Содержание к диссертации
Введение
1. Кинетические уравнения при совместной конденсации и коагуляции 18
1.1 Общие сведения и основные кинетические уравнения 18
1.2 Приближение двухкомпонентной дисперсной системы 25
1.3 Аналитические решения кинетических уравнений 29
1.4 Анализ полученных результатов 34
1.5 Критические явления для ядра k* =2gs 41
2. Анализ процессов формирования частиц в смешанных облаках 46
3. Формулировка модели конденсации в монодисперсном приближении 55
4. Результаты расчетов по модели конденсации в монодисперсном приближении. метод х-т диаграмм.. 61
5. Переход к модели многогрупповой конденсации. результаты тестовых расчетов 74
5.1 Необходимость перехода к многогрупповому подходу 74
5.4 Модель фазового перехода при t=0 0с 80
5.6 Упрощенная модель фазового перехода 82
5.7 Численная модель расчета кинетики формирования частиц в многогрупповом приближении 84
5.8 Калибровка численной модели расчета кинетики формирования частиц на аналитических решениях 88
5.9 Результаты расчетов для реальных атмосферных условий 93
6 Численное моделирование кинетики формирования осадков в эксперименте «монтана» 105
6.1 Данные по эксперименту «монтана» 105
6.2 Исходные данные для автономных расчетов 108
6.3 Постановка и результаты расчетов 113
6.4 Расчеты с заданием льдообразующиях ядер 117
Заключение 127
Список использованных источников 131
- Приближение двухкомпонентной дисперсной системы
- Упрощенная модель фазового перехода
- Результаты расчетов для реальных атмосферных условий
- Исходные данные для автономных расчетов
Приближение двухкомпонентной дисперсной системы
Теоретический материал сочетается в этих монографиях с большим количеством экспериментальной информации, наглядными численными оценками и описанием процессов на «качественном» уровне. Помимо этого, в монографиях представлено описание численных методов и подходов, использованных при создании програм мных комплексов, предназначенных для расчета процессов формирования и переноса аэрозолей. Таким образом, эти издания сочетают в себе как практическое введение в проблему с «чистого листа», так и наглядное изложение наиболее важных расчетно-теоретических подходов и результатов. Фактически, данные монографии можно рассматривать как настольные книги для студентов и специалистов в области физики дисперсных систем и, в частности, атмосферных аэрозолей. Особое внимание в перечисленных работах уделено так называемым смешанным облакам - наиболее распространенной облачной системе средних широт.
В смешанных облаках в общем случае одновременно могут присутствовать все фазовые состояния воды: твердое (лед, град, снежинки), жидкое (капли) и газообразное (водный пар) [1, 7-9]. Капли воды в смешанных облаках могут находиться в метастабильном состоянии вплоть до -40С. В такой ситуации попадание ледяных частиц или пылинок (иммерсионных ядер) на поверхность или в объем капли резко стимулирует процесс ее замерзания – происходит так называемая гетерогенная нуклеация. Исследованию особенностей и закономерностей гетерогенной нуклеации посвящена впечатляюще обширная литература [10-29], предлагающая различные способы моделирования этого процесса.
Процессы спонтанного промерзания – так называемая гомогенная нуклеация льда - начинают играть существенную роль при охлаждении ниже –15…-20)С [11, 30]. Различные подходы к описанию процессов гомогенной нуклеации изложены в работах [31-38]. В работе [39] отмечено, что гомогенная нуклеация льда наблюдается в атмосферных смешанных облаках.
