Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ ; Ц
ГЛАВА I. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА МАРКОВСКОГО НОРМАЛЬНОГО СТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА 9
1.1. Оценка параметров корреляционной функции процесса Дуба 40
1.2. Оценка параметров корреляционной функции комплексного марковского нормального стационарного процесса 2-Э
1.3. Оценка параметров корреляционной функции вида в случае различного числа повторностей 54
1.4. Линеаризация оценок НО
1.5. Оценка параметров корреляционной функции комплексного марковского нормального стационарного процесса в непрерывном времени
1.6. Связь пространственного и временного описания случайного процесса
Результаты главы I
ГЛАВА II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРАКТОВКА ТЕЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАБОЛЕВАНИЙ 63
2.1. Математическое моделирование хронического гломерулонефрита (ХГН) и инфаркта
миокарда 63
2.1.1. Модификация кривой саногенеза. Критические точки 64
2.1.2. Инфаркты миокарда (факторный анализ)
2.2. Исследование процесса гликогенолиза 3.
Результаты главы П 105
Приложения к главе П 106
Заключение 1
Литература 1
Введение к работе
Современный этап развития медицины характеризуется проникновением методов математической статистики и вычислительной техники в эту область человеческих знаний. При математическом исследовании медико-биологических процессов актуальны как нахождение новых методик (и модификация старых) при обработке наблюдений, так и теоретические построения, на которых основана интерпретация результатов. Для иллюстрации быстроты прогрессирования заболеваний и оценки результативности различных методов лечения в последние годы все шире применяются данные о выживании больных.
Настоящая работа посвящена оценке параметров кривых выживания (кривых саногенеза) для ряда заболеваний. В диссертации разработана методика построения оценок параметров для специальных типов марковских процессов в условиях дефицита выборочных данных по динамике с привлечением статических признаков. Кроме того, в работе дается согласование временного и пространственного описания случайного процесса путем параметризации. На основании полученных результатов в прикладной части диссертации приведено математическое моделирование течения некоторых заболеваний. Задачу моделирования мы исследовали как с точки зрения случайных процессов, так и с точки зрения детерминистического анализа регуляций в системе "орган - организм".
В качестве основных исходных данных, для решаемой нами задачи, брались показания, снимаемые с больных по ряду признаков в процессе заболевания, и кривые саногенеза О ft/, которые мы рассматривали как изменение во времени вероятности дожития некоего индивида, характеристики течения заболевания которого являются усредненными для данной группы больных. Кривую саногенеза интерпретировали как распад саногенетических (защитных) факторов организма. Основное предположение заключается в том, что динамика саногенеза описывается двумерным марковским нормальным процессом. Показания, снимаемые с больных, обрабатывались в каждый фиксированный момент времени по методу главных компонент (факторный анализ). В качестве реализаций процесса рассматривались изменяющиеся во времени значения первого и второго факторов. Эти факторы являются наиболее информативными признаками о взаимосвязях характеристик данной болезни. Для этих реализаций строились корреляционные функции ІІ(І, 4), Основная задача заключалась в оценке параметров этих функций, с учетом конкретизации изучаемого процесса. Кроме того, использование факторного анализа давало возможность интерпретировать оцениваемые параметры. Кривую саногенеза J(T/(A3(V - функция одного переменного, t - длительность болезни) рассматривали как корреляционную функцию Kit, і) при фиксированном 3 . Для стационарного процесса при J = О, при 6 О Таким образом, функция sa) определяется линейными связями между значениями наиболее информативных признаков в момент /"ив момент 0 .
Оценки параметров аналитического вида кривых саногенеза строились для комплексного нормального марковского процесса, поскольку рассмотрение двумерного действительного равносильно комплексному одномерному случайному процессу. Причем реализации рассматриваемого нами двумерного нормального процесса, являющиеся первым и вторым факторами метода главных компонент, обладают таким же свойством ортогональности как и вещественная и мнимая части комплексного случайного процесса.
Обычно оценка параметров марковских нормальных процессов производится по наблюдениям на одной реализации. В случае оценивания кривых саногенеза как правило дается небольшое число точек на реализации, но есть возможность использовать дополнительную информацию (повторности). Под повторностями понимаются наблюдения, принадлежащие различным реализациям одного процесса и рассматриваемые в фиксированные одинаковые моменты времени. Поставленная задача решается нами в дискретном и непрерывном времени. Согласование дискретного случая и непрерывного также является проблемой. В диссертации предлагаются условия такого, согласования.
Основные результаты выносимые на защиту:
1. Построены оценки параметров корреляционной функции марковского нормального комплексного процесса с повторностями в следующих случаях I
а) число повторностей в каждой точке реализации одно и тоже;
б) число меняется.
В непрерывном случае введение повторностей сопоставлялось с конструкцией функционального анализа - расширением дифференциальных операторов порядка. Полученные оценки применялись для диагностики и прогнозировании таких заболеваний как гломерулонефрита и инфаркт миокарда.
2. Указан способ линеаризации оценок параметров, полученных в пункте I. Условия линеаризации являются одновременно условиями согласования непрерывного и дискретного случаев.
3. Модификацирован аналитический вид кривых саногенеза за счет введения понятия критических периодов и критических точек исследуемого процесса. Величина о (%]является дискриминантом быстроты прогрессирования заболевания и несет в себе суммарную информацию об оцениваемых параметрах.
4. Исследована система уравнений, первое из которых - уравнение Колмогорова-Феллера (для переходных плотностей вероятности), а второе - информационное уравнение (для ковариационных функций).
В теории случайных процессов обычно рассматривается первое из них. Система анализируется для нормального, бэта и гамма-распределений. То есть, если известно, что решением уравнения Колмогорова- является один из перечисленных выше законов, то, составляя и решая информационное уравнение, мы имеем возможность найти ковариационную функцию. Переходная плотность вероятности дает пространственное, а ковариационная функция временное описание случайного процесса.
5. В работе согласовано временное и пространственное описание случайного процесса путем параметризации.
Практическая ценность определяется тем, что полученные оценки параметров корреляционной функции марковского процесса могут быть использованы для прогнозирования и диагностики некоторых заболеваний.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на конференции слушателей ВМА. им. Кирова, на П Всесоюзном съезде нефрологов, на Всесоюзной конференции по классификации и анализу данных, на научном семинаре в институте математики и кибернетики АН Литовской ССР (г.Вильнюс), на школе-семинаре по теории вероятности (г.Ленинград, 1982 г.), на Всесоюзной конференции по применению математических методов и ЭВМ в биологии и медицине.
Работа состоит из введения, двух глав, приложения, заключения и списка литературы. Объем работы - страниц машинописного текста, / таблиц, о рисунков, библиография содержит наименований.
