Содержание к диссертации
Введение
1. Моделирование сигналов лазерной триангуляционной системы 19
1.1. Вводные замечания 19
1.2. Построение модели сигнала с фотоприёмника 20
1.3. Анализ эффективности моделирования сигнала 26
1.4. Выводы 34
2. Синтез и анализ алгоритма оценивания положения одиночного видеоимпульса 36
2.1. Вводные замечания 36
2.2. Обзор методов получения эталонных оценок 38
2.3. Синтез косвенного метода оценки положения импульса 45
2.4. Анализ косвенного метода оценки положения импульса 54
2.5. Параметрическая оптимизация косвенного алгоритма 64
2.6. Выводы 68
3. Адаптивная калибровка лазерных триангуляционньгх систем 70
3.1. Вводные замечания 70
3.2. Двухпараметрическая калибровка триангуляционного сенсора 71
3.3. Интерполяция двумерной калибровочной зависимости на неравномерной сетке 77
3.4. Экстраполяция калибровочной зависимости 84
3.5. Выводы 84
4. Вычислительная оптимизация алгоритмов первичной обработки в лазерных триангуляционных системах 87
4.1. Вводные замечания 87
4.2. Комбинированный метод нахождения центра тяжести 87
4.3. Рекурсивное преобразование косвенного алгоритма нахождения положения импульса 91
4.4. Оптимизация логического блока косвенного метода 97
4.5. Параметрическая оптимизация цифровых фильтров с квантованными коэффициентами 100
4.6. Выводы 108
5. Применение алгоритмов первичной обработки в лазерных триангуляционньгх системах для задач технической диагностики 110
5.1. Вводные замечания 110
5.2. Повышение точности оценки параметров подвижных объектов 113
5.3. Оптический виброметр с высокой разрешающей способностью 122
5.4. Визуальный конструктор триангуляционного сенсора 127
5.5. Выводы 132
Заключение 134
Список использованных источников
- Анализ эффективности моделирования сигнала
- Синтез косвенного метода оценки положения импульса
- Интерполяция двумерной калибровочной зависимости на неравномерной сетке
- Рекурсивное преобразование косвенного алгоритма нахождения положения импульса
Введение к работе
Актуальность темы
Водные объекты (ВО) и их использование играют огромную роль в различных отраслях экономики нашей страны. В то же время, организацию водопользования и управления состоянием ВО нельзя осуществлять без учета связанных с ними опасных факторов. К числу таких факторов, способных привести к возникновению чрезвычайной ситуации (ЧС) на той или иной территории, следует отнести гидрологические (недопустимый подъем уровня воды в ВО, который сопровождается затоплением участков местности) и гидрохимические (недопустимое загрязнение воды в этих объектах, прежде всего, промышленными отходами).
В свою очередь, наличие опасных факторов приводит к необходимости оценивания риска от влияния водных объектов на условия жизнедеятельности людей, функционирования предприятий и возможность материальных потерь. Актуальность адекватного оценивания такого риска отражена в Федеральной целевой программе «Снижение рисков и смягчение последствий ЧС природного и техногенного характера в Российской Федерации до 2010 года».
Исследованию задач прогнозирования опасности, связанной с ВО, и формированию информационной поддержки соответствующих управленческих решений посвящены работы многих отечественных ученых и специалистов: А.Б. Авакяна, В.А. Акимова, СЕ. Беднарука, М.В. Болгова, В.Р. Болова, СВ. Борща, В.Е. Гвоздева, СВ. Павлова, В.Г. Пряжинской, Р.З. Хамитова, А. В. Шевчука и других, а также зарубежных - П.Адамсона, X. Амменторпа, К. Бодри, Й. Кьелдса, Р. Мерца, Д. Тартаковски, И. Рубина, К. Хэвню.
