Содержание к диссертации
Введение
1. Проводимость изотропных композитов и парциальные моменты напряженности электрического поля
1.1. Предварительные замечания 9
1.2. Основные положения теории проводимости неоднородных сред 10
1.3. Квадратичные эффективные характеристики 16
1.4. Структурные флуктуации поля и тока 25
1.5. Высшие моменты напряженности электрического поля 32
1.6. Проводимость систем с малой концентрацией включений 45
2. Аналитические свойства и низкочастотная дисперсия проводимости изотропных композитов
2.1. Предварительные замечания 54
2.2. Аналитические свойства функции f(p,Q 56
2.3. Дисперсия проводимости 62
2.4. Решеточная L С-модель 64
2.5. Локальные колебания в LC-модели 67
2.6. Неупорядоченная двумерная модель 70
2.7. Двумерная модель Рэлея 74
3. Проводимость анизотропных композитов
3.1. Предварительные замечания 85
3.2. Двумерный случай 87
3.3. Соотношения взаимности 95
3.4. Трехмерный случай 97
3.5. Критическая область 100
З.б. Размерные эффекты 105
3.7. Метод эффективной среды 105
4. Термоэлектрические свойства композитов
4.1. Предварительные замечания 111
4.2. Исходные уравнения и эффективные характеристики 113
4.3. Линейное по а(г) приближение 116
4.4. Соотношения изоморфизма 120
4.5. Критическая область 124
4.6. Другие модели 130
5. Гальваномагнитные свойства композитов. трехмерный случай
5.1. Предварительные замечания 138
5.2. Феноменологическое рассмотрение 140
5.3. Коэффициент Холла 144
5.4. Магнитосопротивление 153
5.5. Вычисление функций Хх(рЛ) и ХгірЛ) 160
5.6. Проводимость композитов в сильном магнитном ноле 167
6. Гальваномагнитные свойства композитов. двумерный случай
6.1. Предварительные замечания 177
6.2. Слабое магнитное ноле 179
6.3. Произвольные магнитные поля 183
6.4. Анализ общих выражений для охе и аае 193
6.5. Анизотропные пленки 202
7. Термогальваномагнитные свойства композитов
7.1. Предварительные замечания 210
7.2. Трехмерный случай 211
7.3. Двумерный случай 220
8. Двумерные системы с периодической структурой
8.1. Предварительные замечания 229
8.2. Простейшая двояконериодическая модель 231
8.3. Мультипольные поляризуемости 238
8.4. Общий метод 245
8.5. Двумерная модель Рэлея 255
9. Диффузия частицы в среде с ловушками 267
Заключение 273
- Основные положения теории проводимости неоднородных сред
- Аналитические свойства функции f(p,Q
- Соотношения взаимности
- Феноменологическое рассмотрение
Введение к работе
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время композиты широко применяются в практических целях — от конструкционных материалов в авиастроении, автомобильной промышленности и т.д. до различных приборов микроэлектроники, в которых используются тонкие пленки со случайным или регулярным расположением включений, полупроводниковые гетероструктуры и т.н. Поэтому изучение композитов, свойства которых могут существенно отличаться от свойств отдельных компонент, является актуальной задачей теории и эксперимента. Исследование подобных систем представляет и общефизический интерес, так как в них возможны, например, фазовые переходы типа металл-диэлектрик.
Теоретическое изучение различных свойств композитов со случайным распределением компонент наталкивается на известные трудности принципиального характера. Так, например, в задаче о проводимости необходимо решить уравнение Лапласа для электрического потенциала в многосвязных областях произвольной формы внутри каждой из компонент и затем удовлетворить стандартным условиям на границе раздела. Ясно, что такая задача в общем виде аналитическими методами не может быть решена.
В связи с Э1им основным источником информации о проводимости (теплопроводности, диэлектрической проницаемости и т.д.) неупорядоченных сред являются модельные и численные эксперименты. В частности, исследование окрестности точки фазового перехода металл-диэлектрик численными меюдами позволяет определить так называемые критические индексы — основные характеристики проводимости в рамках гипотезы подобия. В то же время по изложенным причинам теория проводимости композитов крайне бедна аналитическими результатами.
Упомянутые трудности многократно возрастают при переходе к более сложным задачам — о термоэлектрических, гальваномагнитных и термогальваномаг-нитных свойствах композитов. Здесь также наблюдается серьезный дефицит в аналитических результатах, а численный эксперимент затруднителен из-за большого количества входящих в эти задачи параметров. Поэтому эти электрофизические характеристики и их критическое поведение изучены явно недостаточно. Таким образом, дальнейшее развитие теории элекгрофизических свойств композитов является актуальной задачей и представляет несомненный интерес как с практической, так и с общефизической точек зрения.
Целью настоящей работы является построение в рамках макроскопической электродинамики последовательной теории (на примере бинарных композитов) электрофизических свойств гетерогенных сред в широкой области изменения па раметров и исследование, в часгности, критического поведения соответствующих эффективных характеристик в окрестности точки фазового перехода металл-диэлектрик. Эта теория должна, в том числе, включить в себя и упорядочить разрозненные результаты других авторов.
