Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы численного интегрирования, применяемые для решения задач электроэнергетики 15
1.1. Введение 15
1.2. Расчет электромеханических переходных процессов явными методами численного интегрирования
1.2.1. Одношаговые методы интегрирования
1.2.2. Многошаговые методы интегрирования 27
1.3. Расчет электромеханических переходных процессов неявными методами численного интегрирования 31
1.4. Системные методы численного интегрирования 40
1.5. Блочные и гибридные методы численного интегрирования 42
1.6. Способы автоматического изменения шага при расчете электромеханических переходных процессов в электрических системах 43
1.7. Сравнительный анализ методов численного интег рирования, применяемых для расчета переходных процессов в электрических системах 51
1.8. Выводы .60
Глава 2. Оценка устойчивости и погрешности численного решения при расчете переходных процессов е электрических системах 62
2.1. Введение 62
2.2. Устойчивость методов численного интегрирования 63
2.3. Погрешность численного решения, возникающая при расчете электромеханических переходных процессов в электрических системах 83
2.3.1. Погрешность методов численного интегрирования 83
2.3.2. Погрешность округления ЦВМ при расчете переходных процессов в электрических системах 90
2.4. Полная погрешность численного решения при расчете длительных электромеханических переходных процессов в электрических систе мах 94
2.5. Выводы 102
Глава 3. Оценка полной погрешности вычислительно процесса при расчете переходных процессов в электрических системах
3.1. Введение 104
3.2. Влияние относительного активного сопротивления генераторов и сети на точность расчетов при применении полных и упрощенных уравнений Парка-Горева 106
3.3. Влияние момента отключения КЗ на достоверность результатов расчета электромеханических переходных процессов в электрических системах 118
3.4. Оценка полной погрешности расчета электромеханических переходных процессов в электрических системах при больших возмущениях 126
3.5. Оценка полной погрешности расчета электромеханических переходных процессов в электрических системах при малых возмущениях 134
3.6. Выводы J4Q
Глава 4. Расчеты электромеханических переходных процессов в слоеных электрических систшх одновременным решением дифференциальных и алгебраических урав нений 143
4.1. Введение
4.2. Способы одновременного решения систем диф -ференциальных и алгебраических уравнений
4.2.1. Одновременное решение дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием формул прогноза и коррекции 145
4.2.2. Одновременное решение дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием неявных методов численного интегрирования 148
4.2.3. Одновременное решение дифференциальных и алгебраических уравнений, основанное на применении формулы дифференцирования назад 151
4.3. Учет слабой заполненности матрицы при одновременном решении дифференциальных и алгебраических уравнений 153
4.4. Расчет электромеханических переходных процессов в электрических системах раздельным и одновременным решением дифференциальных и алгебраических уравнений
4.5. Выводы
- Расчет электромеханических переходных процессов явными методами численного интегрирования
- Устойчивость методов численного интегрирования
- Влияние относительного активного сопротивления генераторов и сети на точность расчетов при применении полных и упрощенных уравнений Парка-Горева
- Способы одновременного решения систем диф -ференциальных и алгебраических уравнений
Введение к работе
Основное направление развития народного хозяйства СССР неразрывно связано с ростом потребления электрической энергии. Вследствие этого мощность энергетических систем непрерывно растет. Преимущества создания мощных энергетических систем и их объединений, как известно, состоят в повышении надежности и улучшении качества электроэнергии, что в первую очередь обеспечивается сохранением устойчивой работы электрических систем [і-б] . Обеспечение устойчивости энергосистем является также важной задачей при проектировании и эксплуатации. Объясняется это тем, что нарушение устойчивости может привести к полному развалу энергосистемы. Поэтому, одной из основных проблем с которой сталкиваются инженеры энергетики является расчет переходных процессов в электроэнергетических системах, обеспечивающий получение достоверного и точного результата при минимальных затратах времени счета на ЦВМ.