Тем не менее, проблемы получения достоверных оценок показателей риска, относящегося к ВО, еще далеки от полного решения. Сказанное объясняется высоким уровнем неопределенности, с которым приходится сталкиваться в процессе получения указанных оценок. Эта неопределенность вызвана принципиальной невозможностью учета всех влияющих воздействий (гидрометеорологических, водохозяйственных и т.д.) на вероятности возникновения опасных явлений (ОЯ). В силу отмеченных причин даже накопленная статистика не дает достаточных оснований для формирования фиксированных законов распределения рассматриваемых величин и формулирования выводов (например, известно, что максимальные
2 уровни воды для одного и того же ВО, но фиксируемые за промежутки
времени 10, 50 или 100 лет, подчиняются разным законам распределения).
В данной ситуации для реализации процедур достоверного оценивания риска целесообразно использовать специальный вид моделей неопределенности - так называемые «интервально-вероятностные модели». Основы этого аппарата заложены в работах СВ. Гурова, И.О. Козина, В. Крейновича, В.П. Кузнецова, Ф. Кулена, Г. де Кумана, П. Уолли, Л.В. Уткина. Однако, предложенные в этой области подходы зачастую дают чрезмерно грубые оценки вероятностей и иных статистических характеристик, так как не ориентированы на рациональное использование всей располагаемой, в том числе, и экспертной информации о свойствах случайных величин.
Указанные обстоятельства обосновывают актуальность темы настоящего исследования, направленного на разработку методов оценивания риска от опасного влияния ВО на базе применения интервально-вероятностных моделей неопределенности, которые, в свою очередь, следует модифицировать с целью уточнения результирующих выводов.
Цель работы - разработка методов и реализующих их алгоритмов оценивания риска от влияния опасных факторов, связанных с ВО, на основе использования интервально-вероятностных моделей неопределенности и осуществление последующего зонирования территорий по уровню риска для обеспечения информационной поддержки принятия управленческих решений.
Задачи исследования
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
Формирование модели неопределенности, позволяющей производить оценивание уровней риска для территорий с учетом опасных факторов, которые связаны с ВО, в условиях неполноты информации о видах законов распределения этих факторов.
Разработка методов получения интервальных оценок статистических характеристик случайных величин, характеризующих степень опасного влияния ВО на участки территории, при наличии неопределенности в задании законов распределения вероятностей опасных явлений.
Разработка метода оценивания меры тяжести потенциальных потерь от возникновения ЧС, связанных с ВО, применительно к рассматриваемым территориям на базе использования интервально-вероятностных моделей
неопределенности и моделирования масштабов последствий указанных ситуаций с помощью геоинформационных технологий.
4. Разработка методики зонирования территорий по уровню риска с учетом результатов интервального оценивания вероятности наступления неблагоприятных событий и степени тяжести ожидаемых последствий в рамках использования геоинформационных технологий. Создание программных продуктов, реализующих компоненты подсистемы оценивания риска в составе системы стратегического управления состоянием ВО, а также исследование эффективности разработанных методов в процессе решения задач зонирования территорий по уровню опасности, связанной с этими объектами.
Научная новизна
1. На основе анализа специфики опасного влияния ВО на участки тер
ритории региона сформирована модель неопределенности, с использованием
которой можно оценивать статистические характеристики случайных ве
личин, отражающих возможность возникновения ОЯ. Модель отличается
тем, что ее построение базируется на применении аппарата интервальнознач-
ных вероятностей. При этом:
формируемые решения могут быть представлены в виде интервалов значений искомой статистической характеристики и служить обоснованной оценкой, справедливой для множества законов распределения;
в условиях недостатка или недостоверности накопленных статистических данных о возникновении ОЯ можно привлекать информацию, полученную в виде экспертных суждений;
последовательное дополнение модели уточненной информацией о свойствах статистических закономерностей ОЯ позволяет улучшить итоговое решение путем сужения интервала ожидаемых значений искомой статистической характеристики (вероятности).
Предложен метод оценивания статистических характеристик случайных величин, отражающих влияние ВО, с учетом неполноты информации о распределениях связанных с ними опасных факторов. Метод основывается на отмеченной выше модели неопределенности и отличается тем, что он обеспечивает возможность адекватного оценивания вероятностей ОЯ с использованием только обоснованной исходной информации.
