Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Феномен предпосылочного знания 9
1.1. Трансценденталистская модель знания 9
1.2. Гносеологическая природа предпосылочного знания 30
Глава 2. Предпосылочное знание в структуре математической теории 51
2.1. Генетически-конструктивный метод Евклида 63
2.2. Парадоксы теории множеств 67
2.3. Эвристика 88
Заключение 113
Литература 116
- Трансценденталистская модель знания
- Гносеологическая природа предпосылочного знания
- Генетически-конструктивный метод Евклида
- Парадоксы теории множеств
Введение к работе
Актуальность исследования. Предпосылочное знание - предмет исследования современной эпистемологии, обусловленный необходимостью отхода от классической традиции. В классической методологической традиции от Аристотеля до Гуссерля вводился идеал всесторонне обоснованного, прозрачного - беспредпосылочного знания. Исходные познавательные отношения представали бесспорными, очевидными. Конституирование подобных самодостоверных предпосылок мышления предпринималось трансцендентализмом - платформой, обосновывающей идеал познания классической гносеологии.
«Идеал беспредпосылочности» в наиболее явном виде отражен в гносеологической мысли Нового времени. Становление классической рациональности предполагало видение субъект-объектного отношения как абсолютно прозрачного, полностью отрефлектированного. Сознание оценивалось как данное в чистом, эксплицитном виде, исключающем неконтролируемые, неявные компоненты. «Отношение к миру как разумному в конечных своих основаниях, упорядочивающемуся под знаком благосклонности к человеку, было основной внутренней установкой классической философии, ее глубинной «интенцией». Этому центральному ожиданию соответствовало представление о субъекте познания как существе, призванном (и способном) абсолютно мыслить, т.е. осуществлять познавательные акты с сознанием их «чистоты» и беспредпосылочности, с убеждением, что образы и знания, возникающие в голове интеллектуала, как бы по самой своей природе представительны и абсолютны»1.
Эрозия классического идеала вызвана: 1) невозможностью найти
прозрачные основания знания - идеал всесторонне обоснованного, «прозрачного» знания не достижим; 2) утверждением новой познавательной культуры, опирающейся на иные ценности (прагматичность, эффективность, функциональность и т.д.).
Эволюция научного знания привела к расширению познавательного идеала. Развитие точной науки продемонстрировало, что формальная аксиоматика нуждается в содержательном дополнении, поскольку существует потребность выбора способов исследования, применения аппарата теории к области фактического. Нейман уточнял: «...Математик, по существу, волен выбирать, заняться ли ему решением возникшей проблемы или оставить ее и обратиться к какой-нибудь другой задаче, в то время как «важная» проблема в теоретической физике - это обычно конфликт, противоречие, которое «должно» быть разрешено тем или иным способом. У математика всегда имеется широкий выбор областей, к которым он может обратиться, и он наслаждается весьма значительной свободой своих действий. Здесь мы подходим к пункту, имеющему решающее значение. Думаю, что вряд ли ошибусь, если скажу, что критерии отбора, которыми руководствуется математик, так же как и его критерии успеха, носят в основном эстетический характер»2.
В современной гносеологии предпосылочное знание рассматривается как необходимая составляющая познания. Изучение предпосы-лочного знания в науке, в т.ч. математике позволит не только уточнить природу математического знания, но и продвинуться в понимании вопросов оснований науки.
Степень разработанности проблемы. Осмысление познавательного идеала составляет важное направление разработческой деятельности. В раскрытии темы автор опирался на исследования природы предпосы-лочного знания - В.В. Ильина, Б.В. Маркова, Л.А. Микешиной,
B.C. Степина, M.A. Розова; оснований математики - Б.В. Бирюкова,
В.Н. Катасонова, М.И. Панова, В.Я. Перминова, Г.И. Рузавина, В.Н. Тростникова, В.А. Успенского, А.П. Юшкевича; ценностных идеалов науки - Б.Г. Юдина, С. Курдюмова, А.А.Печенкина; научной рациональности - Н.С. Автономовой, В.А. Лекторского, В. Поруса. B.C. Швырева; социокультурных оснований знания - А.С. Анисимова, А.Н. Бондаренко, Г. Гачева, Г.А. Геворкяна, А.Н. Кочергина, Е.А. Мамчур, А.П. Огурцова, М.К. Петрова. Для исторических описаний науки для автора важное значение имели работы Ж. Адамара, В.П. Визгина, П.П. Гайденко, Ф. Клейна, А. Койре, А. Пуанкаре, Б. Пятницына, К. Рыбникова, Д. Стройка, М. Фуко и др.
