kx,kz,t) — некоторые скалярные функции. Введем скалярное произведение столбцов из S формулой (Xi,X2/ = дНф\ф2 + и\и2 + w\w2 + дНф\ф2. Тогда векторы UA(kx,kz), UA(kx,kz), UG(kxtkz), UG(kx,kz) будут взаимно ортогональны: (П+А(кх,кг),П-А(кх,кг)) = (nG{kx,kz),Tlc(kx,kz)) = (Tl (kx,kz),UG(kx,kz)) = 0 Векторы UA(kx,kz), UA(kxtkz) образуют "гиперплоскость акустических BCCIH"SU. Векторы nG(kItkz), UG(kx,kz) образуют "гиперплоскость гравитационных волн"5с. Гиперплоскость SA ортогональна "гиперплоскости гравитационных BOJUV SG- Представление акустико-гравитационной волны в виде суммы акустической и гравитационной волн соответствует разложению вектора X{kx,kz,t) є S на два взаимно ортогональных вектора XA(kx,kz,t) Є SA и Xc{kx,kz,t) є SG. Схематически разбиение X(kx,kz,t) на соответствуюнгую сумму изображено на Рис. 1.1.

Условия XA(kx,kz,t) Є 5л и Xc{kx,kz,t) Є SG можно записать в виде простой системы алгебраических уравнений, связывающих компоненты векторов (1.13) Г a4{kx,kz)rpA(kx,kz,t) = ai(kx,kz)4 A(kx,kt,t) \ a3{kx,kz)uA(kx,kz,t) = a2{kx,kz)wA(kxtkz,t) Г h(kx,kz)rpG(kx,kz,t) = bi(kx,kz)4 G(kx,kz,t) (1.14) b3(kx,kz)ua{kx,kz,t) = b2{kxtkz)wG{kx,kz,t) Таким образом, каждое из подпространств, SA и SG, описывается парой уравнений. Если дополнить уравнения (1.13), (1.14) соотношением (1.12), то получим замкнутую систему уравнений, позволяюигую выделять вклад АВ и ВГВ в начальном условии и в решении, нов fc-представлении. При переходе в координатное представление уравнения (1.13), (1.14) преобразуются в псевдодифференциальные, связывающие динамические переменные у АВ и ВГВ: (1 15) { [ АФА[Х, z, t) = ІіАфА{х, z, t) Г UG$CAXI Z, 0 = ІісФс(х, z, t) I i3AuA(x,z,t) = i2AwA{x,z,t) \ i3GuG{x,z,t) = i2GwG(x,z,t). (Уравнения (1.15) являются псевдодифференциальными потому, что в аи bi входят интегралы, подынтегральные выражения которых содержат функции и А(кх, kz), uG(kx,kz).) Эти соотношения удобно положить в основу определения АВ и ВГВ. Операторы / громоздкие, поэтому не выписаны в явном виде. Во многих частных случаях соотношения (1.15) удается упростить. ЗАМЕЧАНИЕ 1.5.1. Мы рассматривали волны в безграничной атмосфере. В случае полубезграничной атмосферы (или в случае распространения волн в волновом канале) существует еще один вид колебаний - волны Лемба. Для волн Лемба вертикальная скорость w = 0.

Эти волны распространяются со скоростью звука, однако неправильно было бы относить их к акустическим волнам. Далее мы увидим, что эти волны удобно понимать как специальный случай внутренних гравитационных волн или как эффект, сопутствующий этим волнам, распространяющимся в сжимаемой среде. В случае изотермической атмоферы основная энергия волн Лемба сосредоточена у граничной поверхности и существование этих волн связано с наличием граничной поверхности. Однако природа волн Лемба сложна. Для неизотермической атмосферы можно построить решения типа волн Лемба и в безграничном случае. Например, в модели с двухслойной стратификацией, в каждом из слоев которой атмосфера изотермична, существует волна, близкая по своим свойствам к волне Лемба. Роль граничной поверхности в этом случае выполняет более плотный газ в нижнем слое. 1.6. Предельный переход к однородному газу Рассмотрим предельный переход к однородному газу; этот предельный переход позволяет глубже понять природу гравитационных волн. Рассмотрим сначала случай g = 0, среда однородная. Для упрощения пусть задача двумерная (трехмерный случай аналогичен). Поляризационные соотношения (3.4) для акустических волн в однородной среде имеют вид: 0 \ lA = COUSL j ±шА П = const I = 1 I где UA — частота акустической волны. Внутренние гравитационные волны при g = 0 отсутствуют. Уравнения гидродинамики для однородной среды имеют стационарные решения (частота и = 0) с поляризационными соотношениями вида ( \ —к I (1.16) Пі = const , г I , П2 = const \ / Стационарные решения (1.16) независимы. Первое соответствует стационарному вихревому движению газа в вертикальной плоскости. Второе — возмущению энтропии (или плотности и температуры), причем такому, что давление постоянно и равно фоновому. Первое соответствует кинетической форме энергии, а второе — потенциальной. Теперь пусть на газ действует слабое поле тяжести. Это приводит к небольшому изменению w„ и Пд. Вихревое движение в вертикальной плоскости переносит массу в поле тяжести и совершает работу. Поэтому вихревое движение в вертикальной плоскости уже не может быть стационарным. Стационарного возмущения равновесного вертикального профиля плотности тоже быть не может, потому что возникают силы плавучести. Возмущения, которые были стационарными в отсутствие поля, при наличии слабого поля медленно эволюционируют, изменяются со временем. Решения (1.16) являются базой для образования внутренних волн.

