Содержание к диссертации
Введение
1. Характеристики нерегулярного морского волнения и качки судна 13
1.1. Нерегулярное морское волнение 13
1.2. Расчётные спектры морского волнения 19
1.3. Кинематика точки подвеса троса, несущего БПО 27
1.4. Выводы 41
2. Математические модели волнения моря, качки судна и их аппроксимации 43
2.1. Вертикальная качка судна, расположенного лагом к волне 43
2.2. Аппроксимация расчётного спектра морского волнения 51
2.3. Аппроксимация кажущегося спектра морского волнения 59
2.4. Определение параметров фильтра, формирующего нерегулярное морское волнение 63
2.5. Выводы 79
3. Математические модели продольных колебаний в тросе 81
3.1. Разновидности и характеристики тросов 81
3.2. Трение в кабель-тросе 84
3.3. Передаточные функции звена «трос-подводный объект» 87
3.4. Частотные характеристики звена трос-подводный объект 98
3.5. Динамические характеристики троса, нагруженного на волновое сопротивление 103
3.6. Выводы 113
ГЛАВА 4. Математические модели продольных колебаний в звене трос-буксируемый подводный объект 115
4.1. Цепные схемы замещения троса без учета трения в нем 115
4.2. Моделирование звена чистого запаздывания 125
4.3. Цепная схема замещения троса с учетом трения 138
4.4. Свойства и аппроксимация волновой проводимости 147
4.5. Свойства и аппроксимация передаточной функции распространения колебаний в тросе 162
4.6. Применение полиномов Бесселя для аппроксимации функции распространения 171
4.7. Аппроксимация функции распространения для коротких тросов 176
4.8. Коррекция аппроксимации функции распространения 181
4.9. Аппроксимация передаточной функции звена «трос - БПО» 183
4.10. Выводы 190
5. Моделирование морского волнения и влияния качки судна на глубину погружения буксируемого подводного объекта 193
5.1. Моделирование систем в среде MATLAB 193
5.2. Моделирование белого шума 195
5.3. Моделирование нерегулярного морского волнения 203
5.4. Моделирование качки судна и вертикальных перемещений буксируемого подводного объекта 211
5.5. Выводы по результатам математического моделирования 225
6. Система автоматического управления глубиной погружения подводного объекта с установленной на нем амортизирующей лебедкой 226
6.1. Способы стабилизации глубины погружения БПА 226
6.2. Спуско-подъемное устройство с амортизирующей лебедкой 234 6.3. Идеальное подводное амортизирующее устройство 239
6.4. Определение параметров амортизирующей лебедки 242
6.5. Синтез САУ амортизирующей лебедки 252
6.6. Синтез регулятора усилия натяжения дополнительного троса 257
6.7. Моделирование переходных процессов в САУ АЛ
при включении судовой лебедки
6.8. Синтез регулятора длины дополнительного троса 267
6.9. Устойчивость САУ 271
6.10. Выводы 277
Заключение 280
Список литературы 285
- Расчётные спектры морского волнения
- Аппроксимация кажущегося спектра морского волнения
- Динамические характеристики троса, нагруженного на волновое сопротивление
- Моделирование качки судна и вертикальных перемещений буксируемого подводного объекта
Введение к работе
Актуальность исследований. Буксируемые подводные объекты (БПО) зонды, аппараты, тралы и т д - широко используются для исследования и освоения Мирового океана благодаря таким важным преимуществам по сравнению с автономными подводными аппаратами, как отсутствие опасности для жизни обслуживающего персонала, значительно большее время непрерывной работы БПО соединены с судном-носителем гибкой механической связью -тросом или кабель-тросом Эта связь используется для управления глубиной погружения БПО, обмена информацией между судном и БПО и передачи электроэнергии на БПО
Система трос-БПО обладает множеством резонансных частот, которые при длине троса в один километр и более могут совпадать с частотами качки судна-носителя, вызванной морским волнением При этом вертикальная качка БПО может в несколько раз превосходить качку точки крепления троса к судну-носителю, а в тросе могут возникнуть опасные динамические усилия, которые способны привести к его обрыву Из-за рывков в тросе возможно самопроизвольное срабатывание регистрирующих приборов, установленных на БПО, увеличивается погрешность показаний чувствительных измерительных преобразователей, возможны потеря и разрушение приборов и оборудования Трудности при выводе БПО на заданную глубину погружения и сползание приборов по тросу под действием качки судна-носителя приводят к необходимости проведения повторных работ При длине троса до шести километров уже при волнении два-три балла оказывалось невозможным производить захват малоразмерных затонувших предметов и т п , хотя масса БПО достигала нескольких тонн. Наблюдались удары БПО о грунт и взмучивание донных осадков
Таким образом, успешное использование БПО во многом определяется тем, как при проектировании системы для производства подводных работ, состоящей из судна-носителя, троса и БПО, учтены свойства звена трос-БПО, какие меры предприняты для уменьшения влияния качки судна-носителя на отклонение глубины погружения БПО Отсутствие адекватных математических моделей волнения моря, качки судна и гибкой механической связи может стать причиной неверного выбора параметров устройства, демпфирующего колебания глубины погружения БПО Это может привести не к уменьшению, а к увеличению размаха этих колебаний