В анализе природы неявного знания использованы идеи М. Полани (неявное - имплицитное, неартикулированное в языке, воплощенное в телесных навыках, схемах восприятия, практическом мастерстве знание; явное - знание артикулированное, выраженное в понятиях, суждениях). Автор использовал исследования по методологии математики Н. Бурбаки, Г. Вейля, И. Лакатоса, Ф. Клейна, С. Клини, Ф. Китчера, Ф. Козловского, Дж фон Неймана, А. Мостовского, Д. Пойа.
Оценка методологии научного поиска опиралась на достижения Евклида, Н.И. Лобачевского, Я. Больяи, К.Ф. Гаусса, Г. Кантора и др. Исходными в изучении предпосылочного знания в математике являлись идеи: Л.Э.Я. Брауэра, А. Гейтинга, Д. Буля, Б. Больцано, Г. Грассмана, Р. Дедекинда, Д. Гильберта, О. Коши, К. Вейерштрасса, Г. Кантора, Б. Рассела, А.Н. Уайтхеда, Г. Фреге, Э. Цермело, А. Френкеля, А. Маркова, П. Новикова, Д. Гильберта, А. Колмогорова, Н. Шанина и т.д.
Однако различные стороны изучаемого многогранного предмета концептуально освоены не одинаково глубоко. Недостаточно изучены проблемы роли предпосылочного знания в творчестве, развитии науки и т.д., непроработанными остаются вопросы предпосылочного знания в конкретных дисциплинах.
Объект исследования - предпосылочное знание в науке.
Предмет исследования - предпосылочное знание в математической теории.
Цель исследования - определить характер предпосылочного знания в математической теории.
Задачи исследования:
- выяснить гносеологический статус предпосылочного знания;
- выявить роль предпосылочного знания в математике. Теоретическая и методологическая основа исследования. Для
изучения природы предпосылочного знания плодотворно сочетание гносеологического, эпистемологического, аксиологического подходов. Учитывая исходно комплексный динамический статус познавательной реальности, методологический остов анализа составили принципы единства исторического и логического, абстрактного и конкретного, всесторонности, реалистичности, объективности рассмотрения. Научная новизна работы:
- Выяснен статус предпосылочного знания в познавательной деятельности. Недостаточность парадигмы трансцендентализма, строящейся на идеале всесторонне обоснованного знания, связана с невозможностью нахождения «конечных», «прозрачных» всеобъемлющих оснований науки.
- Проводится классификация предпосылочного знания, выделяются явное, неявное, социальное, персональное предпосылочное знание. Явное предпосылочное знание - положения эмпирического, теоретического уровня, этос науки, - рефлективные механизмы, позволяющие формировать как образы науки, так и типы теоретизирования, рационального познания, понимания, смыслообразования. Неявное - нерефлектируемые основания знания, образующие «фон» научных теорий. К допредикативному опыту относятся неотчетливые предпонимания, неопределяемые предзна-ния, подразумевания и т.д., составляющие онтологический фон интеллектуальной деятельности. Персональное предпосылочное знание - смысловые, ценностные установки субъекта, реализуемые в неспециализированной
практически-обыденной сфере. При эволюции духовного склада личности
складывается масштаб восприятия мира, особенности его понимания. Социальное - обыденное знание, включающее здравый смысл, верования, приметы, обобщения опыта; образуются под воздействием социальных институтов. Обыденные знания составляют базу практической жизненной позиции - отношения человека к миру (выбор ценностей, целеполагание и т.п.), предстают фундаментом познавательной практики.