Времена промерзания водных капель при их столкновении с ледяными частицами составляют доли секунды [10], поэтому смешанные частицы, состоящие одновременно из воды и льда, можно не рассматривать из-за малых времен их существования. В таком физически оправданном приближении дисперсная система в смешанных облаках состоит из жидких капель и твердых ледяных частиц - фактически, смешанные облака можно рассматривать как двухкомпонентную дисперсную систему: взвесь водных капель и ледяных частиц в смеси среды-носителя – воздуха - с водным паром. Развитие и взаимодействие фаз происходит за счет кинетических процессов конденсации и коагуляции и фазовых превращений – кристаллизации капель при охлаждении либо таянии льда при повышении температуры. Появление иммерсионных ядер в каплях происходит в результате парных столкновений и коагуляции. Промерзание водных капель может происходить не только за счет коагуляции капель с ледяными частицами, но и спонтанным образом. Таким образом, для корректного описания реальных облачных физико-химических процессов с учетом фазовых превращений и потоков массы между фазами необходимо учитывать не только все фазовые состояния воды, но и одновременное действие всех упомянутых выше процессов. Ряд общих важных закономерностей поведения дисперсных систем при действии процессов нуклеации, конденсации и коагуляции выявлен в работах [40-41].
Базой как для теоретического, так и д ля численного моделирования процессов формирования облачных осадков являются кинетические уравнения, описывающие поведение спектров частиц в результате совместного действия процессов конденсации и коагуляции. Формулировке соответствующих уравнений, их аналитическому исследованию и численному моделированию посвящена обширная литература [7-9, 42-47]. Аналитические решения таких уравнений необходимы для понимания закономерностей процессов поведения спектров и интегральных по спектрам средних величин, а также для калибровки численных методик, применяющихся для решения уравнений кинетики формирования облачных частиц. Аналитические решения для кинетики коагуляции в однокомпонентных системах (с частицами одной фазы) обычно получают, используя технику преобразований Лапласа [8-9, 42, 48-50]. Задача о совместном действии процессов коагуляции и конденсации – особенно в многофазных системах - является более сложной, и ее решение более скупо отражено в литературе. Одним из примеров удачного решения этой задачи служат работы [51-52], в которых были получены автомодельные аналитические решения для коагуляции и совместного действия коагуляции и конденсации.
Важную роль в процессах формирования и выпадения осадков играет так называемый механизм Вегенера-Бержерона-Финдайзена [1], который обеспечивает поток массы – передачу пара - от водных капель к ледяным частицам за счет разности скоростей конденсации для этих фаз. Этот механизм носит также название «перегонки» («distillation» в терминах работы [1] или «redistribution of material» в терминах работы [53]). Он используется при искусственном засеве переохлажденных водных облаков льдообразующими реагентами для инициирования значительного роста ледяных частиц с целью вызывания осадков [1, 10, 13, 54]. Совместное действие этого механизма и процесса спонтанного промерзания капель обеспечивает появление крупных ледяных кристаллов в смешанных облаках: в результате спонтанного промерзания в облаке появляются ледяные частицы, общее число которых невелико по сравнению с общим числом водных капель, далее за счет процесса конденсационной «перегонки» происходит испарение водных капель и значительный рост ледяных частиц. При проведении засевов облаков с целью искусственного дождевания и прогнозировании результатов таких засевов исследователи опираются в основном на статистику таких экспериментов. Из этой же статистики известно, что далеко не всегда подобные эксперименты удачны: так, например, после ряда удачных опытов в засушливых районах США и Австралии наблюдалась обратная картина с повышением длительности засушливых периодов; подробный анализ и статистику этих экспериментов можно найти, например, в [54]. Вообще же, вопрос о активном воздействия на погоду весьма сложен и неоднозначен, он затрагивает не только экологический аспект, но даже такие, казалось бы, далекие от рассматриваемых физических процессов экономический, социологический и юридический аспекты [54].
Упрощенная модель фазового перехода
Мы получили на первый взгляд парадоксальный результат, что при Р = О средний размер водных капель стремится к некоторой постоянной величине, тогда как для коагуляционных процессов привычным является необратимое укрупнение частиц, то есть g(t — со) - со. Постараемся разобраться в этом, учитывая двухфазные состояния конденсата. В отсутствие конденсации или испарения увеличение размеров водных капель может происходить в основном только из-за столкновений водных капель с водными. Эти столкновения описываются следующим вкладом в коагуляционном операторе:
Последнее равенство в (1.39) использует явное выражение (1.30) для спектра. Прямым дифференцированием (1.30) легко убедиться, что 5,с(?,ґ) совпадает с производной спектра, обусловленной только изменением среднего размера:
Следовательно, изменение среднего размера капель обусловлено только столкновениями внутри водной фракции, а общее «проседание» спектра капель в (1.30), пропорциональное /-i(t), обусловлено столкновениями с ледяными кристаллами и постоянным вымораживанием капель. Ясно, что в процессе замерзания капель их счетная концентрация убывает и стремится к нулю, за счет этого вероятность парных столкновений капель между собой резко снижается и происходит «закалка» спектра. При этом средний размер капель стремится к некоторой постоянной величине. Такая наглядная интерпретация позволяет понять причины необычного ответа g(t — оо) —» const.