В настоящее время при разработке ряда судовых конструкций, устройств и систем традиционно используется математический аппарат для описания поведения рассматриваемых элементов в частотной области спектральные характеристики морского волнения и частотные характеристики, соответствующие передаточным функциям, связывающим морское волнение с перемещением определенной точки судна Применительно к исследуемому комплексу такое описание оказывается недостаточным, т к не обеспечивает необходимую точность Поэтому следует рассматривать поведение объекта, на который воздействует морское волнение, во временной области Те необходимо моделировать воз-
действие случайного процесса морского волнения на объект, движение элементов которого определяется системой дифференциальных уравнений
Управление глубиной погружения БПО осуществляется при помощи гибкой механической связи - троса или кабель-троса, который является звеном с распределенными параметрами При использовании системы стабилизации глубины погружения, необходимо учитывать внутреннее трение троса и трение его о воду для определения статистических характеристик - дисперсий перемещения и его производных, а также усилия в точке крепления троса Максимальные значения этих величин, найденные для некоторой, принятой в качестве предельно допустимой, степени морского волнения, позволят рассчитать параметры подводного амортизирующего устройства (ПАУ) Поэтому необходимо разработать математическую модель троса как системы с распределенными параметрами, позволяющую учесть внутреннее трение в нем и трение его о воду, а также разработать систему автоматического управления (САУ), компенсирующую влияние качки судна и позволяющую управлять глубиной погружения БПО.
Создание новых методик и математических моделей позволит разработать новое поколение глубоководных буксируемых систем, более надежных и приспособленных для работы в условиях морского волнения, с расширенным перечнем подводных работ и значительным увеличенным средним временем их непрерывного проведения, снизить затраты на создание судна-носителя и проведение подводных работ
Цель и задачи исследования. Цель диссертационной работы — изучение влияния нерегулярного морского волнения, вызывающего качку судна-носителя, на изменение глубины погружения БПО и разработка способа гашения этого влияния
Для достижения указанной цели поставлены и решены следующие задачи
Разработаны методики аппроксимации расчетного спектра нерегулярного морского волнения и кажущихся спектров при попутном и встречном волнении, которые позволяют производить моделирование соответствующих случайных процессов во временной области с требуемой точностью
Предложен метод расчета амплитудно-частотной характеристики вертикальной качки судна при его расположении лагом к волне, позволяющей производить расчеты во временной области при любой интенсивности морского волнения
Разработаны математические модели продольных упругих волн в тросе с учетом его распределенных параметров, внутреннего трения и трения его о воду. Определены методики аппроксимаций этих моделей, позволяющие рассчитывать во временной области указанные колебания, вызванные качкой судна и работой лебедок, и дать количественную оценку влияния трения на частотные и статистические характеристики буксируемого комплекса.
Определена целесообразность компенсации влияния качки судна-носителя на глубину погружения БПО с использованием амортизирующей лебедки (АЛ), установленной на БПО
Разработаны методики определения параметров АЛ, структуры САУ АЛ и параметров ее регуляторов
Методы исследований, достоверность результатов. Решение поставленных задач основано на использовании теории корабля, теоретической механики и теории автоматического управления. Решение дифференциальных уравнений выполнено с помощью преобразования Лапласа и методов конечных элементов При определении передаточных функций и матриц использовались метод графов и векторно-матричные преобразования. Широко применялись методы аппроксимации, численного моделирования, теории вероятностей и математической статистики
Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью разработанных математических моделей, их адекватностью по известным критериям оценки изучаемых процессов, использованием известных положений фундаментальных наук, близостью полученных теоретических результатов с данными экспериментов и результатами исследований других авторов
Научная новизна заключается в следующем 1 Разработаны методики дробно-рациональных аппроксимаций расчетного спектра морского волнения и кажущихся спектров при попутном и встречном волнении, позволяющие производить расчеты во временной области с требуемой точностью и вычислять ширину спектра и средний интервал времени между последовательными максимумами волнового профиля
2. Предложена передаточная функция вертикальной качки судна при его расположении лагом к волне, существенно снижающая трудоемкость вычислений и дающая возможность производить расчеты для любой интенсивности морского волнения
3 Разработана математическая модель троса как системы с распределенными параметрами, позволяющая учесть внутреннее трение в нем и трение его о воду и дать количественную оценку влияния этих физических явлений на распространение в тросе продольных упругих волн.
