Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Стохастические игры п лиц с бесконечным числом шагов 10
1.1. Определение стохастической игры с бесконечным числом шагов 10
1.2. Равновесие по Нэшу в стратегиях наказания 18
1.3. Регуляризация игры G. Сильное трансферабельное равновесие 24
Глава 2. Стохастические игры п лиц с конечным числом шагов 43
2.1. Постановка задачи 43
2.2. Построение равновесий по Нэшу 47
Глава 3. Стохастические игры п лиц с постоянными вероятностями перехода 59
3.1. Стохастические игры с постоянными вероятностями перехода с бесконечным числом шагов 59
3.1.1. Построение равновесий по Нэшу 62
3.1.2. Сильное трансферабельное равновесие 63
3.2. Стохастические игры с постоянными вероятностями перехода с конечным числом шагов 77
3.3. Дилемма заключенного п лиц 88
3.3.1. Случай одношаговой игры 88
3.3.2. Стохастическая игра дилемма заключенного 89
Заключение 95
Список литературы 96
Приложение 1 102
- Регуляризация игры G. Сильное трансферабельное равновесие
- Построение равновесий по Нэшу
- Стохастические игры с постоянными вероятностями перехода с бесконечным числом шагов
- Стохастические игры с постоянными вероятностями перехода с конечным числом шагов
Введение к работе
Актуальность темы. Теория стохастических игр и, как частный случай, теория многошаговых и повторяющихся игр представляют собой бурно развивающийся в настоящее время раздел теории игр. Стохастические и многошаговые игры более адекватно моделируют общественные, экономические, экологические и другие процессы, характеризующиеся случайным или последовательным переходом из одного состояния в другое.
Стохастические игры были введены Л.С. Шепли [48]. Шепли рассматривал останавливающиеся стохастические игры двух лиц с нулевой суммой, т.е. игры, для которых в каждом состоянии для каждой пары альтернатив игроков, игра останавливается с положительной вероятностью. Предполагалось, множество состояний конечно и множества альтернатив конечны. Шепли доказал, что такие игры имеют значение и оба игрока обладают оптимальными стационарными стратегиями.
Работы [21, 23, 24, 25, 37, 38, 47, 50, 51, 56] посвящены исследованию стационарных и марковских стратегий, стратегий поведения в стохастических играх. Особое место занимают алгоритмы построения стационарного равновесия в стохастических играх [22, 42, 36].
Основным принципом оптимальности в бескоалиционных играх является равновесие по Нэшу [39]. Вопросу построения равновесия в многошаговых и стохастических играх посвящены многочисленные исследования отечественных и зарубежных авторов [10, 11, 15, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 35, 37, 38, 50, 51, 52, 56].
В литературе по теории многошаговых и повторяющихся игр особое место занимают так называемые народные теоремы, из которых следует возможность построения Парето оптимальных равновесий по Нэшу с использованием стратегий наказания. Поскольку авторство этих теорем не определено, они получили название народных теорем. Идеология народных теорем встречается в работах [19, 27, 28, 40, 46, 53, 54, 57].
В теории игр важным вопросом является построение сильных равновесий, то есть равновесий, устойчивых относительно отклонений коалиций игроков [13, 18, 27, 32, 40]. Для классического статического случая оно не имеет особого смысла, так как такие равновесия, как правило, не существуют. Однако, рассмотрение игр в динамике открывает новые возможности. Л.А. Петросян [14] предложил механизм регуляризации динамических и дифференциальных игр, в рамках которой сильное равновесие существует.
В работах [31, 33, 34, 49] предлагаются решения задач типа дилемма заключенного.