В главе I рассматривается задача о проводимости (электропроводности) изотропных композитов. Дан краткий обзор основных положений существующей теории : проводимость слабонеоднородной среды, линейное по концентрации приближение, описание в рамках гипотезы подобия критического поведения проводимости в окрестности точки фазового перехода металл-диэлектрик (МД-перехода), соотношение взаимности, модели с периодической структурой. Далее устанавливается связь парциальных моментов напряженности электрическою поля второго порядка и структурных флуктуации поля и тока с эффективной проводимостью композита. Определение этих величин численными методами позволило более полно, чем обычно, исследовать критическое поведение проводимое ги и тем самым провести детальную проверку і ипотезы подобия. Дано описание критического поведения моментов высшего порядка и даны оценки соответствующих индексов. В квадратичном по малой концентрации включений круговой формы вычислена проводимость соответствующей неупорядоченной двумерной модели.
Во второй главе изучаюіся аналитические свойства безразмерной эффективной проводимости / изотропного бинарного композита как функции комплексного аргумента h — отношения проводимостей компонент. Показано, что функция / аналогична на всей комплексной плоскости Л, разрезанной вдоль действительной отрицательной полуоси. Выведено дисперсионное соотношение, позволяющее при любом комплексном h определить функцию / по её мнимой части на верхнем берегу разреза. Рассмотрена низкочастотная дисперсия проводимости и диэлектрической проницаемости. Дана физическая интерпретация особенностей функции / на разрезе с помощью так называемой LC- модели — решетки, связи которой обладают либо чисто индуктивным, либо чисто емкостным импедансом. Оказыва-ется,что особенностям функции / отвечает в LC- модели зона примесных колебаний. Полученные результаты иллюстрируются двумя примерами: неупорядоченной моделью, рассмотренной в первой главе (непрерывный спектр колебаний), и моделью Рэлея — двумерной системой с двоякопериодическим расположением включений круговой формы (дискретный спектр колебаний).
Треї ья глава посвящена исследованию проводимости анизотропных одноосных композитов — нитевидных (типа TCNQ) и слоистых (типа графита). Рассмот рены механизмы протекания тока в подобных средах при сильной анизотропии и дана качественная теория их проводимости. Показано, что для нитевидного кристалла со случайным распределением включений (диэлектрических или идеально прово дяіцих) при сильной анизоіропии матрицы у 1 линейное по конценірации с приближение для эффективной проводимости применимо при весьма малых с: с 7-1 " 1 • Нарушение этою приближения (пригодного для изотропных композитов для всех с С 1) при с 7-1 1 связано с особенностями обтекания током препятствий в сильно анизотропном случае.
Противоположный предельный случай рассмотрен качественно, по порядку величины, с помощью так называемой диффузионной аналогии. В промежуточной области концентраций продольная проводимость нитевидных кристаллов с диэлектрическими включениями резко падает. Если же включения идеально проводящие, то при переходе отс7 1кс7»1 резко возрастает поперечная проводимость. В обоих случаях при cj 3 1 происходит заметная изогропизация среды — анизотропия сисіемьі в целом значительно меньше, чем анизотропия матрицы.
При приближении к критической концентрации (точке МД-перехода) изотро-пизация таких систем становится практически полной и их свойства в этой области концентраций во многом схожи со свойствами изотропных сред. У них, в частности, совпадаюг критические индексы, величина которых определяется геометрическим фактором — случайным распределением компонент, одинаковым как для изотропных, так и для анизоторопных систем. Отмечено, что в сильно анизотропных слоистых кристаллах с диэлектрическими включениями имеется две точки фазового перехода металл-диэлектрик — при двумерной и при трехмерной критических концентрациях.
В четвертой главе рассмотрены термоэлектрические свойства композитов. В случае слабой термоэлектрической связи выведено выражение для термоэде ае, справедливое для произвольной неоднородной среды. Для изотропных бинарных композитов выведены точные формулы для эффективных проводимости ае, теплопроводности хе и термоэлектрического коэффициента ае при произвольном параметре термоэлектрической связи. Установлено соотношение общего вида между величинами ае, хе и ае, не зависящее ни от концентрации, ни от от конкретной структуры композита. Показано, что в окрестности точки фазового перехода металл-диэлектрик у термоэде ае может наблюдаться два типа критического поведения и определены соответствующие индексы.
Пятая глава посвящена исследованию гальваномагнитных свойств трехмерных неоднородных сред. Для бинарных композитов выяснена структура (зависимость от гальваномагнитных характеристик отдельных компонент) эффективного тензора проводимосіи де в слабом магнитном поле. Численными методами определены и затабулированы в графическом виде все входящие в выражение для де двухпа-раметрические функции, проанализировано их критическое поведение и найдены соответствующие индексы. Это позволяет, тем самым, дать последовательное описание (в рамках гипотезы подобия) коэффициента Холла и магнитосопротивления в окрестности точки МД-перехода. В пределе сильных магнитных полей исследованы механизмы протекания тока через композит и даны качественные оценки для составляющих тензора ае.
В шестой главе выведены общие точные формулы для составляющих эффективного тензора проводимосіи ае, справедливые (при произвольных мапштных полях) для двумерных двухкомпонентных систем любой структуры — как регулярных, так и неупорядоченных. Рассмотрено поведение составляющих тензора де двумерного композита в окрестности точки фазового перехода металл-диэлектрик и выяснена область существования аномальной проводимости, предсказанной A.M. Дыхне.
