Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные методы исследования игровых задач управления биоресурсами 9
1.1. Модель с конечным временем 9
1.1.1. Решение оптимальное по Нэшу 10
1.1.2. Решение оптимальное по Штакельбергу 14
1.2. Модель с бесконечным временем 21
1.2.1. Решение оптимальное по Нэшу 22
1.2.2. Решение оптимальное по Штакельбергу 26
Глава 2. Теоретико-игровые модели управления биологической популяцией с введением заповедной зоны 33
2.1. Модели управления биоресурсами с линейной функцией выигрыша 33
2.1.1. Дискретная модель 33
2.1.2. Непрерывная модель 35
2.2. Игровые модели в случае равномерного распределения 39
2.2.1. Игровая модель для одного участника 39
2.2.2. Игровая модель для двух участников 48
2.2.2.1. Случай кооперации 48
2.2.2.2. Случай конфликта 51
2.3. Игровые модели с функцией распределения пищи в водоеме 54
2.3.1. Модель для одного участника 54
2.3.2. Модель для двух участников 58
Глава 3. Модели, учитывающие неоднородность структуры популяции и ее распределения в водоеме 63
3.1. Игровые модели развития возрастно-структурированной популяции в водоеме 63
3.1.1. Модель с выловом одной возрастной группы 63
3.1.2. Модель с двумя возрастными группами 66
3.1.3. Модель с тремя возрастными группами и искусственным воспроизводством 73
3.1.4. Модель с тремя возрастными группами и естественным воспроизводством 77
3.2. Игровые модели, учитывающие миграцию 79
3.2.1. Модель с квадратичной функцией развития 79
3.2.2. Модель с линейной функцией развития 81
3.2.2.1. Решение оптимальное по Нэшу 82
3.2.2.2. Решение оптимальное по Штакельбергу 84
3.2.3. Модель с бесконечным временем 87
3.2.3.1. Решение оптимальное по Нэшу 87
3.2.3.2. Решение оптимальное по Штакельбергу 89
Глава 4. Моделирование задачи с различными критериями оптимальности и сравнение результатов 92
4.1. Сравнение различных критериев оптимальности 92
4.1.1. Случай постоянного s 92
4.1.2. Случай непрерывного s(t).
Модель развития популяции с функционалом h 96
4.1.2.1. Решение оптимальное по Нэшу 98
4.1.2.2. Решение оптимальное по Штакельбергу 101
4.2. Примеры моделирования динамики развития популяций озер Карелии 104
4.2.1. Модель однородной популяции 106
4.2.2. Модель с возрастной структурой и произвольным распределением 108
4.2.3. Модель с миграцией 110
4.2.4. Модель с миграцией между районами 111
Заключение 116
Список литературы 118
Приложение 1 125
- Решение оптимальное по Нэшу
- Непрерывная модель
- Игровые модели с функцией распределения пищи в водоеме
- Модель с тремя возрастными группами и естественным воспроизводством
Введение к работе
Задачи управления биологическими популяциями чрезвычайно актуальны. Одной из таких задач является рациональное использование промысловых рыбных популяций. Для эффективного решения поставленной проблемы необходимо количественное обоснование соотношений между величинами рыбных ресурсов и интенсивностью промысла, а также точное определение возможного предела увеличения вылова. Отсутствие возможности непосредственной регистрации обилия рыб и определяемая этим необходимость использования косвенных способов оценивания состояния их запасов является одной из причин того, что в промыслово-биологические исследования активно проникают математические методы.
