Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Неявное знание в общенаучном контексте . 22
1. Проблема неявного знания в современной гносеологии 23
2. Неявное знание в научной теории и проблема его трансляции 47
ГЛАВА 2. Специфика неявного знания в математике 75
1. Взаимосвязи априорного и неявного знания в математике 76
2. Классификация неявного знания в математике 109
3. Специфика основных типов математического мышления 127
4. Роль неявных элементов в исторической эволюции математического знания 153
ГЛАВА 3. Неявные элементы в математическом обосновании 182
1. Динамика уровня теоретической строгости в истории математики 185
2. Гносеологический механизм математического обоснования 206
3. Неявные элементы в развитии основных программ обоснования математики 223
4. Гносеологический статус современной математики 249
Заключение 275
Список литературы
- Проблема неявного знания в современной гносеологии
- Неявное знание в научной теории и проблема его трансляции
- Взаимосвязи априорного и неявного знания в математике
- Динамика уровня теоретической строгости в истории математики
Введение к работе
Актуальность темы диссертационного исследования вызвана прежде всего заметным усилением в философии науки интереса к исследованию эмоционально-личностного аспекта научно-теоретической деятельности. Представляется, что это связано с кризисом позитивистской традиции в теории познания, игнорирующей вопросы истории науки и научного творчества, согласно которой «объективная эпистемология ... может в значительной степени пролить свет на ... субъективные процессы мышления учёных, но обратное неверно»1. В соответствии с этой традицией, знание, а, точнее, знание в объективном смысле, под которым подразумеваются непосредственно сами научные проблемы и теории как объекты автономного попперовского «третьего мира», - это «знание без того, кто знает: оно есть знание без познающего субъекта»2.
Однако, опираясь на работы аналитического философа первой половины двадцатого века Г. Райла3, можно заключить, что не может быть разработано такой научной теории, которая бы учитывала всевозможные особенности понимания всех субъектов познания, все аномалии и частные случаи и целиком в себе содержала все правила по её применению. Как представляется, это происходит по причине того, что в познании, в том числе и научном, необходимо различать «область действия», то есть область научно-теоретических, в том числе и математических построений, имеющих символическую форму, и «область понимания», то есть область осмысления, связанную с «имманентным Я», через которую в «область действия» проникает, говоря словами Р. Декарта, «естественный свет разума»4. Вследствие этого в процессе практического применения теоретических утверждений в научной теории образуются «провалы», которые, в конечном счёте, становятся очевидными, и, хотя какая-то часть из них со временем и выявляется, на основе предыдущего опыта возникает опасение, все ли такие неявные утверждения обоснованы. Это значит, что «область понимания» и «область действия» взаимосвязаны, и декларируемая К. Поппером автономность объектов «третьего мира», по крайней мере, может быть подвергнута вполне обоснованной критике. Позитивистская же стратегия философии науки, не желающая выходить за рамки явного знания, и обращаться к анализу проблем понимания, по сути, означает отказ от стремления к исторически адекватному, то есть подлинному обоснованию научно-теоретического знания.
Представляется, что пришло время попытаться на иных теоретико-методологических основаниях не только разобраться в реальной истории развития науки, но и выдвинуть концепцию развития научно-теоретического знания с учётом исторических реалий и специфики научного творчества, в которой проблема рационализации предпосылок научно-теоретического мышления выходила бы на первый план.
При этом необходимо понимать, что стремление к научному исследованию неявных элементов знания фактически означает признание возможности рационального изучения интуитивных механизмов мышления и исследования научно-теоретических предпосылок любого характера - как собственно научных, так и онто-гносеологических, а также ценностных, что, как представляется, необходимо оценивать позитивно с точки зрения перспективы научно-философского исследования.
Актуальность темы диссертационного исследования вызвана также и поисками реальных механизмов развития научной и, прежде всего, математической, теории. Специфика математики отнюдь не исчерпывается аксиоматическим способом её исторического формирования, на что явно указывает относительная неудача программы математического формализма. Она проявляется ещё и в том, что математика как образец теоретической строгости, соответствующий, казалось бы, всем стандартам позитивизма, представляющая собой единственный реально возможный жёсткий идеал научной теории, тем не менее, слывёт наукой, самой сложной для понимания. В самом деле, решение простейшей математической задачи требует от нас владения неким предварительным неформальным доопытным знанием и определённого уровня развития математической интуиции. Представляется, что эта особенность математики вызвана в основном тем, что её основания содержат солидный слой теоретически неявного знания, который имеет онто-гносеологический характер и формируется на личностно-индивидуальном уровне. Необходимость философских предпосылок в математике отмечалась в своё время ещё Д. Гильбертом. Поэтому исследование неявного знания в математике в любом аспекте, особенно в области оснований математики, представляется крайне важным не только для теории познания или философии науки, но и перспектив развития и применения самой математической науки.
Нельзя не отметить, что в философии науки последних десятилетий муссируется тезис о стагнационных процессах, происходящих в философии математики, вызванных как высокой сложностью современной математики, так и многообразием противоречащих друг другу концепций относительно статуса математики и взаимоотношений математики и философии1. Однако, представляется, что исследование проблемы роста математического знания, осуществляемое с опорой на результаты истории математики и концепцию неявного знания, должно способствовать прогрессивному продвижению философско-математических исследований, попытка чего как раз и осуществлена в данной работе. Актуальность подобных исследований возрастает в связи с развитием в современной философии науки социокультурного направления, отрицающего априорный статус оснований математики.