В седьмой главе рассмоірена задача о термогальваномагнитных свойствах бинарных композитов. В линейном по магнитному полю приближении выведено точное выражение для коэффициента Нернста в случае слабой термоэлектрической связи. Показано, что у коэффициента Нернста возможны два типа критического поведения. Для двумерных двухкомпонентных систем дана строгая теория этих свойств, справедливая при произвольных магнитных полях и любой термоэлектрической связи.
В восьмой главе исследуются электрофизические характеристики двумерных регулярных структур. Для двоякопериодических систем с включениями произвольной формы предложен общий метод вычисления их проводимости и других эффективных величин, основанный на введении матрицы мультипольних поляри-зуемостей этих включений. Рассмотрены две конкретные двумерные регулярные модели и определены их эффективные характеристики.
Заключительная, девятая, глава посвящена рассмотрению диффузии частицы в среде с ловушками. Дано строгое решение этой задачи для одномерного случая. Для двумерных и трехмерных систем с экспоненциальной точностью найдено асимптотическое выражение для вероятности выживания частицы при больших временах.
Основные положения теории проводимости неоднородных сред
Одной из основных задач теории гетерогенных сред (в частности, композитов) является задача о проводимости. Для вычисления эффективной проводимости at неоднородной системы необходимо решить уравнения постоянного тока при соответствующих граничных условиях. Здесь Е — напряженность электрического поля, j — плотность тока. Для изотропной среды в линейной (по полю Е) задаче величины Е и j связаны законом Ома Здесь (т(г) описывает зависящую от координат проводимость среды. Эффективная проводимость ае определяется следующим образом Аналогичные задачи о теплопроводности, диэлектрической проницаемости, коэффициенте стационарной диффузии и т.д. отличаются от задачи о проводимости только обозначениями. В дальнейшем основное внимание будет уделяться бинарным композитам, для описания которых будем использовать следующую идеализированную модель. Предполагается, что в каждой из компонент выполняется закон Ома и проводимость а(т) принимает постоянные значения — соответственно 7i и сг2. Граница раздела — бесконечно тонкая и на ней выполняются обычные условия: непрерывность электрического потенциала и нормальной сосіавляющей плотности тока. Эффективная проводимость ае такой системы может бьпь записана в виде где р — концентрация (доля занимаемого объема) первой компоненты. Как будет ясно из дальнейшего, двухнараметрическая функция f(p, h) (безразмерная эо] фективная проводимость) играет фундаментальную роль во всей теории явлений переноса в изотропных двухкомпонентных средах. Эффективная проводимость может быть вычислена в достаточно общем виде в случае слабонеоднородной среды (ср. с [1]): с h из (1.5). Выражение (1.7) справедливо в квадратичном по 1 - h\ С 1 приближении. Величина ае при произвольном h может быть найдена в линейном по малой концентрации в юрой компоненты с=1-р 1 приближении для включений сферической формы (ср. с [1]) В двумерном случае аналогичная формула справедлива для включений второй компоненты круговой формы. Отметим, что формулы (1.8)-(1.9) имеют место и для дискретных моделей — простой кубической и квадратной решетки соответственно в случае так называемой задачи связей [4]. Попытка выхода за рамки линейного но концентрации приближения (при произвольном h) была предпринята в работе Рэлея (10] на примере модели с периодическим расположением включений сферической (круговой в двумерном случае) формы. В [10] было найдено несколько первых членов соответствующего вириаль-ного ряда для эффективной проводимости такой модели.
Задача же вычисления проводимости неупорядоченных композитов при произвольных концентрации р и параметре h аналитическою решения не имеет. Для этого случая в теории гетерогенных структур были предложены различные приближенные подходы, наиболее удачным из которых является, по-видимому, метод (теория) эффективной среды (ЕМА — effective medium approximation в англоязычной научной литературе). В рамках этого метода безразмерная эффективная проводимость бинарного композита имеет вид (ср. с [2]): в трехмерном. При 1 — /i С 1 из (1.10) и (1.11) следует результаг (1.7), а при с = 1 - р С 1 — выражения (1.8) и (1.9). Для случайно-неоднородных сред двойная замена о\ = о2 и р - 1 - р не меняет их макроскопических свойств, так что Нетрудно видеть, что выражения (1.10) и (1.11) удовлетворяют соотношению (1.13). В системах с резко различающимися проводимое!ями компонент возможен фазовый переход металл-диэлектрик (МД-переход) по концентрации. Проводимость в окрестносги точки МД - перехода в теории протекания описывается в рамках іак называемой гипотезы подобия 7). Согласно этой гипотезе двухпараметри-ческая функция f(p,h) из (1.5) в критической области (h 1, \т\ С 1, где т = (р — рс)/рс, рс — критическая концентрация, точка МД - перехода) выражается через функцию одного аргумеша [7] (см. также (11) со следующими асимптотиками: — размер области размазки [7]. Численные коэффициенты Ао, Ai,..., ао, (її,..., В\, В2,... имеют порядок единицы. Критические индексы t, s и q связаны между собой соотношением [7J Численный эксперимент дает следующие приближенные значения индексов для трехмерної о случая и для двумерного. Здесь значение индекса s является точным — см. (1.25). Согласно гипотезе подобия критические индексы универсальны и их значения одинаковы как для дискретных (решетки), так и для непрерывных (сплошная среда) случайно-неоднородных систем одинаковой размерности. Следует отметить в то же время, что разложимость функции / при р Ф рс в окрестности h = 0 является предположением, вводимым в гипотезе подобия бе какого-либо обоснования. Есть основания полагать, однако, что для случайно-неоднородных систем h = 0 — особая точка для f(p,h) при всех концентрациях (см. главу II), так что ряды (1.15) и (1.17) не являются сходящимися. Ситуация с аналитическими результатами для эффективной проводимости несколько лучше в двумерном случае. Здесь, прежде всего, нужно отметить работу A.M. Дыхне [8]. С помощью преобразования симметрии в [8] установлена связь между проводимостью некоторой изотропной двумерной двухкомпонентной системы и проводимостью взаимной к ней системы, отличающейся от исходной заменой 0\ «= а2. Соответствующее соотношение взаимности имеет вид Соотношения (1.22) и (1.23) являются довольно общими, будучи справедливыми при любой концентрации р и произвольных как форме включений, так и их распределении.