Средний размер водных капель стремится к постоянной величине и в этом случае, так как M(t—»со)—» Ms и конденсация или испарение практически прекращаются. Асимптотический ход процесса аналогичен случаю Р = 0.
Для сравнения с полученными результатами рассмотрим ситуацию, когда в начальный момент в облаке нет ледяной фракции. В отсутствие источников ледяных частиц в облаке и в дальнейшем будут присутствовать только водные капли (считаем, что температура больше - 40С). Полагая в (1.24) цп = Мп и vn = 7Vn, получаем:
Сравнивая с (1.37), видим, что в отсутствие ледяных кристаллов счетная и массовая концентрации капель убывают гораздо медленнее, а средний размер капель растет быстрее, чем в случае наличия двух фаз. Экспоненциальный «хвост» спектра реализуется в (1.40) гораздо медленнее, чем в (1.38), то есть спектр капель в однофазной системе более широкий. Отметим также, что при /3 = 0 отмеченная выше «закалка» спектра в однофазной системе не наблюдается и средний размер капель стремится к бесконечности, как это и должно быть по физическому смыслу процесса коагуляции однотипных частиц.
Для иллюстрации этих закономерностей возьмем частный случай, когда V(/No = juo /Mo = р. Параметр p 1 задает начальное относительное содержание капельной фракции в облаке. Когда р = 1 (нет ледяных частиц), то #(0—;- « 0 и стабилизация формы спектра не наблюдается. При р 1 происходит “вымерзание” водной (капельной) фракции, причем тем быстрее, чем меньше значение р. Особенности поведения решений со временем при различных значениях р (р=1, 0.75, 0.5, 0.25) наглядно представлены на рисунках 1.1-1.3. На рисунке 1.1 проиллюстрирован монотонный рост относительной средней массы водных капель glgn при р=1, то есть при отсутствии в облаке ледяных частиц, и стремление glgn к постоянной 0 величине (стабилизация формы спектра) при значениях р 1. Из физических соображений ясно, что стабилизация среднего размера начинается тем быстрее, чем меньше значение р, и это показано на примерах/?=0.25, р=0.5 и р=0.75. Рисунки 1.2 и 1.3 иллюстрируют “вымерзание” водной фракции со временем. На них изображено поведение относительной счетной концентрации водных капель v/N и относительной массовой концентрации [л/М.
При р 1 величины v/N и /л/М стремятся к нулю тем быстрее, чем меньше значение p, что наглядно видно из сравнения кривых, соответствующихр=0.25, р=0.5 ир=0.75 . Рисунок 1.1 - Поведение относительной средней массы капель g/g0 со временем для различных значений p (параметр p - относительное содержание капельной фракции в начале процесса коагуляции) Рисунок 1.2 - Поведение со временем относительной численной концентрации водных капель /N для различных значений p Рисунок 1.3 - Поведение со временем относительной массовой концентрации водных капель /M для различных значений p 1.4.2 Случай, когда ядро коагуляции К(g,s,t) = g+s
Мп Для того, чтобы выяснить поведение «хвоста» спектра c(g,t) при g—» оо воспользуемся асимптотикой функции Бесселя: //(Зс—» оо) ехр(х)/л[х. Тогда из (1.27) следует: MNyG ( „ r с(g,t)& i=Qxp-gP + gyJG) 2(Nn - N)gJg Поскольку F -\1G, спектр на «хвосте» всегда экспоненциально убывает. Если в облаке нет ледяной фракции, то надо во всех формулах положить F=(2No - N)/M, -JF2 -G = NІМ. При этом сохраняются все выводы о сравнительном поведении характерных величин (счетной и массовой концентраций, среднего размера, полидисперсности спектра) для однофазных и двухфазных систем, сделанные ранее для ядра К = 1.