Математическое моделирование динамики биологических популяций не только актуальная, но и чрезвычайно интересная проблема. Существование биологического объекта в составе экосистемы обуславливается как закономерными внутренними процессами, такими как репродукция, рост, питание, смертность и др., так и случайными внешними явлениями, которые оказывают непосредственное влияние на протекание процессов жизнедеятельности. Для описания процессов воспроизводства и смертности существует ряд аналитических моделей, например, модели Мальтуса (1798 г.), Ферхюльста-Пирла (Verhulst, 1838), Олли (АПее, 1931), Риккера (Ricker, 1954). Простейшая модель питания была предложена Лоткой (Lotka, 1925) и Вольтерра (Volterra, 1926, 1931) и послужила толчком к развитию современной математической экологии. Разработан класс матричных и непрерывных моделей, учитывающих внутреннюю возрастную структуру популяции, простейшей из которых является модель Лесли (1945) (см. также, например, Свирежев, Логофет, 1978, Шапиро, Скалецкая, Фрисман, 1979).
Сложившаяся неблагоприятная экологическая ситуация диктует необходимость математического моделирования с целью выработки стратегий рационального управления промысловыми биологическими видами и введения природоохранных мер на основе полученных экспертных оценок. В данной работе рассматривается модель динамической игры управления биоресурсами (выловом рыбы). В игре участвует центр (государство), которое назначает долю запретной для вылова (заповедной) части водоема, и игроки (рыболовецкие артели), производящие вылов биоресурсов. В традиционной постановке задачей центра является регулирование вылова путем введения квот на вылов рыбы. В данной работе задача центра - выбор оптимальной доли заповедной территории для поддержания стабильного развития популяции в водоеме в долгосрочной перспективе и определение возможного вылова, достаточного для удовлетворения спроса. Сама постановка задачи является оригинальной. Кроме того, важен и прикладной аспект, поскольку практически организация такой природоохранной схемы значительно проще, чем регулирование вылова через квоты.
Исследованиям моделей управления биологическими популяциями посвящено большое количество работ. Классические модели динамики рассмотрены в работах Гимельфарба А.А., Гинзбурга Л.Р., Полуэктова Р.А., Пыха Ю.А., Ратнера В.А. (1974), Goh B.S. (1980), Clark C.W. (1985). Работы Батурина В.А., Соловьева Н.Г. (1984), Селютина (2000) посвящены моделям, учитывающим миграцию. Разработкой моделей оптимального управления взаимодействующих видов занимались такие авторы, как Silvert W, Smith W.R. (1977), Базыкин А.Д, (1985), Chaudhuri К. (1986). Дискретные модели развития популяций рассмотрены в работах Скалецкой Е.И., Фрисмана Б.Я., Шапиро А.П. (1979), Шапиро А.П. (1979), Абакумова А.И. (1993), Иль-
ичева В.Г., Рохлина Д.Б., Угольницкого Г.А. (2000). Моделям с возрастной структурой посвящены работы Свирежева Ю.М., Тимофеева Н.Н. (1972), Гурмана В.И., Дружининой И.П. (1978), Батурина В.А., Соловьевой Н.Г. (1984), Абакумова А.И. (1991).
Разработке теоретико-игрового подхода к задачам управления биоресурсами были посвящены такие работы как Hamalainen R.P., Kaitala V., Haurie А. (1984), Haurie A., Tolwinski В. (1984), Tolwinski В., Haurie A., Leitmann G. (1986). Оптимальные по Парето управления получены в работах Ehtamo Н., Hamalainen R.P (1993, 1995). В работах Петросяна А.А., Захарова В.В. (1986, 1997) получены оптимальные по Нэшу управления взаимодействующими популяциями, а в работе Kunshenko Е., Zakharov V. (1999)- оптимальные по Штакельбергу управления.
Целью диссертационной работы является построение теоретико-игровых моделей управления биоресурсами и их исследование с помощью методов динамических игр, а также построение управлений игроков с использованием различных критериев оптимальности. Причем, основной акцент делается на обоснование введения заповедной зоны, размер которой является стратегией центра.
Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и приложений; включает 147 страниц, 42 таблицы и 128 графиков.
В первой главе рассмотрены основные методы исследования игровых задач управления биоресурсами, а именно принцип максимума Понтрягина и уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Исследована модель развития биологической популяции, подверженной эксплуатации двумя игроками. Используя эти методы, найдены оптимальные по Нэшу и Штакельбергу решения.