Отметим, что в частном случае периодической двумерной системы соотношение взаимности (1.22) было получено в рабоїе Келлера [12] (см. іакже 113, 14]). Для случайно-неоднородной среды равенство (1.23) с учетом (1.13) принимает вид При критической концентрации р = рс = 1/2 (см. [8]) отсюда следует — известный результат, принадлежащий A.M. Дыхне [8]. Из (1.25) следует, чю индекс s = /2 (см. (1.21)), а из (1.24) — равенство t = q. Заметим, что выражения (1.25) и (1.26) справедливы, в то же время, для системы со структурой шахматной доски и для квадратной решетки со случайно распределенными связями [8]. Огметим также, что в рассматриваемом двумерном случае как точное значение критической концентрации (рс = l/2), так и точное выражение для эффективной проводимости (1.25)-(1.26) при р 1/2, следуют из формулы (1.10), даваемой методом эффективной среды. Оба этих обстоятельства связаны с тем, что выражение (1.10) удовлетворяет соотношению взаимности и в виде (1.23), и (1.24). Существенно более простой в теоретическом отношении, особенно для двумерных систем, является задача о проводимости композитов с периодической структурой. Здесь достаточно ограничиться нахождением потенциала в пределах одной элементарной ячейки, что кардинально упрощает задачу, хотя и в этом случае она остается довольно сложной. Отметим, что изучение электрических свойств композитов с регулярной структурой, кроме принципиальной разрешимости соответствующих задач, представляет значительный интерес как с общефизической (проблема фазовых переходов металл-диэлектрик), так и с прикладной (микроэлектроника) точек зрения. Для ряда двумерных двоякопериодических моделей с диэлектрическими или идеально проводящими включениями решение задачи о проводимости может быть дано с помощью методов ТФКП — см. [9]. Кроме того, в [9] найдено решение этой задачи для системы со структурой шахматной доски. В [9] осуществлено прямое вычисление эффективной проводимости этой модели, подтвердившее результат (1.26). Более реалистическая модель — система с включениями круговой (сферической в трехмерном случае) формы рассматривалась Рэлеем [10] и другими авторами [15-20]. В периодических системах также возможен МД-переход, однако соответствующие критические индексы не являются универсальными и зависят от формы включений. Как будет видно из дальнейшего, в теории электрофизических свойств композитов важную роль играют точные соотношения (тождества), одним из которых является (см., например, [8]) где ... — то же, что и в (1.4). Формула (1.27) выводится следующим образом.
Аналитические свойства функции f(p,Q
Обсудим сначала свойства безразмерной статической эффективной прово-димосги f{p,h) при действительных положительных h и введем необходимые обозначения. В теории протекания предполагается, что в критической области при р Ф Рс функция f(p,h) может быть разложена в ряд по степеням h. Естественно ожидать, что такое разложение возможно и вне критической области, так чю в общем случае при h — 0 будем иметь и учтено, что /(p,0) = 0 при р рс. В (2.16) s — критический индекс, а в (2.1а) и (2.1с) значки d и s у функции / означают, что рассматриваются системы с диэлектрическими или идеально проводящими включениями соответственно. Отметим, чю fd(p) 0, так как учет ненулевой проводимости "диэлектрических" включений увеличивает эффективную проводимосгь ае системы; напротив, f s(p) 0, так как учет конечной проводимости "идеально проводящих" включений уменьшает те. В дальнейшем нам понадобятся свойгтва функции f(p, h) при h - оо. Для сред со случайным распределением компонент для функции / имеет место соотношение (1.13) оікуда с учетом (2.1) получаем (Л -» оо) p = pci = рс возникает протекание по первой компоненте, а при р = р& рс\ исчезает протекание по второй. Для случайно-неоднородных сред из-за симметрии относительно замен р -л 1 - р, ох а2 имеем рс2 = 1 - рс\ = 1 - рс При переходе от р рс к р рс в случае h 1 (т.е. 0\ С о х) возникновение протекания по низкопроводящей (в данном случае — первой) компоненте не оказывает существенного влияния на эффективную проводимость системы и функция / даегся выражением (2.3 в) как ниже, так и выше точки перехода рс. Напротив, в окрестности второй критической концентрации рС2 = 1 — Рс, когда исчезает (или возникает) протекание но высокопроводящей (второй) компоненте, функция f{p,h) при h -» оо проявляет критические свойства. В двумерном случае имеется только одна критическая концентрация рс = рс\ = P z и промежуточная область Pel Рс Рс2 Отсутствует. Можно думать, что разложения, аналогичные (2.1) и (2.3), будут иметь место и для функции /(р,С), являющейся аналитическим продолжением f(p,h) в комплексную плоскость . Следует подчеркнуть, однако, что разложимость (при рфРс) функции f(p,h) в окрестности h = 0 является предположением, вводимым в теорию без обоснования. В то же время есть основания полагать (см. 2.5), что h = О — особая точка для f(p, К) и при концентрации, отличной от критической. В этом случае ряды (2.1 а), (2.1 в) и (2.3а), (2.3 в) не являются сходящимися. 2. В низкочастотном (квазистационарном [1, 58]) электрическом поле выражение для эффективной проводимости ое сохраняет вид (1.5): с тем, однако, отличием, что величины ае и ст, являются комплексными функциями частоты и).