При наличии даже слабого поля возникают колебания между выписанными режимами, которые и являются внутренними гравитационными волнами. Колебательный процесс не может быть очень простым, потому что волны должны обладать определенной симметрией. Например, должны существовать правая и левая волны. В то же время соотношения (1.16) не обладают нужной симметрией. В случае слабого поля можно воспользоваться тем, что соотношения Пі, П2 соответствуют нулевой частоте и перестроить поляризационные соотношения таким образом, чтобы они обладали требуемой симметрией. Поляризационные соотношения для волн можно построить из линейной комбинации поляризационных соотношений П П2. А именно, линейные комбинации тоже дают поляризационные соотношения, эквивалентные (1.16), но обладающие требуемой для волнового движения симметрией. При слабом внешнем поле частота волн не равна нулю, но очень мала. Поляризационные соотношения п соответствуют коротким внутренним гравитационным волнам или слабому гравитационному полю. Мы видим, что у коротких гравитационных волн волновая добавка к фоновому давлению практически равна нулю. Поэтому короткие гравитационные волны не регистрируются барографами. Для наблюдения этих волн подходят оптические методы. С увеличением масштаба волн или гравитационной постоянной д поляризационные соотношения П изменяются, но их структура остается похожей. У внутренних гравитационных волн большого масштаба возмущение давления уже отлично от нуля, но остается медленно изменяющейся функцией координат. Структура разрывов гравитационных волн наследуется от выше описанных стационарных решений, порождающих эти волны. Таким образом, стационарные вихревые решения уравнений газовой динамики для однородной среды, ротор скорости для которых строго горизонтален, а также стационарные невихревыс решения, соответствующие такому неоднородному распределению температуры и плотности в пространстве, что давление постоянно, можно рассматривать как предельный случай внутренних гравитационных волн, частота которых бесконечно мала. Класс таких решений очень широк. Он включает не только гладкие решения, но и решения с разрывами; например, вихревые нити. 1.7. Краткое изложение результатов Решение линеаризованных уравнений гидродинамики для экспоненциально стратифицированного по плотности полем тяжести газа можно рассматривать как параметризованный временем t элемент введенного гильбертова пространства h. Акустическим и гравитационным волнам можно сопоставить подпространства пространства НА С Л, Лс С h. То есть, "акустическая волна"и "внутренняя гравитационная волна"соответствуют кривым, лежащим в Ил, IIG соответственно. Выведены псевдодифференциальные уравнения для акустических и внутренних гравитационных волн, описывающие распространение этих волн по отдельности. Построены операторы проектирования, которые по начальным условиям для полной задачи позваїяіот построить начальные условия для акустической и гравитационной подзадач. Глава 2 Волны малой амплитуды в неизотермической атмосфере 2.1. Предварительный анализ Для изотермической атмосферы метод Фурье даст общее решение задачи Копій в аналитической форме.

Расщепление пространственной задачи на подзадачи для акустической, гравитационной волн и стационарного вихревого движения