4. Предложены аппроксимации передаточных функций звена «трос-БПО» и звена «бесконечно длинный трос», которые позволяют рассчитывать переходные процессы в этих звеньях при различных воздействиях с высокой точностью
Предложен и разработан способ компенсации влияния качки судна-носителя на глубину погружения БПО
Разработана методика определения параметров АЛ, при которых достигается минимизация массы или приведенного к валу барабана АЛ момента инерции ее электропривода Предложена структура САУ АЛ, обеспечивающая устойчивость и эффективность её работы во всех режимах, и способ определения параметров ее регуляторов
Практическая ценность состоит в решении ряда важных прикладных задач, связанных с достижением высокой эффективности управления вертикальными перемещениями буксируемых подводных объектов и расширением их функциональных возможностей Разработанные методики и полученные результаты позволят создать новое поколение глубоководных буксируемых систем, более надежных и приспособленных для работы в условиях морского волнения, с расширенным перечнем подводных работ и значительным увеличенным средним временем их непрерывного проведения, достигая при этом снижения затрат на создание судна-носителя и проведение подводных работ
Разработанная математическая модель троса, учитывающая его упругие, инерционные, демпфирующие свойства, а также внутреннее трение в нем и трение его о воду, позволяет определить расчетные параметры ПАУ мощность и скорость лебедки
Предложенные новые способы аппроксимации трансцендентных и иррациональных передаточных функций, основанные на применении Паде аппроксимации с полиномами Чебышева, позволяют рассчитывать переходные процессы в системе «судно - кабель-трос - БПО» при различных воздействиях.
Для автоматического управления и компенсации влияния качки судно на глубину погружения БПО предложено спуско-подъемное устройство (СПУ) с АЛ, установленной на подводном аппарате Ее масса и мощность, требуемая для компенсации качки, в десятки раз меньше, чем у судовой лебедки АЛ эффективно гасит продольные колебания, упрощает конструкцию СПУ и значительно увеличивает срок службы кабель-троса
Предложенный способ определения параметров регулятора, который контролирует усилие натяжения дополнительного троса АЛ, и регулятора длины этого гроса обеспечивает устойчивость САУ и эффективную компенсацию качки судна при различной степени волнения и любой длине кабель-троса
Положения, выносимые на защиту. 1. Аппроксимации расчетного спектра морского волнения и кажущихся спектров при попутном и встречном волнении
Математическая модель вертикальной качки судна, расположенного лагом к направлению волнения
Математические модели системы трос — БПО и их аппроксимации
Рекомендации по численному моделированию морского волнения и вызываемых им качки судна и изменения глубины погружения БПО
5. Технические решения, которые обеспечивают гашение колебаний глубины погружения БПО, вызванных морским волнением
Реализация результатов работы. Проведенные исследования являлись частью одного из основных направлений научно-исследовательских работ ДВГТУ. Они выполнялись в рамках госбюджетных тем ГБ 53 1 2 95 «Разработка и исследование способа компенсации влияния качки судна на глубину погружения буксируемых объектов», «Разработка теоретических основ управления амортизирующими подвижными объектами», которая выполнялась по гранту Министерства общего и профессионального образования РФ в период с 1998 г. по 2000 г Ряд работ выполнялся по Заказ-нарядам этого же министерства1 «Разработка математических методов определения устойчивости и синтеза регуляторов нелинейной системы управления глубиной погружения буксируемого подводного объекта с учетом распределенных параметров буксирного троса» — с 1998 г по 2001 г, «Импульсное исследование стохастических процессов в системе с распределенными параметрами» - с 2002 г. по 2004 г , «Исследование влияния скорости воздействия случайного эргодического процесса на объект с распределенными параметрами» - с 2005 г по настоящее время.
Рукопись монографии «Системы управления глубиной погружения буксируемых объектов» готовилась в соответствии с федеральной целевой программой «Интеграция науки и высшего образования России на 2002 - 2006 годы» Монография выпушена издательством «Дальнаука» в 2006 г Она может использоваться как учебное пособие для студентов, магистрантов и аспирантов и имеет гриф Дальневосточного регионального учебно-методического центра
Полученные результаты используются в учебном процессе ДВГТУ, ДВГТРУ и ТОВМИ им С О Макарова по курсам «Управление морскими подвижными объектами», «Моделирование судового электрооборудования и средств автоматики», «Теория автоматического управления», «Автоматизация судовождения», «Теория и устройство судна», «Основы управления судном», «Технические средства судовождения», в курсовом и дипломном проектировании
Апробация работы. Основные результаты работы доложены и обсуждены на международных и всероссийских научно-технических симпозиумах, форумах и конференциях «Кораблестроение и океанотехника Проблемы и перспективы» (Владивосток, 1998), «Рыбохозяйственные исследования Мирового океана» (Владивосток, 2002, 2005), «Рыбохозяйственное образование Камчатки в XXI веке» (Петропавловск-Камчатский, 2002), Форум по проблемам науки, техники, образования (Москва, 2002-2004), «Технологическая системотехника» (Тула, 2003, 2005), «Компьютерное моделирование» (Санкт-Петербург, 2004), Symposium Maritime Elektrotechmk, Elektronik und Informationstechnik (Rostock, Germany, 2004), «Технические проблемы освоения Мирового океана» (Владивосток, 2005), «Проблемы транспорта Дальнего Воотока» (Владивосток, 2005), «Наука и образование» (Мурманск, 2005), «Российская школа по проблемам науки и технологий» (Миасс, 2006) — а также в научно-технических конференциях «Вологдинские чтения» ДВГТУ (1994-2005)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 43 научные работы, в том числе одна монография, шесть работ — в изданиях, рекомендованных ВАК, 12 - в материалах международных конференций и симпозиумов, одна - в материалах всероссийской школы по проблемам науки и технологий, четыре работы депонированы в ЦНИИ им акад А Н Крылова Получены два патента на изобретение
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и приложения Основное содержание работы изложено на 304 с. Работа содержит 93 рис, пять табл и список литературы из 208 наименований
Расчётные спектры морского волнения
Под действием внешних возмущений в жидкости, находящейся под влиянием поля силы тяжести, возникают гравитационные волны. К ним относятся ветровые волны, волны, вызываемые движением тел, волны внутренние, возникающие на границе раздела жидкостей с разной плотностью или в неоднородных жидкостях, приливные волны, а также цунами. Выведенная из состояния равновесия жидкость совершает колебания. Для судостроения имеют наибольшее значение гравитационные волны на свободной поверхности [17].