В данной работе рассматриваются стохастические игры п лиц с конечным и бесконечным числом шагов. В дискретные моменты времени игроку приходится выбирать одну из конечного множества альтернатив. Этот выбор определяет немедленный выигрыш, а также вероятностный вектор, согласно которому указывается новое состояние, в котором надо будет выбирать альтернативу на следующем шаге. В каждый момент времени для каждого набора альтернатив вероятность окончания игры положительна. Предполагается, что множества состояний и множества альтернатив конечны. Игрок стоит перед проблемой выбора стратегии, которая принесет ему наибольший выигрыш. В данной работе, используя идеологию народных теорем удалось конструктивно построить Парето оптимальные равновесия по Нэшу, а также, используя механизм регуляризации, предложенной Л.А. Петросяном [14], построены сильные равновесия в стохастических играх.
Цель диссертационной работы. Основная цель диссертационной работы состоит в исследовании стохастических игр п лиц на предмет обнаружения новых классов равновесий по Нэшу, в построении сильных равновесий в стохастических играх с бесконечным числом шагов, в выводе необходимых и достаточных условий существования сильного трансферабельного равновесия.
Научная новизна работы. В диссертационной работе впервые был предложен новый класс равновесий по Нэшу в стохастических играх п лиц с бесконечным и конечным числом шагов, построены сильные равновесия в стохастических играх п лиц с бесконечным числом шагов, получены необходимые условия существования регуляризованной игры, в которой существует сильное трансферабельное равновесие, для случая стохастических игр п лиц с бесконечным числом шагов с постоянными вероятностями перехода получены необходимые и достаточные условия существования регуляризованной игры, в которой существует сильное трансферабельное равновесие.
Практическая ценность. Работа носит теоретическую направленность. Полученные результаты представляют теоретический и практический интерес. Основная практическая ценность определяется многочисленными экономическими и социальными приложениями теории неантагонистических стохастических игр. Особое значение имеет построение сильных равновесий в стохастических играх.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. предлагается новый класс равновесий по Нэшу в стохастических играх п лиц;
2. построение сильных равновесий в стохастических играх с бесконечным числом шагов; вывод необходимых условий существования регуляризованной игры, в которой существует сильное трансфера-бельное равновесие;
3. предлагается новый класс равновесий по Нэшу в стохастических играх с постоянными вероятностями перехода;
4. построение сильных равновесий в стохастических играх п лиц с постоянными вероятностями перехода с бесконечным числом шагов; вывод необходимых и достаточных условий существования регуляризованной игры, в которой существует сильное трансферабельное равновесие.
Результаты работы докладывались на семинаре по теории игр (Санкт-Петербург), на 10-м международном симпозиуме по динамическим играм и приложениям (Санкт-Петербург), на XV конференции по теории игр и приложениям IMGTA (Урбино, Италия), на XXXII научной конференции "Процессы управления и устойчивость" (Санкт-Петербург).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3, 4, 29, 30, 44, 45].
Структура и объем работы. Перейдем к изложению содержания диссертационной работы, состоящей из настоящего введения, 3 глав, разбитых на параграфы, заключения, списка используемой литературы и 2 приложений. В первой главе рассматриваются стохастические игры п лиц с бесконечным числом шагов. В § 1.1 формулируется теоретико-игровая модель стохастической игры с бесконечным числом шагов п лиц. Вводятся основные определения. Описывается стохастическая игра на бесконечном древовидном графе. Описывается структура графа.
В §1.2 предлагается способ построения равновесия по Нэшу в стохастической игре с бесконечным числом шагов в лиц, основанного на возможности наказания игрока, отклонившегося от соглашения. Даются достаточные условия существования данного класса равновесий. Полученный результат иллюстрируется на числовом примере.
В § 1.3 вводится понятие сильного трансферабельного равновесия. Строится регуляризация исходной стохастической игры п лиц с бесконечным числом шагов, в которой возможно перераспределение выигрышей игроков. Используется механизм регуляризации, который был впервые предложен в [14]. Предлагается способ построения сильного трансферабельного и сильного равновесий в регуляризованной стохастической игре, основанных на возможности наказания игроков, отклонившихся от соглашения. Даются достаточные условия существования сильного трансферабельного и сильного равновесий в регуляризованной игре. Для случая двух игровых элементов даются необходимые условия существования регуляризации, в которой существует сильное трансферабельное равновесие. Результаты иллюстрируются на примере.