Анализ устойчивости электрических систем требует общего математического описания происходящих процессов. Причем, для получения достоверных результатов, соответствующих реальной физической природе исследуемого явления, необходимо выбрать стровую математическую модель [ 1,7-11J . Обычно различают три типа математических моделей, называемых моделями кратковременных переходных процессов, моделями процессов средней длительности и процессов большой длительности. В моделях кратковременных переходных процессов детально воспроизводятся малоинерционные электрические элементы системы, процессы в которых практически происходят мгновенно. Е моделях, в которых описываются процессы средней и большой длительности, основное внимание уделяется низкочастотным процессам, которые длятся до 10 с и более.
Существует четыре пути применения математического моделирова-
ния б задачах электроэнергетики. Первый путь заключается в создании специальных программ и алгоритмов для решения задач на типовых ЦЕМ, которые получили уже широкое применение при решении различных электроэнергетических задач и, несомненно, их дальнейшее применение получит еще больший размах. Второй путь заключается в разработке и создании специализированных цифровых машин и методов решения конкретных задач, отвечающих определенным условиям и описываемых определенным классом уравнений. Сюда можно; отнести кибернетическое моделирование и различные виды обобщенного моделирования [ 12,13J . Третий путь - создание гибридных устройств - аналогово-цифровых моделей, которые могут быть как универсальными, так и специально приспособленными к задачам электроэнергетики. Четвертый путь - создание и построение графовых моделей, мысленных структурных моделей и т.д. [ II] .
В связи с укрупнением энергосистем часто приходится проводить расчеты большого числа переходных режимов, исследуя влияние на устойчивость, например, типа и места приложения возмущения, автоматических переключений, параметров доаварийного режима системы, а также характеристик сети, генераторов, систем регулирования [5,8,14--2Ij . Это затрудняет анализ работы энергосистем даже при использовании быстродействующих вычислительных машин. Для больших электрических систем, процессы в которых описываются тысячами нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений, расчет одного переходного процесса может потребовать несколько часов машинного времени современной мощной ЦВМ. Поэтому поиск более эффективных методов расчета представляет большой интерес. Кроме того, разные задачи, возникающие при исследовании переходных процессов и устойчивости энергосистем, требуют разной степени идеализации отдельных объектов в исходной системе.
Как правило, расчеты электромеханических переходных процес-
сов не могут гарантировать полного совпадения результатов расчета с действительностью. Поэтому, в зависимости от конкретно поставленной задачи, сложности исследуемой электрической системы, точности задания исходной информации инженеру необходимо производить расчет с разными допущениями и соответственно разной глубиной математического описания. Несомненно, наиболее сложным и существенным элементом общей модели электрической системы является модель генератора, процессы в котором описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений [ 1,4,16,22-29] . Причем, в зависимости от конкретно поставленной задачи, переходные процессы должны.описываться моделями разного класса точности, так как при расчете устойчивости электрических систем правильный выбор класса применяемой модели может привести к более строгому и точному результату.
Существуют различные способы анализа устойчивости нелинейных систем. В простейшей энергосистеме характер относительного движения ротора генератора можно установить без решения системы дифференциальных уравнений применением способа площадей. Этот способ дает возможность определения предельного угла и времени отключения КЗ, в зависимости от места и характера возмущения, то есть он используется для качественной оценки устойчивости простейшей энергосистемы. Однако, если исследуемая энергосистема содержит более двух станций, то применение способа площадей оказывается затруднительным и не является эффективным. Е таких случаях задачу следует решать либо строго обоснованными численными методами интегрирования [ 30-40,44] либо применять второй метод Ляпунова как в малом, так и в большом [41-43] . Однако, отсутствие общих правил выбора и трудности нахождения функции Ляпунова в каждом конкретном случае, делают применение этого метода на данном этапе затруднительным.
Таким образом, следует уделять большое внимание прежде все-
- ю -
го выбору строгой и точной математической модели, описывающей исследуемый переходный процесс, а также наиболее эффективным и надежным методам численного интегрирования, необходимым для расчета электромеханических переходных процессов в электрических системах, описываемых системой нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка. Однако правильный выбор математических моделей и численных методов, позволяющих с помощью ЦВМ быстро и достаточно точно получить ответ о поведении энергосистемы, является довольно важной , но трудной задачей.