Морское волнение имеет хаотический характер: следующие одна за другой волны отличаются по форме, амплитуде и периоду. Такое волнение называется нерегулярным, его рассматривают как случайный вероятностный процесс.
Т.к. волнение проходит стадии зарождения, развития и затухания, то оно является случайным нестационарным процессом. Для коротких интервалов времени, в пределах от нескольких десятков минут до нескольких часов, волнение можно рассматривать как стационарный эргодический процесс. Такой подход значительно упрощает математическое описание как самого волнения, так и результатов его воздействия на различные объекты, в частности, качки судна.
Основные статистические характеристики, соответствующие общепринятой математической модели нерегулярного морского волнения [17-26], приведены ниже. Считается, что ординаты волнения С, распределены по нормальному закону, при этом плотность распределения определяется следующим выражением:
Установлено, что при большой глубине моря, когда она, по крайней мере, в десять раз превосходит среднюю высоту волн, распределение высоты волн h подчиняется закону Рэлея. Согласно этому закону плотность f(h) и функция F(h) распределения высоты волны описываются выражениями:
Закон Рэлея относится к процессам (t), форма которых в интервале между соседними нулями мало отличается от синусоиды и имеет один экстремум. Тем самым используется возможность пренебрегать малыми амплитудами вторичных колебаний, накладывающихся на основной волновой профиль.
В отечественной практике интенсивность волнения определяется по высоте волны с обеспеченностью (вероятностью превышения) 3%, которая обозначается /z3% (табл. 1.1). Из уравнения F(h) = 0,03 находится связь между этой характерной высотой волны и дисперсией волнения
За рубежом для оценки интенсивности волнения используют значительную высоту волн h\/2, под которой понимают среднюю высоту 1/3 наибольших из рассматриваемой статистической совокупности волн. В соответствии с законом Рэлея hxn имеет обеспеченность 13,5%. Значительная высота волн связана с дисперсией волнения и /т3о/о следующими соотношениями:
Математическое ожидание и дисперсия не дают полного представления о характере реализаций случайного процесса. У разных случайных функций с различным поведением могут быть одинаковыми и математическое ожидание, и дисперсия. Связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени t\ и t2 (степень изменчивости случайного процесса) определяет корреляционная функция этого процесса. Применительно к морскому волнению, у которого математическое ожидание волновой ординаты равно нулю, корреляционная функция определяется как среднее по времени от произведения ф) и ф + г), где т- разность аргументов t2 \,
Начальное значение корреляционной функции имеет наибольшее значение и равно дисперсии случайного процесса: При аппроксимации корреляционной функции, полученной опытным путём при конечном значении Т, учитывают и другие её важные свойства: значение корреляционной функции при любом т не может превышать её начального значения, т. е. К (0) Л -(г); корреляционная функция есть чётная функция, т. е. К (т) = К (-т); по своему графику корреляционная функция таких типичных случайных стационарных процессов, к которым принадлежит морское волнение, напоминает затухающий колебательный процесс. При исследовании воздействия случайных стационарных процессов на изучаемые системы пользуются ещё одной характеристикой таких процессов, называемой спектральной плотностью. Спектральная плотность характеризует распределение мощности случайного процесса по частоте составляющих его колебаний.
Корреляционная функция случайного процесса К (т) и его спектральная плотность Sc(co) связаны друг с другом преобразованием Фурье (здесь со - угловая частота). Так как К (т) и S (co) являются чётными вещественными функциями, то можно отказаться от комплексной формы преобразования Фурье и перейти к полу бесконечным пределам интегрирования:
Эта зависимость позволяет оценить точность аппроксимации спектральной плотности. Кроме того, следует обязательно учитывать, что спектральная плотность случайной стационарной функции есть функция неотрицательная при любом значении частоты.