Во второй главе рассмотрены теоретико-игровые модели управления биологической популяцией с введением заповедной зоны. Исследованы дискретная и непрерывная линейные модели. Рассмотрены модели динамики популяции для равномерного и неравномерного распределения, исследованы случаи участия одного и двух игроков.
В третьей главе исследованы различные модели развития возрастно-структурированной популяции в водоеме, а также рассмотрено влияние миграции в моделях управления биологической популяцией.
Четвертая глава посвящена моделированию задачи с различными критериями оптимальности в моделях с постоянной и непрерывной долей заповедной территории. Исследованы различные сценарии динамики развития популяций озер Карелии.
Основными положениями, выносимыми на защиту, являются:
На основе методов динамических игр разработаны модели управления биоресурсами с введением охраняемой территории.
Построены оптимальные по Нэшу и Штакельбергу управления в задаче управления популяцией, распределенной по территории.
Построены оптимальные управления в моделях, учитывающих неоднородность структуры популяции и миграцию.
Проведено сравнение решений в задачах управления биоресурсами путем введения заповедной зоны с использованием различных критериев оптимальности.
Проведены модельные расчеты нахождения оптимальных природоохранных мер на примере озер Карелии, которые показали возможность применения данного подхода как для стабильно развивающихся, так и для регрессирующих популяций.
Решение оптимальное по Нэшу
Исследуем функцию А( ) = g2ci2cfjg+C2 + 2/іЄ + 2/2e" , где h О, а знак І2 определяется знаком выражения 2(#о — х) + XQE2C. Тогда 12 положительно при 1) х XQ и 2)х хо и с -Щ- 2, а при х хо и с z 2 h отрицательно. Рассмотрим производную \ {t) = 2y/D{l\e Dt — l2e Dt). Тогда при 12 0 производная всегда отрицательна и в Т \{t) должна попасть в нуль. Следовательно \{t) положительная, убывающая функция. При 12 О существует стационарная точка, которая, как нетрудно показать является точкой максимума. Следовательно X(t) пересекает ось t два раза, причем второй раз в Т. Окончательно, при х XQ И с \ 1 условием для положительности управлений является А(0) 0. Тогда Разделим А(0) на 2с и так как знаменатель всегда положителен, то будем рассматривать только числитель выражения -$. Преобразовав, получим выражение для числителя достаточно больших Т, знак выражений А и В определяется первыми слагаемыми. Тогда условие положительности А(0) примет вид что эквивалентно 2. Докажем оптимальность такого управления. На промежутке [Ц,Т] мы пользуемся принципом максимума Понтрягина, докажем достаточность. Пусть решение системы {x (t), u (t)}. Рассмотрим возмущение полученного решения x {t) + Ах и u (t) + Aw. Тогда x (t) удовлетворяет уравнению (1.1), а Ах удовлетворяет уравнению Ах = є Ах — Aw (т.к. (х ) Выигрыш при оптимальном поведении равен Возмущенный выигрыш равен Рассмотрим разницу выигрышей = ffo ci(Aw)2 + {Axfdt 0 что доказывает, что u (t) является оптимальным для 1-го игрока. Аналогично доказывается, что v (t) является оптимальным для 2-го игрока. Мы доказали оптимальность выбранного управления на промежутке [о,Т]. На промежутке [0,о] У нас нулевое управление и оно является оптимальным, т.к. to является решением соответствующей оптимизационной задачи. Оптимальность управления, определяемого из (1.3) и (1.4) доказывается аналогично управлению на fo L только промежуток интегрирования равен [0,Т].