Цель данной диссертационной работы заключается в разработке методики выбора математической модели энергосистемы и методов численного интегрирования, обеспечивающих получение достоверных и точных результатов, при расчете электромеханических переходных процессов в электрических системах, а также в комплексном подходе к оценке полной погрешности вычислительного процесса, включающей погрешность метода численного интегрирования, погрешность округления ЦВМ, погрешность от неточного задания исходной информации, и зависящая от длительности исследуемого процесса и параметров элементов электрической системы.
Существуют различные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые за последние годы существенно совершенствовались. Их можно разделить на следующие основные категории: прямые (явные) и неявные, одношаговые и многошаговые [30-40, 44-53,68-70,73-89] . Однако обычно, как в промышленных программах ("ЭДАР", "КУ", "РАДИУС", "РЕЗУС" и др.), так и при исследовательских расчетах электромеханических переходных процессов в электрических системах, используются либо методы Рунге-Кутта второго и четвертого порядков, либо методы прогноза и коррекции второго и третьего порядков. При этом величина шага интегрирования и точ -ность расчета задаются ориентировочно (интуитивно). Это приводит
- II .-,
как к большим затратам машинного времени счета, так и в ряде случаев к неправильному результату. Поэтому, для получения достоверных и точных результатов, необходимо правильно выбрать метод численного интегрирования и шаг расчета, зависящие от постановки задачи, от/длительности исследуемого процесса, от параметров элементов электрической системы и класса решаемой задачи, то есть жесткости системы дифференциальных уравнений,описывающей исследуемый переходный процесс. Жесткость зависит от величин постоянных времени, входящих в систему дифференциальных уравнений, или более строго, от собственных значений матрицы Якоби решаемой системы и связана с диапазоном значений постоянных Бремени. Например, жесткость возрастает с ростом детализации моделирования синхронных машин (переходные постоянные времени на порядок выше сверхпереходных). Особым источником жесткости являются малые постоянные времени элементов систем регулирования мощности турбин и возбуждения генераторов.
В диссертационной работе предложена общая методика,обеспечивающая правильный выбор метода численного интегрирования и шага расчета, позволяющие получить достоверный и точный результат при минимальных затратах времени счета на ЦВМ.
Особо важное значение имеет погрешность решения на каждом шаге интегрирования и устойчивость численного решения, характеризующая степень накапливания погрешности в процессе расчета. К основным источникам погрешности относятся: а) неточность формулы интегрирования, б) вычислительная неточность (вследствие ошибок округления), в) погрешность , вследствие неточного задания исходной информации. В литературе [ 1,31-36,51-53,60-6б] подробно описано влияние этих факторов в отдельности на конечный результат. В данной же работе проведена комплексная оценка полной погрешности вычислительного процесса, включающей все виды погрешностей, в за-
висимости от класса решаемой задачи, длительности и характера исследуемого процесса, параметров элементов электрической системы и показана степень влияния отдельных факторов на полную погрешность результата.
В первой главе диссертационной работы проведен обзор методов численного интегрирования , наиболее часто применяемых при решении инженерных задач. На конкретном примере показаны преимущества и недостатки приведенных методов в зависимости от длительности исследуемого процесса. Даны рекомендации по выбору метода и шага расчета при решении конкретного класса задач. Рассмотрены различные способы автоматического изменения шага интегрирования и даны рекомендации по их применению для ускорения времени счета на ЦВМ.
Необходимо отметить, что в работах [ 37,51-55,68,77-79,85-89] проводилось сравнение методов интегрирования между собой. Однако в этих работах сравнивались лишь несколько методов между собой, а данные рекомендации не могут быть распространены на широкий класс решаемых задач.
Трудность , возникающая при попытке решить жесткую задачу, заключается в необходимости обеспечить устойчивость численного решения, которая определяет реализуемость алгоритма и характеризует степень накапливания ошибки в процессе вычислений [33,37-40, 45,46,69-73] .
Во второй главе диссертации показан способ анализа устойчивости и погрешности численного решения. Приведены условия и области устойчивости явных и неявных методов интегрирования. Предложена методика выбора метода численного интегрирования и шага расчета , обеспечивающих получение наиболее точного и достоверного результата при решении любого класса задач и любой длительности исследуемого процесса, а также показано влияние погрешности округления ЦВМ на погрешность численного решения в зависимости от
- ІЗ -
порядка применяемого метода интегрирования, шага расчета и длительности исследуемого процесса.