Актуальность темы настоящего исследования вызвана и её близостью к проблеме понимания, связанной, в свою очередь, с современными исследованиями в области искусственного интеллекта. Очевидно, что перспективы искусственного интеллекта напрямую зависят от возможности сведения к формальным, иначе говоря, вычислительным механизмам если не самого процесса научного открытия, то хотя бы процесса понимания смысла утверждений и терминов математики, который обязательно предполагает наличие неявного слоя. В этой связи необходимо понимать, что неявный элемент научной теории не может быть полностью устранён из неё при самых благоприятных исторических перспективах.
Что касается степени разработанности темы настоящего диссертационного исследования, то представляется, что в настоящее время, как в теории научного познания, так и в философии математики, проведена вся необходимая подготовительная работа для получения новых значительных результатов по исследуемой теме, и современная философия науки как никогда близка к выработке адекватной модели научно-теоретического знания и к максимально объективному пониманию законов его исторического развития.
В истории математики важное значение для разработки диссертационной темы имеют, прежде всего, фундаментальные исследования А. П. Юшкевича и И. Башмаковой - по истории математики XVII-XVIII веков; К. А. Рыбникова, Ф. Клейна, Д. Стройка и др. - по истории математики XIX-XX веков.
• В философии математики диссертант опирался в основном на исследования Ж. Адамара, В. Н. Катасонова, М. И. Панова, В. Я. Перминова, А. Пуанкаре и др. По проблемам оснований математики исходными для диссертационной темы стали исследования крупнейших математиков двадцатого столетия, авторов основных программ обоснования математики - таких, как Л. Э. Я. Брауэр, Д. Гильберт, Б. Рассел и Г. Фреге. Кроме того, представляется, что осмысление результатов развития основных программ обоснования математики невозможно без обращения к работам Г. Вейля, одного из крупнейших математиков двадцатого века, положившего, вместе с А. Гейтингом, начало этому осмыслению.
В своём исследовании проблемы развития и роста научного знания автор опирался на результаты, полученные Т. Куном, И. Лакатосом, Л. А. Микешиной, К. Поппером, М. А. Розовым и др., без учёта которых трудно представить себе современную философию науки. Концепция неявного знания в современной философии науки была разработана американским исследователем М. Полани, а синергетический подход в осмыслении проблемы неявного знания в современной философии науки развивается в работах В. И. Аршинова. Этот подход оказался необходимым для уточнения структуры личностно-индивидуального комплекса неявного знания, адекватное представление о которой является ключевым для разработки диссертационной темы. Проблема неявного знания в современной отечественной теории познания разрабатывается Л. А. Микешиной.
Проблема неявного знания фактически была вскрыта одним из крупнейших представителей аналитической философии Г. Райлом1. Аналитическая философия стремилась преодолеть эту проблему в рамках логико-эмпирического и лингвистического подходов, фактически ограничивая её исследование рамками лингвистической философии, что не позволило, в конечном счёте, добиться её адекватного разрешения.
В научно-математическом аспекте проблема неявного знания ранее не ставилась, а концепция неявного знания к философско-математическим и историко-математическим исследованиям ранее не применялась, что было восполнено диссертантом в рамках излагаемого подхода. Кроме того, полученные выводы позволили существенно доработать концепция неявного знания и в научно-теоретическом аспекте. Думается, что на современном этапе развития науки именно эти аспекты исследования проблемы неявного знания наиболее важны.
В принципе, и предпосылочное знание, и основания знания широко исследовались в эпистемологии двадцатого столетия. Наряду с концепцией неявного знания в этом отношении выделяется так называемый тематический анализ оснований науки Дж. Холтона. Однако указанный подход не предлагает такого эффективного методологического инструмента философско-научного исследования, каким представляется понятие неявного знания, поэтому предпочтение, отдаваемое в современной философии науки подходу, основы которого были разработаны М. Полани, вполне объяснимо.
Идея конституирования понятий, имеющая большое значение для формирования основных выводов при исследовании оснований математики во второй главе диссертации, была в своё время разработана Э. Гуссерлем, а фундаментальные выводы о природе исходных принципов познания разработаны в рамках критической философии Им. Кантом. Соотнесение с ними крайне важно для любых исследований подобного рода. Серьёзный интерес в рамках диссертационного подхода представляют гносеологические исследования по проблеме интуиции и философско-научный анализ принципов математического интуиционизма, принадлежащий К. Попперу.
Современной теории познания и философии науки, в конечном счёте, приходится признать, что «Предпосылочное знание ... является столь же фундаментальным параметром науки, как и эмпирическое знание»1. В том, что проблема неявного знания в научной теории существует, по крайней мере, как проблема рационализации предпосылочного знания, современная философия науки практически не сомневается. Это значит, что декларируемая К. Поппером автономность объектов «третьего мира» в определённом смысле может быть подвергнута вполне обоснованному сомнению. Поэтому современная философия науки склоняется к выводу о том, что редукция научно-познавательной деятельности, а также её результатов, к одним только дискурсивным рассуждениям и к полной элиминации интуитивной составляющей из научной теории, невозможна. В настоящем исследовании в дальнейшем будет доказано, что проблема неявного знания в научной теории не может сводиться только к проблеме выявления научно-теоретических предпосылок, а должна рассматриваться в значительно более широком аспекте, поскольку связана с проблемами понимания смысла научно-теоретических утверждений. Позитивистская же стратегия философии науки, не желающая выходить за рамки явного знания, и обращаться к анализу проблем понимания, по сути, означает отказ от стремления к исторически адекватному, то есть подлинному обоснованию научно-теоретического знания.