С помощью спектральной плотности ординат волнения можно получить спектральные плотности скоростей Sr (со) и ускорений (бу)этих ординат, а также дисперсии скоростей (& ) и ускорений D (co) волновых ординат:
Узким считается спектр, у которого є 0,4, при этом распределение амплитуд и высот волн точнее следует закону Рэлея. В противном случае спектр называется широким. С приближением є к единице распределение экстремумов лучше определяется сначала законом Раиса, а затем нормальным законом [18, 22]. Выражения (1.8)-(1.10) используются в теории автоматического управления, в теории сигналов и систем, а также в информатике [23-31]. В математике, в частности, в теории вероятностей и в математической статистике, поступают наоборот: спектральная плотность получается с помощью обратного преобразования Фурье корреляционной функции, которая, в свою очередь, находится по спектральной плотности с помощью прямого преобразования Фурье [33, 34]. Т.к. при этом в выражении (1.8) коэффициент 2 заменяется коэффициентом —, то спектральная плотность, соответствующая подходу, принятому в математической статистике, в 2л-раз меньше, чем спектральная плотность, выраженная в соответствии с теорией автоматического управления. В литературе по теории корабля использован третий способ определения спектральной плотности: в выражении (1.8) перед интегралом имеется коэф 2 фициент — [17-22]. Это позволяет отказаться от коэффициентов перед инте ж тралами (1.9) и (1.10). Несмотря на очевидное упрощение этих формул, ниже будет использовано определение спектральной плотности, соответствующее выражениям (1.8)-(1.10). Этот выбор обусловлен тем, что в литературе по управлению морскими подвижными объектами традиционно применяются спектральные плотности волнения и качки судна, которые находятся путём прямого преобразования Фурье соответствующих корреляционных функций [23-26, 32]. Заимствованные из литературы по теории корабля выражения расчётных спектральных плотностей нерегулярного волнения будут умножаться на ж.
Аппроксимация кажущегося спектра морского волнения
Точкой подвеса троса, связанного с опускным контейнером с научной аппаратурой (зондом), можно считать верхний канифас-блок океанологической лебёдки, установленной на судне-носителе. В случае привязных или буксируемых подводных аппаратов такой точкой является последний от тяговой (буксирной) лебёдки шкив, после которого трос (кабель-трос), связанный с аппаратом, уходит в воду. При качке судна, вызванной морским волнением, точка подвеса троса совершает колебания. Продольные, по отношению к оси троса, составляющие этих колебаний создают воздействующие на БПО продольные колебания в тросе. Поперечные же составляющие этих колебаний под действием сопротивления воды быстро затухают с ростом расстояния от точки подвеса троса. По указанной причине поперечные колебания в тросе ниже не рассматриваются. Качка точки подвеса троса зависит от её размещения, расположения судна по отношению к генеральному направлению распространения волн, интенсивности волнения и скорости хода судна.
Проще всего можно рассчитать качку точки подвеса троса применительно к устройствам для спуска научной аппаратуры через судовые шахты, расположенные в диаметральной плоскости судна у его миделя. В этом случае можно пренебрегать бортовой и килевой качкой, а также рысканьем судна. Кроме того, можно не учитывать продольно-горизонтальную и поперечно-горизонтальную качки, которые создают поперечные колебания в тросе. Таким образом, из шести видов качки продольные колебания в тросе вызывает лишь один - вертикальная качка.
Похожая ситуация имеет место и применительно к привязным или буксируемым подводным аппаратам, которые спускают с кормы судна через шкив, расположенный в диаметральной плоскости судна, если оно расположено лагом к генеральному направлению распространения волн, а волнение рассматривается двухмерным. В этом случае судно подвержено только трём видам качки: вертикальной, поперечно-горизонтальной и бортовой, причём все они не зависят от скорости судна. Поперечно-горизонтальную качку можно не учитывать по указанной выше причине. Вертикальные перемещения шкива под действием бортовой качки пренебрежимо малы. Следовательно, необходимо рассчитывать только вертикальную качку судна, которая практически равна вертикальной качке точки подвеса троса. Если судно имеет ход, то трос уходит в воду под углом а к вертикали. Этот угол определяется гидродинамическими силами, действующими на трос и подводный аппарат со стороны набегающего потока воды, а также весом этих элементов. Расчётные продольные колебания верхней точки троса получаются умножением вертикальной качки точки подвеса троса на cosa.
При изменении курса судна на 90, вместо бортовой качки, кроме вертикальной, станет действовать килевая. Промежуточные значения курса судна обычно не рассматривают по следующим соображениям. Если использо 29 вать двухмерную модель волнения, то бортовая качка имеет максимальную дисперсию на некотором промежуточном курсе. Но в этом случае она лишь немногим больше, чем при расположении судна лагом к волнению. Аналогичное заключение можно сделать и в отношении килевой качки. Дисперсия килевой качки при движении судна по направлению распространения волн лишь немногим меньше, чем при некотором промежуточном курсе судна. Если же использовать трёхмерную модель, то максимальная дисперсия бортовой качки соответствует расположению судна лагом к волнению, а килевой качки - при ходе судна по волнению. Причём как для трёхмерной, так и для двухмерной модели волнения, эти значения дисперсии практически одинаковы. Такие выводы следуют из содержания [21].