- Выявлена роль предпосылочного знания в математике. Доказывается неуниверсальность таких характеристик математического знания, как точность, строгость (при анализе природы аксиом, индукции), наличие в математике нестрогих понятий, непредикативных определений. Классические программы обоснования математики не свободны от предпосылочных элементов. Современные интерпретации символизации, формализации невозможны без неявно инкорпорируемого предпосылочного знания («фон» исследования, методологическое направление поиска, персональные видения). Предпосылочное знание в математике реализуется как нерефлекти-руемые онтологические допущения, на базе которых происходит формирование специальных понятий, строится аксиоматика, проводится поиск. Неформализуемое предпосылочное основание теории отражает специфику базисной теории, какой выступают аксиоматики теории множеств Z, ZF, JBN. Предпосылками теории выступает принятие постулатов существования, онтологических допущений, критериев точности и т.д.
Положения, выносимые на защиту.
1. Трансцендентализм - неадекватная семантическая модель субъекта, крепящаяся на неверифицируемых положениях классической когитальной философии. В их числе - идентичность фигур сознания у различных его носителей, прозрачность познавательных актов, их восстановимость от фаз начальных до финальных.
2. Опыт функционирования сознания, свидетельствующий о наличии непониманий, несогласий, предрасположений, выбора,
влечет признание внутренней дифференцированности, негомогенности субъективного, - сфера сознания, познания исходно отягощена содержательными диспозициями, предпосылками.
3. Предпосылочное знание многосоставно, поливариантно, реализуется в модусах явного и неявного знания. Первое - принципиально рефлектируемые базисные комплексы сознания (положения эмпирического, теоретического, метатеоретического уровня); второе - ассоциация неартикулируемых имплицитных опосредующих мыследеятельность компонентов (фигуры допредикативного опыта), детерминируемых духовным складом познавателя.
4. Невозможность «чистого» познания, не обремененного предзаданными интенциями, демонстрируется на материале математики, куда «неявное» проникает через содержательный (интерпретация, выбор, оценка, признание) пласт исследований. Теоретическая значимость исследования. Полученные в диссертации выводы имеют важное эвристическое, методологическое значение, позволяют строить адекватную картину формирования науки. Результаты исследования могут быть использованы при анализе современной стадии научно-технического прогресса, природы научной рациональности, детерминант научного поиска.
Практическая значимость исследования определяется тем, что его результаты имеют значение при составлении учебных пособий, разработке, чтении общих лекционных и специальных курсов по гносеологии, эпистемологии, философии и истории науки в высшей школе.
Апробация работы. Диссертация обсуждена на кафедре философии МГТУ им. Н.Э. Баумана. Результаты исследования представлены на Ломоносовских чтениях (МГУ, 2003-2005). По теме диссертации опубликовано четыре работы общим объемом 2,6 п.л.
Трансценденталистская модель знания
В рамках классической культуры понимание познания осуществлялось на основе трансцендентализма, основывающегося на допущениях:
- изначальная прозрачность, безотносительность сознания. Сознание предстает сродни tabula rasa, ментальное содержание которой наполняется согласно стандартным методикам (предлагаемым рационализмом или эмпиризмом), исключает неконтролируемые, неявные компоненты;
- отождествимость субъектов по познавательным способностям, позволяющим вводить среднетипическую модель познающего субъекта;
- полная рефлектированность субъект-объектного отношения, что делает возможным всестороннюю реконструкцию познавательной деятельности.
Поиск самодостоверных, «чистых» начал познания в трансцендентализме осуществлен в рационализме, эмпиризме, интуитивизме.
В эмпиризме обоснованием знания выступает опыт. Фундамент знания составляют опытные данные, факты, протоколы наблюдения, придающие знанию черты несомненности. Возможность построения теории в эмпиризме рассматривается как замыкание теоретического уровня на эмпирический.