В последние годы наличие неявных элементов научной теории, то есть таких её положений и принципов, статус которых существенно отклоняется от исторически сформировавшегося привычного статуса научно-теоретического знания (выработанного в рамках философии науки первой половины двадцатого столетия), получает всё более широкое признание в отечественной философии науки, которая приходит к выводу, что неявные элементы в научной теории порождаются прежде всего «синтетическими феноменами», подобными «психологической установке», «способу видения» Т. Куна1, «концептуальной установке» Я. Хинтикки , «глубинным тематическим структурам» Дж. Холтона и т. д. Важная роль в этом смысле, как было отмечено, отводится предпосылочному знанию, которое проникает в научную теорию в виде философско- мировоззренческих и философско-методологических принципов, образующих научную картину мира и стиль научного мышления .
В широком смысле в современной философии науки неявное знание рассматривается как некоторый набор стереотипов, образующих гуссерлевский «жизненный горизонт», на фоне которого разворачивается любая, и прежде всего, познавательная или профессиональная деятельность личности, как «некоторая невербализованная и дорефлексивная форма сознания и самосознания субъекта, как важная предпосылка и условие общения с собой, познания и понимания», возникающая в результате диалога с собственным подсознанием5.
Кроме того, необходимо понимать, что стремление к научному исследованию неявных элементов знания фактически означает признание возможности рационального изучения иррациональных механизмов мышления, и, прежде всего, интуиции, а также возможности исследования научно-теоретических предпосылок любого характера - как собственно научных, так и онто-гносеологических, а также ценностных. В этом смысле «Иррациональное предстаёт как новое, ещё неотрефлектированное, допонятийное, не принявшее логически определённые формы знание. Оно ещё проблематично, необоснованно, но уже присутствует как необходимый творческий компонент познавательной деятельности.»1. Очевидно, что такой подход существенно расширяет горизонты научно- философского исследования, особенно в теоретико-познавательном аспекте и создаёт в этом смысле вполне реальные позитивные перспективы. Крайне важно, что стремление к исследованию неявно-интуитивных механизмов познания ведёт к изменению самого представления о рациональности, при котором «Рациональность не только не отождествляется с концептуализацией вообще и логизацией в частности, но как обязательные для её понимания подключает различные факторы и доконцептуального порядка»2.
Вопросы развития математического знания традиционно находятся в центре внимания как математиков, так и специалистов в области философии и методологии науки, вследствие чего эти вопросы достаточно хорошо разработаны, как в зарубежной, так и в отечественной философско-научной литературе. Однако вызывает сожаление тот факт, что все подходы в исследовании вопросов развития математического знания, как в западной, так и в отечественной философии науки разрабатываются в основном в русле математического эмпиризма и социокультурной философии математики, даже если приводимые факты допускают совершенно иное истолкование. Это замечание относится, прежде всего, к стратегиям развития математического знания, предлагаемым И. Лакатосом и Ф. Китчером, которые критически оцениваются в третьей главе диссертации.
В целом представляется, что выводы, полученные теорией познания и философией науки, осмысленные в аспекте проблемы неявного знания, позволяют разработать новую стратегию философско-научного и историко-научного исследования развития математического знания, что было осуществлено в диссертации и отражено в основных выводах диссертационного Заключения.
Целью настоящего диссертационного исследования является раскрытие роли неявного знания в становлении и обосновании математического знания. Реализация этой цели предполагает выполнение следующих взаимосвязанных задач:
— обобщение и систематизация результатов философско-научных исследований по проблеме неявного знания;
— прояснение проблемы неявного знания и сущности феномена неявного знания в теоретико-математическом и общенаучном аспекта;
— выявление возможностей и механизмов исторической эволюции различных типов неявного знания, содержащегося в математической теории, в явное, а в перспективе — в строгое математическое знание;
— прояснение роли неявных элементов в парадоксах канторовской теории множеств и неудачах классических программах обоснования математики (формализм, логицизм, интуиционизм);
— уточнение гносеологического и методологического статуса современной математики с учётом концепции неявного знания.
При реализации основных задач настоящего диссертационного исследования необходимо основываться на определённых теоретико-методологических предпосылках. В рамках настоящего диссертационного исследования необходимо опираться на неклассическую философскую установку, согласно которой знание не всегда может быть не только рационализировано, но и вербализировано. Такой подход позволяет включать в область знания и неявные элементы. Понятие неявного знания рассматривается здесь в качестве наиболее эффективного методологического инструмента, причём подчёркивается, что такой подход наиболее целесообразен применительно именно к математике, которая не является эмпирической научной дисциплиной, то есть не нуждается в какой-либо опоре на внешний опыт, эксперимент.
При исследовании личностно-индивидуального комплекса неявного знания представляется необходимой опора на синергетический подход, предполагающий, что взаимовлияние всех элементов этого комплекса оказывает воздействие на его функционирование как целостной системы.
Одной из важнейших теоретико-методологических предпосылок диссертационного исследования, несомненно, должно быть утверждение о связи с историей математики с непременным условием обязательного соответствия строящихся здесь методологических концепций фактам, изложенным в историко-математической литературе. Именно такой подход позволил диссертанту пересмотреть некоторые теоретико-методологические положения, свойственные сугубо М. Полани. В частности, это относится к утверждению М. Полани о принципиальной нерационализируемости неявных элементов знания, в том числе и научно-теоретического. В этой связи в диссертационном исследовании было, продемонстрировано, что, например, неявные предпосылки и скрытые леммы математических доказательств могут быть дискурсивно эксплицированы в рамках парадигмы конкретного исторического периода.
Одним из важнейших вопросов, рассматриваемых в диссертации, представляется вопрос о природе базовых оснований математики. При анализе таковых диссертант опирался на принципы априоризма, а также на концепцию неявного знания . В конечном счёте, на основе априористских концепций Им. Канта и Э. Гуссерля, а также на основе концепции неявного знания, во второй главе диссертации исследовался вопрос о взаимосвязи неявного и априорного знания. В результате было установлено, что именно априористский подход в решении вопроса о природе базовых оснований математики наиболее предпочтителен.