Система линейных уравнений газодинамики с учетом поля тяжести в пространственном случае имеет вид: (2.44) дроф , драи dpav dp0w dt dx ду dz dpov др0дН(ф + ф) н— І— 1— — = и, + = 0, дрои др0дН(ф + ф) _ dx dt dt dy dpaw t 0р0дН(ф + ф) dt + dz 0pau t 0PQV t дpoWy dx дроФ dt + РооФ = 0, Здесь v — компонента массовой скорости вдоль горизонтальной оси у. Обозначения остальных величин сохранены. Система (2.44), в отличие от (2.1), имеет пятый, а не четвертый суммарный порядок производных по времени. Повышение порядка системы приводит к существованию у нее решений другого, по сравнению с решениями системы (2.1), типа [99], [98]. Эти новые решения стационарные. Будем помечать эти решения символом "F". » Обозначим X = и v w \Ф ) Введем скалярное произведение столбцов Х\, Х2 формулой сю оо со (2.45) (ХиХ2) = [ [ J Pa «i«2 + v\v2 + w\w2- + 0 -оо —оо +il ( + фіу ( + фі) + ІІ (фі _ (7 _ і) ) (ф2 _ (7 _ і)ф2) 7 Iа dxdydz и будем искать решение уравнений (2.44) как параметризованный временем t элемент Гильбертова пространства Л, порожденного скалярным произведением (2.45). Дополним систему (2.44) начальными условиями и граничным условием па поверхности Земли: dX0{x,y,z) dX0(x,y,z) X0{x,y,z) Є h, — -eh, — -eh, dx dz d2X0(x,y,z) dx2 Х(х, y,z,t = 0) = Х0{х, у, z), X0(x,y,z) : w(x,y,z = 0,t) = О eh, 2d2XQ(x,y,z) dx2 \\XQ(x,y,z)\\ = /32 l , ф При Р 1 систему (2.44) можно расщепить на три следующие незацспляющиеся между собой системы уравнений (они приводятся здесь вместе с граничными условиями): дроис OPQVG dpowc ду = 0, дх дйс , dPG dz OVG дх т (2.46) г + 7 7# + agpowa = 0, дїїс ду = 0, дРс dz + родФс = о. PG = родН(Фс + Фс), дройс , dpovc , дрй ду dpovc дх dpoUG Ъ1 г {-дТ-+—+-дг)+ apQWG ( ь + + dp0wG дх ду dz wG{x,y,z = 0,t) = 0 + (2.47) dfA _ -Q7- + PQU A = 0, к h {fA+ ) + 7 , інді, = 0, dt a dz + ?/, f)f_ IT -— - РОФА = 0, /л = — Po \ФА(-1 - !) л] д_ dz др0иА dp0wA t dpoWA дх dpQwA = 0, dz дх )]+Tz ( ТГ ) - д tfH fdpavA dp0wA\. д fa + 1 _ \ = 0, Ж[— \Tdz ду-)] + Tz { P0VA) ду [роил + lH [pQUA)z] г=0 = 0, [pQvA + 7Я (p0vA)z] І г=0 = 0, J A(x,z = 0,1) = 0. (2.48) д_ ґдй _ dvF\ _ 0 dt \ ду дх J Wp = О, dPF dUF dvF _ _ дх ду д2 — д2 — dz + РОЯФР = 0.

Первая система описывает эволюцию внутренних гравитационных воли, вторая эволюцию акустических волн, а третья — стационарное вихревое движение в горизонтальной плоскости. Системы уравнений (2.46), (2.47), (2.48) дополним требованиями конечности энергий вали каждого типа. Начальные условия для (2.46), (2.47), (2.48) определяются из решения следующей краевой задачи (2.49) Х(х, у, г, і = 0) = Хл{х, y,z,t = 0) + XG(x, y,z,t = 0)+ XF(x, y,z,t = 0), ol Г \ГоГ + — + оГ) + ap0WG, + fdpgUG dpovg dpQwG\ _ _ \ Ox Oy Oz J д_ Г7Я fOpgUA _ 0PQWA\\ 0_ ґа + 1 _ \ _ дррШд Oz 1 a \ Oz Ox ) J dz \ a J Ox О \-)H f0povA Op0wA\] , О fa + l _ \ OpQWA Oy OVG Que Ox Oy Tz IT { Z—oy-) \+ o z \—poVA) - oy- = 0, OZ dPG OZ - РОФА = 0. = 0, = 0, дйр OvF —— Л — = О, Ox Oy Ox2 Oy 1 wF = 0, 0PF Oz + PO9$F = 0. wG{x,y,z = 0,t) = 0, [роиA + -уН (ро"Д]г=0 = 0, Ор0дН{фл + Фл) + РоОФл Oz [PQVA + lH (POVA)Z}\Z=0 = 0, z=0 = 0. В (2.49) подразумевается, что все неизвестные функции соответствуют моменту времени t = 0. Первая строка в (2.49) означает полноту выбранного способа описания атмосферных волн (других волн нет). Затем в (2.49) выписаны стационарные соотношения для ВГВ, АВ и для фонового возмущения. Последняя группа соотношений содержит граничные условия на поверхности Земли. Заметим, что соотношения (2.49) таковы, что (2.50) ХА±Хс, XG±XF, XA±XF. Из (2.50) следует полезная формула аддитивности энергии Е = ЕА + EG + EF, где ЕА, EG, Ер — энергии каждого вида возмущений. Сумма решений систем уравнений (2.47), (2.46), (2.48) аппроксимирует X(x,y,z,t) с точностью 0(02): ё- Х(х, у, z, t) = ХА{х, У, 2, t) + Хс(х, у, z, t) + XF(x, у, z, t) + O(02)t t t0 00, если начальные данные для этих систем находятся из (2.50). Вместо (2.46), (2.48) можно использовать единую систему уравнений суммарного третьего порядка по времени, описывающую эволюцию (Хс{х, у, z, t) + Хр(х, у, z, t)) — обычное приближение квазистатики. Начальные условия для квазистатического приближения вычисляются по (2.50). ЗАМЕЧАНИЕ 2.10.1. Над плоской Землей прих,у — оо имеем PF = 0. В силу принципа максимума для уравнения Лапласа тогда в любой точке PF = 0 и соотношения сильно упрощаются: г = 0, грр = 0. Если бы мы учли кривизну и замкнутость поверхности Земли, то ситуация была бы иная: функция PF могла бы сложным образом зависеть от координат. Если бы мы еще учли вращение Земли в уравнениях, то вихревое движение в горизонтальной плоскости уже не было бы стационарным, и вместо него мы имели бы волны Россби. У волн Россби поле давления связано с полем скоростей стационарным соотношением. Для волн Россби можно вывести эволюционное уравнение — уравнение Чарни [115]. Обычно говоря о волнах Россби имеют в виду волны с масштабом порядка радиуса планеты. Однако масштабы волн Россби могут быть сколь угодно малы. Частоты мелкомасштабных волн Россби тоже малы. Пусть е — отношение горизонтального размера волны к радиусу Земли. Решение, помеченное символом "F", представляет собою то, во что переходят волны, Россби в пределе є — 0. Мелкомасштабные волны Россби не регистрируются ни барографами, ни с помощью измерения температуры или плотности; только измерение поля скоростей позволяет их обнаруживать. 2.11. Исследование условий применимости приближения квазистатики в задачах о генерации волн При моделировании нестационарных атмосферных процессов широко используется квазистатическое приближение. На примере задачи о возбуждении двумерных акустико-гравитационных волн внешними источниками рассмотрим вопрос о применимости приближения квазистатики в неоднородных зада чах.

