Введение к работе
Актуальность темы
Задачи оптимального управления с терминальными ограничениями часто встречаются в приложениях и возникают при моделировании физических, химических, медико-биологических, экономических и других процессов. Здесь помимо прямых поточечных ограничений на управление присутствуют ограничения на фазовую траекторию терминального типа.
Наиболее распространенными подходами к решению данного класса задач являются методы штрафов по терминальным ограничениям и методы модифицированных функционалов Лагранжа, сводящие исходную задачу к последовательности задач оптимального управления со свободным правым концом. При этом трудоемкость методов в основном зависит от требуемой точности удовлетворения терминальных ограничений.
Для решения задач оптимального управления со свободным правым концом разработан достаточно широкий спектр итерационных процедур.
Методы, базирующиеся на тех или иных условиях оптимальности и использующие различные аппроксимации элементов задач, развивались в работах А.В. Аргучинцева, В.А. Батурина, О.В. Васильева, Ф.П. Васильева, Р. Габасова, Е.Г. Гольштейна, В.И. Гурмана, В.А. Дыхты, Ф.М. Кирилловой, В.Ф. Кротова, Б.Н. Пшеничного, В.А. Срочко, А.С. Стрекаловского, Н.В. Третьякова, Ф.Л. Черноусь-ко и других исследователей.
Алгоритмическое и программное обеспечение методов оптимального управления вместе с численным решением задач прикладного содержания рассматривалось в работах Р.П. Федоренко, А.И. Тя-тюшкина и других.
Отдельный класс составляют методы на основе полной или частичной дискретизации задач оптимального управления с последующей редукцией к задачам математического программирования (Ю.Г. Евтушенко, Ю.М. Ермольев, Н.Н. Моисеев, Э. Полак и др.).
В последние годы в работах В.А. Срочко1 и А.С. Булдаева2 разработаны методы нелокального улучшения управлений в классе ли-
Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М: Физматлит, 2000. 160 с.
2 Булдаев А.С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2008.260 с.
нейных и полиномиальных по состоянию задач оптимального управления со свободным правым концом. Эти методы не используют операцию слабого или игольчатого варьирования управлений, что является существенным фактором снижения трудоемкости.
Представляется актуальным распространение данного подхода на класс полиномиальных по состоянию задач оптимального управления с терминальными ограничениями с целью осуществления нелокального улучшения на множестве допустимых управлений с сохранением всех терминальных ограничений.
Целью диссертационного исследования является разработка процедур нелокального улучшения для определенных классов полиномиальных по состоянию задач оптимального управления с терминальными ограничениями.
Основные задачи диссертационного исследования
Разработка и обоснование методов нелокального улучшения в полиномиальных по состоянию задачах оптимального управления с частично закрепленным правым концом на основе краевых задач.
Разработка и обоснование методов возмущений для решения вспомогательных краевых задач и реализации условий улучшения в созданных процедурах нелокального улучшения.
Сравнительный анализ эффективности разработанных и известных методов решения рассматриваемых классов задач.
Общая методика исследования основана на использовании нестандартных формул приращения функционалов задачи, не содержащих остаточных членов, и модификации систем сопряженных переменных, позволяющих свести задачу улучшения управления к краевой задаче. Для решения возникающих краевых задач применяется широко известный в математике подход возмущений.
Основные результаты, выносимые на защиту
Показана принципиальная возможность осуществления нелокального улучшения с выполнением всех терминальных ограничений с помощью решения специальной краевой задачи. Эта краевая задача не содержит явно множителей Лагранжа и существенно проще, чем краевая задача принципа максимума.
На основе предлагаемых процедур нелокального улучшения получены усиленные по сравнению с принципом максимума необходимые условия оптимальности.
Разработаны методы возмущений для решения вспомогательных краевых задач в процедурах нелокального улучшения.