В диссертации на базе концепции дедукции Р. Декарта1, понятия личностно- индивидуального комплекса неявного знания и концепции творческого процесса, разработанной Ж. Адамаром , сформировано понятие эвристической интуиции. Эвристическая интуиция посредством «озарения» усматривает некое неявно- интуитивное утверждение как «свёрнутое умозаключение», которое впоследствии может быть дедуктивно развёрнуто.
Что касается принятого в диссертационном исследовании статуса математического знания, то представляется, что ни конструктивный, ни интуиционистский подходы, развиваемые в современной математике, в конечном счёте, ничего кардинально не меняют в исторически сложившемся понимании математики как строгой и дедуктивной научной дисциплины, принципиально исключающей эмпирический аспект. Определённые соображения социокультурного характера, привлекаемые в диссертационном исследовании, как представляется, только уточняют, и, следовательно, укрепляют позиции математического априоризма.
В настоящем диссертационном исследовании методологически строго осуществляется разграничение эвристических, строгих, а также формализованных математических методов, совместное существование которых имеет место на каждом историческом этапе развития математики.
Методологически важно, что применение концепции неявного знания как базовой для данной работы позволяет добиться совпадения внутренней логики исторического развития математического знания и логики рациональной реконструкции этой истории при условии учёта указанных здесь ранее теоретико-методологических предпосылок. Такой подход и делает возможным, в конечном счёте, достижение основных целей настоящего исследования.
Все, раскрытые выше, теоретико-методологические предпосылки уточнялись и детализировались в настоящем диссертационном исследовании по мере необходимости.
Диссертация имеет эмпирическую основу, которой в данном случае является компендиум оригинальных философских, историко-математических и математических текстов, исследование которых и послужило основным источником идей диссертационной концепции.
Научная новизна диссертационного исследования в основном связана с применением понятия неявного знания в качестве основного методологического инструмента. В настоящем диссертационном исследовании:
1. Формирование и функционирование элементов личностно-индивидуального комплекса неявного знания в целом происходит по законам синергийного взаимодействия. Это значит, что условием формирования и функционирования элементов этого комплекса является их постоянное взаимовлияние, оказывающее воздействие на деятельность всего личностно-индивидуального комплекса неявного знания в целом, а, следовательно, и на сам процесс познания как таковой. Установлено, что личностно-индивидуалъныи комплекс неявного знания включает в себя следующие элементы: 1) базовые онто-гносеологические предпосылки, часть которых имеет математическую специфику, в совокупности образующие так называемый «инструмент познания» субъекта; 2) социокультурные предпосылки, включающие в себя содержание познавательной установки, в рамках которой осуществляется математическое познание, а также представления о статусе математического знания; 3) индивидуальная общенаучная эвристика, в том числе и специфически математическая.
2. Определено, что основными свойствами неявного знания с точки зрения его участия в математической теории следует признать его теоретическую неспецифщируемость, то есть неопределяемостъ в терминах математики и необоснованность в рамках математической теории, а также такую специфику их взаимосвязей с обоснованными элементами математической теории, которая, при уточнении доказательств не нарушает их герметичности, то есть генетической взаимосвязи с личностно-индимвидуальным комплексом неявного знания. Разработана следующая классификация типов неявного знания как неотъемлемого элемента математической теории: а) эвристические приёмы и методы; б) неявные предпосылки, которые могут иметь вид скрытых аксиом, скрытых лемм или определений; в) неявный коэффициент математической символизации.
3. Показано, что математические методы формируются эволюционным путём из неявно-интуитивных математических эвристик в результате экспликации этих эвристик в процессе их практического применения (алгоритмизации), а при историческом становлении математического знания любая рационализация прежде всего преследует цель вытеснения неявно-интуитивного элемента. Вследствие углубления этой тенденции, вызвавшей в середине девятнадцатого века математические «революции строгости», к началу двадцатого века возникает задача обоснования оснований математики.
4. Показано, что неявные предпосылки в структуре математического мышления имеют два уровня: индивидуально-психологический (неявные предпосылки первого рода или эвристика) и интерсубъективный (неявные предпосылки второго рода). Обосновывается то положение, что повышение уровня строгости математического рассуждения устраняет неявные предпосылки первого рода как скрытые леммы, а также приводит к алгоритмизации строгих математических методов. Основная часть предпосылок второго рода эксплицируется в виде явных аксиом. Выявлено, что в классе интерсубъективных предпосылок существует иррациональный компонент, а именно, система неявных предпосылок, не поддающихся устранению и экспликации. Это неявные предпосылки, связанные с установлением смысла математических символов, квалифицируемые в диссертации как неявный коэффициент математической символизации, а также актуальная бесконечность.
5. Обосновывается положение, что интерсубъективные предпосылки не зависят непосредственно от опыта, являются самоочевидными и неустранимыми из содержания мышления и, в этом смысле, могут быть квалифицированы как имеющие априорный статус. Априорные предпосылки имеют другую логику становления в индивидуальном сознании: они не являются обобщением какого-либо частного опыта, а представляют собой результат конституирования необходимых механизмов мыслительной деятельности. Аксиомы элементарной математики являются априорными в том смысле, что они исторически появились как экспликация неявного интерсубъективного знания.
6. Установлено, что необходимость трансляции неявных элементов научной теории, то есть необходимость их передачи от одного субъекта познания к другому, а также отсутствие явных, то есть рационально-логических механизмов такой передачи, приводит к возникновению проблемы трансляции неявных элементов научной теории от одного субъекта познания к другому, а также от одного поколения исследователей к другому. Устная передача является одним из распространённых средств такой трансляции.