Во второй главе рассматриваются стохастические игры п лиц с конечным числом шагов. В § 2.1 приводится постановка задачи. Описывается стохастическая игра на конечном древовидном графе. Описывается структура графа. В § 2.2 предлагается способ построения равновесия по Нэшу в стохастической игре с конечным числом шагов п лиц, основанного на комбинировании наказания игрока, отклонившегося от соглашения, и использования абсолютного равновесия по Нэшу. Впервые данный подход построения такого равновесия был предложен в работе [43] для случая би матричных повторяющихся игр. Результаты иллюстрируются на примере.
В третьей главе рассматриваются стохастические игры п лиц с постоянными вероятностями перехода.
В §3.1 рассматриваются стохастические игры п лиц с постоянными вероятностями перехода с бесконечным числом шагов. Строится новое равновесие по Нэшу. В регуляризованной игре строится сильное транс-ферабельное равновесие. Для любого конечного числа игровых элементов даются необходимые и достаточные условия существования регуляризации, в которой существует сильное трансферабельное равновесие. Результаты иллюстрируются на примерах.
В §3.2 рассматриваются стохастические игры п лиц с постоянными вероятностями перехода с конечным числом шагов. Строится новое комбинированное равновесие по Нэшу
В §3.3 рассматривается случай стохастической игры с конечным числом шагов на каждом шаге, которой разыгрывается игра вида дилемма заключенного п лиц. Для такого вида игр проводится регуляризация. Формулируются достаточные условия существования нового равновесия по Нэшу в регуляризованной игре. Результаты иллюстрируются на примере.
В заключении подытоживаются полученные результаты. В приложении 1 приводятся необходимые расчетные выкладки к примеру из § 1.3.
В приложении 2 приводятся необходимые расчетные выкладки к примеру из §2.2.
В диссертационной работе использована двойная нумерация формул, теорем, определений, следствий, замечаний. Первая цифра означает номер главы, вторая — номер в главе. Параграфы пронумерованы для каждой главы отдельно. Литература приведена в алфавитном порядке. Для рисунков и таблиц используется сквозная для всей работы нумерация.
Регуляризация игры G. Сильное трансферабельное равновесие
Результаты работы докладывались на семинаре по теории игр (Санкт-Петербург), на 10-м международном симпозиуме по динамическим играм и приложениям (Санкт-Петербург), на XV конференции по теории игр и приложениям IMGTA (Урбино, Италия), на XXXII научной конференции "Процессы управления и устойчивость" (Санкт-Петербург).
Структура и объем работы. Перейдем к изложению содержания диссертационной работы, состоящей из настоящего введения, 3 глав, разбитых на параграфы, заключения, списка используемой литературы и 2 приложений. В первой главе рассматриваются стохастические игры п лиц с бесконечным числом шагов. В 1.1 формулируется теоретико-игровая модель стохастической игры с бесконечным числом шагов п лиц. Вводятся основные определения. Описывается стохастическая игра на бесконечном древовидном графе. Описывается структура графа.
В 1.2 предлагается способ построения равновесия по Нэшу в стохастической игре с бесконечным числом шагов в лиц, основанного на возможности наказания игрока, отклонившегося от соглашения. Даются достаточные условия существования данного класса равновесий. Полученный результат иллюстрируется на числовом примере.