Для ядра К в некоторый момент времени tc процесс коагуляции принимает лавинообразный характер, приводящий к отделению от спектра аномально крупной частицы (или группы частиц), не описываемой уравнением Смолуховского [58]. В ряде работ это явление получило название “gelation” [59-61, 73]. Поведение однокомпонентной системы в этом случае подробно описано, например, в [8, 59] (в [8] использован термин «критические явления»). Для двухкомпонентной системы в общем случае явление «gelation» исследовано в [61] - получено, что поведение системы аналогично однокомпонентному случаю. Нас будут интересовать критические явления в рассматриваемых двухкомпонентных дисперсных системах, которые представляют собой смесь жидких капель и ледяных частиц. Для их исследования рассмотрим только кинетику коагуляции, не учитывая конденсационные процессы, несущественные для критических явлений. Запишем дискретные варианты уравнений (1.17), (1.18) с ядром K =2gs, отбросив в этих уравнениях конденсационные члены: g-\ 00 dtng{t) = 2 j(s s)sngs(t)ns(t) 2ng(t) 2 jsnXt) (1.41) 5=1 g-\ 00 dtcg(t) = ](g - s)sc (t)cs(t) - 2cg(t) 2 JSsns(t) (1-42) 5=1 5=1 Уравнение (1.41) для полного спектра частиц совпадает с уравнением, описывающим поведение спектра в однокомпонентном случае. Аналитическое решение этого уравнения получено и исследовано в [8]. Если взять монодисперсные начальные условия п =Sgj , то это решение имеет вид: (2tgf-lelgt n(t) = (1.43) g Из анализа решения (1.43) следует, что в критический момент времени tc=l/2 спектр становится степенным - ng(tс) g /у2ж , а второй момент СО L2(t)= Yg2n (t) при t=tc расходится. Кроме того, при t tc нарушается баланс массовой концентрации: M(t)= Ygn (t) М(0). Содержательная g=\ интерпретация этого противоречия заключается в предположении, что при t tc в системе появляется аномально крупная частица, не описываемая уравнением Смолуховского. Такое поведение дисперсной системы классифицируется как наличие критических явлений (или выпадения в осадок) в процессе коагуляции.
Результаты расчетов для реальных атмосферных условий
Подстановка этих численных значений дает, что пар станет насыщенным при температуре Т « 277.6 К и степени конденсации х « 0.295, при этом размер образующихся частиц г « 4.3 10 м, характерное время конденсации т 0.1 сек.
Поскольку в случае с ледяными частицами окончательная температура больше 0 С, то в процессе конденсации должно происходить плавление ледяных частиц, что необходимо учитывать в уравнении теплового баланса. Для этого рассмотрим все фазовые переходы в облаке, где присутствуют пар, лед, среда - носитель и вода (так как капли воды, например, могут существовать в метастабильном состоянии и при отрицательных температурах). Введем следующие обозначения: mv , mw , wii - массы соответственно пара, воды, льда , Cvv , Cvw , Cvi , - соответствующие теплоемкости при постоянном объеме (в дальнейших рассуждениях индексом “і" обозначены величины, относящиеся к льду, индексом “w” - к воде).
Возможны следующие фазовые переходы: - лед - пар: масса пара dmvi переходит в лед, при этом выделяется удельное количество теплоты Lt; - вода - лед: масса воды dmiw переходит в лед, при этом выделяется удельное количество теплоты к; - вода - пар: масса пара dmvw переходит в воду, при этом выделяется удельное количество теплоты Lw .
Закон сохранения массы: dmv+dmi+dmM =0 или dmw = -dmvw-dmiw ; dmv = dmvi+dmvw ; dwii = -dmvi+dmiw Уравнение теплового баланса имеет вид: (символу принимает значения m,v,w,i) - безразмерные теплоемкости, Ut = LfAv и Uw = Ь„Ау - теплоты конденсации на 1 моль для льда и воды, соответственно, xt и xw - степени конденсации льда и воды, соответственно.