В этом случае аргумент h функции }{р, h) также является комплексной величиной. Поэтому для использования формулы (2.4) при и ф О необходимо знать свойства f{p,Q в плоскости комплексной переменной Заметим, что проводимость (как и диэлектрическая проницаемость), рассматриваемая как функция комплексной частоты и, аналитична в верхней полуплоскости Im w 0 — см. [1], 82 (этот факт не связан со спецификой задачи, а является следствием принципа причинности). Кроме того, согласно [1, 82], проводимость при Imcj 0 и конечных и не имеет нулей. Поэтому функция / = ае(иі)/оі(и) также аналитична в верхней полуплоскости и. Для выяснения аналитических свойств /(р, Q как функции комплексной переменной необходимо знать, на какую область плоскости С отображает верхнюю полуплоскость Іти 0 преобразование (2.5). Рассмотрение конкретных преобразований С = h(u) (см. (2.17), и особенно (2.28)) показывает, что Іти О отображается, вообще говоря, на всю плоскость с исключенной отрицательной вещественной полуосью. Следовательно, в этой области плоскости С функция /(р,С) аналитична. Отдельною рассмотрения требует бесконечно удаленная точка С = со. Если концентрация р не равна критической [рфрс — 1/2 в двумерном и р ф 1-рс в трехмерном случае), то, согласно (2.3), функция f{p,Q при = 00 либо конечна, либо имеет простой плюс. Установленных свойств функции /(р, ) достаточно для написания дисперсионного соотношения. Методом, аналогичным использованному в [57, 129], с учетом (2.3а) и (2.3в) получаем (считаем, что плоскость разрезана вдоль отрицательной вещественной полуоси) где контур Со идет от — оо до 0 вдоль верхнего берега разреза, обходит точку С — 0 справа и затем возвращается в — оо вдоль нижнего берега разреза. Таким образом, если функция / известна на верхнем и нижнем берегах разреза ( — со, 0), то дисперсионное соотношение (2.6) позволяет найти /(р,С) в любой точке плоскости С Отметим полезное свойство симметрии функции /(р,С)- Согласно [1, 82], ст(- и ) — a {UJ) , где звездочка означает комплексное сопряжение. Отсюда следует равенство f(p,h(-u )) = / (p,/ (w)), причем h(—u) ) = h (u), так что при р 1-рс- Здесь f (p,) = f(p, + гО) — значение функции f{p,Q на верхнем берегу разреза. Следовательно, для определения f(p, Q во всей плоскости достаточно знать мнимую часть / на верхнем (или, в силу равенства Im /(+) = — Im /(""), на нижнем) берегу разреза. 3. Предыдущее рассмотрение опиралось только на общие свойства проводимости как функции комплексной частоты и, чго не позволяет судить о конкретном виде особенностей, которыми обладает /(р,() на полуоси Im = 0, Re С 0.
Знание свойств / при действительных положительных С = h дает возможность сделать некоторые предположения о характере этих особенностей. Рассмотрим сначала двумерную систему при критической концентрации р = Уг. Аналитическое продолжение функции /(Уг, h), определенной согласно (1.25), в комплексную плоскость имеет вид В выражении (2.11), справедливом (для случайно-неоднородной двумерной системы) при произвольных С, предполагается выбранной та ветвь корня, для которой / действительно и положительно при ImC = 0,Re O.B согласии с обсуждавшимися выше общими свойствами / функция (2.11) аналигична при конечных С во всей плоскости с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси. При ( = О и С = со функция / имеет точки ветвления с показателем степени Уг. В трехмерном случае (р = рс) аналитическое продолжение выражения (1.16), справедливое при 1, имеет вид с тем же, что и в (2.11), выбором ветви. Согласно (2.12) функция / имеет точку ветвления (с показателем степени s) при = 0. Из предположения о разложимости функции f(p, h) при рфрс в сходящийся ряд вблизи h = 0 следует, что её аналитическое продолжение /(р,С) регулярно в некоторой окрестности точки Q = 0. В этом случае точка ветвления отделена от начала координат щелью и находится при С, = - о ( о 0), причем Ц - 0 при р - рс. Порядок величины to может быть оценен в рамках гипотезы подобия. Из (1.16) заключаем, что при г = (р — рс)/Рс - О Показатель степени точки ветвления может зависеть, вообще говоря, or концентрации. Естественно думать, однако, что в критической области \т\ g. 1 он совпадает с индексом s. Тогда в окрестности точки ветвления неаналитическая часть функции / будет иметь вид Таким образом, мы приходим к выводу, что в рамках стандартной гипоіезьі подобия ближайшей к началу координат особенностью функции f(p, ) является точка ветвления при (" = — to с to из (2.13). С математической точки зрения приближению системы к переходу металл-диэлектрик отвечает приближение особенности функции / — точки ветвления — к началу координат плоскости . Аналогичные выводы следуюг и из выражения для f(p,h), даваемого теорией эффективной среды [2] — см. (1.11). Вывод о существовании щели между = 0 и = -/1] существенно опирается на предположение о разложимости f(p,h) (при р ф рс) в окрестности h = 0. Однако, как отмечалось выше, есть основания полагать (см. 2.5), что h = 0 — особая точка для функции f{p,h) при всех концентрациях, так что соогветству-ющие ряды не являются сходящимися. Это означает, что мнимая часть / отлична ог нуля, вообще говоря, при всех 1п = 0, R 0 и упомянутая щель отсутствует. (Соответствен отсутствует и щель в спектре примесных колебаний LC-модели).