Разработана процедура интервально-вероятностного оценивания показателей тяжести последствий от опасных явлений, связанных с ВО, в рамках моделирования ЧС с использованием геоинформационных технологий.
4 Процедура отличается тем, что в процессе ее реализации на электронной
карте территории выделяются области потенциального ущерба, статистические характеристики которого задаются интервалами возможных значений.
4. На основе предложенных подходов к определению обеих компонент оценочной функции риска (вероятности неблагоприятных событий и меры тяжести потенциальных последствий) разработаны методика зонирования территорий по уровню риска от опасного влияния ВО с использованием геоинформационных технологий и программный продукт, реализующий положения этой методики в составе подсистемы стратегического управления уровнем риска от опасного влияния ВО.
Содержание методики отличается тем, что при зонировании территорий используются как максимальная (наихудшая), так и минимальная (наилучшая) оценки риска. Это, в свою очередь, позволяет более обоснованно принимать управленческие решения по планированию сил и резервов на случай ожидаемых ЧС.
Практическая ценность и реализация результатов работы
По результатам выполненных работ в отделе водных ресурсов по Республике Башкортостан Камского БВУ внедрены методики статистической обработки информации о гидрохимических и гидрологических показателях состояния ВО (включая алгоритмы интервально-вероятностного оценивания этих показателей), зонирования территорий по уровням риска от опасного влияния ВО, а также программы моделирования масштабов последствий ЧС и определения компонент оценочных функций риска. Перечисленные результаты используются при оценивании риска, связанного с использованием водных ресурсов и эксплуатацией гидротехнических сооружений на территории Республики Башкортостан, и позволяют на 22% сократить время, требуемое для выполнения расчетных работ.
На защиту выносятся:
Модель неопределенности, позволяющая производить оценивание уровней риска для территорий с учетом опасных факторов, которые связаны с ВО, в условиях неполноты информации о видах законов распределения этих факторов.
Совокупность методов получения интервальных оценок статистических характеристик случайных величин, характеризующих степень опасного влияния ВО на участки территории, при наличии неопределенности в задании законов распределения вероятностей опасных явлений.
Метод оценивания меры тяжести потенциальных потерь от возникновения ЧС, связанных с водными объектами, применительно к заданным территориям на базе использования интервально-вероятностных моделей неопределенности и моделирования масштабов последствий указанных ситуаций с помощью геоинформационных технологий.
Методика зонирования территорий по уровню риска с учетом результатов интервального оценивания вероятности наступления неблагоприятных событий и степени тяжести ожидаемых последствий в рамках использования геоинформационных технологий, а также программный продукт, реализующий указанную методику.
Апробация работы и публикации
Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях и семинарах: Всероссийской молодежной научно-технической конференции «Проблемы современного машиностроения», УГАТУ, г. Уфа, 2004; Международной молодежной конференции «XXXI Гагаринские чтения», МАТИ, г. Москва, 2005; Международной научно-технической конференции «Материалы и технологии XXI века», г. Пенза, 2006; IX Международной научно-практической конференции «Экология и жизнь», г. Пенза, 2006; V Международной научно-практической конференции «Природноресурсный потенциал, экология и устойчивое развитие регионов России», МНИЦ, г. Пенза, 2007; VII Международной научной школе «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах», ИПМАШ РАН, г. Санкт-Петербург, 2007; V Всероссийской научно-практической конференции «Экология человека: концепция факторов риска, экологической безопасности и управления рисками», МНИЦ, г. Пенза, 2008; Межрегиональной научно-практической конференции «Чистая вода Башкортостана - 2008», Министерство природных ресурсов и экологии РБ, г. Уфа, 2008.
Основные материалы диссертационной работы опубликованы в 14 источниках, включая 1 статью в издании из перечня, утвержденного ВАК России («Проблемы безопасности и чрезвычайных ситуаций»), 4 статьи в других изданиях, 8 материалов докладов научных конференций и 1 программный продукт, зарегистрированный в Роспатенте.