Если судно имеет ход, то расчётный спектр волнения следует заменить на кажущийся. Кажущаяся угловая частота волнения определяется выражением [18, 21-26, 41]: где g - ускорение свободного падения, V - скорость судна, - угол между направлением скорости судна и генеральным направлением распространения волн, который равен нулю при встречном волнении и п при попутном волнении. В выражении (1.23) применена операция нахождения абсолютного значения в связи с тем, что спектральная плотность является чётной функцией. Переходя к относительным частотам, в качестве базовой величины, как и ранее, выбирается угловая частота максимума спектра сот,
Движение судна носителя с привязными и буксируемыми подводными аппаратами, оснащенными научными приборами, производится со скоростью не более трёх-пяти узлов при волнении до пяти баллов.
На рис. 1.2 приведены графики кажущейся угловой частоты xv в функции от истинной угловой частоты х, а также нормированного спектра (1.21). Рис. 1.2, а относится к движению судна-носителя со скоростью 3 узла при волнении 4 балла, а рис. 1.2, б соответствует скорости 5 узлов и волнению 3 балла.
Графики нормированного спектра волнения (1) и кажущейся частоты при встречном (2) и попутном (3) волнении: а - скорость судна 3 узла, волнение 4 балла, параметр а = 0,156; б - скорость судна 5 узлов, волнение 3 балла, параметр а = 0,316
Видно, что при встречном волнении кажущаяся частота больше истинной, а при согласном волнении - меньше истинной (при согласном волнении и большой скорости судна, когда a l/xmin=l,6, кажущаяся частота также больше истинной, как и при встречном волнении). При определении нормированного кажущегося спектра S(v(xv) необходимо учитывать, что энергия морского волнения, соответствующая истинному и кажущемуся спектрам, одна и та же [24—26].
Во втором случае, при больших значениях параметра а, когда а (для спектра (1.19) xmin= 0,625), также используется только одно выражение -(1.30). Такому значению параметра а соответствуют скорости, которые превосходят 25 - 30 узлов. В настоящее время буксировка БПО с такими боль 33 шими скоростями не производится. Поэтому далее этот случай не рассматривается.
Как для первого, так и для второго случая получается однозначная функция, определяющая спектр s v(xv).
В третьем случае, при промежуточных значениях параметра а, необходимо использовать минимум два из выражений (1.28)—(1.30). В результате получится неоднозначная функция, с двумя или, в наиболее общем случае, даже с тремя ветвями на участке 0 xv 0,5/а. Нормированный кажущийся спектр определяется суммой значений для каждой ветви: J s (x(xv \)dxv+ I s (x(xv )2 )dxv + $sc (x{xv \ )dxv где находящаяся в числителе сумма представляет собой функцию, составленную из кусков. На участке 0 xv — в эту функцию входят все три слагаемых, а за пределами этого участка - только третье слагаемое. Знаменатель выражения (1.31) - дисперсия Дг этой функции (числителя выражения (1.31)). В графике получаемого при этом кажущегося спектра при xv= 0,25/а имеется разрыв, что хорошо видно на рис. 1.4 при а = 0,316.
В [24] и [25] отмечается, что наличие указанного разрыва в кажущемся спектре при попутном волнении подтверждается данными экспериментальных исследований. Рис. 1.4 показывает, что при попутном волнении спектр сужается и смещается в область низких частот. Такое изменение спектра свидетельствует о приближении возмущения, действующего со стороны морского волнения на судно-носитель, к регулярному.
Динамические характеристики троса, нагруженного на волновое сопротивление
Рассмотренная методика [99] не позволяет найти аналитические выражения для расчета переходных процессов в случае учета внутреннего трения в тросе. Рассчитать переходный процесс численным методом можно с использованием 111111 Femlab, разработанного фирмой Comsol [101, 102].
Femlab - это комплекс инструментальных и технологических средств для моделирования физических процессов в статических и динамических объектах с пространственно распределенными параметрами. Программное обеспечение пакета поддерживает конечноэлементную технологию вместе с адаптивным построением сетки и контролем ошибок при работе с различными численными решателями. Femlab был разработан как единственная платформа для всех операций конечноэлементного физико-математического моделирования. По словам разработчиков, этот пакет может стать техническим по стандартом для мультифизического моделирования систем с пространственно-распределенными параметрами [103].
Суть метода конечных элементов [104], положенного в основу решателей Femlab, заключается в следующем. Весь интервал поиска решения разбивается на конечное число частей (элементов), соединяющихся между собой и с концами интервала в узловых точках. В пределах каждого элемента задается функция. Она определяется своими значениями в узлах на концах элемента. Если отыскиваемая функция является непрерывной, то значения ее в каждом узле для соседних элементов совпадают. Таким образом, метод конечных элементов заменяет задачу отыскания функции на задачу отыскания конечного числа ее приближенных значений в отдельных точках-узлах. Если исходная задача состоит из дифференциального уравнения с соответствующими граничными состояниями, то задача метода конечных элементов относительно ее значений в узлах представляет собой систему алгебраических уравнений.