4. Созданы алгоритмы и программы для решения задач оптимального управления с терминальными ограничениями. Проведен сравнительный анализ эффективности разработанных и стандартных численных методов на ряде модельных задач.
Научная новизна
Для линейных и полиномиальных по состоянию задач оптимального управления с терминальными ограничениями разработаны новые процедуры нелокального улучшения с сохранением всех терминальных ограничений. Получены новые необходимые условия оптимальности, дополняющие и усиливающие принцип максимума в рассматриваемых задачах. Построены новые методы возмущений для решения рассматриваемых классов задач. Проведены численные эксперименты с помощью созданных алгоритмов и программ, демонстрирующие эффективность разработанных процедур.
Личный вклад автора состоит в разработке процедур нелокального улучшения допустимых управлений в классе полиномиальных по состоянию задач оптимального управления с терминальными ограничениями; построении методов возмущений для реализаций условий нелокального улучшения и решения вспомогательных краевых задач; проведении численных экспериментов.
Все основные результаты, включенные в диссертацию, являются новыми и получены лично автором.
Теоретическая и практическая значимость
Полученные результаты вносят определенный вклад в теорию и могут быть использованы для создания автоматизированных систем эффективного решения задач оптимального управления с терминальными ограничениями. Предлагаемые подходы открывают новые возможности построения эффективных методов численного решения задач оптимального управления с ограничениями на фазовую траекторию.
Отдельные результаты работы используются при проведении лекций и семинаров для студентов специальности «Прикладная математика и информатика» Бурятского государственного университета и Восточно-Сибирского государственного технологического университета.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались на - 3-й и 4-й Международных конференциях «Математика, информатика и управление» (Иркутск, 2004, 2005);
2-й и 3-й Международных конференциях «Математика, ее приложения и математическое образование» (Улан-Удэ, 2005, 2008);
13-й Международной Байкальской школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Северобайкальск, 2005);
2-й Всероссийской конференции с международным участием «Ин-фокоммуникационные и вычислительные технологии» (Улан-Удэ, 2006);
9-й Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Иркутск, 2007);
2-й Международной конференции «Оптимизация и оптимальное управление» (Улан-Батор, Монголия, 2007);
9-й школе-семинаре молодых ученых «Математическое моделирование и информационные технологии» (Иркутск-Ангасолка, 2007);
- научных конференциях Института динамики систем и теории
управления СО РАН «Ляпуновские чтения» (Иркутск, 2006,2007);
4-м Международном симпозиуме «Обобщенные решения в задачах управления» (Улан-Удэ, 2008);
Международной конференции «Информация и коммуникационные технологии» (Улан-Батор, Монголия, 2009);
объединенных семинарах Улан-Удэнского филиала Института динамики систем и теории управления СО РАН и Бурятского государственного университета (Улан-Удэ, 2004-2008);
научном семинаре Института программных систем РАН (Пере-славль-Залесский, 2008);
научном семинаре по проблемам оптимального управления Иркутского государственного университета (Иркутск, 2008,2009);
научном семинаре Института динамики систем и теории управления СО РАН (Иркутск, 2008);
научных конференциях и семинарах Бурятского государственного университета (2001 - 2009).
Некоторые результаты диссертационного исследования вошли в отчеты по грантам Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 05-01-00659,07-01-90101, 08-01-00945,09-01-90203).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 18 работ. Наиболее значимые результаты представлены в работах [1]—[16]. В число указанных работ входят 3 статьи [1-3] из «Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ 2008 г.», 2 статьи [4, 5] из «Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ 2001-2006 гг.», 3
статьи [10, 13, 14] в научных сборниках, 2 статьи [15, 16] в зарубежных журналах, б полных текстов докладов [6-9, 11, 12] в материалах международных и всероссийских конференций. Работы [1-3, 15, 16] выполнены в нераздельном соавторстве с научным руководителем.
Структура н объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 133 наименований. Общий объем работы составляет 102 страницы, включая 6 таблиц и 24 рисунка.