7. Показано, что строгость и надёжность как две характеристики математического рассуждения не всегда совпадают друг с другом. Если строгость означает меру освобождения доказательства от неявных предпосылок, то надёжность - его гарантированность от контрпримеров. Экспликация неявных предпосылок в математических доказательствах осуществляется только ретроспективно, исходя из нового, более высокого уровня теоретической строгости, к формированию которого в рамках абстрактного статуса математического знания приводит изменение познавательной установки с творческой на критическую. Однако сам личностно-индивидуальный мыслительный механизм выявления и даже установления наличия неявных предпосылок в математике неалгоритмизируем, поэтому выявление конкретных неявных предпосылок непредсказуемо. После устранения индивидуально-личностных предпосылок из доказательства, которое происходит на уровне его коллективной проверки, оно может считаться надёжным, хотя по-прежнему не является строгим. Дело в том, что интерсубъективные неявные предпосылки эксплицируются без разрушения доказательства, поэтому доказательство, содержащее только интерсубъективыные (априорные) неявные предпосылки, может считаться гарантированным от фальсификации его контрпримерами, т. е. надёжным.
8. Классические программы обоснования математики (формализм, логицизм, интуиционизм) фактически предлагают практически приемлемое решение задачи вытеснения скрытых лемм из математических доказательств, и, следовательно, из ткани математической теории, тем самым решая задачу достижения максимальной строгости и максимальной надёжности математического знания. Существенного прироста знания в результате дальнейшей экспликации уже не происходит, а уровень надёжности эксплицируемой математической теории соответствует её практическому применению и перспективе дальнейшего развития математики.
9. Учение И. Лакатоса о скрытых леммах математического доказательства следует считать ограниченным вследствие того обстоятельства, что оно не выделяет уровня априорных неявных предпосылок и не проводит границы между строгостью и надёжностью математического рассуждения. История математики подтверждает тот факт, что математические теории могут быть надёжными и до ясного определения критериев строгости.
10. Исследование классических программ обоснования математики в рамках диссертационного подхода доказывает, что обращение к актуальной бесконечности является единственным непреодолимым препятствием для обоснования непротиворечивости теории множеств и реализации программы логицизма, а также программы математического формализма в её гильбертовском варианте, тем самым ясно обозначая границу математического обоснования. Обосновано, что классические программы обоснования математики не полностью свободны от неявных элементов, поскольку даже если в них не предполагается обращения к актуальной бесконечности, как в программе математического интуиционизма, то предусматривается осуществление символизации или формализации, неизбежно порождающих неявный коэффициент. При этом выяснено, что указанные особенности программ обоснования математики не противоречат её дедуктивной специфике, и не являются причиной для отказа математическому знанию в надёжности.
Все выводы по теоретической и практической значимости настоящего диссертационного исследования связаны с дальнейшим осмыслением и развитием применения концепции неявного знания к математической науке в теоретико-познавательном и методологическом аспекте.
Важное теоретическое значение имеют выявленные и обоснованные в диссертации закономерности, раскрывающие важнейшую роль неявного знания в развитии математики в рамках аксиоматического типа мышления как на стадии формирования нового знания, содержащего развитый неявно-интуитивный компонент, так и на стадии обоснования и экспликации этого нового знания. Суть обоснования и экспликации в математике в рамках диссертационного подхода должна рассматриваться как вытеснение неявных элементов из математических доказательств и теоретических оснований.
На основе результатов диссертационного исследования необходимо заключить, что математическое знание в своём становлении проходит многоэтапную историческую эволюцию: от неявного неосознаваемого знания на этапе математического открытия, далее через ряд исторических трансформаций — к знанию явному как строгому алгоритму или обратимой процедуре. При этом неявно-интуитивный элемент математической теории неуклонно уменьшается, что особенно заметно становится на этапе алгоритмизации, однако как таковой этот неявно-интуитивный элемент не может быть элиминирован из математической теории полностью. Представляется, что, независимо от исторической перспективы, потенциал повышения уровня строгости в математике исчерпан, но, вместе с тем, адекватен её практическому применению и перспективам её дальнейшего развития. Это позволяет сделать важнейший практический вывод о надёжности современной математики, несмотря на ограниченность формально-теоретической экспликации её оснований.
Проблема понимания приобретает особую практическую важность в связи с исследованиями в области искусственного интеллекта. Представляется, что важнейшее практическое значение в этом плане может иметь подтверждение в диссертационном исследовании тезиса о том, что «человеческое математическое понимание несводимо к вычислительным механизмам»1. Это значит, что понятия интеллекта и искусственного интеллекта никогда не станут тождественно верными, какими бы успехами не сопровождались научно-теоретические и технические исследования в области искусственного интеллекта. В исторической перспективе, при качественно более высоком уровне развития компьютерных технологий, когда на повестку дня будет поставлен вопрос о возможности замены человека компьютером, непреодолимая существенная разница между этими понятиями станет принципиальной.
Необходимо признать, что выводы диссертационного исследования в определённой степени корректируют позиции математического эмпиризма, а также социокультурной философии математики. Диссертационный вывод, согласно которому только при условии априорности оснований математики рациональный социокультурный контекст, ими задаваемый, будет сохраняться и развиваться в русле рациональной социокультурной традиции человечества, обусловливает важнейшее социокультурное значение исследований в области философии математики, в частности, изучение оснований этой науки. Полученные выводы доказывают, что концепция неявного знания не только связана с идеей априоризма оснований математики, но и в целом не разрушает математического дедуктивизма как такового.
На основе диссертационных выводов можно заключить, что никакие социокультурные институты передачи знаний и опыта, из структуры которых устранена личность преподавателя как уникального транслятора неявно-интуитивных элементов знания, обычно квалифицируемых как «опыт» в широком смысле слова, накопленный цивилизацией за время своего исторического развития, никогда не будут достаточно эффективными. При этом необходимым является синергийное взаимодействие личностно-индивидуальных комплексов неявного знания преподавателя и его учеников.
В данном исследовании продемонстрировано, что применение неявного знания в качестве методологического инструмента философско-научного исследования имеет неплохие перспективы. В качестве конкретных примеров применения неявного знания в этом аспекте рассмотрена историческая эволюция математического метода интерпретаций и историческое обоснование основной теоремы алгебры.
Выводы, полученные в диссертационном исследовании, позволяют теоретически уточнить представления о природе научного знания в рамках определённой тенденции, сложившейся в последнее десятилетие в отечественной теории познания и философии науки. Сегодня необходимо признать, что неявное знание - это неотъемлемый элемент научной теории, обеспечивающий понимание этой научной теории конкретным субъектом познания, обусловливающий ограниченность формализации её оснований, и, в конечном счёте, существенно ограничивающий претензии научно-теоретического разума на познание абсолютной истины.
Материалы диссертации могут использоваться в высшей школе при разработке специальных курсов для студентов и аспирантов по вопросам теории познания, философии науки и методологии математики.
Проблема неявного знания в современной гносеологии
Вообще необходимость тайного, скрытого знания вполне корректно выводится из платоновской гносеологической концепции, согласно общему принципу которой «знание есть припоминание». Это значит, что знание существует в душе, то есть в мышлении, ещё на довербальном, неосознаваемом уровне. Задача мышления при этом состоит в припоминании этого знания, когда «душа может при помощи специальных процедур вспомнить о тех знаниях, которые она получила до всякого чувственного опыта и как бы «вытащить» это дремавшее в её глубинах знание на поверхность сознания»1. Понятно, что «припоминание» можно представить себе как сложный и растянутый во времени процесс, на отдельных этапах которого осуществляется постепенное выявление этого скрытого знания. Как известно, сам процесс познания описан Платоном во многих диалогах, в частности, в диалоге «Менон», где рассматривается процесс припоминания геометрического знания.
Что касается вопроса о возможности невербального мышления, то Ж. Адамар в результате историко-научных исследований в начале двадцатого века пришёл к выводу, что Локк, Лейбниц и Кант сомневаются в идентичности мыслей и слов, а Беркли вообще уверен, что «слова - большой тормоз мысли» . Декарт же, признавая роль воображения в математическом исследовании, всё же стремился к полному исключению его из науки, что отражено в его «Правилах для руководства ума», начиная с четырнадцатого. Ж. Адамар отмечает, что даже такой выдающийся аналитик, автор программы математического формализма в обосновании математики, как Д. Гильберт, разрабатывая свои «Основания геометрии», постоянно руководствовался своим геометрическим смыслом, а не только правилами формального вывода, которым, безусловно, он владел в совершенстве. Сомневающимся Ж. Адамар советует «мельком просмотреть книгу Гильберта», где «Фигуры появляются почти на каждой странице»1. В противном случае, то есть при полностью логическом рассуждении, «ни один из конкретных образов не является необходимым»2. Анкетируя современных ему известных математиков, Ж. Адамар делает вывод о том, что только Д. Пойа, единственный из опрошенных им математиков, мыслит с помощью слов . Так что, согласно исследованиям Ж. Адамара, между словами и мышлением математика нельзя ставить знак тождества, вследствие чего можно заключить, что в науке возможно невербальное мышление, а, значит, и невербальное, иначе говоря, неявное знание.
Феномен неявного знания был открыт Г. Ф. Лейбницем в Новое время, в семнадцатом веке. Г. Ф. Лейбниц отмечал, что мы «основываемся на пропускаемых больших посылках, когда рассуждаем ...»4. Указанные «пропускаемые большие посылки», с точки зрения современного научного подхода, необходимо рассматривать как некоторые «провалы» в рассуждении, состоящие из таких утверждений, на которые мы опираемся, но которые пропускаем при рассуждении вследствие их неосознаваемости. У Ф. Бэкона неявный уровень научного познания представлен «идолами» или «призраками», то есть различного рода предрассудками процесса познания, от которых необходимо освободиться5. С точки зрения современной науки эти «Предрассудки в науке имеют общее гносеологическое происхождение. Они проистекают из сложностей субъект-объектного отношения ...»6. Среди этих предрассудков в рамках излагаемого подхода выделяются предрассудки, связанные с языком, так называемые «идолы площади, проникающие в человеческий разум в результате молчаливого договора между людьми об установлении значений слов и имён ...»\ Ф. Бэкон отмечает, что сами определения в математике состоят из слов и поэтому подвержены ошибкам и неточностям .
В современной гносеологии феномен неявного знания рассматривается как результат обусловленности определённой концепцией человека. Исходя из этой концепции человек берётся прежде всего как «часть сознания Вселенной, выражающая собой весь бесконечный мир и его смыслы», «не сводимая к совокупности всех общественных отношений» . При этом «субъект познания с необходимостью предстаёт как целостность, включающая эмпирическое «я», «жизненный мир» и «повседневность», когда неизбежно «Возникает необходимость освоения проблематики неосознанного (личностное неявное знание), бессознательного (архетипы, коллективное бессознательное в познавательной деятельности ...»4. Это значит, что структуры мышления могут иметь различную степень иррациональности, бессознательности, и могут быть связаны с логическими, а также нерациональными механизмами мышления в различной степени, то есть быть в определённой степени неосознаваемыми. Эти неосознаваемые мыслительные структуры могут «вбирать» в себя идеи и концепции, относящиеся к совершенно различным формам мышления и рациональности (мифология, религия, наука и т.д.), причём в неявных доконцептуальных структурах мышления, носящих парадигмальный характер и задающих стратегию научно-исследовательского поиска, все эти формы рациональности могут быть неразрывно сплетены. Отсюда следует, что одной из важнейших особенностей феномена неявного знания необходимо признать его синергетическую многослойность.
Неявное знание в научной теории и проблема его трансляции
В настоящем параграфе будут исследоваться основные свойства неявного знания в рамках научно-теоретического контекста. При этом будут выделены конкретные типы неявного знания, участвующие в научной теории.
Далее в параграфе будет исследоваться проблема трансляции неявных элементов научной теории от субъекта к субъекту, для чего необходимо будет эксплицировать все элементы личностно-индивидуального комплекса неявного знания, а также взаимосвязи неявного знания и эвристической интуиции. В конечном счёте, в параграфе будет показано, что личностно-индивидуальному комплексу неявного знания принадлежит основная роль в трансляции неявных элементов опыта научно-теоретического исследования от субъекта к субъекту.
Вследствие продемонстрированной в предыдущем параграфе неизбежности возникновения проблемы неявного знания в рамках научной теории, в современной философии науки практически не отрицается идея необходимости исследования проблемы неявного знания, а, следовательно, идея необходимости изучения неявных, скрытых, имплицитных элементов знания, согласно М. Полани присутствующих практически в любой научной теории. В этой связи в современной философии науки большое внимание уделяется неявному предпосылочному знанию, которое интерпретируется как «психологическая установка», «способ видения», «эпистема», или как концептуальная установка Я. Хинтикки, «глубинные тематические структуры» Дж. Холтона и др.1.
Феномен неявного знания в научной теории имеет свою специфику. Дело в том, что любая научная теория опирается на интуитивные, теоретически неявные базовые онто-гносеологические предпосылки, образующие картину мира, а также на идеалы и нормы научного познания, включая их ценностные и методологические аспекты. В современной философии науки иногда этот базовый, опорный, интерсубъективный в своей основе элемент научной теории вслед за Т. Куном называют парадигмой. Элементы парадигмы, не находясь в дедуктивной связи с научной теорией, тем не менее, непосредственно влияют на её развитие и во многом определяют, какие конкретно утверждения будет выведены из этой теории посредством дедукции.
Например, физика как наука невозможна без признания единства мира, его трёхмерности, принципа причинности и др. Кроме того, это некоторые исходные теоретические понятия, такие, как, например, масса или скорость, определяемые только через другие физические понятия, и т. д. В классической физике XIX века, в частности, неявно принималось «положение о том, что, локальное движение тел можно объяснить, абстрагируясь от их цвета и запаха ...»\ Кроме того, часть неявных предпосылок физики как науки связана с использованием усложняющихся исторически приборов и измерительных инструментов. К числу подобных неявных предпосылок относится, например, «постулат объективной воспроизводимости эксперимента; онтологический принцип однородности времени ...»2.
Вообще же современная философия науки приходит к выводу о том, что в науке «Предпосылочное знание как непроблематичное и очевидное ... чаще всего явно не формулируется, существует в имплицитной форме»3. Исследование и вербализация предпосылочного научно-теоретического знания возможны только в рамках философско-научных дисциплин, что никак не изменяет гносеологический статус предпосылочного знания как неявной онто-гносеологической базы любой научной, в том числе и эмпирической, теории. Эти теоретически неявные онто-гноселогические утверждения физики никак не специфицируются и не включаются дедуктивным образом в физическую теорию. Это значит, что непосредственно из этих базовых онто-гносеологических предпосылок не могут быть выведены никакие утверждения физики, но сама физика как наука, как теоретическая дисциплина, без таких предпосылок невозможна. При этом физика не видит никакой необходимости не только в обосновании своих предпосылочных утверждений, но даже в их вербализации. Известно, например, что скорость в классической физике определяется только как отношение пройденного пути ко времени, и этого вполне достаточно в её рамках.
Взаимосвязи априорного и неявного знания в математике
Основной задачей настоящего параграфа будет выявление взаимосвязей неявного и априорного математического знания, для чего будет обоснована априорность базовых оснований математики. Это позволит уточнить статус математики как науки.
Вообще к базовым основаниям математики обычно относят основные понятия и аксиомы геометрии, а также числовую ось. В современной философии математики существует целый спектр концепций происхождения и природы базовых оснований математики1, основными из которых являются традиционно противостоящие друг другу эмпиризм и априоризм. В рамках излагаемого подхода будет доказано, что базовые основания математики априорны. Предполагается также доказать, что эмпиризм в решении вопроса о природе и происхождении базовых оснований математики не может претендовать на окончательные выводы, а является промежуточной ступенью в историческом исследовании базовых оснований математики.
Приступая к выполнению указанной задачи, прежде всего отметим, что базовые основания математической науки как формально-теоретической дисциплины не являются первичными познавательными структурами мышления, а формируются на уже в определённой степени сложившейся априорной онто-гносеологической базе. Это значит, что теоретические основания математики формируются на сложившейся базе онто-гносеологических предпосылок математики, входящих в состав личностно-индивидуального комплекса неявного знания. Базовые предпосылки математики, как её исходные теоретические представления, в свою очередь, конституируются из априорных онто-гносеологических предпосылок как части личностно-индивидуального комплекса неявного знания субъекта познания. В целом представляется, что образование априорных предпосылок математики происходит в результате их конституирования на базе онто-гносеологических предпосылок общего характера, приводящего к их актуализации, то есть к пробуждению их функциональности под влиянием опыта, а теоретические основания математики впоследствии эксплицируются из априорных предпосылок математики. Представляется, что актуализация механизмов конституирования любых форм мышления возможна только при условии существования некоторой прирождённой особенности мышления, которая, при определённых условиях, «порождает» соответствующие структуры мышления, в данном случае это базовые онто-гносеологические предпосылки математики. При этом предполагается, что априорные основания математики, как её базовые теоретические представления, после своего формирования интерсубъективны, то есть общезначимы, и не зависят от конкретных социокультурных особенностей исторического периода развития математики. В этом излагаемая концепция сходна с кантовской.
Вообще представляется, что инвариантность оснований математики относительно конкретных социокультурных особенностей и относительно опыта в широком смысле - основная особенность априористского подхода, которая должна быть отражена в любых концепциях априоризма. Хотя в излагаемой концепции априоризма предусмотрена актуализация механизмов конституирования априорных предпосылок математики, необходимо требующая участия опыта, это вовсе не значит, что теоретические основания математики после их конституирования в результате указанной актуализации могут хоть сколько-нибудь изменяться в зависимости от этого опыта. Такая независимость априорных предпосылок математики от опыта обеспечивается особой спецификой указанной актуализации, а, именно, тем, что таковая осуществляется на предрационалъном уровне. Представляется, что только при этих условиях могут сформироваться именно априорные предпосылки математики как необходимые исходные принципы математического познания.
Динамика уровня теоретической строгости в истории математики
Прежде, чем приступить к выявлению исторической динамики взаимосвязей надёжности и строгости как статусных характеристик математического знания, необходимо определить исходные понятия. Предварительно надёжность здесь рассматривается как возможность безопасного применения математического знания в самой математике и в её приложениях, то есть гарантированность от контримеров, а строгость - как отсутствие каких-либо необоснованных шагов в математическом рассуждении. Очевидно, что, поскольку среди необоснованных предпосылок, согласно полученным здесь ранее выводам, неизбежно присутствуют и неявные предпосылки, обоснование строгости для математического доказательства должно представлять серьёзную проблему.
Вообще проблема обоснования математики как бы «закладывается» уже самим способом исторического формирования математического знания, поскольку ведущую роль в его открытии и становлении играет эвристическая интуиция, идея которой была изложена в первой главе. В соответствии с этой идеей математическое знание рассматривается как дискурсивное разворачивание результатов деятельности механизма эвристической интуиции, на основе стремления к детальному теоретическому обоснованию этих результатов. Разворачивание научно-теоретического дискурса, согласно идеям Р. Декарта, должно быть подчинено определённым правилам мышления, требующим обоснования каждого его шага. Представляется, что теория, ориентирующаяся на такой жёсткий подход, не всегда реально может ему полностью соответствовать. Это значит, что далеко не все результаты деятельности механизма эвристической интуиции могут быть полностью теоретически развёрнуты на основе декартова подхода, и, тем более, эксплицированы или формализованы в дальнейшем, что приводит к неизбежному внедрению в математическую теорию неявно-интуитивных элементов и к возникновению задачи их экспликации. Этот момент подробнее был пояснён во втором параграфе первой главы. Для более ясного понимания ситуации можно разобрать пошаговым образом решение какой-либо математической задачи, показав конкретно моменты вмешательства интуиции1. В принципе, даже элементарная подстановка в уже выведенную формулу требует определённого привлечения интуиции, вызванной необходимостью математической символизации, заключающейся в отождествлении некоторого математического символа с определённым содержанием. (Этот вопрос более подробно рассматривался во втором параграфе второй главы.). Можно заключить, что неявное знание неизбежно вторгается в математическую теорию по причинам, связанным со спецификой эвристической интуиции, определяющей единственно возможный путь развития математики.
Эта специфика проявляется в том, что в математике новые и эффективные методы и теории применяются уже на первоначальном этапе их формирования, когда в них велика доля неявно-интуитивного элемента. Иначе говоря, в математике «постоянно повторяются примеры пользования новым изобретённым орудием или применения новой идеи во всех направлениях раньше, чем создана точная копия тех орудий, или строго определены те пределы, в которых может быть применима известная идея»2. Здесь «новое изобретённое орудие» отождествляется с новым математическим методом, и фактически утверждается, что в математике новые методы и новые идеи вначале используются без их достаточного обоснования. В частности, относительно такой важнейшей области математики как математический анализ, отмечается, что «... успехи, оказанные Анализом бесконечно малых созданию системы мира и теории вещества, шли рука об руку с самым неясным представлением о природе того орудия, которым работали: бесконечно малого»1. Понятно, что подобные примеры в истории математики не единичны, однако, видимо, пример с бесконечно малой является в этом смысле наилучшей иллюстрацией. История математики свидетельствует, что новые математические термины и методы начинают широко использоваться без их достаточного теоретического обоснования. Это значит, что и новые термины, и математические теории, требующие применения этих терминов, а также новые математические методы нуждаются в дальнейшем уточнении, поскольку «Никакая теорема не может быть новой, если только в её доказательство не входит скрытым образом новая аксиома; в этом случае доказательство давало бы нам только истины, уже само собой очевидные при непосредственном рассмотрении». Однако необходимо понимать, что в математике неявные предпосылки, в том числе и скрытые аксиомы, тесно связаны не только с явными предпосылками, но и с функционально неявными в рамках математической теории априорными теоретическими основаниями. Следовательно, обозначенная выше специфика неявных предпосылок математического доказательства вполне согласуется с «тенденцией к герметичности математического рассуждения», то есть с тенденцией «к безусловному выявлению всех его посылок»3. В противном случае «не исключено, что при полной истинности посылок мы имели бы ложные заключения»