Расчет производился для наиболее тяжелого режима работы системы, когда изменение положения верхнего конца троса осуществляется с бесконечно большой скоростью: x(t, 0)=1(ґ) [42, 98]. При задании второго граничного состояния полагалось, что нижний конец троса жестко закреплен. Расчет выполнялся для троса КГП-1-20 длиной 10 км (время прохождения волны по тросу Г/=2,49 с, коэффициент трения троса о воду vmp=0,05 с"1, постоянная времени внутреннего трения ттр=0,0\ с) для точки, отстоящей от начала троса на расстояние 4 км.
Внутреннее трение в тросе уменьшает время запаздывания при распространении волны возмущения и уменьшает крутизну фронта, но не способствует затуханию процесса по мере перемещения.
Графики, приведенные на рис. 3.8, а, б, демонстрируют существенное искажение описанного выше процесса. Переходный процесс имеет явно выраженный колебательный характер и значительное перерегулирование.
На рис. 3.9 приведены результаты расчета для случая синусоидального воздействия, приложенного к верхнему концу троса.
Из рис. 3.9 видно, что установившееся значение соответствует амплитуде, найденной по АЧХ, рассчитанной по формуле (3.23) при соответствующей частоте. Чем длиннее трос и чем выше частота возмущающего воз 113 действия, тем сильнее уменьшается амплитуда перемещения его нижнего конца. Т.е. расчет непрерывных функций производится в Femlab с высокой точностью.
Однако при моделировании реакций системы на скачкообразные воздействия использование Femlab может привести к ошибочным результатам. Для получения адекватных результатов необходимо определить такую математическую модель системы, которая позволит решить задачу с достаточной точностью.
При расчетах колебаний тросов и грузов на них, особенно в резонансных и нестационарных режимах, необходимо учитывать силы внутреннего трения в тросах и силу трения троса о воду.
Как внутреннее, так и внешнее трение не изменяет частоты резонансных максимумов и фазовое запаздывание, соответствующее этим частотам.
При использовании системы стабилизации, содержащей подводное амортизирующее устройство (ПАУ), учет трения позволяет определить статистические характеристики - дисперсии перемещения и его произ 114 водные, а также усилия в точке крепления троса. Максимальные значения этих величин, найденные для некоторой, принятой в качестве предельно допустимой, степени морского волнения, позволят рассчитать параметры ПАУ.
Математическое описание динамических процессов в бесконечно длинном тросе со свободным нижним концом на некотором расстоянии от верхнего конца троса эквивалентно модели троса, нагруженного на волновое сопротивление на этом же расстоянии от верхнего конца троса.
Анализ АЧХ показал, что в бесконечно длинном тросе с учетом внутреннего трения амплитуды убывают с ростом частоты. Чем больше длина троса, тем быстрее уменьшается амплитуда с ростом частоты. Трение троса о воду приводит к практически равномерному снижению амплитуды во всем диапазоне частоты. Величина этого снижения зависит от материала троса, его диаметра и длины.
Анализ переходных процессов показал, что в бесконечно длинном тросе с учетом трения о воду распространение фронта волны возмущения происходит с постоянной скоростью, и перемещение нижнего конца троса вне запно принимает конечное значение при t —. При этом амплитуда сту w пени меняется при перемещении. По мере перемещения волны по тросу наблюдается затухание процесса. Внутреннее трение в тросе уменьшает время запаздывания при распространении волны возмущения и уменьшает крутизну фронта, но не способствует затуханию процесса по мере перемещения. И.При моделировании реакций системы с идеальным ПАУ на скачкообразные воздействия использование пакетов компьютерной математики может привести к ошибочным результатам. Для получения адекватных результатов необходимо определить такую математическую модель системы, которая позволит решить задачу с достаточной точностью.
Моделирование качки судна и вертикальных перемещений буксируемого подводного объекта
Видно, что аппроксимация цепной дробью (У ) значительно уступает полученным с помощью Паде аппроксимации с полиномами Чебышева, причём приближение аппроксимирующих функций к исходной улучшается с увеличением порядка рациональной функции с четырёх (Yw ) до пяти (YTCli).
Приведённая сравнительная характеристика различных аппроксимаций волновой проводимости внутреннего трения подтверждается также анализом переходных характеристик. Максимальная погрешность для переходной характеристики, соответствующей YTa\, (менее 0,004) меньше, чем для Yxa, в два с лишним раза и почти в десять раз меньше, чем для переходной характеристики, соответствующей Y&.
Таким образом, можно сделать вывод, что волновую проводимость внутреннего трения целесообразно аппроксимировать с помощью Паде аппроксимации с полиномами Чебышева. Полученные таким путём погрешности аппроксимации малы и несущественны для решения задач, связанных с моделированием волновых процессов в тросе.
