Введение к работе
Актуальность темы. Многочисленные проблемы техники, естествознания, экологии и социологии могут быть формализованы как задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами. Построение теории и методов решения таких задач ввиду их большого разнообразия и сложности предполагает, как правило, выделение конкретных классов систем, описывающих управляемый процесс. Объектом исследований в диссертационной работе являются задачи оптимального управления, в которых связь между граничными, сосредоточенными и распределенными управлениями с траекторией определена интегрс-дифференциальной системой, содержащей два типа фазовых переменных. Одна группа этих переменных подчинена гиперболической системе дифференциальных уравнений, в правую часть которой входят переменные другой группы. Они в свою очередь связаны интегральными уравнениями с решениями дифференциальной системы. Граничные условия являются интегральными. Такого рода интегро-дифференциальные соотношения широко используются в математических моделях динамики популяций, процессов распространения инфекционных заболеваний, амортизации производственных фондов и т.д. Прикладная значимость и, в то же время, недостаточная изученность самих интегро-дифференциальных систем, а также задач оптимального управления ими объясняет многочисленность публикаций по данной проблематике как в России, так и за рубежом. Следует подчеркнуть, что значительная часть таких исследований направлена на изучение конкретных частных моделей и подчас существенно опирается на их специфику, например, линейность. Кроме того, полученные в них условия оптимальности далеко не всегда подкрепляются соответствующими численными методами. Таким образом, проблемы качественного исследования интегро-дифференциальных систем, разработки новых условий оптимальности, конструирования численных методов, обладающих как свойствами монотонного улучшения целевого функционала, так и убывания невязки по соответствующему необходимому условию оптимальности, являются в настоящее время достаточно актуальными.
Цель работы состоит в построении эффективных методов улучшения допустимых управлений для двух исследуемых интегро-дифференциальных задач.
Основными задачами работы являются изучение свойств обобщенных решений интегро-дифференциальных систем в условиях разрывности допустимых управлений, построение условий оптимальности управлений и разработка итерационных процедур, обладающих свойствами релаксации и сходимости.
Методы исследования основаны на теории уравнений с частными производными, теории оптимального управления и численных методов. В работе применяются метод характеристик, метод последовательных приближений для интегральных эквивалентов исходных интегро-дифференциальных систем, вывод и анализ формул приращения целевых функционалов на различных типах варьирования допустимых управлений.
Научная новизна. Для рассмотренных в диссертации интегро-дифференциальных систем наряду с доказательством существования и единственности обобщенных решений впервые установлены точные оценки их роста относительно входных данных. Получено новое необходимое условие оптимальности в форме вариационного принципа максимума. В отличие от аналогичного результата в задачах оптимизации гиперболических систем, здесь вариационный принцип максимума формулируется не только в терминах семейств задач оптимального управления обыкновенными дифференциальными системами, но и использует оптимизационные задачи с траекториями, подчиненными интегральным системам. Выделены классы задач, в которых вариационный принцип максимума является достаточным условием оптимальности, а также найдены условия, при которых он совпадает с конечномерным принципом максимума. Впервые для рассматриваемых задач разработана серия численных алгоритмов, основанных на вариационном, конечномерном и линеаризованном принципах максимума. Обоснована их релаксационность и сходимость по невязкам соответствующих условий оптимальности. Большинство итерационных процедур программно реализованы и апробированы численными экспериментами.
Основные результаты, выносимые на защиту:
теоремы существования и единственности решений интегро-дифференциальных систем с выводом оценок роста решений относительно входных данных;
необходимые условия оптимальности, а именно вариационный принцип максимума и его следствия в формах конечномерного и дифференциального принципов максимума;
алгоритмы численного поиска решений, обладающие свойствами релаксации и сходимости по невязкам необходимых условий оптимальности. Исследование некоторых моделей динамики популяции на основе программной реализации построенных алгоритмов.
Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации являются важным вкладом в качественную теорию и численные методы задач оптимального управления системами интегро-дифференциальных уравнений. Предложенные численные алгоритмы служат практическим инструментом в прикладных исследованиях интегро-дифференциальных моделей.
Отдельные результаты работы используются при проведении спецкурсов в Институте математики, экономики и информатики ИГУ на специальностях «Прикладная математика и информатика» и «Математические методы в экономике», а также при написании курсовых и дипломных работ.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на
III межвузовской зональной конференции «Математика и пробле
мы ее преподавания в вузе» (Иркутск, 2007 г.);
школе-семинаре молодых ученых «Математическое моделирование и информационные технологии» (Иркутск, 2007 г.);
школе-семинаре «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (Иркутск, 2008 г.);
XIV Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Северобайкальск, 2008 г.);
Всероссийской конференции «Математическое моделирование и вычислительно-информационные технологии в междисциплинарных научных исследованиях» (Иркутск, 2009 г.);
Международной конференции «Оптимальное управление: теория, методы и приложения», посвященной 70-летию со дня рождения профессора О.В. Васильева (Иркутск, 2009 г.);
семинарах кафедры методов оптимизации ИГУ.
Исследования по теме диссертации были выполнены при частичной финансовой поддержке
гранта Российского фонда фундаментальных исследований, проект 08-01-98007-р_сибирь_а, 2008-2010 гг.
гранта поддержки научно-исследовательской работы аспирантов и молодых сотрудников Иркутского государственного университета, тема 111-02-000/В, 2008 г.
гранта поддержки научно-исследовательской работы аспирантов и молодых сотрудников Иркутского государственного университета, тема Ш-09-001/А1, 2009 г.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ. В их число входят 5 статей [1]-[5] из «Перечня российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук», 1 статья [6] в научном журнале, 4 полных текстов докладов [7-10] в материалах всероссийских и международных конференций. Работы [1], [4] выполнены в нераздельном соавторстве с научным руководителем.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы из 74 наименований. Общий объем диссертации составляет 140 страниц, включая 5 рисунков.