Для упрощения будем считать, что начальные условия нулевые: ф(х, z, t = 0) = ф(х, z, t = 0) = w(x, z, t = 0) = u(x, z,t = 0), и атмосфера безграничная. Основная система уравнений имеет следующий вид: дроф Эрой драю dt dx dz dpgu dp0gH (XJJ + ф) dt dx dp0gH (t/ + ф) (2.51) dt + (7-1)( + Po9i = dz дроф dt dpou dpow\ a + ) + HPOW dz dx PoGi(x,z,t), p0G2{x,z,t), p0G3(x,z,t), p0G4{x,z,t), где Gj, (?2, J3, G\ — внешние источники. В квазистатическом "приближении" член /1 опускается; упрощенную систему ура- внений удобно записать следующим образом: dpQu Opow dx dz dP (2.52) -fi + цдН + agpQw = р0дН [Gi(x, z, t) + G4(x, z, t)], Ой dP -Q - + РйЯ Фа = A)G3(x, z, t), d_ dz dpoug dpawa dz dx dz Ox „OPQUG , „dpoiva , _ -)H— h 7Я— 1- apowc r\ 1 — [p0H (d (x, z, t) + G4(x, z, t))] + poGi (x, z, t) + p0G3{x, z, t)-, Здесь черточками помечены искомые функции в (2.52), чтобы отличать решение точной системы уравнений (2.51) от решения упрощенной системы уравнений (2.52). Для разности (X — Х) точного и приближенного решений справедливо неравенство: w I dl\ t. \Х - Х\\ 0(1) 1Ро{тш) Входяищй в правую часть интеграл оценим сверху, исходя из уравнения для j w: О2 dzdt dpQWG dz + apoWG + d2pQwG dzdt (7#p0G2) + P0G2 dx dz (7ЯР) + Р]+ d2 dzdt d ( V \pQH(Gx(x,z,t) + G4(x,2,0)] + -Qt [Po (G,(x,2,0 + G3{x,z,t)) -J Из (2.52), (2.16) следует неравенство + f /gt max (Я) /7Яро( С2) Ді) + (/ (L(G1 + G4)) Л) + (// ( №-(7-1)0.)) .«) при Сз = 0. Поэтому условия применимости квазистатического приближения символически можно представить в следующем виде: (2.53) Gi{x,z,t) = y/KGio(Pix,z,eit)t G2{x,z,t) = y/P2G2o{02X,Z,e2t), Gz(x,z,t) = 0, GA(x,z,t) = yfWiGui{0\x,z,\t)t где y/pQG\o{0\x,z,e\t), /PoG2o{P2X,z,e2t), y/p GAQ{0iX,z,eAt) —достаточно гладкие и достаточно быстро убывающие при (х2 + г2) — со функции. Параметры / = - - : 1, ЄІ = j С 1 введены в (2.53), чтобы подчеркнуть медленную зависимость от х и t. Через lix обозначены характерные горизонтальные масштабы, а іерез w — характерные частоты источников; и и — частота Вяйсяля-Врендта. Для \\Х — X справедлива практическая оценка: \\Х-Х\\ \\X\\{O{0l)uluBt2 + O( el)ult + O{Pl)uiuDt2 + O{ei)uit +0 (02) u2t + О {01) uiuBt2) Ограничения па параметры источников, связанные с использованием квазистатического приближения, можно ослабить, если расщепить исходную задачу на подзадачи о генерации и распространении внутренних гравитационных и акустических волн, и задачу о генерации и распространении акустических волн не рассматривать. 2.12.