В третьей главе диссертационной работы показано как влияет на достоверность и точность результатов расчета переходных процессов (как при больших так и при малых возмущениях) выбранная математическая модель, параметры элементов электрической системы, длительность и характер переходного процесса, а также неточное задание исходной информации. Даны рекомендации по правильному выбору математической модели, строго и точно описывающей электромеханические переходные процессы в электрической системе, в зависимости от конкретной постановки задачи. Показаны области применения полных и упрощенных уравнений Парка-Горева, а также влияние момента отключения КЗ и учет горения дуги в выключателе на достоверность результатов расчета. Разработана инструкция для широкого круга инженерных задач, позволяющая правильно выбрать метод численного интегрирования и шаг расчета (обеспечивающие получение достоверных и точных результатов при минимальных затратах машинного времени), в зависимости от класса решаемой задачи и длительности исследуемого процесса. Причем, основные выводы по выбору математических моделей и методов интегрирования, позволяющие получить достоверный результат при расчете переходных процессов в электрических системах, проверены экспериментально на электродинамической модели ЩИ. Результаты приведены в Приложении 6.
Обычно, при анализе электромеханических переходных процессов в электрических системах бывает необходимо решать систему как дифференциальных так и алгебраических уравнений. Традиционный подход, используемый практически во всех промышленных программах, заключается в раздельном решении систем дифференциальных и алгебраических уравнений [1,8,25,75-78] .
В четвертой главе диссертации рассмотрены способы одновремен-
ного решения дифференциальных и алгебраических уравнений [30,38, 40,56,81,82] и показаны преимущества способа, основанного на применении неявных методов численного интегрирования, который оказывается наиболее эффективным при решении жестких систем уравнений высокого порядка, а также при исследовании длительных электромеханических переходных процессов в электрических системах. Показано влияние жесткости задачи и длительности исследуемого процесса на эффективность алгоритмов, учитывающих слабую заполненность матриц, когда применяется одновременное решение дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием неявных методов численного интегрирования. Даны рекомендации по применению различных способов упорядочения элементов слабозаполненных матриц б зависимости от порядка решаемой системы уравнений и длительности исследуемого процесса.
Расчет электромеханических переходных процессов явными методами численного интегрирования
Как было отмечено выше, расчет длительных электромеханических переходных процессов может требовать решения тысяч нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений. Кроме того, так как электроэнергетическая система относится к жестким системам, возникают большие трудности в выборе оптимального шага и устойчивого метода интегрирования, от которого зависит время счета на ЦВМ. Таким образом, сложность электрических систем, широкие диапазоны изменения параметров ее элементов, необходимость исследования поведения электрических систем на длительных интервалах Бремени - все это делает задачу расчета переходных процессов весьма сложной в вычислительном отношении, а требование оперативного решения эксплуатационной задачи требует весьма тщательного подхода к выбору метода интегрирования дифференциального уравнения. Поэтому следует уделять большое внимание исследованию наиболее эффективных и надежных методов численного интегрирования, применяемых при расчете электромеханических переходных процессов в электрических системах [1,30,77] .
К основным требованиям, предъявляемым к анализу устойчивости энергосистем, относятся: быстрота расчета кривых переходного процесса в системе, достаточная точность для инженерных расчетов, надежность вычислительного процесса, легкость эксплуатации и возможность усовершенствования программы расчета.
Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений можно разделить на следующие основные категории: прямые (явные) и неявные, одношаговые и многошаговые. В прямых методах применение формулы интегрирования производится непосредственно к каждому из дифференциальных уравнений. В неявных методах дифференциальное уравнение приводится к алгебраическому и далее решается полученная система нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона-Рафсона. Это более сложно, однако приводит к большой устойчивости вычислительного процесса. При применении одношаговых методов не используется информация , полученная на предыдущих шагах интегрирования, то есть эти методы самоначинающиеся. Наиболее известным классом таких методов являются методы Рунге-Кутта. Эти методы очень удобны при разрывах непрерывности. При интегрировании многошаговыми методами необходимо запоминание предыдущих значений переменных или их производных (или и тех и других) и, следовательно, они могут обеспечивать большую точность, но при разрывах непрерывности требуется снова определять необходимое число начальных условий.