Объем и структура работы
Анализ эффективности моделирования сигнала
Для одной и той же конструкции триангуляционного измерителя и специфичной области его применения особенности сигнала с фотоприёмника (см. рис. 1.1) будут сохраняться. Однако в зависимости от отражающей способности поверхности сканируемого объекта, дальности до него, времени экспозиции фотоприёмника и ряда прочих факторов будут меняться параметры сигнала. В первую очередь это относится к интенсивности фонового шума, которая не связана со свойствами сканируемой поверхности. Во-вторых, это относится к параметрам импульса — изменяется естественная асимметрия импульса вследствие эффекта блюминга и/или изменения отражающей способности сканируемой поверхности, изменяется эксцесс и ширина импульса, в том числе из-за эффекта перетяжки лазерного луча.
Гибкая к изменению своих параметров модель сигнала с фотоприёмника позволяет исследовать качество оценки, полученной различными методами поиска положения импульса для возможных условий эксплуатации измерителя. Сравнивая результаты моделирования, можно выбрать метод наилучший по соотношению цена/качество оценки. В общем случае под качеством подразумеваются характеристики оценки положения импульса на фотоприёмнике, а под ценой — затраты на программно-аппаратную реализацию метода [73].
Проиллюстрируем использование принятой модели сигнала s для исследования характеристик оценки местоположения импульса на примере метода центра тяжести с предварительной пороговой обработкой [74]: ГО, s[f] q щ Ш = 1-1 г M j smrLsUl, (1.6) где q - уровень пороговой обработки. Целью применения (1.6) будем считать поиск оценки М положения моды М импульса. Основными характеристиками качества оценки (1.6) являются её смещение Ам и среднеквадратическое отклонение (СКО) СУОЦ, измеряемые в пикселях фотоприёмника.
Можно отметить, что разрешающую способность сенсора ограничивает величина смещения оценки, а СКО оценки ограничивает потенциальную точность оценивания дальности, определяя рассеяние оценки вокруг её среднего значения.
Смещение оценки положения импульса определяется несколькими составляющими. В первую очередь, это смещение, обусловленное фоновым шумом. Вклад фонового шума f может привести к смещению, значительно превышающему ширину импульса. В результате исследования оценки (1.6) применительно к принятой модели сигнала выбирается минимальный порог, определяемый интенсивностью фонового шума.
После выбора минимального порога ставится задача исследования смещения при пороге выше минимального. Необходимость решения этой задачи обусловлена тем, что при адаптации уровня пороговой обработки к сигналу сложно обеспечить получение того минимального порога, который в наименьшей степени искажает импульс. Смещение в пределах импульса невелико, но в практических задачах смещение в единицы и даже доли пикселов может оказаться неприемлемым, и необходимо иметь представление хотя бы о порядке величины смещения. Для решения этой задачи исследуются два фактора. Во-первых, это смещение оценки (1.6) несимметричного импульса. Во-вторых, это смещение к центру диапазона, оказавшегося выше порога, вследствие наличия суммарного шума п2. Рассмотрим все составляющие по отдельности.
Пусть шум представлен только фоновым шумом f. Средняя оценка по алгоритму (1.6) составляет Mf=N 12. Пусть модель импульса х представлена симметричным импульсом с модой М и совпадающим с ней центром тяжести. Для нахождения отклонения оценки от истинного значения решается уравнение d [/] / ф = 0, и находится мода М.