Для нахождения оптимальных управлений воспользуемся принципом максимума Понтрягина, модифицированным для двухшаговых игр. Составим Гамильтониан для 2-го игрока: Константы pj, 2 = 1...4 определяются начальными условиями. Результаты моделирования можно увидеть в Приложении 1, раздел 1.2. Результаты расчетов, приведенные на рис.8, 9 показывают, что в случае равновесия по Штакельбергу также существует проблема отрицательности управления. Рис.11, 12 указывают на то, что положительные управления могут быть только при очень больших затратах, что на практике невыполнимо. Но даже при этом управление 1-го игрока близко к нулю. Поэтому мы будем пользоваться способом, рассмотренным в разделе 1.1.1. Выделим две точки: на [0, t\] оба игрока не ведут вылов, на [t\, to] управляет 1-ый игрок, а после to - второй. Рассмотрим случай с\ = с2 = с. На промежутке [0, t\] управления обоих игроков равны нулю. На [ i, o]: v(x) = 0 и тогда задача для 1-го игрока на этом промежутке имеет вид X (t) = x(t) - U(t) , X(ti) = XQeeh J\ = Itl(x(t) - xf + cu2(t)] dt - min . Обозначим на этом промежутке x(t) = x\{t). Применив принцип максиму ма Понтрягина, получим систему =0. Ha [ oj 1]: u(x) = 0 и тогда задача для 2-го игрока имеет вид Обозначим на этом промежутке ж() = X2(t). Применив принцип максимума Потнрягина, получим систему Для определения точек t\ и to необходимо решать задачу оптимизации 2-х переменных для первого игрока что точки ti и to совпадают. Производная F по t\ равна Представим F/x в виде: F = ( ) - 1 + ( ), системы является где D = L- -, а /і, /2 определяются из начальных условий. Тогда Легко показать, что при t\ = to А также при i = io Ai( o) = 0 = ( ) = 0. Таким образом, минимум функции F достигается при t\ = to. Доказанный выше факт совпадения точек t\ и to дает нам переформулировку задачи следующим образом: первый игрок не ведет вылов на всем промежутке времени, а только определяет оптимальную для себя точку to. Второй игрок ведет вылов на промежутке [ о5Г]. Таким образом, второй игрок решает систему x (t) = x(t)- , x(t0) = x0e« X 2(t) = -2(x{t) -x)- e\2(t), A2(T) = 0, а первый игрок определяет to как решение задачи минимизации
Непрерывная модель
Динамика развития рыбной популяции с учетом вылова описывается уравнением: где x(t) 0 - размер популяции в период t, f - функция развития популяции, s(t) - доля запретной для вылова (заповедной) части водоема. Предположим, что популяция развивается в соответствии с непрерывной моделью Ферхюльста вида: где г - коэффициент внутреннего роста, а К - максимальная емкость природного объекта. Рассмотрим следующую функцию выигрыша игрока на бесконечном периоде времени: оптимальное решение следующей задачи: где x[t) определяется из (2.3). При решении этой задачи воспользуемся методом динамического программирования. Пусть х - начальное значение численности. Функция Бел-лмана В(х) удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби-Беллмана: Обозначим u(t) = (1 - s(t))x(t) и пусть p((l - s(t))x(t)) = (1 - s(t))x(t). Тогда уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана (HJB) примет вид: Найдем максимум no w / Подставив в уравнение HJB, получим выражение для и в уравнение для х, получим ( ) =-x + (( )2(r + l)2 4г(ВІ)2 Решая численно с начальными условиями V(0) = 0 и х(0) = хо, можно заметить, что вид управлений аналогичен случаю дискретного времени. Теорема 2.2. Пусть р((1 — s(t))x(t)) = (1 — s(t))x(t). Тогда оптимальное управление имеет вид s(x) = min(l, х /х), а функция Беллмана определяется соотношениями Доказательство. Обозначим и = (1 — s(t))x(t). Тогда уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана имеет вид 1. Имеет место неравенство /?