В главе рассматриваются различные методы численного интегрирования, наиболее часто применяемые при решении инженерных задач и проводится их сравнительный анализ на конкретном примере расчета динамической устойчивости простейшей системы (генератор-шины бесконечной мощности) (см.рис.1-1), с учетом регулирования мощности турбины и возбуждения генератора. Учет систем регулирования придавал определенную жесткость решаемой задаче.
В принципе, наиболее простым методом построения решения в точке ОС , если оно известно в точке %щ , является способ , основанный на разложении в ряд Тейлора [50,60,96] . Этот метод теоретически пригоден для решения любых дифференциальных уравнений, но с вычислительной точки зрения не представляет особого интереса. Его ценность заключается в том, что он дает некоторый эталон для сравнения различных практически удобных методов. Для рассмотрения этого метода разложим функцию и(я) в ряд Тейлора
Устойчивость методов численного интегрирования
Для решения систем дифференциальных уравнений, описывающих электромеханические переходные процессы в электрических системах, используются различные численные методы, характеризуемые определенными качественными показателями. Основными качественными показателями являются характеристики погрешности и устойчивости.
Погрешность при расчете динамической устойчивости электрических систем зависит от: погрешности дискретизации, обусловленной погрешностью численного метода (главный член погрешности); погрешности ухода, обусловленной погрешностью начальных условий на каждом шаге; погрешности реализации, вызванной округлением результатов расчета. Первые две составляющие обусловлены погрешностью самого метода интегрирования, поэтому погрешность можно уменьшить дроблением шага или выбором более точного метода расчета. Однако при этом может резко увеличиться время счета на ЦВМ и, кроме того, погрешность реализации (округления).
Устойчивость численного решения характеризует степень накапливания погрешности в процессе расчета. При неустойчивом решении погрешность, возникшая на каждом шаге, накапливается и, в конечном итоге резко возрастает. Это может привести к неправильному результату. Устойчивость численного решения зависит от устойчивости самих дифференциальных уравнений [ 62] , от устойчивости применяемого численного метода [ 33,37,45,46,70-7з] и от величины шага интегрирования. Следовательно, ограничивать появление и накапливание погрешности можно: применением более устойчивых и точных (более вы - 63 сокого порядка) методов интегрирования ; проведением операций с более высокой степенью точности и уменьшением шага расчета. Сложность проблемы возрастает при увеличении жесткости решаемой задачи и длительности исследуемого процесса.
Таким образом, при расчете переходных процессов в электрических системах необходимо зависимости от жесткости решаемой задачи и длительности исследуемого процесса, выбрать наиболее устойчивый и точный метод численного интегрирования, а также шаг расчета, позволяющие быстро и безошибочно получить желаемый результат. Причем, как будет показано ниже, в начале необходимо произвести анализ устойчивости методов интегрирования, а затем только анализ погрешности.
Так как в настоящее время при исследовании электроэнергетических систем необходимо рассчитывать длительные электромеханические переходные процессы, происходящие во всех ее звеньях при аварийных и неаварийных возмущениях и описываемые жесткой системой дифференциальных уравнений, возникают большие трудности в выборе устойчивого метода интегрирования, от которого зависит степень накопления погрешности в процессе расчета. Устойчивость метода интегрирования характеризуется на большом числе последовательных шагов и, если метод не устойчив, то ошибка на каждом шаге накапливается и в конечном итоге резко возрастает.
Численный метод называется абсолютно устойчивым для заданного фиксированного шага и для заданной задачи Коши если полная погрешность R = и - у (х ) остается ограниченной при n-i-oo [33,45,69] . Причем, основное предположение относительно (2.1) состоит в том, что {(tLX) удовлетворяет условию Липшица lj( i.JiVf( i- l Llii"!J (2.2) для всех х е[ flj] , где L постоянная Липшица. Условие (2.2) обеспечивает единственность решения задачи (2,1).