Однако познавательный процесс не сводим к эмпирическим процедурам: sense data обусловлены предметными смыслами, восприятие тесно связано с пониманием. «Познавательный процесс, не сводимый к отражательным процедурам получения чувственного образа как «слепка» вещи (по Дж. Локку), предстает в системе гипотетико-селективной, творчески-проективной, интерпретирующей деятельности субъекта, опосредованной различными по природе - знаковыми и предметными репрезентациями, содержащими, как и сама деятельность, квинтэссенцию социального и культурно-исторического опыта»
Практика свидетельствует о невозможности прямых дедуктивно-редуктивных отношений между теоретическими и эмпирическими уровнями. Теоретический уровень знания строится как синтетическая продуктивная деятельность, не является непосредственным обобщением опытных данных. Теоретический базис не сводится к эмпирическому, поскольку из опыта не выводятся концептуальные принципы, идеализации.
Классические установки рационализма отражены Декартом, согласно которому мы должны отказаться от всякого предрассудка, предпосылок, которые непосредственно принимаются как истинные, - и начать с мышления, чтобы, лишь исходя отсюда, достигнуть чего-то прочного и приобрести чистое начало4. Классическое мышление ориентировано на признание «естественного света» (Декарт) разума, посредством которого действительность познается вне искажающего влияния различного рода условий (социальные, этические, психологические, личностные).
Фундаментом знания признаются аксиомы, из которых посредством дедукции - трансляции знания от посылок к заключениям достигается идеал знания.
В результате развития науки доказано, что аксиомы имеют функциональный статус. В содержательных аксиоматиках аксиомами являются положения, которые обосновываются в исследованиях за пределами фиксированных систем - исторических, генетических, диахронных и т.д. Их предельным обоснованием выступает совокупная общественно-историческая практика.
Формально-аксиоматическая организация знания проявляется на поздних этапах исследования. На начальных этапах математике свойст 3 Микешина Л.А., Опенков М.Ю. Новые образы познания и реальность и венны неточность, нестрогость, что определяется творческим характером исследований.
Многие положения, утверждения, проблемы математики неразрешимы. Существование неразрешимых проблем вытекает из теоремы Геделя о неполноте. Существование неразрешимых проблем допускается также теоремой Геделя о задачах относительно неразрешимых, вытекающим из нее следствием о наличии абсолютно неразрешимых задач и т.д.
А. Черч привел пример неразрешимой массовой проблемы. Позднее совместно с Дж. Россером он установил неразрешимость элементарной арифметики. А. Марков, Э. Пост доказали неразрешимость проблемы тождества для полугрупп. П.С. Новиков ввел неразрешимость проблемы тождества групп, проблемы изоморфизма в теории групп. А. Марков показал неразрешимость проблемы гомеоморфии полиэдров. Ю. Матиясевич оценил неразрешимость десятой проблемы Гильберта.
В математику входит комплекс имплицитных представлений, не поддающийся дедуктивизации, формализации. Сюда относятся оценка, выбор конкретных аксиом, использование тех или других приемов, законов, операторов, понятий и т.д. В математике встречаются непредикативные определения, вызывающие парадоксы.
Сказанное свидетельствует о недостаточности платформы классического рационализма в объяснении природы математики.
В интуитивизме познание обеспечивается озарением. Интуитивизм не однороден, поляризован: согласно первым формирование научного знания возможно в результате мистического откровения, вторые вводят трансцендентный познанию фактор.
Гносеологическая природа предпосылочного знания
Возникновение концепции предпосылочного знания связано с отрицанием трансцендентализма. Содержательная предпосылочность знания, т.е. обусловленность знания, понимания действительности глубинными, фундаментальными допущениями, положениями, несмотря на попытки избавить познание от предпосылок, является реальностью.
Познание действительности, получение новых знаний, достижение нового уровня понимания предполагает наличие условий, предпосылок, имеющих социально-экономический, культурно-исторический, этико-идеологический, инструментально-технический и т.п. характер. Определяющим выступают познавательные предпосылки - содержательно-смысловые, когнитивно-концептуальные, интеллектуально-мыслительные. Границы, возможности познания, векторы, направления интеллектуального поиска, содержательные характеристики знаний обусловлены теми исходными и фундаментальными когнитивными предпосылками, которые общеприняты для своего времени.