Формула (2.22) является обобщением формулы (2.7) на случай, когда в облаке присутствуют и капли, и ледяные кристаллы. С помощью (2.22) можно исследовать ход процессов в различных частных случаях. Рассмотрим, например, процесс плавления льда при постоянной температуре і = 0 С При этом для простоты будем считать, что к началу плавления в облаке содержались только ледяные кристаллы, а капель воды не было, поэтому до плавления xt определяется уравнением (2.7). К окончанию плавления в облаке остаются только капли воды. Будем по-прежнему полагать в (2.7) Хо = 0, то есть считать, что в начальный момент в облаке был только пар, поэтому формирование ледяной фракции происходило на центрах конденсации. Интегрируя (2.22) и учитывая выше сказанное, получаем: степень конденсации льда к началу плавления ( численная оценка с помощью (4.9) дает xi0 » 0.15 ), xw - степень конденсации воды к концу плавления.
Подставляя в (2.23) численные значения, получаем xw » 0.225. Доля пара в облаке определяется выражением: xv = mv/m0 = 1-xi-xw, где m0 = mv+mw+mi. Видно, что в процессе плавления xv уменьшается на 0.075, то есть необходимое для плавления льда тепло выделяется за счет конденсации пара на водных каплях. Поскольку равновесная степень конденсации воды xw » 0.39, а к концу таяния xw »0.225, то после таяния льда будет продолжаться процесс конденсации пара в водные капли.
Выводы к главе 2 Проведены аналитические и численные оценки для процессов формирования частиц в облаке за счет конденсации.
Для случая постоянного атмосферного давления и в предположении, что газовая среда и капли имеют одинаковую температуру, сформулировано уравнение теплового баланса, устанавливающее связь между тепловыделением, которое происходит при наличии в облаке фазовых переходов, расширением облака и парциальными давлениями газовых фаз, находящихся в облаке. Получено, что все тепловыделение в облаке происходит за счет двух фазовых переходов - пар-вода и вода-лед.
Для реалистичных атмосферных условий исследован ход процесса, проведены оценки времен конденсационного роста, характерных размеров и температур для случаев ледяных частиц и водных капель.
Таким образом, подготовлена теоретическая база для формулировки модели конденсации с учетом многофазности дисперсной системы В этом разделе мы сформулируем замкнутую систему уравнений, описывающую конденсационные процессы с учетом многофазности дисперсной системы. Сначала внесем некоторые дополнения в уравнения роста капель, которые использовались нами в предыдущем подразделе. Общий вид уравнения, описывающего процессы конденсации (испарения) капель, следующий [8, 9]:
Исходные данные для автономных расчетов
Полагаем xt=0 (весь лед расплавился). Если при этом Т Т , то весь лед плавится, поэтому оставляем xt=0 (соответственно, увеличиваем xw) и далее проводим расчет, начиная с этой температуры. При этом используется система (2.11) с тем содержанием пара, которое было к началу плавления. Если же Т Т , то лед плавится частично. Поэтому полагаем Т=Т , а xt находим из условия: Xi=-f(T) +UwXy/RJ/ffUi-UyJ/RJ
После определения вклада ХІ непроплавленного льда часть ЛЧ (начиная с малых размеров) объявляем ОК так, чтобы степень конденсации оставшихся ЛЧ соответствовала xt . После чего проверяем, хватит ли избытка пара для того, чтобы выделившаяся при конденсации теплота была достаточной для плавления оставшегося льда. Для этого требуем выполнения следующего условия: пересыщение S=pv/psv =(l+a)S ., где а - произвольно выбираемый числовой параметр, а определяем из условия Lw(pv - psv) =k pt (здесь psv - плотность насыщенного пара при данной температуре над плоской поверхностью). Таким образом, если насыщение превышает «критическое» насыщение S , при котором еще возможно плавление льда, то мы считаем лед проплавившимся (степень превышения «критического» насыщения определяется варьированием параметра а). Если же насыщение не удовлетворяет этому условию, то считается, что в системе остается смесь ОК и ЛЧ. Конденсация не рассчитывается, поскольку при таких условиях конденсационные процессы идут очень медленно и не приводят к сколь-нибудь значительному изменению температуры и степеней конденсации. одна из которых - (a) - описывает процессы коагуляции, другая - (Ь) -процессы конденсации с источниками. При этом результаты, полученные на момент времени t = t для одной подсистемы, служат начальными данными при t = t для другой.
