Введение к работе
Актуальность темы. Динамические игры многих лиц представляют собой бурно развивающийся раздел теории игр, поскольку с их помощью удается создавать адекватные модели для исследования практических задач из области международных отношений, экономики, менеджмента, экологии, биологии, охраны окружающей среды, рационального природопользования.
В теории игр, и динамических играх в частности, актуальными остаются проблемы выбора принципа оптимальности и разработки конструктивной техники нахождения оптимального решения.
Важным вопросом теории дифференциальных игр является построение позиционных сильных равновесий. Известно несколько концепций сильного равновесия в игре многих лиц, принадлежащих Р. Ауманну (1959), Э. Мулену (1985), Л.А. Петросяну (1998), Л.В. Грауэр и Л.А. Петросяну (2002). В диссертационной работе исследованы сильное равновесие в широком и узком смыслах. В каждом из этих случаев под сильным равновесием понимается ситуация, в определенном смысле устойчивая относительно коалиционных отклонений игроков. Особенность сильного равновесия состоит в том, что оно является одновременно равновесием по Нэшу и парето-оптимальным решением, т.е. удовлетворяет свойствам коллективной и индивидуальной рациональности игроков. Основным недостатком широкого применения концепции сильного равновесия в статике является то, что оно крайне редко существует даже в классе игр двух лиц.
В теории динамических игр при построении сильных равновесий часто используются народные теоремы, что позволяет в некоторых случаях найти такое решение в стратегиях наказания. Примерами таких исследований являются работы Л.В. Грауэр и Л.А. Петросяна (2002), Л.А. Петросяна и Д.В. Кузютина (2000). Недостатками такого подхода являются необходимость согласия всех игроков на использование угроз, а также наличие достаточной силы у коалиций для реализации угрозы наказания. До сих пор актуальным и открытым остается вопрос построения позиционных сильных равновесий в детерминиро-
ванных и стохастических дифференциальных играх, решению которого для динамических игр специального вида и посвящено данное диссертационное исследование.
Цель диссертационной работы состоит в исследовании динамических игр на предмет разработки новой техники построения позиционного сильного равновесия, основанной на формулировке и обосновании новых достаточных условиях его существования.
Научная новизна работы. В диссертационной работе впервые предложены достаточные условия существования сильного равновесия в детерминированных и стохастических дифференциальных играх. При формализации оценки качества стратегии коалиции для позиционного сильного равновесия в широком смысле разработана специальная техника, основанная на скаляризации векторного критерия, компонентами которого являются функции выигрышей игроков, входящих в коалицию. Это позволило применить метод динамического программирования при формулировке и обосновании достаточных условий существования позиционного сильного равновесия.
Для динамической игры защиты атмосферы от загрязнения разработана техника определения такого размера штрафа, при котором парето-оптимальное решение является равновесием по Нэшу, и при этом общее загрязнение атмосферы не превышает предельно допустимой концентрации.
Достаточные условия существования позиционного сильного равновесия получены в конструктивном виде, что позволяет говорить о новой технике построения сильного равновесия. Применение техники проиллюстрировано на примерах решения дифференциальных игр двух и трех лиц в случаях детерминированной и стохастической динамики. Разработанная в диссертационной работе техника при дальнейшем развитии может быть использована для построения сильных равновесий в более широких классах дифференциальных игр.
Практическая ценность работы следует из практических областей применения результатов в области динамических игр, например, формирования долгосрочных отношений, защиты окружающей среды, совместной разработки
недр, научно-исследовательских разработок, моделей управления в экономике и менеджменте.
Основные результаты, выносимые на защиту:
Теоремы о достаточных условиях существования позиционного сильного равновесия в дифференциальной игре, содержащие метод нахождения подобных ситуаций. Решение примеров задач конфликтного управления для проверки разработанной техники.
Теорема о достаточных условиях существования позиционного сильного равновесия в стохастической дифференциальной игре. Использование разработанной техники на примере игры трех лиц.
Построение парето-оптимального равновесия в модели защиты атмосферы от загрязнения
Апробация работы. Основные результаты были представлены на I-IV Международных конференциях «Теория игр и менеджмент» (Санкт-Петербург, 2007-2010); на Международном научном совещании «Workshop on Networking Games and Management» (Петрозаводск, 2009); на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология» (Москва, 2008); на Международной конференции «The Second International Conference on Game Theory and Applications» (China, 2007); на Международной конференции «7th Meeting on Game Theory and Practice dedicated to Energy, Environment and Natural Resources» (Монреаль, 2007); на Международном конгрессе по нелинейному динамическому анализу, посвященному 150-летию A.M. Ляпунова (Санкт-Петербург, 2007); на 12-м Международном симпозиуме «International Symposium on Dynamic Games and Applications» (София Антиполис, 2006); на российско-финской летней школе «Динамические игры и многокритериальная оптимизация» (Петрозаводск, 2006); на XXXV-XXXVII научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2004-2006); на V Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания (Смирновские чтения)» (Санкт-Петербург, 2006); на Международной конференции «Stability and control processes» (Санкт-Петербург, 2005), а также на се-
минарах кафедры математической теории игр и статистических решений, центра теории игр факультета Прикладной математики - процессов управления, научном семинаре кафедры операционного менеджмента Высшей школы менеджмента СПбГУ.
Публикации работы. По материалам диссертации опубликовано 16 работ, 2 из которых - в журналах, рекомендованных ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, и списка литературы. Список литературы включает 133 наименования.