Очевидно, что величина смещения будет зависеть от соотношения площадей импульса и шума. Если рассмотреть два предельных случая: наличие только шума, и, следовательно, M = Mf, и наличие только импульса, когда М = М, оценку местоположения импульса можно записать в виде: M = kf-Mf+kx-M, (1.7) где kf=Pf/(Px + Pf), kx = Pxl{Px + Pf). Введя нормировку (Px + Pf)=l, выражение (1.7) можно переписать в виде M = kx-Mf+(l-kx)-M, (1.8) где к\ = kf. С учётом распределения фонового шума и численно построенного распределения Ах импульса х запишем:
Синтез косвенного метода оценки положения импульса
Располагая лишь дискретными измерениями (2.11), нет возможности точно восстановить импульс x\J], которому они соответствуют, поэтому по результатам наблюдений (2.11) синтезируется такой сигнал x[j], который будет наименьшим образом в смысле величины среднеквадратического отклонения Y удалён от наблюдений s: Y = t(4J]-xU])2- (2.13) 7=0
Отметим, что импульс x[f] однозначно определён вектором параметров а, а оценка x[j] однозначно определяется оценкой компонент а. Тогда решение задачи заключается в поиске оценки a s), минимизирующей величину Y в (2.13). Дифференцирование (2.13), с учётом (2.10), даёт решение в виде системы нормальных уравнений:
Подставляя (2.14) в (2.12), получаем аппроксимацию x[j] импульса, наиболее приближённую к идеальному импульсу x[f] по критерию минимума среднеквадратического отклонения (2.13).
На качество оценки положения импульса оказывает сильное влияние выбор границ импульса jx и (Д+А/). Порядок т 3 аппроксимирующего ряда приводит к более полному описанию шума и, следовательно, увеличению дисперсии оценки положения импульса. Поэтому не представляется возможным точно аппроксимировать импульсы несимметричной формы и сравнительный анализ проводится только в отношении дисперсии результирующей оценки М при использовании параболической аппроксимации при т — 3, т.е. в отношении случайной ошибки, которая не может быть устранена на этапе вторичной обработки.
Однако и этому подходу присущи высокие вычислительные затраты, обусловленные общим числом математических операций и связанные, в том числе, с обращением матрицы порядка тхт, несмотря на существование оптимизированных по скорости алгоритмов [79].
Известно, что положение экстремума определяется пересечением производной нулевого уровня. Однако применение этого очевидного подхода для экспериментальных данных часто затруднено, т.к. вследствие наличия шума в составе исходных данных имеет множество пересечений с нулевым уровнем. Поэтому приходится применять дополнительные меры, например, фильтрацию сигнала, и накладывать какие-либо ограничения на характер сигнала.
Таким ограничением может быть требование унимодального описания формы сигнала, т.е. в виде одиночного импульса в составе ограниченного по длительности массива данных. Подобное сужение класса сигналов не носит чисто теоретический характер, а имеет прикладное значение в задачах, связанных с темой работы - в лазерной триангуляционной дальнометрии.
Удачным техническим приёмом является совмещение низкочастотной фильтрации и процедуры близкой к дифференцированию. Если необходимость именно низкочастотной фильтрации определяется формой сигнала (одиночный импульс), то вторая задача - дифференцирование, может быть выполнена тем же фильтром нижних частот (ФНЧ) с нечётной импульсной характеристикой (ИХ). Отметим, что нечётность ИХ также обеспечивает линейность фазовой характеристики фильтра, что исключает нерегулярное смещение экстремума, вызванного фазовыми искажениями сигнала при прохождении фильтра.
Процедура фильтрации в общем виде записывается в виде линейной свёртки сигнала и ИХ фильтра бесконечной длины. Или, с учётом ограниченной длительности сигнала: 4J] = Zg[k]-4J-k], (2.15.) к=0 где N — конечное, j = -N...N; g= {g[k\} - вектор отсчётов ИХ; s={s\j-k]} — входной сигнал представленный N значащими отсчётами в пределах О (j-k) N, т.е. при (f-к) N или (j-k) О полагается, что s[f-k] = 0. В матричном виде свёртка (2.15) записывается в виде w = Sg, где w={w[A:]}, S = {s[j,k]} - матрица, состоящая из отсчётов сигнала в линии задержки фильтра либо нулей: s[0] ... 0 "І Г g[Q] s[\] ... 0 g[l] s[N-l] ... s[0] ... w= (2.16) 0 s[N-l] 41] ... V } 0 ... s[N-l] g[N-2] 0 ... 0 J _g[N-l]_
Как видно из выражения (2.16), сигнал на выходе фильтра имеет 27V отсчётов, т.е. JV отсчётов при потактовом вхождении значащих отсчётов сигнала s в линию задержки фильтра и N отсчётов при выходе сигнала s из фильтра. На рис. 2.4 штриховкой показана область индексов, в которой осуществляется вычисление свёртки (2.15) для момента времени к = N12; сплошной линией показан входной сигнал s в различных областях: на входе линии задержки фильтра, полностью в её пределах и на её выходе; ниже длинным пунктиром показана произвольная нечётная ИХ g (опустим пока рассуждения о форме ИХ, ограничившись тем условием, что она является нечётной функцией своего аргумента).