/ (0) 1. Для доказательства этого факта заметим, что если оно не выполнено, то оптимальным является вылов всей популяции уже в первый год: и(х) = 0. В этом случае В(х) = j - решение уравнения ( ) = тах- -и Н -г[х — и) У, причем максимум достигается при и = х. Тогда обозначим х - единственный корень уравнения f3f (x) = 1. Заметим, что тогда, функция (3f(x) — x возрастает при х х и убывает при х х . Рассмотрев производную по и, а именно 1 — (5В {х) — (3f (x — и)В {х), заметим, что при х х выражение В (х)((3 + 1) — 1 положительно. 2. Докажем, что функция является неубывающей. Обозначим z = х — и. Тогда Рассмотрим Х2 x\. Тогда 0 .Z .X2 Далее 3. Случай х х . Рассмотрим р(х) = х. Снова обозначим z = х — и. Тогда В(х) = max {ж - z + /3B x{x)(f(z) - х + z)} . Или В[х) -х + (ЗВ {х)х = vggx{pB x(x)(f(z) + z)-z} = = твх{В (х)(/3/( ) " ) + (В {х)ф + 1) - 1)} . Вспомним, что при х х функция /3f (х)— х возрастает, В (х)(/3 + 1)-1 положительно. Следовательно, максимум достигается при z=х= и=0. Подставив, получим, что при х х функция Беллмана имеет вид 4. Случай х х . Будем искать В{х) в виде В{х) = тд — х + В(х ). Подставляя это выражение при х = х в полученное ранее выражение для В(х) при х х , получим Далее подставим выражение для В(х) в уравнение в виде В(х) -х + /ЗВ (х)х = max{B (x)(Pf(z) - z) + z(B (x){(3 + 1)- 1)} . и разобьем промежуток [0,х] на два: [0, ж ] и [х , х]. Получим В(х ) -х + /ЗВ (х )х = max{gb q2} . Рассмотрим qi = mm{B (x)(Pf(z) -z) + z(B\x){(3 + 1)- 1)} . Согласно предыдущему пункту максимум достигается при z = х . Тогда qi = В(х ) - х +(ЗВ (х )х = В(х ) - -Г —БХ . Рассмотрим й = %x{B (x)(j3f( ) " ) + В (х)((3 + 1) - 1)} .
Вспомним, что (3f(x) — х убывает при х х . А так как мы выбрали В(х) специального вполучим ( ) =-x + (( )2(r + l)2 4г(ВІ)2 Решая численно с начальными условиями V(0) = 0 и х(0) = хо, можно заметить, что вид управлений аналогичен случаю дискретного времени. Теорема 2.2. Пусть р((1 — s(t))x(t)) = (1 — s(t))x(t). Тогда оптимальное управление имеет вид s(x) = min(l, х /х), а функция Беллмана определяется соотношениями Доказательство. Обозначим и = (1 — s(t))x(t). Тогда уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана имеет вид 1. Имеет место неравенство /?/ (0) 1. Для доказательства этого факта заметим, что если оно не выполнено, то оптимальным является вылов всей популяции уже в первый год: и(х) = 0. В этом случае В(х) = j - решение уравнения ( ) = тах- -и Н -г[х — и) У, причем максимум достигается при и = х. Тогда обозначим х - единственный корень уравнения f3f (x) = 1. Заметим, что тогда, функция (3f(x) — x возрастает при х х и убывает при х х . Рассмотрев производную по и, а именно 1 — (5В {х) — (3f (x — и)В {х), заметим, что при х х выражение В (х)((3 + 1) — 1 положительно. 