Для расчета кинетики коагуляции с учетом различного фазового состояния частиц использован и незначительно модифицирован подход, развитый ранее в работе [62] для композитных частиц. При численном решении уравнений (5.8а), (5.9а) используются фиксированные сетки по массам частиц g для ОК и ЛЧ, соответственно. Основными сеточными величинами являются числа частиц ОК и ЛЧ в интервалах сеток. Спектры n(g,t) и ядра коагуляции предполагаются кусочно-постоянными функциями в интервалах сеток. Для вычисления чисел частиц в интервалах сеток решается система обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемая после интегрирования по g исходных кинетических уравнений (5.8а), (5.9а) и автоматически обеспечивающая суммарный баланс масс частиц.
Уравнения (5.8а), (5.9а) имеют тот же вид, что и уравнения, решаемые в программе AERFORM при описании кинетики формирования композитных частиц, если интерпретировать n/g) как спектр композитных частиц. Поэтому дискретизация этих уравнений по переменной g выполнена тем же способом, что и в AERFORM [62].Отметим, что сетки по переменной g для спектров nw(g) и rii(g) могут быть разные. =F\N ,,....JV /J\f.,,.... J\f..\(\ i l\ =F.\N ,,....JV T N„....,N \(\ j j\
Таким образом, этот шаг меняется со временем, в соответствии с характерной скоростью наиболее быстрого процесса (коагуляции или конденсации).
Физическая модель для скоростей коагуляции включает в себя все основные механизмы [62], которые важны для атмосферных процессов -броуновское и турбулентное блуждание, осаждение в поле тяжести и т.д.
Численное решение уравнений кинетики конденсации (5.8b), (5.9b) осуществляется на основе метода частиц [62]. Для определенности обратимся к первому из этих уравнений (2.1b) и опустим индекс w. Рассмотрим случай гомогенной нуклеации, для которого источник J(g,t) = j(t)S[g —g(t)]. Выделим группу частиц, которые движутся по характеристикам квазилинейного дифференциального уравнения первого порядка (5.8b), а веса этих частиц вычислим из самого уравнения (5.8Ь) с учетом действия источника. Формально на каждом временном интервале \t \tk+l =tk + м] спектр n(g,t) представим в виде суммы 8 - функций:
Уравнение (5.11) означает, что точки gp(t) движутся по характеристикам. Первое уравнение (5.12) означает, что величины пр (веса модельных частиц), имевшиеся в системе к моменту t = t, на шаге At не изменяются. Исключение составляет случай, когда частица приходит на границу g=0. При gp 0 частицу можно считать испарившейся и положить пр = 0. Отметим также, что вес пм+і модельной частицы, инжектируемой в систему на интервале времени [t, t J, должен быть выбран таким образом, чтобы правильно передать число реальных частиц, рождаемых источником в этом интервале, что обеспечивается вторым уравнением (5.12).
При численной реализации систем уравнений конденсации нами использовалась схема Рунге-Кутты третьего порядка с автоматическим выбором шага интегрирования по времени. 5.8 Калибровка численной модели расчета кинетики формирования частиц на аналитических решениях
Тестирование численного алгоритма, описанного в разделе 5.7, проводилось на модельных задачах, для которых в разделе 1 получены аналитические решения. Эти решения найдены в предположении, что скорости конденсации паров в водную и ледяную фазу одинаковы.
Будем использовать безразмерные переменные и функции и положим начальный спектр n(g,0)=Aexp(-ag), где А и а - некоторые постоянные величины; скорость конденсации v(g,t)= j3(t)g, где j3(t)- произвольная функция времени; ядро коагуляции K(g,s,t) = K+=g+s.