Таким образом, для получения наиболее точных результатов метод численного интегрирования, применяемый для решения задач электроэнергетики, должен быть устойчивым, по крайней мере при определенных условиях. Для того, чтобы дать количественную формулировку принципа устойчивости рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение вида
Обозначим величину ошибки на її -ом шаге через dti тогда величина этой ошибки при переходе к новому шагу а+1 запишется в виде
Величина a , которая называется множителем перехода, зависит от конкретного метода интегрирования.
В соответствии со сформулированным выше условием устойчивости требуем, чтобы Следовательно, численная устойчивость будет иметь место при условии J І L (2.4) Покажем, как можно определить множитель перехода а, следовательно, определить условие устойчивости для некоторых методов численного интегрирования.
Влияние относительного активного сопротивления генераторов и сети на точность расчетов при применении полных и упрощенных уравнений Парка-Горева
Для исследования данного вопроса рассмотрим расчет динамической устойчивости энергосистемы, представленной двумя эквивалентными станциями ЭС1 и ЭС2 разной мощности, работающими на шины неизменного напряжения, при трехфазном КЗ в начале линии и с дальнейшим отключением КЗ через 0,15 с (см.рис.3-2). Причем дли-тельность исследуемого процесса принималась равной I с. Говоря о строгости при инжереном исследовании , необходимо установить уровни допущения, в свою очередь определяемые поставленной задачей. Б частности, при решении данной задачи, не учитываются запасенная механическая и электрическая энергии в отдельных элементах электрической системы и все изменения режима отражаются в изменении ее схемы; влияние дополнительных потерь в стали, появляющихся при переходном процессе, приближенно учитывается увеличением активного сопротивления статора генератора ; изменения сопротивлений генераторов и трансформаторов, обусловленные насыщением стали, в расчетах не учитываются.
Параметры исследуемой ЭЭС и математическая модель, описывающая электромеханические переходные процессы Е исследуемой энергосистеме по полным и упрощенным уравнениям, приведена в Приложении 5.
Как было показано в главе 2, чтобы решить систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих переходный процесс в электрической системе, необходимо выбрать точный и устойчивый метод численного интегрирования. Выбор метода зависит от ряда факторов и прежде всего от жесткости решаемой системы уравнений, которая в свою очередь зависит от степени моделирования элементов ЭЭС. Произведя по областям, приведенным на рис.2-2, анализ устойчивости численного решения систем дифференциальных уравнений, описывающих переходный процесс в исследуемой системе, был выбран, при применении полных уравнений Парка-Горева, метод Рунге-Кутта четвертого порядка с шагом расчета \\, - 0,001с Эта величина шага является допустимой для проведения расчетов, с точки зрения существования решения. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка был выбран как наиболее простой и удобный при проведении исследовательских расчетов. Кроме того, в связи с небольшой длительностью исследуемого процес - 109 ca(T = 1c) , нет необходимости в применении высокоустойчивых методов, являющихся более сложными, с точки зрения реализации на ЦВМ. Однако конечно, в крупных промышленных программах, для экономии машинного времени счета, целесообразнее применять неявные методы численного интегрирования.
При расчете по упрощенным уравнениям Парка-Горева, по тем же причинам, был выбран метод Рунге-Кутта четвертого порядка.Причем, в этом случае, для обеспечения устойчивого решения, величина максимально допустимого шага оказалась значительно выше (примерно h, = 0,07с ) Это связано с упрощением дифференциальных уравнений и неучетом быстроменяющихся переменных, что приводит к резкому уменьшению жесткости решаемой системы. Таким образом, для расчета электромеханических переходных процессов в исследуемой системе, по упрощенным уравнениям Парка-Горева, был выбран метод Рунге--Кутта четвертого порядка с шагом равным к= 0,05с
Необходимо отметить, что в процессе расчета жесткость системы дифференциальных уравнений изменяется, что связано с действием противоаварийной автоматики и колебаниями ряда параметров. Это может привести к неустойчивости вычислительного процесса на определенных этапах расчета. В связи с этим в программе предусматривалось автоматическое изменение шага расчета по условию устойчивости (2.23). При этом шаг изменяется так, чтобы его произведение на любое собственное значение матрицы Якоби системы дифференциальных уравнений, то есть kJb , лежало бы в области устойчивости метода Рунге-Кутта, или же находилось как можно близко к границе области (см.рис.2-2). Тогда процесс на всем интервале будет устойчивым. Если же на определенных этапах расчета он окажется неустойчивым, применение автоматического изменения шага, по условию устойчивости, позволит до минимума уменьшить погрешность, накапливаемую в процессе расчета.