Сравнение полученных условий сшивания с соотношениями Ренкина- Гюгонио

Проведенное исследование кусочно-гладких решений выполнено для линейных уравнений. Оно интересно не талько с точки зрения изучения АВ и ВГВ, но и в связи с некоторыми проблемами газодинамики. В нелинейной газодинамике гладкое решение во многих случаях существует лишь конечное время. (Такие решения, существующие лишь конечное время и, может быть, лишь в конечной области пространства, называются локальными.) Решение для всех t (глобальное решение) можно пытаться построить на классе кусочно-гладких или кусочно-аналитических функций. Например, P.P. Рихтмайер высказывает предположение, что глобальное решение нелинейной задачи надо искать на классе кусочно-аналитических функций [149]. Идея основана на том, что, при аналитических начальных условиях, в некоторой окрестности, согласно теореме Ковалевской, существует локальное аналитическое решение. Если взять в качестве начального другой момент времени и задать на некоторой поверхности другие аналитические условия, то опять можно построить локальное аналитическое решение. Сращивая локальные аналитические решения, записанные для отдельных областей, можно надеяться построить глобальное кусочно-аналитическое решение. При этом, однако, возникает проблема сращивания частичных аналитических решений. Поверхности, разграничивающие области аналитичности, называются поверхностями разрывов [103], [101], [109], [149], [НО]. Требование кусочной аналитичности, связано с тем, что, если решение не аналитическое, то и поверхности разрыва не аналитичны; и на частных примерах можно увидеть, что решение задачи может не существовать [149]. (Однако не факт, что требование аналитичности обеспечит существование и единственность решения.) Существует несколько методов сращивания локальных аналитических решений. Один из распространенных методов сращивания основан на концепции слабого решения (145].

Кратко напомним суть метода. Уравнения гидродинамики записываются в виде законов сохранения. Мы рассматриваем газ в поле тяжести, задача несколько отличается от классической. Поэтому выпишем уравнения, которые называются законами сохранения, в явном виде: 0 0 -99 0 \ J \ Pz 4 + p U# + E + )w (3.8) F(F) = + + /, at р Рх Pz Vx Р Рг Ox OY , OF(Y) , 0G(Y) dz Y = _ _i_ PT2+P! дад = + pgz \ G{Y) = V (# + + «/ )?/ Здесь px =pu, pz = pw. Пусть Y(x, z, t) произвольная пробная столбец-функция с тем же числом компонент, что и У. Слабым решением называется такая столбец-функция У(х, z,t), возможно имеющая разрывы первого рода на гладкой поверхности v в трехмерном пространстве с координатами х, г, t, которая для любой пробной столбец-функции У(х, z, t) удовлетворяет интегральному соотношению (3.9) ///: & + % + % dxdzdt =-///: fYdxdzdt. Предполагается, что пробная функция гладкая. Таким образом, все необходимые производные существуют. Стандартным способом можно вывести из (3.9) соотношения, которые, сращивают локальные аналитические решения до и после разрыва. Эти соотношения, называемые обобщенными соотношениями Гюгонио-Ренкина, имеют следующий вид: (3.10) МУ1 + АХ[Г(У)]+А,[С(У)] = 0, где (A .Aj.At) - перпендикулярный к поверхности разрыва и единичный вектор. Здесь квадратные скобки [], как это принято, обозначают разность между предельными значениями функции на двух сторонах поверхности разрыва v. В (3.10) вклад от слагаемого в правой части (3.9) равен нулю, поэтому мы получили обычное соотношение Гюгонио-Ренкина, несмотря на то, что учли поле тяжести. Обозначим (АІ( Аг) = А. Соотношения (3.10) можно переписать в виде (3.11) М = А(й-гт) =A(U-U), М (Xv2 - AV,) = (Р, - Р2), М (X х V2 - А х Й) = 0, где v- локальная скорость движения поверхности разрыва [149]. Индексы 1 и 2 обозначают ватны до и после разрыва; V = (u,w). Хорошо известный анализ соотношений (3.11) приводит к выводу [103], [109], [149], что сильные разрывы бывают двух типов: соответствующие М — 0 и соответствующие М т 0. (Слабые разрывы здесь не рассматриваются; разрыв называется слабым, если все функции непрерывны, и первая производная терпит разрыв). Если М Ф 0, то сильный разрыв называется контактным или тангенциальным, при этом поверхность разрыва v называется поверхностью скольжения. Нормальная компонента скорости XV непрерывна на поверхности контактного разрыва, давление Р тоже непрерывно. Если же М 0, но сильный разрыв имеет место, то тангенциальная компонента скорости АхКна разрыве непрерывна. Такой разрыв называется ударной волной (или нормальным разрывом), а поверхность разрыва v называется фронтом ударной волны. Условия сращивания (3.11) получены в предположении, что "правильная"форма законов сохранения записана в (3.8). Однако известно, что уравнения гидродинамики можно записать в виде законов сохранения пседииственным образом. (Например, можно написать закон сохранения для энтропии.) Другие законы сохранения приводят к другим слабым решениям. В этом смысле решение уравнений недиссипативной газодинамики иеедин-ственпо [149]; это проблема гидродинамики идеальной жидкости. Если даже считать, что выбрана правильная система законов сохранения, то все равно соотношений Гюгонио-Ренкина недостаточно для единственности кусочно-гладкого (кусочно-аналитического) решения.