Интерполяция двумерной калибровочной зависимости на неравномерной сетке
Выше было отмечено, что даже аналитический расчёт калибровочной зависимости может не обеспечить покрытие с заданной дискретностью всех значений дальности и ширины пятна. Поэтому в таблице будут присутствовать пропуски. Более того, при практических измерениях они могут охватывать значительные области калибровочной зависимости, ввиду ограниченного количества замеров. Очевидно, также, что в результате флюктуации, оценки М /У и L могут не соответствовать точно узлам таблицы.
В результате полученная двумерная калибровочная зависимость реализована на неравномерной сетке. Непосредственную интерполяцию в этих условиях можно произвести с помощью методов сплайн-интерполяции [90] или линейной интерполяции. Основной недостаток сплайн-интерполяции заключается в её неустойчивости к ошибке вычисления производных в узловых точках, что существенно затрудняет её применение. Прочие методы, например, регрессия [67], могут привести к менее качественным результатам, т.к. не гарантируется сохранение узловых точек. Поскольку калибровочная зависимость характеризуется малой кривизной на всех своих участках (см. рис. 3.5), то именно линейная интерполяция оказывает предпочтительной в силу своей устойчивости к ошибкам оценивания параметров калибровки.
Линейная интерполяция производится внутри треугольников, на которые разбивается калибровочная зависимость. Каждый треугольник представлен тремя вершинами, по которым рассчитываются коэффициенты уравнения плоскости вида Н(М, L) = т-М+ l-L + Ьр из системы линейных уравнений: Я, = М, + L: + Ьр H2=m-M2+I-L2+bp, (3.2) Я3 =т-М3 +l-L3 +Ър где т, I и Ьр — искомые коэ, а Нп, Мп и Ln -известные координаты узловых точек.ффициенты уравнения плоскости
Точность решения системы ограничена только разрядностью представления чисел, что для рассматриваемой задачи несущественно. После получения коэффициентов уравнения плоскости производится расчёт пропущенных точек с желаемой дискретностью. Фактическим ограничением линейной интерполяции (как, впрочем, и любого другого метода интерполяции) является требование получения достаточного числа узловых точек на границах диапазонов по дальности и ширине пятна.
Таким образом, основой линейной интерполяции, обеспечивающей переход к равномерной сетке с заданной дискретностью, является процедура триангуляции. В данном контексте триангуляцией называется разбиение поверхности, представленной набором точек в трёхмерном пространстве, на треугольники [91]. Применительно к калибровке измерителей, процедура триангуляции отличается от строгого определения тем, что внешний контур поверхности является конечным - он ограничен диапазонами 0...ІУ изменения оценок М и L.
Вопрос преобразования набора точек в треугольники широко исследуется в компьютерной графике и ему посвящено множество работ. Среди наиболее цитируемых российскими разработчиками работ по машинной графике и триангуляции, в частности, кроме [91] можно назвать [92-94].
Традиционные операции триангуляции приведены в таблице 3.1 [91]. В тех или иных алгоритмах некоторые из этих операций могут не использоваться. Известные методы триангуляции ориентированы на специфические особенности поверхности, представленной набором точек, и оптимизируются по скорости. Последнее для задачи калибровки является несущественным, а особенность калибровочной зависимости позволяет разработать упрощённый алгоритм, ориентированный на обработку трёхмерной поверхности, не имеющей экстремумов и «окон», т.е. незакрашиваемых областей [95].