Способы одновременного решения систем диф -ференциальных и алгебраических уравнений
Расчет динамической устойчивости сложных электрических систем, содержащих произвольное число станций и нагрузок соизмеримой мощности, сводится к рассмотрению относительного движения роторов генераторов энергосистем. При этом, для определения напряжений в узлах системы и токов,протекающих в ней, необходимо кроме дифференциальных уравнений решать нелинейные алгебраические уравнения. Система нелинейных алгебраических уравнений также оказывается высокого порядка и решение ее требует применения быстросходящихся итерационных методов [40,60,43,91,115,116] . Как правило, при решении нелинейных систем алгебраических уравнений применяется метод Ньютона-Рафсона, который обеспечивает быструю сходимость и уже первое приближение может дать удовлетворительный результат [43, [91,105] .
Обычно для расчета электромеханических переходных процессов в сложных электроэнергетических системах применяется способ раздельного решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений. Этот подход используется практически во всех современных промышленных программах. При таком подходе отдельно решаются система дифференциальных уравнений У=} (р) C4.I) относительно и и система нелинейных алгебраических уравнений 0= (р) (4-2) относительно X и эти поочередные решения увязываются между со бой итеративно или неитеративно в зависимости от конкретного метода решения и модели исследуемой системы [30,79,106,107] .
Однако применение раздельного решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений при расчете динамической устойчивости сложных электроэнергетических систем имеет ряд недостатков: а) громоздкость алгоритма и большое время счета на ЦВМ, вследствие применения как методов численного интегрирования (для решения системы дифференциальных уравнений), так и итерационных методов (для решения нелинейной системы алгебраических уравнений); б) требование увеличения шага для решения дифференциальных уравнений и требование быстрой сходимости итерационных методов для нелинейных алгебраических уравнений - противоречивы; в) большая погрешность вычислительного процесса вследствие погрешности взаимосвязи решений (особенно при расчете длительных электромеханических переходных процессов).
Для преодоления изложенных трудностей можно применить способы совместного (одновременного) решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений подробно рассмотренные ниже. При одновременном решении сиртема (4.1) сводится к системе алгебраических уравнений с неизвестными д; и II . Далее это алгебраизированная система объединяется с системой (4.2), образуя при этом алгебраическую систему уравнений высокого порядка, все неизвестные которой затем определяются одновременно. Так как системы (4.1) и (4.2) решаются одновременно вопроса о погрешности взаимосвязи решений не возникает. Кроме того, при одновременном решении систем дифференциальных и алгебраических уравнений приходится применять только методы решения нелинейных алгебраических уравнений.
Существует несколько способов одновременного решения дифференциальных и алгебраических уравнений [30,38,40,56,81] , однако, наиболее эффективным из них является способ, основанный на приме нении неявных методов интегрирования (преимущества которых были показаны в предыдущих главах), особенно при решении жестких задач и при большой длительности исследуемого процесса,
В данной главе показано, что при раздельном решении систем дифференциальных и алгебраических уравнений применение алгоритма, учитывающего слабую заполненность матриц, может оказаться не эффективным, ввиду относительно малого порядка системы алгебраических уравнений и громоздкости ( с точки зрения программирования) самого алгоритма. При одновременном же решении порядок системы оказывается относительно более высокий (так как включает в себе как алгебраические так и дифференциальные уравнения) и, поэтому применение алгоритма, учитывающего слабую заполненность матриц, в этом случае оказывается намного эффективнее и приводит к большой экономии как времени счета так и памяти ЦВМ.