Для выбранного ядра коагуляции этих данных достаточно, чтобы получить аналитическое решение для концентрации водных капель не задавая конкретный вид начального спектра ледяных частиц, а зная для него только начальные счетную и массовую концентрации vto и /л ю. При численных расчетах мы будем полагать, что rii(g,0)=Bexp(-bg) Параметры распределения nt(g,0) связаны с vto иум соотношением: b = v,o/Ml0 ,B = vf0/ni0 Такие же формулы связывают а, А с начальной счетной концентрацией Vo и счетной массой JAQ.
В первую очередь рассмотрим случай, когда (t) = o=const, , поскольку случай переменной функции (t) не вносит принципиальных усложнений в расчеты. Однако, он может повлиять на выбор шага At в методе расщепления, что сделает тактику выбора At, не вполне наглядной. Аналитическое решение для капельной фазы в этом случае имеет вид:
Здесь TV, M - счетная и массовая концентрации всех частиц в облаке: N=v+vt ,M= fi + /иг причем имеют место следующие аналитические решения При численных расчетах этой задачи для определенности положим 0 = 1, 0 = 1, i0 = 1, i0 = 1 При этих значениях концентраций параметры начальных спектров равны: a=1, b = 0.5
Ориентируясь на эти значения параметров a, b, построим начальные сетки и i для описания спектров nw(g) и ni(g) , используя следующие опорные точки gk и шаги Dgk : для
На этих сетках начальные значения счетных концентраций (при нормировке спектров на точное значение счетных масс) составляют n0 = 0.9986,ni0 = 1.996, т.е. с хорошей точностью согласуются с аналитическими значениями.
Прежде чем обсуждать расчеты для теста с конденсацией и коагуляцией, рассмотрим более простой случай, когда конденсация отсутствует. В этом случае уравнение для полного спектра частиц совпадает с уравнением Смолуховского, и на нем можно более просто оценить влияние на решение параметров, возникающих при дискретизации задачи. Такими параметрами (при заданных начальных сетках) являются уровень относительной погрешности є, задаваемый при численном решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений для TV, - чисел частиц в интервалах сетки, N. Nmin , и параметр eint , характеризующий условия увеличения числа узлов gj сетки по переменной g. Если в процессе счета оказывается, что отношение массы частиц в трех последних интервалах сетки по g к массе частиц во всем спектре больше ein, то к сетке добавляется новый интервал, в два раза больший, чем предыдущий.
Начальный вид полного спектра зададим в экспоненциальном виде, причем Ь = 0.6, В = 1.8; это соответствует N0=3, M0=5, то есть тем же параметрам, которые выбрали для полного теста. Начальная сетка для этого спектра совпадает с COJ.
В таблице 5.1 представлено сравнение численной и аналитической (последний столбец) счетных концентраций для разных значений eint , при Mmin=10 . Видно, что с ростом sint согласие численной и аналитической счетной концентраций при t = 1 ухудшается; при eint = 10-3 начинает наблюдаться, хотя и небольшой ( 10 ), дисбаланс массы. Причина такого поведения численного решения заключается в том, что при sint 10 сетка по g не успевает увеличиваться настолько, чтобы на ней был описан весь спектр. Так, середина g последнего интервала при t=0.4 для sint = 10 , 10 , 10 равна, соответственно, g =9.7 10 , 4.8 10 , 1.2 10
Отметим, что зависимость численного решения от параметра (при e/«f 10 ) весьма незначительна, если уровень этой погрешности установлен для Nmin 10 . Так, при l\min=10 и егиГ = 10 изменение є в диапазоне 10 є 10 практически не меняет значения 7V при t=1. В то же время шаг тсоа для є = 10 равен при t=1 тсоа=9.3 10 , тогда как при є = 10 и7угаги=10 , тсоа=.5 10 . Причина такой нечувствительности численного решения к изменению заключается в том, что шаг по времени для указанных Nmin и eint остается все еще достаточно малым для того, чтобы сетка по g успевала достаточно увеличиваться с ростом времени t.
Похожие диссертации на Моделирование физико-химических процессов образования и коагуляции частиц в смешанных облаках с учетом фазовых переходов