Передаточная функция распространения колебаний в тросе (коротко -функция распространения), представляет собой отношение изображений по Лапласу перемещений (или скоростей, или ускорений) двух таких сечений бесконечно длинного троса, которые находятся на расстоянии L друг от друга. Это расстояние волна деформации троса проходит со скоростью звука за время xL. Эта функция, наряду с волновой проводимостью и передаточной функцией БПО, описывает процессы в системе с тросом конечной длины. В разделе 3.5 получено следующее выражение функции распространения
В приведённом виде эта функция не может использоваться для моделирования процессов во временной области, и поэтому её необходимо аппроксимировать рациональными функциями. В аппроксимирующих выражениях возможно также применение функций чистого запаздывания. Для упрощения результатов символьных преобразований выполним замену переменной s=s0 -і
При больших значениях s0 вместо -yjs0 + v0 s0 можно использовать более простое выражение (s0 +0,5-v0), которое представляет собой два первых члена разложения исходного выражения в ряд Маклорена. При этом получается следующее выражение функции распространения
Начальное значение этой функции (при so=0) определяется двумя первыми членами разложения exp(-0,5vo) в ряд Маклорена и равно l-v0.
На рис. 4.22 показаны амплитудные и фазовые частотные характеристики, соответствующие WXQ и Wx\ при xL - lc, v = 0,05 с" , х — 0,01 с.
Различие между характеристиками, соответствующими W& и WxX, проявляется только при малых значениях угловой частоты. Для лучшего проявления указанного различия фазовые характеристики построены в диапазоне частот, который в десять раз меньше, чем у амплитудных характеристик.
А.Г.Беловым был предложен метод, с помощью которого можно найти аппроксимацию функции Wx\. Основная идея этого метода заключается в упрощении выражения производной аргумента экспоненциальной функции с последующим интегрированием полученного упрощенного выражения. В ходе выполнения этих и последующих операций опустим нижние индексы «о» у всех величин.
Отметим, что предел / при стремлении s к бесконечности равен нулю при сколь угодно малом значении т.
Если в выражении S-«J(\ + V)-(T-S + V/S) пренебречь произведением VT, которое в тысячи раз меньше единицы, и вместо радикала взять два первых члена его разложения в ряд Маклорена, то это выражение примет вид
Максимальное отличие Wx\a от Wx\ имеет место при =0 и составляет 0,0003. Это отличие быстро убывает с ростом s, составляя 0,6-10"6 при s=6. Для определения аппроксимирующей функции, точнее отражающей влияние внешнего трения при малых значениях s, чем множитель 1-0,5-v, произведём ряд операций с использованием показанного выше метода.
Выполним подстановку s=vr в выражение sjs2 +v-s и продифференцируем его по г. К результату прибавим слагаемое (-v), учитывающее, что предел производной / при стремлении s к бесконечности равен нулю, и получим
Эта функция очень близка к Wxo на всём протяжении положительной полуоси s. Максимальное значение разности между этими функциями при v = 0,05 с"1 и т= 0,01 с не превосходит 4,2-10"5.
Видно, что с увеличением длины троса происходит более быстрое уменьшение значений амплитудных частотных характеристик и рост абсолютных значений фазовых частотных характеристик. Этот вывод вполне согласуется с представлениями о физических процессах, соответствующим этим характеристикам.
Значение Wxva при 5=со отличается от единицы на l-exp(-0,5vr/,) или, примерно, на 0,5VT/_. Это отличие уменьшается с уменьшением tL. При малой длине троса, когда т/ 0,1с, указанное отличие становится пренебрежимо малым (при v = 0,05 с оно становится меньше 0,025%). Поэтому при xL 0,1 с передаточную функцию Wxva можно считать равной единице, тем самым пренебрегая влиянием трения троса о воду.
Недостаток аппроксимации функции распространения в виде выраже т ния (4.88) заключается в том, что отношение —- нужно округлять до бли г жайшего целого числа. Максимально возможная погрешность от такого округления ТЄМ больше, ЧЄМ Меньше Г/,.
Кроме того, выражение (4.88) имеет погрешность, заметно возрастающую при малых значениях zL. При v = 0 и т = 0,01 с отличие Wxa от Wx не превосходит 6" 10" , если г/, не меньше 1 с. Это отличие увеличивается до 6 10" 4 при zL = 0,1 с и до 0,04 при tL = 0,01 с. То же можно отметить и при расчете переходной характеристики аппроксимирующей функции Wxa. Так, при г = 0,01 с и zL = 0,05 с погрешность аппроксимирующей переходной характеристики ещё приемлема и составляет 0,008. Но уже при zL = 0,02 с погрешность увеличивается до 0,03.
Таким образом, предлагаемую аппроксимирующую функцию Wxa целесообразно применять, непосредственно или в качестве основы для последующей аппроксимации, при zL не меньше 0,05 с [42, 115].
При увеличении длины троса возрастает порядок передаточной функции Wxa, что приводит к быстрому росту времени, которое системы компьютерной математики затрачивают на осуществление обратного преобразования Лапласа функции Wxals. Ещё один недостаток, вызванный высоким порядком Wxa, проявляется в том, что на некоторых интервалах времени компьютерная система не может выполнить расчёт.