Соотношения взаимности
Для двумерной анизотропной среды могут быть установлены соотношения взаимности [65], обобщающие найденные ранее [8]. Рассмотрим систему, для которой направления главных осей (х и у) тензора проводимости а(г) не зависят от координат (подобная ситуация имеет место, например, для тонкой пленки, помещенной и магнитное поле, параллельное её плоскости), т.е. т(г) имеет диагональный вид при любом г: Произведем, следуя [8,65), преобразование к штрихованной системе плотности тока j и напряженности электрического поля Е: Здесь п — единичный вектор нормали к плоскости системы (ж, у); ц — некоторая константа, не зависящая от координат. При преобразовании (3.21) система уравнений постоянного тока не меняется, а тензор проводимости в штрихованной системе имеет вид (3.20), причем Эффективные характеристики исходной (охе, ауе) и штрихованной (дхе, дуе) систем связаны соотношениями взаимности [65] Отметим, чю соотношения (3.23) справедливы и для континуальной задачи, когда (т(г) является непрерывной функцией координат. Для двухкомпонентных сред величины оае являются многопараметрическими функциями: где р — концетрация первой компоненты; аХ1 и ayt — главные значения тензора проводимости г-й компоненты. Эффективные характеристики штрихованной системы даются теми же функциями (3.24) с измененными в согласии с (3.22) аргументами Если в (3.24) выделить размерный множитель, например ох\, то величина oae/axi будет функцией четырех безразмерных параметров: Из (3.23) - (3.26) следует, что параметр /х фактически выпадает из соотношений взаимности. Удобно тем не менее зафиксировать его. Если положить ц2 = ах\ оу\, то соотношения взаимности примут вид [65] В частности, при д2 -» 0 из (3.27) следует связь между эффективными харак-іеристиками двумерной системы с диэлектрическими включениями и свойствами той же системы с идеально проводящими включениями Подстановка во второе соотношение (3.28) выражений (3.14) и (3.17) позволяет найти связь между функциями фхз и : Если распределение компонент в сисгеме геометрически изотропно, то замена хх - 0уг с одновременным поворотом осей координат на 90 не меняет свойств среды, т.е. Нетрудно видеть, что в линейном по с приближении выражения (3.3), (3.2) удовлетворяют соотношениям (3.27) и (3.30).
Заметим наконец, что для случайно-неоднородной среды двойная замена р -» 1 - р, сті =± Ь2 не меняет её свойств, откуда (а= х,у) Соотношение (3.31), записанное в виде оае(р; д\, а2) = аае{\ — р\д2, д\) (где а = х,у,z), справедливо и в трехмерном случае. Для трехмерных анизоіропньїх сред с малой концентрацией с сферических включений (с изотропной проводимостью ст2) главные значения тензора ае также даются формулой (3.3), в которой па{а = х,у,z) — коэффициенты деполяризации эллипсоида с полуосями аа = R/y/o i, где R — радиус включения. Для изотропной среды оа\ = о\, аае = ае, па = Уз и из (3.3) следует известный результат [1] (см. также (1.8)) Для систем с диэлектрическими и идеально проводящими включениями ИЗ (3.3) имеем соответственно В дальнейшем будем рассматривать одноосную матрицу (ах\ = оу\ фог\)тл различать два случая: 1) ох\ = ауї oz\ — нитевидная структура типа TCNQ; 2) ох\ = у\ z\ — слоистая структура типа графита. 1. Рассмотрим сначала нитевидные кристаллы (ах\ = ау\ аг\). Для коэффициентов деполяризации этот случай соответствует сплюснутому эллипсоиду вращения (ах = ау ах), для которого [1] Выражения (3.36) аналогичны формулам (3.6), что связано со сходством картин обтекания препятствий в обоих случаях. Так, при течении вдоль оси z область возмущенного потока (застойная область) имеет вид вытянутого эллипсоида вращения с полуосями 7# йпоги Лв поперечном направлении. Расстояние L до ближайшего в направлении оси z препятствия определяется с помощью формулы (3.8), где теперь с — трехмерная безразмерная концентрация включений, і — средняя длина секущей. Для шара і = 4/з R (48], стр. 90), так что при малых концентрациях L 4/з (R/c). Отсюда получаем условие применимости (3.366): су 1. Противоположный случай су » 1 рассматривав!ся точно гак же, как в 3.2. В результате приходим к формуле, аналогичной (3.13): При произвольных 07(0 1,7 1) также можно высказать гипотезу тина (3.14) о виде аге: Для идеально проводящих включений из (3.33 б) и (3.35) имеем При С7 " 1 диффузионная аналогия приводит к выражению типа (3.16): Для произвольных 07 можно сделать предположение, аналогичное (3.17): Таким образом, свойства нитевидных кристаллов оказываются аналогичными свойствам сильно анизотропных тонких пленок. В частности, с ростом концентрации включений и в нитевидных крисгаллах происходит значительная изогропиза-ция их свойств. 2. В случае слоистых кристаллов (ах\ = ov\ ог\) коэффициенты деполяризации соответствуют вытянутому эллипсоиду вращения [1] : При сильной анизотропии из (3.42) имеем Для диэлектрических включений из (3.33а) и (3.43) получаем В этом случае при обтекании препятствия в любом направлении отсутствует аномально большая застойная область и выражения (3.44) справедливы при всех с 1. Для идеально проводящих включений и і (3.33 б) и (3.43) имеем где е = 2,718... — основание натуральных логарифмов. Причина возникновения аномально большой поправки в oze та же, что и выше. Вид этой поправки несколько иной, чго связано с различием в картинах обтекания идеально проводящего включения для нитевидных и слоистых кристаллов. Условие применимости (3.456) есть с 721п(1/т) Случай с 72 ш(1/т) рассмоірим с помощью диффузионной аналогии. Диффундирующая частица, достиі нув включения, мгновенно сдвигается по z на расстояние R. После этого она диффундирует в плоскости, перпендикулярной оси z, до тех пор, пока не достигнет следующего включения.