Одним из дополнительных критериев считается энтропийный принцип: энтропия должна возрастать. В [128] показано, что энтропийный принцип тоже не всегда позволяет выделить единственное решение. (Работа [128] посвящена исследованию гиперболических квазилинейных уравнений, а не исследованию системы уравнений газодинамики как таковой. В [128] рассмотрен случай (1 4-1) измерений и показано, что для больших систем уравнений (например, о) энтропийный принцип не позволяет выделить единственное решение.) Таким образом, для нелинейных уравнений газодинамики в настоящее время отсутствует четкая математическая постановка задачи, не говоря об ее обосновании. Насколько автору известно, проблему удалось решить только для случая двух измерений (время 4- пространственная координата или две пространственных координаты, но задача стационарная); теория изложена в [140]. Обзор современного состояния теории гидродинамических уравнений имеется в [61]. Изучая линейные уравнения для стратифицированного полем тяжести газа, мы получили некоторые условия сращивания. Законы сохранения не постулировали; условия сращивания получились как бы сами собой, автоматически, прямо из решений. Единственное накладываемое требование состояло в том, что негладкие решения являются пределами гладких. (Для линейных уравнений это эквивалентно требованию устойчивости по начальным данным.) Поскольку, с физической точки зрения, кусочно-гладкое решение почти не отличается от аппроксимирующего его гладкого решения, такой подход кажется естественным; и он обычен для линейных уравнений в частных производных. Однако он качественно отличается от принятого в газодинамике. Поэтому интересно сравнить полученные результаты с соотношениями Гюгонио-Ренккина, хотя бы из соображений всесторонней проверки теории. Насколько известно автору, такое сравнение не проводилось. Соотношения для ударных волн малой интенсивности выведены исходя из (3.11) в [103]; можно воспользоваться готовыми формулами. В [103] показано, что в пределе малых амплитуд скачок энтропии S является малой величиной третьего порядка по сравнению со скачком давления Р. Поэтому можно считать, что в пределе малых амплитуд соотношения для ударных волн переходят в следующие [103]: Si=S2, XxV2 = Xx 9i. Для контактного разрыва аналогичные соотношения (точные) имеют вид Рх = Р2, XV2 = XVi Сравним эти формулы с полученными в предыдущем параграфе. Энтропия S связана линейным образом с введенной нами величиной /. Таким образом, полученные соотношения согласуются с [103]. Более того, приходим к утверждению, которое сформулируем сразу для трехмерного случая. ТЕОРЕМА 3.2. Внутренние волны конечной амплитуды могут иметь только контактные разрывы. Акустические волны конечной амплитуды могут иметь разрывы только типа ударных волн. Стационарное вихревое двиокение конечной амплитуды может иметь разрывы только контактного типа. В настоящее время решения нелинейных уравнений газодинамики стратифицированной тяжелой жидкости не классифицированы; мы точно не знаем, что такое нелинейная внутренняя гравитационная волна или нелинейная акустическая волна, несмотря на то, что эти термины активно используются.