В истории философской мысли затрагивается проблема познавательных предпосылок. Первые упоминания о предпосылочном знании содержатся в платоновской концепции познания как анамнеза, согласно которой знание есть припоминание. Согласно взглядам Платона, знание присутствует в человеке еще на довербальном уровне, составляя неотъемлемую часть его психики: боги «познают любую вещь, просто обратившись к ней, а мы - с помощью причин и предпосылок»17. Поиск истины сводится к открытию существующего знания.
В дальнейшем возможность невербального мышления не раз становилась основой философского поиска. Ж. Адамар указывал, что Локк, Лейбниц, Кант, Беркли высказывали критические замечания относительно предпосылочного знания. Ф. Бэкон неосознаваемое в человеческом мыш лении называл идолами - предрассудками научного познания. Декарт,
Лейбниц разрабатывали положения о «врожденных идеях». Под врожденными идеями понималось наличие в человеческом сознании определенных структур, образований, возникновение которых связано не с опытом существования, а с их изначальным «присутствием» в сознании. Эти естественные, от «природы данные», при соответствующих условиях функционально проявляющиеся идеи выражают изначальную предрасположенность, готовность человеческого ума к адекватному восприятию и осмыслению реальности, его познавательные возможности и предметную направленность. Следовательно, опытное познание мира, теоретические умозаключения содержательно зависимы от подобной предрасположенности и возможности. Как указывал Б.В. Марков, «теория «врожденных идей» Декарта, априорное знание Канта представляют, в сущности, попытки философского уяснения предпосылочного знания, его природы, структуры и функции» .
Философские абстракции, символы способствовали концептуальному осмыслению содержательной предпосылочности человеческого познания.
В философии XX в. расширяются границы рефлективно-теоретиче-ского сознания для постановки и разработки проблем познавательных предпосылок. «Предпонимание» Хайдеггера, «предрассудок» Гадамера, «парадигма» Куна, «неявное знание» Полани, «абсолютные предпосылки» Коллингвуда, «эпистемы» Фуко и т.д. За каждой из абстракций - особый проблемный контекст, специфические теоретические задачи, методологические установки, исследовательские интенции. Использование данных результатов, осуществленные и осуществляемые с их помощью научные разработки - необходимые условия и основы целостного и комплексного теоретического осмысления содержательной предпосылочности познания.
В оценке предпосылочного знания имеют значение результаты исследований аналитической философии. Л. Витгенштейн анализировал явное-неявное знание. Например, оценивая сущность языка, Витгенштейн обращал внимание на невысказанное, поскольку невысказанное придает фон сказанному. В работах «Об уверенности», «Заметках об основаниях математики» Витгенштейн утверждал, что знание не может быть дано непосредственно. Опыт в силу его интуитивно-неявной природы адекватно не излагается теоретически, не алгоритмизируется, но необходим для практического применения знания.
Мерло-Понти, анализируя мыслительную деятельность субъекта, уточнял, что вербализация - есть актуализация «латентной интенциональ-ности» поведения19. Идея выражена Полани относительно понимания геш-тальта как конкретного типа понятия, которое управляет познавательным процессом. Неявное знание согласно Полани - периферическая часть общего знания личности, представляющая совокупность базовых принципов, на основе которых строится познание20.
Неявное знание личности - база познавательной деятельности, вне которой познание невозможно. Неявное знание не поддается окончательной рациональной проработке. Поскольку базовые принципы познания не находятся в центре внимания субъекта познания, они в научную теорию не включаются, не специфицируются. Неспецифицируемость знания означает его невербализуемость. Полани метафорично характеризует данную особенность следующим образом: «Мы живем в этом знании, как в одеянии из собственной кожи...»
Генетически-конструктивный метод Евклида
В период античности развивалась содержательная аксиоматика; ее олицетворением стала геометрия, начала которой сформулированы Евклидом в III в. до н.э. Под аксиомами понимались те суждения, истинность которых представала самоочевидной. Понятия и аксиомы в геометрии оценивались конкретно: им соответствовал некий физический прообраз, некоторые пространственные объекты. Геометрию Евклида можно сравнить с геометрией пространства. В ней понятия не определялись строго, не были сформулированы точно правила вывода одних утверждений из других.