Затем частица опять совершит скачок по z на расстояние йи т.д. Для оценки времени между двумя последовательными перескоками заметим, что идеально проводящие включения в задаче о диффузии соответствуют поглощающим ловушкам. Такая задача рассматривалась в работах [72, 73] (см. также главу IX), где была найдена вероятность "выживания" частицы. Среднее время жизни частицы дает оценку для времени между последовательными перескоками т0. В случае нитевидных кристаллов соответствующая диффузия является одномерной (вдоль оси z), іак что оценка с помощью [73] даег То ( L )2/zi, что и использовалось при выводе формулы (3.40). В случае слоистых кристаллов частица совершает двумерную диффузию в плоскости, перпендикулярной оси z. Для оценки т0 в двумерном случае достаточно ограничиться так называемым газовым приближением (см. главу IX), так что по порядку величины имеем [72, 73] гдр щ — число ловушек на единице площади. Для определения величины щ проведем перпендикулярно к оси z плоскость площади S. Она пересечет некоторое количество iV2 включений; соответствующие площади сечений обозначим чарез s,. Согласно [48, стр. 108] при Здесь с — трехмерная концентрация включений (доля занимаемого ими объема). Средняя площадь сечения шара легко находится: s = 2/зтг#2 (см. [48], стр. 96) и из (3.47) получаем так что (3.46) дает Оценивая oze обычным образом (aze R2/r0), получим окончательно Формулы (3.456) и (3.49) можно, по-видимому, считать двумя предельными случаями общего выражения рассмотренном случае с ростом концентрации идеально проводящих включений также происходит значительная изотропизация свойств среды. 3.5. Критическая область 1. Представляют интерес свойства анизотропных неоднородных систем и при немалых с, в особенности в критической области, т.о. в окрестности точки фазового перехода металл-диэлектрик. Будем рассматривать, как и в обычной теории протекания [4, среды с геометрически изотропным случайным распределением компонент. В этом случае для систем с диэлектрическими включениями при критической концентрации протекание через образец прекращается в любом направлении [4]. Это утверждение является чисто геометрическим фактом и не зависиі от свойств матрицы. Отсюда следует, что и в анизотропном случае критическая концентрация является точкой фазовою перехода металл-диэлектрик, в которой обращаются в нуль одновременно все составляющие эффективного тензора проводимости те.
Феноменологическое рассмотрение
Исследование гальваномагнитных характеристик трехмерных неоднородных сред (в частности, бинарных композитов) являєіся актуальной и досгаточно трудной проблемой даже в случае слабого маїшпною ноля Н. Наличие дополнительных (по сравнению со случаем Н = 0) параметров усложняет задачу и приводит, например, к возможности существования различных типов критического поведения эффективною коэффициента Холла [100-108]. Еще более сложного критическою поведения следуег ожидать для магнитосоироіивления, где число дополнительных параметров значительно больше. Тем не менее в разработке теории гальваномагнитных свойств трехмерных двухкомнонентных сред в слабом магнитном поле имеется определенный прогресс. Изучению линейного по Н приближения — эффекта Холла — посвящен ряд работ (см., например, [100-111]). Шкловским [100] предложена удачная аппроксима-ционная формула для описания эффективного коэффициента Холла Re в окрестности точки фазового перехода металл-диэлектрик. Результаты работы [100] даюі качественное описание Re в критической области, оставляя открытым вопрос о количественном подходе к эюй проблеме. В [101-103] получено точное (в линейном по Н приближении) формальное выражение для Re, однако оно не было соответствующим образом теоретически проанализировано и использовалось только для численного исследования коэффициента Холла. В работах [104,105] выражение для Re в случае бинарных систем доведено до уровня двухпараметрической функции (см. ниже), причем дано её явное выражение через напряженность электрического поля в среде при Н = 0. Отметим, что в {100-105] рассмотрен только коэффициент Холла и отсутствует способ вычисления следующих по Н приближений (поправок). В модельном [106] и численном [107] экспериментах при приближении к порогу протекания наблюдался значительный рост величины Re, который не может быть обьяснен обычной теорией эффективной среды [108]. В более поздних рабо-рах [109,110] при исследовании эффекгивного коэффициента Холла численными методами подтвердилось теоретическое предсказание [100,104,105] о существовании двух типов критическою поведения Re. Этот же вывод сделан в [111], где измерялся коэффициент Холла реальных образцов — хаотических смесей микрочастиц А1 и Ge. Следует отметить в то же время, что величина Re в окрестности порога протекания изучена явно недостаточно, так как отсутствует комплексное исследование (как теоретическое, так и численное) коэффициента Холла во всей критической области.