Упрощённый алгоритм может быть представлен меньшим числом операций, которые приведены в таблице 3.2. Операция 1 служит для обозначения начала поиска и выполняется только один раз. Операции 2 и 3 далее повторяются для вновь найденных треугольников.
Рекурсивное преобразование косвенного алгоритма нахождения положения импульса
Основой предлагаемого в п. 2.2 косвенного алгоритма нахождения положения полезного импульса является процедура вычисления циклической свёртки. Известно три основных метода, различающихся точностью и объёмом вычислительных затрат [83].
1) Первый метод основан при применении быстрого преобразования Фурье [102] или быстрого преобразования Хартли [103] и обеспечивает существенное сокращение арифметических операций, длина N которых больше 32. К недостаткам следует отнести высокие ошибки округления и большой объём памяти.
2) Второй метод, использующий теоретико-числовые преобразования, является точным, т.к. служит для преобразования последовательностей в кольце целых чисел. Существенный недостаток метода — зависимость между длиной последовательности N и длиной кодового слова, что приводит к длинным кодовым словам при больших N.
3) Более высокую эффективность и точность обеспечивает метод модульной арифметики. Этот метод также сложен для реализации на ПЛИС, а достижение его потенциального быстродействия на различных процессорах затруднительно.
Однако при необходимости достижения высокого быстродействия можно применить подход, который основан на представлении циклической свёртки (2.17) суммой двух линейных свёрток vnp[/] и vo6p[/] условно названных соответственно прямой и обратной [81, 104]: Ф1 = v„P[/] + vo6p[/]. Каждое слагаемое представляет собой различные участки одной и той же линейной свёртки вида: т.е. vo6p[/] = vnp[/ + N], где/ = 0.. JV-1. На рис. 4.5 приведена функциональная схема устройства, реализующего косвенный алгоритм.
Устройство состоит из четырёх основных блоков: блока вычисления циклической свёртки БВЦС, описываемого (4.2); блока накопления БН, вычисляющего vnop; блока компараторов БК; логического блока ЛБ, обеспечивающего поиск М по перепаду состояний выходов компараторов 0—»1.
Очевидно, этот подход по сравнению с другими методами требует больших вычислительных ресурсов, т.к. использует не менее 2N" умножений для вычисления TV-точечной циклической свёртки (например, против (N \og2(N)+N) комплексных умножений для быстрой свёртки на основе БПФ) и выполняется за N тактов после получения всех входных данных. Однако он может быть преобразован к рекурсивной форме.
Представим линейную свёртку (4.2) выходом цифрового нерекурсивного фильтра с импульсной характеристикой (ИХ) вида g[] = {0, 1,...,7V-1}. (4.3)
Обычно при проектировании цифровых рекурсивных фильтров (ЦРФ) по заданной импульсной характеристике применяется прямой метод расчёта фильтров в Z-плоскости [105]. Этот метод обладает тем недостатком, что порядок цифрового рекурсивного фильтра (ЦРФ) равен числу аппроксимируемых отсчётов g[k]. Для сокращения порядка фильтра, используем модифицированную методику расчёта, позволяющую снизить порядок при заданном уровне потерь в точности аппроксимации.
Запишем передаточную функцию ЦРФ в виде: к-0 где а[к\ и р — соответственно коэффициенты и порядок ЦРФ (полагается, что а[0] — 1), h[k] — отсчёты бесконечной импульсной характеристики ЦРФ. Требуется наилучшим образом аппроксимировать заданную ИХ g[k] в пределах первых N отсчётов. Аппроксимируемая ИХ g[k] и передаточная функция ЦРФ связаны соотношением: H{z) = \l±a[k]z-k =Ntg[k]z k, I 4=0 к=0 которое может быть переписано в виде:
