Содержание к диссертации
Введение
1. Основы анализа устойчивости электроэнергетических систем 12
1.1. Модели электроэнергетических систем, используемые для анализа устойчивости 12
1.1.1. Понятие модели 13
1.1.2. Требования, предъявляемые к моделям и направления их развития 14
1.1.3. Полные математические модели основных элементов электроэнергетических систем 16
1.1.4. Упрощенные математические модели ЭЭС 17
1.2. Анализ статической устойчивости электроэнергетичес ких систем 19
1.2.1. Общие положения анализа статической устойчивости . 19
1.2.2. Критерии статической устойчивости установившихся режимов ЭЭС 23
1.2.3. Определение параметров предельных по статической устойчивости режимов 26
1.2.4. Определение границ ОСУ и ОСУР 28
1.3. Анализ устойчивости динамических переходов в ЭЭС . 31
1.4. Выводы 35
2. Анализ статической устойчивости установившихся режимовэлектроэнергетических систем с учетом демпфирования . 37
2.1. Математическая модель электроэнергетической системы, используемая для анализа статической устойчивости 37
2.2. Определение элементов матрицы демпферных коэффициентов 2.2.1. Физика демпфирования 41
2.2.2. Расчет демпферных коэффициентов в простейшей системе 42
2.2.3. Определение элементов матрицы демпферных коэффициентов47
2.3. Критерий статической устойчивости установившихся ре жимов сложных электроэнергетических систем 50
2.3.1. Расчет параметров установившихся режимов 50
2.3.2. Анализ статической устойчивости положений равновесия 52
2.4. Построение областей устойчивости и областей существования 58
2.5. Анализ областей устойчивости и существования установившихся режимов трехмашинных эквивалентов сложных электроэнергетических систем 60
2.5.1. Анализ областей устойчивости и существования установившихся режимов позиционной модели ЭЭС 61
2.5.2. Приближенный анализ областей устойчивости и существования устойчивых режимов позиционной модели
ЭОС с учетом демпфирования 82
2.6. Анализ результатов, получаемых по приближенной методике оценки статической устойчивости применительно к сложным системам 85
2.7. Выводы ...90
3. Качественный анализ устойчивости динамических переходов электроэнергетических систем 92
3.1. Элементы общей теории исследования динамической устойчивости ЭЭС по методу функций Ляпунова 92
3.2. Построение уточненной консервативной модели сложных позиционных ЭЭС и вычисление значение функции Ляпунова 99
3.2.1. Традиционный метод построения консервативных моделей позиционных систем 99
3.2.2. Общие положения разделения сил на составляющие . 101
3.2.3. Использование общей теории разделения сил применительно к анализу динамической устойчивости ЭЭО 103
3.2.4. Анализ устойчивости динамических переходов трехмашинных систем 105
3.3. Выводы 115
4. Экспериментальные программы анализа устойчивости электроэнергетических систем 117
4.1. Определение и анализ положений равновесия трехмашинных систем 117
4.2. Построение границ областей устойчивости и областей существования трехмашинных ЭЭС 120
4.3. Построение сечений многомерных областей статической устойчивости 124
4.4. Анализ динамической устойчивости трехмашинных систем 125
4.5. Приближенное определение шунта несимметричного короткого замыкания 128
4.6. Выводы 130
Заключение 132
Библиографический список
- Модели электроэнергетических систем, используемые для анализа устойчивости
- Математическая модель электроэнергетической системы, используемая для анализа статической устойчивости
- Элементы общей теории исследования динамической устойчивости ЭЭС по методу функций Ляпунова
- Определение и анализ положений равновесия трехмашинных систем
Введение к работе
Электроэнергетические системы ( ЭЭС ) обеспечивают своим нормальным функционированием работу промышленности, транспорта, быта населения - всю жизнедеятельность страны. Одним из главных требований, предъявляемых к ЭЭС, является надежность в снабжении потребителей электроэнергией, основным условием которой является устойчивость их работы. Однако по мере объединения электростанций и энергосистем на параллельную работу, создания крупных по мощности и охватывающих большую территорию энергообъединений увеличивается опасность нарушения устойчивости. Тем не менее рациональное проектирование, оптимизация схем и режимов эксплуатации, надлежащий выбор системной автоматики и ее уставок позволяет обеспечить нормальную работу таких систем.
Исследование устойчивости электроэнергетических систем является одной из основных задач, решаемых при проектировании ЭЭС, выборе и оперативном ведении режимов, конструировании и эксплуатации устройств системной автоматики. При этом по мере усложнения ЭЭС существенно усложняется и анализ их устойчивости и появляется необходимость в разработке новых его методов.
Актуальность. Анализ нарушений устойчивости электроэнергетических систем показывает, что значительная их часть могла бы быть предотвращена за счет выполнения более точных расчетов устойчивости на этапе проектирования и настройки системной автоматики или за счет правильного ведения режима. Поэтому воп-»
росы анализа устойчивости имеют важное значение в практике эксплуатации и проектирования электроэнергетических систем. Анализ устойчивости ЭЭС, выполняемый известными количественны-
ми методами, обычно требует значительного объема вычислений и обработки имеющейся информации. Использование качественных оценок устойчивости ЭЭС позволяет существенно упростить решение вопросов ее анализа. При этом актуальна разработка качественных методов анализа как статической устойчивости ( аперио-дической и колебательной ), так и динамической.
Современные электроэнергетические системы относятся к категории больших систем и по мере их развития и увеличения степени автоматизации сложность систем увеличивается. Поэтому особо важным становится вопрос получения моделей электроэнергетических систем, достаточно адекватно отражающих изучаемые процессы, но в тоже время позволяющих использовать "быстродействующие и методы анализа.
Цель и задачи исследования. Целью работы является развитие качественных методов анализа устойчивости сложных ЭЭС, пригодных для планирования, оперативного управления режимами систем и для настройки автоматики, а также оценка точности приближенных критериев устойчивости.
Объект исследования. Электроэнергетическая система, как объект исследования, является сложной системой кибернетического типа /11, 12 /.
Для сложных систем характерны четыре главных свойства:
целостность - все части системы служат одной главной цели и должны рассматриваться в единстве;
многосвязность - между параметрами существует большое число различных связей, обычно значительно превосходящее число самих параметров, и, при этом изменение одного'какого-либо параметра, как правило, сказывается на состоянии многих других;
эмерджентность - наличие у системы свойств, которых нет у составляющих ее элементов;
- динамичность - заметны наблюдателю и существенны для
решаемой задачи изменения значений и состава параметров и ха
рактеристик системы на обозримом интервале времени.
Помимо общих свойств ЭЭС характеризуется рядом специфических технологических особенностей:
управление режимами в ней должно обеспечить управление совокупностью процессов, длительность которых весьма различна ( от долей секунд для электромеханических переходных процессов, до десятков минут при плановом изменении нагрузки );
описание всех процессов, происходящих в ЭЭС, при помощи общей математической модели, в принципе, возможно, но это потребовало бы обработки огромного объема информации и возникли бы значительные трудности с использованием созданной модели в виду ее сложности.
Последнее обстоятельство приводит к необходимости математического моделирования не всего непрерывного процесса развития и функционирования ЭЭС, а отдельных взаимосвязанных временных этапов ( разработки, реализации и эксплуатации ). На каждом выделенном этапе решаются определенные вопросы, связанные с анализом состояний ЭЭС, и строятся различные математические модели для решения разнообразных задач /43 ,125 /.
Вопросам исследования устойчивости уделяется значительное внимание как в процессе проектирования схем развития, так и при эксплуатации ЭЭС.
Научная новизна.
предложен новый критерий статической устойчивости, позволяющий приближенно анализировать возможность как апериодического, так и колебательного нарушения устойчивости;
с использованием этого критерия построены приближенные границы областей статической устойчивости ( ОСУ ) и существо-
9 вания статически устойчивых режимов ( ОССУР ) для трехмашинных
эквивалентов сложных электроэнергетических систем;
- разработана консервативная модель позиционной модели ЭЭС, которая позволяет ввести "хорошую" функцию Ляпунова при качественном исследовании динамики энергосистем.
Практическая ценность и реализация результатов работы. Разработана методика приближенного анализа статической устойчивости установившихся режимов, которая позволяет на этапах проектирования схем развития электроэнергетических систем сопоставить различные варианты схем по условиям устойчивости. Получаемые для трехмашинных эквивалентов приближенные ОСУ и ОССУР, гарантирующие статическую устойчивость, пригодны для целей проектирования противоаварийной автоматики.
Качественный анализ динамической устойчивости при проектировании ЭЭС позволяет значительно сократить объем вычислений и время, затрачиваемое на обработку полученных результатов, а также перспективен для использования в реальном масштабе времени. Предложенные методики реализованы в опытно-экспериментальных программах.
Апробация работы. Основные положения диссертиционной работы доютдывалиоь и обсуждались на следующих конференциях: Всесоюзный семинар "Кибернетика электроэнергетических систем" (Челябинск, 1990); X научная конференция "Моделирование электроэнергетических систем" (Каунас, 1991); Республиканская научно-техническая конференция "Автоматизация проектирования в электроэнергетике и электротехнике" ( Иваново, 1991 ).
Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 5 печатных работах / 114,118,119,120,121 /.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы ( 147
10 наименования ). Содержит 19 рисунков, 5 таблиц и 2 приложения. Общий объем диссертационной работы составляет 159 страниц машинописного текста.
В первой главе "Основы анализа устойчивости электроэнергетических систем" дан краткий обзор математических моделей, используемых для анализа статической устойчивости режимов электроэнергетических систем. Отмечено, что позиционная модель с демпфированием наиболее приемлема для целей исследовании статической устойчивости сложных систем, т.к. ее использование по сравнению с обычной позиционной ^моделью позволяет значительно расширить возможности анализа устойчивости электроэнергетических систем, получить результаты, точнее отражающие процессы, происходящие в реальных ЭЭС.
Представлен обзор основных методов исследования статической устойчивости режимов электроэнергетических систем, определения параметров предельных режимов, построения областей статической устойчивости и областей существования установившихся режимов. Отмечено, что существующие методы анализа статической устойчивости простейших моделей, не позволяют судить о колебательном нарушении устойчивости. Указаны преимущества и недостатки различных методов анализа статической устойчивости.
Для анализа динамической устойчивости предлагается использование качественных методов, в частности метода функций Ляпунова ( ММ ). Подчеркивается, что последний имеет ряд преимуществ по сравнению с численными методами, но не нашел широкого применения из-за недостаточной разработки необходимых моделей электроэнергетических систем и трудностей программной реализации. Рассмотрены некоторые аспекты применения данного метода.
Во второй главе "Анализ статической устойчивости устано-
вившихся режимов электроэнергетических систем с учетом демпфирования" предлагается для анализа статической устойчивости использовать приближенную методику, в основе которой лежит оценка характера исходных матриц характеристического уравнения, записываемого для системы уравнений малых колебаний. Данная методика позволяет анализировать как апериодический, так и колебательный характер протекания переходных процессов при малых возмущениях и дает возможность не только проверить устой-чивость конкретного режима ЭЭС, но и получить условия, позволяющие вывести обще закономерности для целого класса режимов.
В третьей главе "Качественный анализ динамических переходов электроэнергетических систем" рассмотрены этапы исследования динамической устойчивости электроэнергетических систем методом функций Ляпунова. При этом сделан краткий обзор методов построения математических моделей, используемых для качественного анализа, способов получения различных функций Ляпунова и отыскания критериальной седловой точки.
Предложена консервативная модель позиционной системы, которая позволяет построить функцию Ляпунова, дающую результаты качественного анализа более близкие к необходимым, чем рассмотренные методы. Теоретические выкладки, полученные для многомашинной системы, применены для расчета трехмашинной ЭЭС.
В четвертой главе "Экспериментальные программы анализа устойчивости электроэнергетических систем" описаны программы, используемые для проверки теоретических результатов, полученных в работе. Приведены алгоритмы и отмечены некоторые особенности используемых программ.
Автор глубоко благодарен научному руководителю профессору М.П.Рудницкому за общее руководство работой.
Модели электроэнергетических систем, используемые для анализа устойчивости
Показана важность анализа устойчивости При проектировании и эксплуатации электроэнергетических систем.
Дан краткий обзор математических моделей, используемых для анализа статической устойчивости режимов электроэнергетических систем. Предложена модель наиболее приемлемая для этих целей при исследовании сложных систем.
Представлен обзор основных методов исследования статической апериодической устойчивости режимов электроэнергетических систем, определения параметров предельных режимов, построения областей статической устойчивости и областей существования установившихся режимов. Отмечено, что существующие методы анализа статической устойчивости простейших моделей, чаще всего не позволяют судить о колебательной устойчивости. Указаны преимущества и недостатки различных методов анализа статической устойчивости.
Для анализа динамической устойчивости возможно использование методов численного интегрирования и качественного анализа. Подчеркивается, что последние имеют ряд преимуществ . по сравнению с численными методами, основным из которых является возможность судить об устойчивости или неустойчивости динамического перехода без определения решений дифференциальных уравнений движения роторов синхронных машин.
Электроэнергетические системы являются сложными системами, т.е. имеют весьма глубокие внутренние связи и состоят из большого числа взаимосвязанных и взаимодействующих между собой элементов. При изучении характеристик таких систем невозможно расчленять их на независимые составляющие и менять рассматриваемые факторы по отдельности, так как сложная система в целом обладает новыми качествами, несвойственными отдельными ее элементам.
Если характеристика отдельных элементов ЭЭС достаточно хорошо изучены, то для сложных систем по-прежнему актуальна задача получения модели, достаточно точно отражающей свойства изучаемой объекта.
Под моделью в дальнейшем понимается некоторая система, относящаяся в отношении определенного подобия к моделируемой системе ( оригиналу ). При этом между моделью и оригиналом существует приближенное взаимно однозначное соответствие.
Математической моделью может также являться некоторая формальная модель-алгоритм, позволяющая получить интересующие данные (совокупность величин, характеризующих режим системы - параметры режима) о реальной системе-оригинале. Модель-алгоритм, как правило, реализуется в виде программы на ЭВМ, давая приближенное и обычно неполное подобие реальной системе-оригиналу / 105 /.
В классической процедуре построения цифровой модели присутствуют следующие этапы: - формирование первичной модели, являющейся некоторым идеальным математическим объектом. В качестве идеального объекта, например, может рассматриваться система алгебраических или дифференциальных уравнений; - разработка алгоритма для получения численного решения, соответствующего первичной модели, определенной на предыдущем этапе. В частности, для первичной модели, представленной в виде системы уравнений, это будет алгоритм решения системы уравнений; - создание программы, реализующей в конечном итоге полученный алгоритм, в командах ЭВМ.
Основное значение при математическом моделировании переходных процессов имеет выбор математической модели ( математического описания ), достаточно адекватно отражающей изучаемые процессы. Следует отметить, что при выборе соответствующих моделей необходимо удовлетворять требованиям, в значительной мере противоречащим друг другу / 105 /. К ним относятся: достаточная полнота математического описания объектов, значительное количество элементов сети, точность отражения реальных процессов, высокое быстродействие программ, использующих данную модель.
Поскольку удовлетворить всем этим требованиям практически невозможно, при построении математических моделей ( ММ ) ЭЭО приходится прибегать к различного рода компромиссам.
Основное различие используемых математических моделей заключается в описании генерирующих элементов - синхронных генераторов и узлов нагрузки ( асинхронные, синхронные двигатели, статические характеристики ). Остальные элементы электроэнергетических систем ( rra-pajt vmrm и преобразующие устройства и т.п. ) незначительно влияют на характер модели.
Математическая модель электроэнергетической системы, используемая для анализа статической устойчивости
Дано описание математической модели, используемой для анализа статической устойчивости установившихся режимов ЭЭС.
Предложен метод расчета матрицы демпферных коэффициентов, которая позволяет приближенно учесть асинхронные составляющие мощностей генераторов.
Анализ статической устойчивости в работе выполнен с использованием приближенной методики, в основе которой лежит оценка характера исходных матриц характеристического уравнения, получаемого по методу малых колебаний. Данная методика позволяет анализировать как апериодическую,так и колебательную устойчивость и дает возможность не только проверить устойчивость конкретного режима ЭЭС, но и получить условия, позволяющие вывести общие закономерности для целого класса режимов.
Подробно рассмотрен случай трехмашинной системы, как наиболее простой для понимания основных закономерностей предложенных методов, но в тоже время, обладающий всеми свойствами сложных ЭЭС.
Для анализа статической устойчивости установившихся режимов ЭЭС перспективным является использование позиционной модели с учетом электромагнитных переходных процессов в роторных контурах за счет введения демпферных коэффициентов / 41,43,55, 126,129 /. Модель строится при следующих допущениях: - нагрузки представляются эквивалентными синхронными двигателями или замещаются постоянными полными сопротивлениями; - синхронные машины вводятся в схему замещения постоянными ЭДС за некоторым сопротивлением, величины которых зависят от типа АРВ синхронной машины; - демпфирующие свойства СМ учитываются асинхронной составляющей электромагнитной мощности; - все остальные элементы системы имеют пассивные схемы замещения, параметры которых не зависят от режима ЭЭС; - моменты первичных двигателей синхронных машин считаются постоянными.
Кроме того предполагается наличие в ЭЭС так называемых "шин бесконечной мощности" (шин неизменного напряжения)- узла, напряжение в котором неизменно по модулю, частоте и фазе. Принимается, что соответствующий вектор напряжения вращается с синхронной скоростью со .
Рассматриваемая модель качественно правильно отображает основные закономерности, присущие реальным системам: - условие существования установившихся режимов; - ограниченность пропускной способности связей; - возможность нарушения устойчивости и т.д.
Такая модель является пригодной для большого круга решаемых задач и поэтому достаточно широко применяется для анализа статической устойчивости.
Схема замещения ЭЭС приводится к виду "полного многоугольника", вершинами которого являются генераторные узлы, представленные неизменными ЭДС / 41 /.
Определение параметров схемы замещения (собственных и взаимных проводимостей) выполняется путем последовательного исключения из схемы сети пассивных узлов и пересчета на каждом шаге собственных и взаимных проводимостей относительно выделенных активных узлов.
С учетом перечисленных допущений математическая модель ЭЭС представляется системой уравнений движения роторов СМ тЙвРТі- рсі РАі «-Ї И . (2.1) где Tt » Рті » Pct » PAt- соответственно инерционная постоянная генераторного агрегата, мощность турбины, синхронная и асинхронная составляющие мощности t-ой синхронной машины; 5t - угловая переменная, характеризующая положение ротора относительно вектора ЭДС (п+1) синхронной машины ( (п+1) синхронная машина принимается за шины бесконечной мощности п+1 п+1 В системе уравнений (2.1) п уравнений являются независимыми, а (п+1)-ое уравнение получается как линейная комбинация первых п уравнений.
Элементы общей теории исследования динамической устойчивости ЭЭС по методу функций Ляпунова
Среди качественных методов ЫМ является одним из наиболее широко используемых для анализа устойчивости динамических переходов и представляет собой обобщение других качественных методов. Вопросы использования метода функций Ляпунова достаточно подробно рассмотренны в литературе / 2-6,14,15,29-32,101, 102,106,108,110,122,123,131,132,144-146 и др. /
Анализ динамической устойчивости электроэнергетических систем вторым методом Ляпунова связан с решением следующих основных задач: - построение математической модели; - подбор функции Ляпунова; - определение координат устойчивого положения равновесия системы в послеаварийном режиме и начального значения функции Ляпунова V , - определение координат неустойчивого положения равновесия системы и граничного ( критического ) значения функции Ляпунова Угр ( VKp ); - сопоставление начального и граничного значения энергий.
Возможности качественных методов в использовании строгих математических моделей ЭЭС ограничены / 39 /. Только при исследовании простейшей системы "генератор-шины" может применяться достаточно строгая и полная математическая модель, учитывающая переходные процессы в обмотке возбуждения, нелинейное демпфирование, действие АРВ и АРС и т.д. Для систем большой размерности при анализе синхронной динамической устойчивости необходимо использовать менее точные математические модели, приближенно отражающие поведение и свойства реальной энергосистемы, но дающие, тем не менее, достаточно точные результаты / 146 /. При анализе синхронной динамической устойчивости сложных электроэнергетических систем обычно применяется позиционная модель ЭЭС, являющаяся достаточно строгой моделью и удовлетворяющая требованиям расчета устойчивости. Однако, регулярные приемы построения функции Ляпунова применительно к сложным ЭЭС известны только для простейших моделей систем в консервативной идеализации.
При этом движение системы описывается системой уравнений Ооотояния равнов&оия ЭЭО могут быть найдены в ревультате решения системы уравнений РТІ "X qusln(6i"aj) = tss1 n (3 2) где все параметры соответствуют послеаварийному состоянию схе « мы.
Функция Ляпунова, полученная для такой математической модели, является наилучшей и обеспечивает достаточные и близкие к необходимым условия устойчивости "в большом 1 рассматриваемой модели системы. При переходе к позиционной модели качественная оценка, получаемая на основе рассмотрения консервативной идеализации системы, становится более далекой от необходимых условий устойчивости, получаемых интегрированием уравнений движения системы в позиционной идеализации. Поэтому встает вопрос о построении консервативной модели позиционной системы наиболее близкой к исходной модели ЭЭС.