В «Началах» Евклида закладывалась тенденция к аксиоматически-дедуктивному методу. Вейль указывал, что геометрия строилась как дедуктивная наука, которая занималась чисто логическими выводами из небольшого количества заранее установленных аксиом. Применявшийся метод носил генетически-конструктивный характер. Евклид в построениях опирался на 23 определения, 14 утверждений, пять из которых - постулаты, девять - общие понятия или аксиомы. Для построения теории использовались не только постулаты и аксиомы, но и наглядные представления. Многие определения представляли наглядное описание геометрических образов. Из определений подобного рода логически следствия не выводимы, они выступают ориентиром при получении последующих выводов. С опорой на интуицию решались такие вопросы, как непрерывность, взаимное расположение, равенство геометрических объектов.
Уже в период Древней Греции математика накапливала утверждения, которые не доказывались строго. Истинность некоторых из них, - таких, например, как идеи трихотомии, - подвергалась сомнению. К подобного рода объектам относились утверждения фундаментальными порядка - аксиомы, вывести которые из других не представлялось возможным.
Следствием понимания математики на началах «демонстративных» структур внутреннего созерцания стало признание наглядности как универсального методологического регулятива. С позиций данного регулятива (наглядности) оценивались доказательства, положения математики. Аксиомы получали интерпретацию как «предельные» «эвристически мощные» утверждения, отличающиеся «самоочевидностью».
Развитие аксиоматического метода связано с именами Н.И. Лобачевского, Э. Бельтрами, Я. Больяи, К.Ф. Гаусса. Ф. Клейн, А. Пуанкаре доказали непротиворечивость геометрии Лобачевского посредством интерпретации понятий и предложений неевклидовой геометрии в терминах геометрии Евклида и арифметики. С этого периода метод интерпретаций (моделей) становится методом установления относительной непротиворечивости аксиоматических теорий. Аксиоматическая теория предполагает наличие многих интерпретаций.
Дальнейшие исследования связаны с именами Паша, Гильберта. Г. Вейль так характеризовал настроение того времени: «Логика - это гигиена, правила которой математики соблюдает, чтобы сохранить свои идеи здоровыми и сильными».
По убеждению Гильберта, все в математике может быть доказано, исходя из основных аксиом. Результат аксиоматического подхода доказательно продемонстрирован на двух важнейших элементах математической системы. Во-первых, математика, по крайней мере, в принципе, способна ответить на каждый вопрос - тот самый принцип полноты, который в прошлом требовал введения новых чисел, например, отрицательных и мнимых. Во-вторых, математика свободна от противоречий, т.е. если истинность некоторого утверждения доказана одним методом, то должна быть исключена возможность доказательства отрицания того же утверждения другим методом.
Гильберт развивал аксиоматический метод, наиболее предпочтительный для логического обоснования математики. Он исследовал три типа неопределяемых элементов - точка, прямая, плоскость, отношения между которыми задаются началами инцидентности, порядка, конгруэнтности.
Установление аксиом геометрии, исследование их взаимоотношений - результат анализа пространственных представлений. Под прямыми, плоскостями, точками, отношениями принадлежности, порядка, конгруэнтности понимаются такие вещи и отношения, для которых выполняется одно требование - удовлетворение аксиомам. Аксиома предстает как неявное определение исходных понятий. К ним ни в коей мере не предъявляется требование быть очевидными.
Парадоксы теории множеств
На рубеже XIX-XX вв. открыты парадоксы теории множеств, обусловившие кризис в математике. Наиболее известный парадокс - парадокс Б. Рассела, в котором речь идет о множестве R всех множеств, не являющихся своими собственными элементами. R является собственным элементом тогда и только тогда, когда оно не является собственным элементом. Допущение, что R является собственным элементом, приводит к отрицанию этого допущения, из чего следует, что R не является собственным элементом. Противоречащие друг другу допущения доказываются, что и составляет суть парадокса.