В 1.3 вводится понятие сильного трансферабельного равновесия. Строится регуляризация исходной стохастической игры п лиц с бесконечным числом шагов, в которой возможно перераспределение выигрышей игроков. Используется механизм регуляризации, который был впервые предложен в [14]. Предлагается способ построения сильного трансферабельного и сильного равновесий в регуляризованной стохастической игре, основанных на возможности наказания игроков, отклонившихся от соглашения. Даются достаточные условия существования сильного трансферабельного и сильного равновесий в регуляризованной игре. Для случая двух игровых элементов даются необходимые условия существования регуляризации, в которой существует сильное трансферабельное равновесие. Результаты иллюстрируются на примере.
Во второй главе рассматриваются стохастические игры п лиц с конечным числом шагов. В 2.1 приводится постановка задачи. Описывается стохастическая игра на конечном древовидном графе. Описывается структура графа. В 2.2 предлагается способ построения равновесия по Нэшу в стохастической игре с конечным числом шагов п лиц, основанного на комбинировании наказания игрока, отклонившегося от соглашения, и использования абсолютного равновесия по Нэшу. Впервые данный подход построения такого равновесия был предложен в работе [43] для случая би матричных повторяющихся игр. Результаты иллюстрируются на примере.
В третьей главе рассматриваются стохастические игры п лиц с постоянными вероятностями перехода.
В 3.1 рассматриваются стохастические игры п лиц с постоянными вероятностями перехода с бесконечным числом шагов. Строится новое равновесие по Нэшу. В регуляризованной игре строится сильное транс-ферабельное равновесие. Для любого конечного числа игровых элементов даются необходимые и достаточные условия существования регуляризации, в которой существует сильное трансферабельное равновесие. Результаты иллюстрируются на примерах.
В 3.2 рассматриваются стохастические игры п лиц с постоянными вероятностями перехода с конечным числом шагов. Строится новое комбинированное равновесие по Нэшу
В 3.3 рассматривается случай стохастической игры с конечным числом шагов на каждом шаге, которой разыгрывается игра вида дилемма заключенного п лиц. Для такого вида игр проводится регуляризация. Формулируются достаточные условия существования нового равновесия по Нэшу в регуляризованной игре. Результаты иллюстрируются на примере. В заключении подытоживаются полученные результаты. В приложении 1 приводятся необходимые расчетные выкладки к примеру из 1.3. В приложении 2 приводятся необходимые расчетные выкладки к примеру из 2.2.
В диссертационной работе использована двойная нумерация формул, теорем, определений, следствий, замечаний. Первая цифра означает номер главы, вторая — номер в главе. Параграфы пронумерованы для каждой главы отдельно. Литература приведена в алфавитном порядке. Для рисунков и таблиц используется сквозная для всей работы нумерация.
Построение равновесий по Нэшу
На дереве G = {Z; V) с помощью одновременных игр Г(г) и вероятностей перехода p(z, у; xz) определим стохастическую игру G(ZQ) = G следующим образом. На первом шаге в начальной вершине ZQ Є Z происходит одновременная игра Г (го). Если в этой игре реализовался набор альтернатив xz, тогда на следующем шаге с вероятностью P(ZQ, у; xza) произойдет игра Г(у), если у Є L2o П Z, или стохастическая игра закончится, если у Є LZo П (Z\Z). Если на шаге к происходила одновременная игра r(zjt_i) и в r(zk-i) реализовался набор альтернатив iz l, то на следующем шаге с вероятностью p(zf. i, у; xZk l) произойдет игра Г(у), если у LZk_ir\ZJ или стохастическая игра закончится, если у LZk f](Z\Z).
Рассмотрим смешанные расширения одношаговых игр Г (г). Обозначим через /if произвольную смешанную стратегию (альтернативу) игрока і, т.е. некоторое вероятностное распределение на множестве чистых альтернатив Xf. Через \i\ (xz) обозначим вероятность, которую стратегия \i\ приписывает чистой альтернативе х\ Є X . Если в одношаговой игре T(z) каждый из игроков і Є JV применяет свою смешанную стратегию (А-, то вероятность появления ситуации xz = {х\,..., Хп) Є ТТ XI в одношаговой игре Г(г) равна произведению вероятностей выборов составляющих ее стратегий, т.е.