В / 2,4 / предложены методы построения консервативной модели сложной электроэнергетической системы, наименее отличающейся по своим свойствам от позиционной: предполагается неизменность в переходном режиме потерь в сети и учет их в эквивалентных мошдостях первичных двигателей. В / 2 / консервативная модель строится из условия совпадения координат устойчивого положения равновесия исходной и эквивалентной модели. В / 14 / предлагается выполнить приведение позиционной модели к консервативному виду таким образом, чтобы для исходной и приведенной системы совпадали координаты не точки устойчивого положения равновесия, а точки неустойчивого равновесия, ближайшей к устойчивой по направлению движения системы.
Определение и анализ положений равновесия трехмашинных систем
Для трехмашинной системы решения уравнений установившихся режимов позиционной модели электроэнергетических систем (2.22) находятся аналитическим методом. Эти решения - набор пар углов ( б,, S2) -являются положениями равновесия системы (2.22).
Введя переменные V V а13 V V а23 Фі2 12+ 3 13- 21 21 +а13-а23 РГ Р1/(І12 Р2= Р2/(І12 V 13 12- а2=%3/(112 4 1 уравнения (2.22) для трехмашинной системы можно переписать в виде: a,sin7,+ sin(7,- 72" Ф1г} = Pi (4 2) a2sln72+ sln(72- 7г Ф21) = Рг Считая угол 7г заданным и используя известные тригонометрические разложения, получаем
Уравнение (4.9) можно разрешить аналитически / 72 /. При этом оно может иметь 2, 4 вещественных корня Z, либо не иметь ни одного. Т.к. переменные X,Y,Z это функции синуса, то следует рассматривать корни уравнений (4.7)-(4.9) только в пределах интервала [-1,1]. Корни (4.9) разбивают етот интервал на области, в пределах которых функция (4.8) монотона, и являются точками экстремума функции (4.8). Следовательно, на отрезках, ограниченных значениями корней (4.9) находятся вещественные корни уравнения (4.8), которые ищутся каким-либо итерационным методом ( например, деления отрезка пополам ), а их число может равняться 0,1,3,5. Корни (4.8), в свою очередь, разбивают интервал [-1,11 на отрезки, содержащие корни (4.7). Количество таких корней может равняться 0,2,4,6.
Углы 7., находятся как 71=arcsinX , либо как 7 -arcsinX Каждому значению 7-, соответствует свое значение 7г ( их можно найти из первого уравнения системы (4.2)), и подстановка величин углов 7-,» 72 во второе уравнение (4.2) позволяет избавиться от лишней пары углов, соответствующей каждому значению X ( лишние корни 7-і» Т2 появляются во время преобразований уравнения (4.6)). Оставшиеся пары углов являются положениями равновесия системы (4.2), их число четно и не превышает шести. Обратный переход от углов 71» 72 к Углам S1, б осуществляется в соответствии с (4.1).
После нахождения всех положений равновесия (углов О ,б2), в них определяются значения критериев bt, і=І"7з, на основе чего делается вывод о виде корней уравнения (2.37) и соответственно о характере положения равновесия.
Описанный алгоритм реализован в программах расчета положений равновесия при анализе статики и динамики. В качестве исходной, информации для этих программ выступают значения параметров трехмашинного эквивалента ( q,. и а,, ), инерцион-ные постоянные и мощности синхронных машин. Результатом расчета являются значения углов, определяющих все положения равновесия системы.
Кривые bj(6f,б2)=0,(=1,3),определяющие области с различными значениями критериев Ьг являются непрерывными функциями от углов б1 ,б2 на развертке тора (- % ^ 8^ % ).
При построении кривых Ь|(б7,б2)=0 используется следующий прием: значение угла б1 дискретно изменяется на интервале (- % ^ б^ % ), при этом на каждом шаге величина угла б1 яв-ляется заданной, тогда от уравнений вида ^{6^6^)=0 можно перейти к уравнениям вида Ьс(б2)=0,где коэффициенты такого уравнения зависят от угла б2; решение уравнений Ь{(62)=0 относительно б? позволяет для каждого значения б^ найти несколько углов б2 ( в частном случае таких углов может не быть ), в совокупности с б1 образующих пары (б1,б2), множество которых образует кривые Ьг(бт,б2)=0.