Парадокс Бурали-Форти возникает при рассмотрении множества всех ординальных (или порядковых) чисел. Любое множество чисел, расположенных в возрастающем порядке, представляет упорядоченное множество и, следовательно, характеризуется некоторым ординальным числом. Оно оказывается отличным от всех ранее собранных в одном множестве порядковых чисел: если взять множество всех порядковых чисел, как вполне упорядоченное, обозначить его порядковое (ординальное) число через Р и включить теперь само это ординальное число Р в множество всех порядковых чисел, то обнаруживается, что порядковое число, характеризующее это множество всех порядковых чисел, должно быть большим Р, а именно (Р + 1). По условию это число должно входить во множество всех порядковых числе, и в это же время оно там не оказывается. Если же мы его включим во множество всех порядковых чисел, то вслед за этим возникает новый порядковый тип для расширенного таким образом множества порядковых чисел. Конструкция множества всех порядковых чисел оказывается внутренне противоречивой и логически нереализуемой.
Парадокс Кантора: рассмотрим множество всех множеств, обозначив его через М. Мощность такого множества должна быть больше мощности любого множества, так как по условию это множество образовано всеми возможными множествами, какие только могут быть. Но если есть универсальное множество (множество всех множеств), то существует и множество всех подмножеств данного множества. А оно согласно теореме Кантора относительно мощности исходного множества всех подмножеств любого данного множества, должно обладать мощностью большей мощности исходного множества, а именно теорема Кантора гласит, что мощность С множеств всех подмножеств любого множества мощности п больше п и равна 2": On и С = 2".
Следовательно, множество всех множеств - внутренне противоречивая конструкция: оно, с одной стороны, должно обладать максимальной мощностью, с другой - как только допустим возможность его существования, - само это допущение сразу же и автоматически ведет к появлению множества еще большей мощности, а именно: множества всех подмножеств данного множества. Ситуация неразрешима.
Наиболее близкое, естественное обоснование теории множеств, а вместе с ней математики в целом, состояло бы, по верному замечанию Клини, «в локализации ошибки наподобие ученической ошибки в алгебраическом или геометрическом упражнении на доказательство, без необходимости каких-либо дальнейших изменений» . Подобными вариантами обоснования теории множеств выступают теория типов Рассела и аксиоматическая система теории множеств Цермело.
Обоснование теории множеств, проводимое в рамках теории типов, заключалось в предложении элиминировать парадоксы за счет ограничения допустимых способов образования множеств. Рассел вводил определенную иерархию множеств. Весь универсум объектов разбивался на индивиды (объекты первого типа), классы индивидов (объекты второго типа), классы классов (объекты третьего типа) и т.д., где классы гг-го типа могут включать только классы (п - 1) типа и не могут включать самих себя. В результате иерархии классов теория типов способствовала устранению таких парадоксов, когда объект определялся через совокупность объектов, к которым принадлежит.
Но теория типов не позволяет разрешить парадоксы. Как показывает практика, «существенная часть высшей математики не может быть изложена в рамках теории типов, если не допускать непредикативные классы» .
Аксиоматизацию теории множеств реализовывал в 1908 г. Цермело. Он вводил ряд ограничений на правила рассмотрения некоторых объектов как множеств на базе точной аксиоматической дефиниции понятия множества.
Система Цермело состояла из восьми аксиом, к которым в 1922 г. А. Френкель добавил аксиому подстановки. Присоединение аксиомы подстановки к системе Цермело (Z) образовало аксиоматическую систему Цермело - Френкеля (ZF). В аксиоматизированной теории множеств ZF удавалось уйти от антиномий типа парадокса Рассела. Например, если под R подразумевать семейство тех и только тех множеств X, которые не являются своими элементами, а потому удовлетворяют условию Хе Jt68, то оправданно Хе R =Хе X. При подстановке же вместо переменной X символа R возникает парадокс Рассела. В аксиоматической же теории множеств выражение R(X) есть лишь сокращение выражения Х0 X; символ R здесь не является названием какого-либо множества, поэтому мы и не можем подставлять его вместо переменной JL69. Следовательно, принимаемое в ZF выражение R(X) =Хе Xпротиворечия не содержит.