Еще одна важная гальваномагнитная характерне гика неоднородных сред — магнитосопротивление — рассматривалась, в основном, в рамках теории эффективной среды (см., например, [112]), которая не может дать адекватного описания критического поведения этой величины. Гальваномагнитные свойства слабонеоднородной среды в сильном магнитном поле рассматривались в работе [88) во втором порядке теории возмущений. Однако, как было замечено в [64], это приближение становится неприменимым при Я - оо, гак как параметром разложения является величина PS2, где /3 — безразмерное магнитное поле, S2 — квадратичная флуктуация холловской составляющей тензора проводимости среды. Суммирование наиболее существенных членов ряда теории возмущений (при /362 1) показало, что слабонеоднородная среда при Я — оо обладает аномальной поперечной проводимостью: а± 1/Я/3 вместо обычной зависимосги сгд. 1/Я2. Представляющие значительный интерес гальваномагнитные свойства (при Я -» оо) сисгем с резко различающимися про-водимостями компонент не изучены. В настоящей главе дана последовательная схема вычисления гальваномагнитных характеристик неоднородных сред в слабом магнитном поле Н [21]. Путем разложения по степеням Н найдено точное выражение для эффективного коэффициента Холла и выяснена связь с соответствующими результатами работ [101-103] и [104,105]. Для бинарного композита с помощью соображений симметрии в линейном и квадратичном по Н приближениях установлена структура эффективного тензора проводимости де, т.е. его зависимость от гальваномагнитных характеристик отдельных компонент. Коэффициенты при этих характеристиках определяются свойствами среды при Н = 0 и являются функциями двух аргументов — концентрации р и отношения проводимостей компонент h = аг/о"і В квадратичном по Н приближении возникает десять таких феноменологических (не определяемых в теории) функций и еще одна — в линейном. В [21] показано, что большая часть этих функций выражается через напряженность электрического поля в среде при Н = 0, что дает возможность определять их в рамках стандартной задачи о проводимости. С другой стороны, такая связь позволяет, аналогично безразмерной эффективной проводимости f(p, h), дать последовательное описание критического поведения этих двухпараметриче-ских функций в рамках гипотезы подобия. В результате оказывается, что для каждой функции возникает один новый (по сравнению с эффективной проводимостью) критический индекс. Кроме того, между этими функциями в [21] установлен ряд соотношений, так что оказывается, что для коэффициента Холла достаточно ввести один новый критический индекс, а для магнитосопротивления — еще четыре. Связь с напряженностью электрического поля в среде позволила в ходе численных экспериментов [23,113] определить и затабулировать упомянутые выше функции во всем интервале изменения концентрации при ряде значений параметра h. В критической области вычислены все индексы, что позволяет дать описание поведения коэффициента Холла и магнитосопротивления бинарных композитов в окрестности порога протекания в духе гипотезы подобия.
В заключительном разделе главы рассмотрены гальваномагнитные свойства композитов с диэлектрическими включениями в сильном мапштном ноле [114]. Эта задача до некоторой степени сходна с задачей о проводимости сред с сильной естественной анизотропией (см. главу III). Это обстоятельство позволяет использовать аналогичные методы и при рассмотрении случая Н ф 0, когда параметром вириального (группового) разложения является величина /?с, где р, как и выше, безразмерное магнитное поле (/? ; 1), с — концентрация диэлектрических включений (с «С 1). Поэтому линейное по с приближение применимо только при с /J" 1. Отмечено, что из-за явления "запирания" (см. 3.2) продольная проводимость системы с диэлектрическими включениями при переходе от /?с ; 1 к /?с 1 резко надает, обращаясь при ft - со в нуль. Случай /Зг 1 рассмотрен с помощью теории эффективной среды, хорошо зарекомендовавшей себя (по крайней мере на качественном уровне) при исследовании проводимости неоднородных сред с естественной анизотропией (см. 3.7). Оказывается, что в области fie 1 как продольная aze, так и поперечная ахе проводимости ведут себя аномальным образом (aze l/H,oxe 1/#), что приводит к линейной зависимости магнитосопротивления от Н при /? 1/с. Этим результатам дана физическая интерпретация, основанная на рассмотрении картины протекания тока в резко анизотропной среде с учетом холловской составляющей тензора проводимости. Кратко рассмотрена также критическая облаегь концентраций. Отмечено, что, как и в случае сред с естественной анизотропией (см. 3.5), при приближении к порогу протекания система с диэлектрическими включениями практически полностью изотронизуется. Кроме того, рассмотрены гальваномагнитные свойства слабонеоднородных сред. Получено общее выражение для эффекгивного тензора проводимости в квадратичном по флуктуациям приближении. Показано, что при Я —у оо теория эффективной среды для поперечной проводимости дает результат, качественно совпадающий с полученным в работе [64].