Определим понятие "истории" в игре G. Рассмотрим вершину z\. Z. Обозначим путь, соединяющий начальную вершину ZQ с вершиной г%, через ZQ, гі,..., JZfc_i, fc и предположим, что до вершины Zk реализовалась последовательность n-наборов чистых альтернатив ж2, xZl,..., xZk . Последовательность пар (ZQ,XZ), (zi,xSl),..., {zk-\,xZk 1) будем называть историей вершины 2 и обозначать /і( ). В игре G(JZO) игроки обладают полной информацией, в том смысле, что в каждой вершине z G. Z они знают одновременную игру T(z), в которую играют, и каждый игрок помнит всю историю игры h(z) — ((20,2: ), (zi, xZi)y..., {zm-i, xZm 1))) z = zm. Но ни один игрок не знает смешанных альтернатив противников в прошлом, т.е. знает только реализовавшиеся наборы чистых альтернатив. Будем рассматривать три класса стратегий: стационарные стратегии (чистые или смешанные): Выбор альтернативы (чистой или смешанной) игроком не зависит ни от истории, ни от вершины, в которой игра находится в данный момент, а зависит только от игрового элемента. марковские стратегии (чистые или смешанные): Выбор альтернативы (чистой или смешанной) игроком зависит от вершины, в которой игра находится в данный момент и соответствующего игрового элемента, но не зависит от истории. стратегии поведения (чистые или смешанные): Выбор альтернативы (чистой или смешанной) игроком зависит от истории и игрового элемента, в котором игра находится в данный момент. Определение 1.1. Чистая стратегия 7 (-) игрока і Є N в стохастической игре G называется стационарной, если она предписывает выбор одной и той же чистой альтернативы во всех вершинах z Є Z с идентичными одношаговыми играми: щ{г) = ж Є Xf для всех z, таких, что Г(z) = Г . Смешанная стратегия &() игрока і Є N называется стационарной, если она предписывает выбор одной и той же смешанной альтернативы во всех вершинах z Z с идентичными одношаговыми играми. ЗІ — множество смешанных стационарных стратегий игрока г.
Определение 1.2. Чистая марковская стратегия 7І( ) игрока і Є N в стохастической игре G функция, ставящая каждой возможной вершине у Є Z в соответствие чистую альтернативу игрока і в одношаговой игре Т(у): 7І(У) = ХІ Є Xf. Смешанная марковская стратегия Д(-) игрока і Є N в игре G определяется как отображение, ставящее в соответствие каждой возможной вершине у Є Z смешанную альтернативу игрока г в одношаговой игре Т(у). Д- — множество смешанных марковских стратегий игрока І.
Определение 1.3. Чистая стратегия поведения щ( ) игрока і Є N в стохастической игре G — функция, ставящая каждой возможной истории Мз/) У Є Z,B соответствие чистую альтернативу игрока г в одношаговой игре Г(у): щ{к(у)) = х\ Є Xf. Смешанная стратегия поведения (fc( ) игрока і Є N в игре G определяется как отображение, ставящее в соответ ствие каждой возможной истории h(y), у Є Z, смешанную альтернативу р игрока і в одношаговой игре Г(у). Qj — множество смешанных стратегий поведения игрока і.
Ясно, что выполняются следующие включения ЗІ С В І С Qi-Так как переход от одной вершины к другой носит стохастический характер, то выигрыш игрока оказывается случайной величиной, поэтому будем рассматривать математическое ожидание выигрыша.
Стохастические игры с постоянными вероятностями перехода с бесконечным числом шагов
Сумма (2.10) равна ожидаемому выигрышу, который игрок j получит в ситуации (? (-)lte(0) вдоль пути zo, zi,..., zm_i: zm = zf. Так как стратегия qj(-) совпадает со стратегией gj(-) на пути ZQ, ZI,..., zm-i, тогда и ожидаемые выигрыши в ситуациях ( ? () j ty-(-)) и q () совпадают на данном пути.