Квазиволноводные моды внутренних волн в модели с двухслойной стратификацией

Основные уравнения. Температура атмосферного газа очень быстро изменяется в окрестности 120 км; соответствующее быстрое изменение H(z) удобно моделировать с помощью скачка. Естественно предположить, что двухслойная модель, в которой в каждом из слоев плотность изменяется с высотой экспоненциально, может качественно объяснить некоторые особенности распространения волн в реальной атмосфере. Двухслойная модель интересна не только с точки зрения изучения атмосферных волн, но и в общетеоретическом плане, а также с точки зрения приложения к другим жидким средам. Обычно волны на поверхности раздела рассматриваются как отдельный вид волновых движений. Но их можно рассматривать и как частный случай внутренних гравитационных волн, когда плотность изменяется на некоторой высоте скачком. Волны на поверхности раздела представляют определенный практический интерес при изучении волн в естественных водоемах. Например, в Куршском заливе Калининградской области морская вода проникает в залив, и распространяется вдоль дна не смешиваясь с пресной водой, в результате чего образуется двухслойная среда. Двухслойная среда легко создается в экспериментальных установках; поэтому она часто используется при лабораторном изучении волновых колебаний в стратифицированной жидкости [57], [58], [59], [60].

Если плотность верхней жидкости значительно меньше плотности нижней, то волны на поверхности раздела переходят в поверхностные волны; если еще при этом 7 — со то двухслойная модель описывает волны на поверхности несжимаемой жидкости. Изучим квазистационарные волны в среде с кусочно-постоянной шкалой высот H(z). Пусть H(z) = Hi при г z0, H(Z) = #2 при z z0. Условие непрерывности фонового давления приводит к следующей зависимости плотности среды от z: Дифференциальные уравнения (4.1) дополним условием (4.2) на нижней граничной поверхности, кинематическим и динамическим условиями сшивания на поверхности раздела. Пусть (x,f) - функция, описывающая высоту поверхности раздела, причем (х,) и z0j т.е., колебания поверхности раздела малы. Тогда условие непрерывности давления Р(х, (х, t) -0,t) = Р(х, (х, t) + 0,t) в линейном приближении можно переписать в виде: ( - )1 -( - ) г0+0 Условие непрерывности вертикальной скорости w(x,(x,t) — 0,t) = w(x,(x,t) + 0, t) в линейном приближении приводит к w (х, zo — 0, t) = w (х, г0 + 0, t). В переменных системы уравнений (4.7) вертикальная структура волновой моды описывается при z ZQ уравнениями 19Н, чщр[-с+ _ 7-2 _ (5.10) (Роіі)г = -ТГГГГ (PDl« l) Ри . Л _Р1 + ІІ ](РОІШІ), 27Я, 7 ,с и при z ZQ аналогичными уравнениями с индексом 2 вместо 1. Условия сшивания для собственных мод выглядят следующим образом: (5.11) У/НІ (роіШі)\ _ = у/Щ(ро2Щ)\ 1 0+0 l o-0 (Vp l в д +7ї о+0 При z ZQ решение системы (5.10) строится из частных решений вида (13), (14) и дается формулами: р, = i/je » + v2e-ihiS, (5.12) 7#,c РоіЩ = [,,( ,_ 2 ) е .+ l (- -2z) е- (7-1)5 При г 20 общее решение имеет аналогичный вид, оно получается из (5.12) заменами 1/1 —» Л, 1 — В, ki -» /. Яі - Яг. После использования условия сшивания, вычислим S-1 : 5-1 = , где В = Iff? ft? + ( )1 ( + 5) (е"" - е- "») - -2 ( - ш) (- 1 - ж) (i№ +1) е""+ ЯК - )( + 5ж)(- Я1 + 5)е""""} {[я,/ЙЙ [(- » - 2=) (ад + і) .- - -(а 2-іж)(-ад+ОеН}" Формула для А получается из формулы для В заменой ik2 —» —ik2. Квазиволноводным модам соответствуют нули функции В. Квазиволноводная мода волны Лемба. Известно, что в экспоненциальной атмосфере существует волна, распространяющаяся у граничной поверхности со скоростью звука (108). Эта волна называется ватной Лемба.

Плотность энергии волны Лемба убывает с высотой по экспоненциальному закону. В двухслойной модели эту волну Лемба можно вычислить, полагая Я2 = Н\, то есть, переходя к однослойной модели. Тогда при iki = —777 функция 5-1 принимает значение, равное нулю. То есть, при Hi = Я2 функция S(ki) имеет полюс соответствующий ватне Лемба. Если Ні Я2, то этот полюс функции S(ki) смещается относительно прежнего положения, и S(ki) обращается в бесконечность при комплексном iki, немного отличающемся от --777. Малая комплексная поправка к — щ обусловленная (Яг — Ні) Ф 0, растет с увеличением разности (Я2 — Hi) и падает с увеличением высоты поверхности раздела 20. Ватна Лэмба в двухслойной модели с Яг Ні не является волноводной, а удовлетворяет условию излучения на бесконечности. Точное положение нуля функции S l(ki), соответствующее квазистационарной волне Лэмба, можно вычислить с помощью сходящейся итерационной процедуры: , = -1 -ехр(-2 2Ч -ад) {" (-" - щ) (« " +з) - ( - т) (- "+з)} {" О1 - з ) ( +з) - " ( - Ы) (" +з) Г где I - номер итерации. Для случая Hi = 8 км, Я2 = 60 км, г0 = 120 км вычисления дают следующее значение скорости распространения с і квазиволноводной ваши Лэмба: cL = (339.0937 + і 0.00644020)м/с Столь высокая точность представления результатов будет пояснена позже. Видно, что скорость распространения квазистационарной волны Лэмба практически совпадает со скоростью распространения звука в нижнем слое. Мнимая поправка к Re(ci), определяющая время жизни этой волны, чрезвычайно мала, но не равна нулю. Оценим время жизни квазистационарной волны Лэмба в двухатойной модели. Если период ватаы равен 20 мин, то время жизни равно двум месяцам. Если период равен одному часу, то время жизни - 7 месяцев. Видно, что с огромной точностью затуханием квазистационарной волны Лэмба за счет излучения энергии в верхний слой можно пренебречь. С физической точки зрения эта ватна практически не отличается от обычной ватаы Лэмба, которая существует при Н = const и ассоциируется с точкой дискретного спектра оператора L. Но при Hi Я2 квазиволноводная волна Лэмба является частично захваченной. Зависимости плотности энергии от высоты для квазиволноводной моды Лемба изображена на Рис. 5.1. Квазиволноводные моды внутренних гравитационных волн. Волна Лэмба не исчерпывает все частично захваченные ватаы в двухслойной модели. Пользуясь тем, что Я2 Hi, устремим к нулю. Из (5.11) тогда следует То есть, в этом пределе получается модель жидкости со свободной поверхностью. Теперь предположим, что f- « 1, но Ф 0. Если при этом спектральный параметр с подобран таким образом, что удовлетворяется (5.13), то при z z0 амплитуда волны будет приблизительно в (jfc) раз меньше, чем при z 20. Волна, удовлетворяющая (5.13), имеет в верхней части нечто вроде хвоста малой амплитуды, начинающегося при z = z0. Хвост можно представить в виде суперпозиции падающей и отраженной волн. Поскольку амплитуда хвоста мала, небольшим шевелением параметра с в комплексной плоскости падающую волну можно "убить".

В результате получится квазистационарная волна, удовлетворяющая условию излучения. "Спектральный параметр" с этой волны можно вычислить, используя сходящуюся итерационную процедуру: 1 2z0 {(" - ш) Н +О Н - ш)" Ня +з) -1 + Здесь / - номер итераіщи. Каждая ветвь логарифма (за исключением нулевой), In z = In z + i(arg(z) — 27гп)) порождает квазистациоиарную волну. Для первых пяти квазистационарных мод внутренних гравитационных волн при Hi = 8 км, Яг = 60 км, zQ = 120 км параметр с принимает следующие значения: С! = (287.003 + г- 0.142) м/с с2 = (236.87 + і -0.15) м/с с3 = (193.55 + 1- 0.10) м/с с4 = (160.42 +г-0.05) м/с с5 = (135.61+ г-0.03) м/с Оценим время жизни этих воли. Если за период волны принять 30 мин, то время жизни моды г = fcz/m(c)-1 будет приблизительно 5 суток. Если период волны равен одному часу, то время жизни приблизительно 9 суток. ЗАМЕЧАНИЕ 5.3.1. При небольших п времена жизни квазистационарных волн убывают с ростом п, и картина выглядит привычно, как в квантовой механике или электродинамике. Однако, начиная с четвертой моды, времена жизни квазистационарных волн растут с номером моды (1т(сп) — 0 при п — соД Более того, п —» со. Времена о/сизни всех высших мод больше, чем время о/сизни третьей, и для высоких мод время жизни т растет с увеличением порядкового номера п квазистационарного состояния. Это необычно. В теории а-распада, например, самое большое время окизпи у первого квазистационарного состояния [160], и высшие состояния обычно не учитываются. Здесь оке, наоборот, времена жизни высших квазистационарных мод существенно больше времен жизни первых квазистационарных мод. Непривычные свойства внутренних волн можно попытаться объяснить следующим образом. Для групповой скорости длинных гравитационных волн имеем: ЩЦ- — 0 при kz — со (то есть, при с — 0). Волны с большими kz распространяются почти горизонтально. Они падают на поверхность раздела под большим углом; то есть, вектор потока энергии почти параллелен поверхности раздела, и волна скользит вдоль поверхности раздела, почти не распространяясь вверх. Следовательно, непривычные свойства гравитационных вата связаны с тем, что в дисперсионном соотношении волновое число kz находится в знаменателе. В квантовой механике, акустике, электродинамике дисперсионное соотношение содержит компоненты волнового вектора к в числителе, и времена жизни соответствующих квазистационарных волн уменьшаются с увеличением номера моды п.