Сумма в (2.11) равна ожидаемому выигрышу игрока j в подыгре G(z ). По определению стратегий q\{-) (2.9) ситуация [q ]z () есть равновесие по Нэшу в подыгре G(z ), и ожидаемый выигрыш игрока j в ситуации [(9 ( )lkj( ))]z разве лишь меньше, чем в ситуации [q ]z (). Следовательно, ожидаемый выигрыш игрока j в ситуации (q (-)]] )) на множестве вершин Z не превосходит выигрыш в ситуации q (-). Аналогичными рассуждениями показывается, что ожидаемый выигрыш (2.12) игрока j в ситуации (q ()! !%()) на множестве вершин Z\Z разве лишь меньше выигрыша в ситуации ? ( )
Предположим, что стратегия qj(-) выбирает (смешанные или чистые) альтернативы, отличные от альтернатив, предписываемых стратегией qj(-), в одной из одношаговых игр Г(г), z Є Z \ А и h{z) С Т. Пусть z — первая из вершин z Є Z \ А, таких, что существует история h(z) : h(z)cTnqj(h(z)) q](h(z)).
Обозначим через Z с Z объединение вершин из пути ZQ, zi,..., zm \ (zm = z ) и вершин из множества Zz , Zz — множество вершин подграфа G{z ) = (Zz ,L), начинающегося с zf. Сумма (2.13) равна ожидаемому выигрышу, который игрок j получит в ситуации (q ( )) &()) вдоль пути го, z\,..., zm-\: zm — z . Так как стратегия qj( ) совпадает со стратегией #!() на пути ZQ, 2:1,..., 2т-ъ тогда и ожидаемые выигрыши в ситуациях (# (") ІІ#і( )) и 5 ( ) совпадают на данном пути. Сумма в (2.14) равна ожидаемому выигрышу игрока j в подыгре G(z ). Если fij {хгЛ = 0, по окончании одношаговой игры T(z ) отклонение игрока j от $j () будет замечено. Тогда в подыгре G(z ) игрок j не может получить больше, чем так как после отклонения от Щ игроки из коалиции N \ j будут наказывать игрока j: согласно определению стратегий д ( ) они будут играть против игрока j в играх G{j}, \{j}(2/)j У Є Аг Пусть діу (ж) ф 0, тогда для всех вершин z Z f)(Z\A), в которых игрок j отклоняется от () будет выполнено следующее соотношение Для любой вершины у А выполняется (д ( ) ( )) EV(q (-)) (см. пункт 2 доказательства), тогда и для вершин z Є Z [\{Z \ А) с учетом условий теоремы выполняется неравенство Следовательно, ожидаемый выигрыш игрока j в ситуации ( ? ( )ll 7j(0) на множестве вершин Z не превосходит выигрыш в ситуации q (-). Аналогичными рассуждениями показывается, что ожидаемый выигрыш (2.15) игрока j в ситуации (q {-)\\qj{-)) на множестве вершин Z\Z разве лишь меньше выигрыша в ситуации () Тем самым мы показали, что ситуация ? () является равновесием по Нэшу в игре G. Теорема доказана. Замечание 2.1. Пусть (/?j(0)/%\i(0) ситуация абсолютного равновесия в антагонистической стохастической игре G{J},JV\{J}- Причем совместная смешанная стратегия fi3N\j{-) коалиции N \ j представима в виде Тогда в качестве Vz({j}) можно взять значение антагонистической игры G{j},N\{j}(z)- В этом случае равновесная ситуация в стратегиях поведе ния g (-) = ( їі( )і »Qni )) в игРе & строится следующим образом: V произвольна в остальных случаях. Пример 2.1. Пусть G — стохастическая игра, построенная на конечном древовидном графе G = (Z, L). Предположим, что все пути, соединяющие начальную вершину ZQ И некоторую из последних вершин z : Lz = 0, имеют длину 6. Каждой вершине z Є Z сопоставим одну из двух одновременных игр Г1 или Г2:
Стохастические игры с постоянными вероятностями перехода с конечным числом шагов
Условия теоремы 3.3. выполняются, следовательно, существует регу-ляризация Ga, в которой существует ситуация сильного трансферабель-ного равновесия q(-) = (&(),й(0» &())
Стратегия h(-) игрока 1 предписывает выбор альтернативы В в игровом элементе Г1, альтернативы А в игровом элементе Г2 и альтернативы J3 в игровом элементе Г3, если ни одна коалиция не отклонилась от дерева кооперативных траекторий {h(z) С Т). Если на одном из предыдущих шагов первым отклонился игрок 2, тогда в Г1 игрок 1 выбирает альтернативу Л, в Г2 — с вероятностью 2/3 альтернативу Лис вероятностью 1/3 альтернативу В, в Г3 — альтернативу В. Если на одном из предыдущих шагов первым отклонился игрок 3, тогда в Г1 игрок 1 выбирает альтернативу Л, в Г2 — альтернативу 5, в Г3 — альтернативу Л. Если первой отклонилась коалиция S = {2,3}, тогда в Г1 игрок 1 выбирает альтернативу Л, в Г2 — с вероятностью 5/7 альтернативу Лис вероятностью 2/7 альтернативу В, в Г3 — альтернативу Л. В остальных случаях поведение произвольно.
Стратегия Й(") игрока 2 предписывает выбор альтернативы В в игровом элементе Г1, альтернативы Л в игровом элементе Г2 и альтернативы Л в игровом элементе Г3, если ни одна коалиция не отклонилась от дерева кооперативных траекторий (h(z) С Т). Если на одном из предыдущих шагов первым отклонился игрок 1, тогда в Г1 игрок 2 выбирает альтернативу Л, в Г2 — альтернативу Л, в Г3 — альтернативу В. Если на одном из предыдущих шагов первым отклонился игрок 3, тогда в Г1 игрок 2 выбирает альтернативу Л, в Г2 — альтернативу Л, в Г3 — альтернативу В. Если первой отклонилась коалиция S {1)3}, тогда в Г1 игрок 2 выбирает альтернативу Л, в Г2 — с вероятностью 1/3 альтернативу Лис вероятностью 2/3 альтернативу В, в Г3 — с вероятностью 5/12 альтернативу Лис вероятностью 7/12 альтернативу В.
Стратегия дз( ) игрока 3 предписывает выбор альтернативы В в игровом элементе Г1, альтернативы В в игровом элементе Г2 и альтернативы Л в игровом элементе Г3, если ни одна коалиция не отклонилась от дерева кооперативных траекторий {h(z) С Т). Если на одном из предыдущих шагов отклонился игрок 1, тогда в Г1 игрок 2 выбирает альтернативу А, в Г2 — альтернативу А, в Г3 — альтернативу А. Если на одном из предыдущих шагов отклонился игрок 2, тогда в Г1 игрок 3 выбирает альтернативу А, в Г2 — альтернативу Л, в Г3 — альтернативу В. Если отклонилась коалиция S = {1,2}, тогда в Г1 игрок 3 выбирает альтернативу Л, в Г2 — альтернативу А, в Г3 — с вероятностью 1/3 альтернативу Лис вероятностью 2/3 альтернативу В.
Векторы перераспределения выигрышей ак = (а а а, )7 к = 1,2,3, удовлетворяют системе неравенствОбозначим через А1, Л2, Л3 множества возможных перераспределений выигрышей в данной игре. Множества А1, Л2, Л3 представлены на рис. 7-9. В любой стохастической игре Ga, такой, что векторы а Л , к = 1,2,3, существуют сильное трансферабельное и сильное равновесия.