2. Докажем, что функция является неубывающей. Обозначим z = х — и. Тогда Рассмотрим Х2 x\. Тогда 0 .Z .X2 Далее 3. Случай х х . Рассмотрим р(х) = х. Снова обозначим z = х — и. Тогда В(х) = max {ж - z + /3B x{x)(f(z) - х + z)} . Или В[х) -х + (ЗВ {х)х = vggx{pB x(x)(f(z) + z)-z} = = твх{В (х)(/3/( ) " ) + (В {х)ф + 1) - 1)} . Вспомним, что при х х функция /3f (х)— х возрастает, В (х)(/3 + 1)-1 положительно. Следовательно, максимум достигается при z=х= и=0. Подставив, получим, что при х х функция Беллмана имеет вид 4. Случай х х . Будем искать В{х) в виде В{х) = тд — х + В(х ). Подставляя это выражение при х = х в полученное ранее выражение для В(х) при х х , получим Далее подставим выражение для В(х) в уравнение в виде В(х) -х + /ЗВ (х)х = max{B (x)(Pf(z) - z) + z(B (x){(3 + 1)- 1)} . и разобьем промежуток [0,х] на два: [0, ж ] и [х , х]. Получим В(х ) -х + /ЗВ (х )х = max{gb q2} . Рассмотрим qi = mm{B (xида, то выражение во вторых скобках равно нулю. Тогда максимум достигается при z = х . Имеем q2 = B (x )((3f(x ) - х ) + х (В\х )(р + 1) - 1). Согласно тому, что В (х ) = у : q2 = r -xfix ) l—x = В(х ) - т —rx . 4 1+/TV 1+(3 K ) 1+(3 Получили, что значения q\ и q2 совпадают, что завершает доказательство. При этом и = х — х . Результаты моделирования данного сценария приведены в Приложении 2, раздел 1.2.
Игровые модели с функцией распределения пищи в водоеме
Рассмотрим случай, учитывающий неравномерность распределения рыбы в водоеме. Представим водоем как отрезок [0,1]. На нем задана плотность распределения пищи - g{s), s Є [0,1]. Предположим для удобства fg(s)ds = 1. Согласно закону идеального свободного распределения рыба распределяется пропорционально пище. Обозначим x(t) - объем популяции в период времени t, тогда в данной точке s плотность рыбной популяции будет x(t)g(s). В данном разделе центр определяет долю заповедной части водоема, обозначаемую отрезком [а, Ь], и вылов ведет рыболовецкая артель на п будущий доход от эксплуатации запасов в конечный момент времени Т и h (x) 0, h" (х) 0. Переписав функцию выигрыша, получаем и выполнены следующие условия: Доказательство. Доказательство аналогично приведенному в разделе 2.2.1. Подставляя найденное оптимальное E (t) в (2.12) и уравнение для X(t), получаем следующую систему уравнений: x(Q) = xQi X(T) = h x(x (T)). Для численного моделирования в системе Maple использовались функции распределения пищи g(s) следующих видов: b где U(t) = qE(f)(l — /g(s)ds)x(t) - количество рыбы, выловленной игроком в момент времени t, x(t) - уровень потребления, определяемый спросом, U(q,s(t),x(t),E(t)) —р- kqE(t)(l - s(t))x(t), р,к 0. Для различных значений а и Ъ получены значения выигрышей J, 1\, І2 и /з- Среди точек, определяемых данными выигрышами и составляющих оптимальное по Парето множество, найдено оптимальное по Нэшу решение. Также определено решение, оптимальное по критерию Калаи-Смородинского. Графики выигрышей центра и игрока приведены на рис.3.1-3.3. Кружком обозначены оптимальные по Нэшу решения, а квадратом - по Калаи-Смородинскому. Таблицы выигрышей игроков приведены в Приложении 2, разделе 1.7. В данном разделе, как и выше, центр определяет долю заповедной части водоема, обозначаемую отрезком [а,Ь], и вылов ведут две рыболовецкие артели на протяжении Т периодов времени. На разрешенной для вылова ь территории водоема численность популяции равна x(t) — x(t) f g(s)ds. Тогда динамика развития рыбной популяции с учетом вылова описывается уравнением: где x(t) 0 - размер рыбной популяции в период t, F - функция развития популяции, Ei(t) 0, і = 1,2 - рыболовецкие усилия артелей, измеряемые в количестве кораблей, участвующих в ловле в период t и дг- 0, і = 1,2 -коэффициент возможного вылова на единицу рыболовецких усилий артелей. Как в разделе 2.3.1, функция F(x) имеет вид: В этом варианте выигрыш игрока г, г = 1,2 запишется таким образом: Ji = hi(x(T))+ где pi - коэффициент дисконтирования, с - цена вылова единицы рыбы, П; - функция цены, определенная как ь Ui(qi,a,b,x(t),Ei(t)) =pi - a и функция h(x), описывающая будущий доход от эксплуатации ротяжении Т периодов времени. На разрешенной для вылова территории водоема ъ численность популяции равна x(t) — x(t) f g(s)ds. Тогда динамика развития рыбной популяции с учетом вылова описыва где x(t) 0 - размер популяции в период t, F - функция развития популяции, E{t) 0 - рыболовецкие усилия артели, измеряемые в количестве кораблей, участвующих в ловле в период t и q 0 - коэффициент возможного вылова на единицу рыболовецких усилий артели. Популяция развивается в соответствии с моделью
Ферхюльста вида: где г - коэффициент внутреннего роста, а К - максимальная емкость природного объекта. Выигрыш игрока запишется таким образом: где p - коэффициент дисконтирования, с0 - затраты на вылов для одного судна и П - функция цены, определенная как Функция h(x) описывает будущий доход от эксплуатации запасов в конечный момент времени Т и h (x) 0, h" (х) 0. Переписав функцию выигрыша, получаем и выполнены следующие условия: Доказательство. Доказательство аналогично приведенному в разделе 2.2.1. Подставляя найденное оптимальное E (t) в (2.12) и уравнение для X(t), получаем следующую систему уравнений: x(Q) = xQi X(T) = h x(x (T)). Для численного моделирования в системе Maple использовались функции распределения пищи g(s) следующих видов: b где U(t) = qE(f)(l — /g(s)ds)x(t) - количество рыбы, выловленной игроком в момент времени t, x(t) - уровень потребления, определяемый спросом, U(q,s(t),x(t),E(t)) —р- kqE(t)(l - s(t))x(t), р,к 0. Для различных значений а и Ъ получены значения выигрышей J, 1\, І2 и /з- Среди точек, определяемых данными выигрышами и составляющих оптимальное по Парето множество, найдено оптимальное по Нэшу решение. Также определено решение, оптимальное по критерию Калаи-Смородинского. Графики выигрышей центра и игрока приведены на рис.3.1-3.3. Кружком обозначены оптимальные по Нэшу решения, а квадратом - по Калаи-Смородинскому. Таблицы выигрышей игроков приведены в Приложении 2, разделе 1.7. В данном разделе, как и выше, центр определяет долю заповедной части водоема, обозначаемую отрезком [а,Ь], и вылов ведут две рыболовецкие артели на протяжении Т периодов времени. На разрешенной для вылова ь территории водоема численность популяции равна x(t) — x(t) f g(s)ds. Тогда динамика развития рыбной популяции с учетом вылова описывается уравнением: где x(t) 0 - размер рыбной популяции в период t, F - функция развития популяции, Ei(t) 0, і = 1,2 - рыболовецкие усилия артелей, измеряемые в количестве кораблей, участвующих в ловле в период t и дг- 0, і = 1,2 -коэффициент возможного вылова на единицу рыболовецких усилий артелей. Как в разделе 2.3.1, функция F(x) имеет вид: В этом варианте выигрыш игрока г, г = 1,2 запишется таким образом: Ji = hi(x(T))+ где pi - коэффициент дисконтирования, с - цена вылова единицы рыбы, П; - функция цены, определенная как ь Ui(qi,a,b,x(t),Ei(t)) =pi - a и функция h(x), описывающая будущий доход от эксплуатации запасов в конечный момент времени Г, имеет такой же вид как в разделе 2.3.1. Функции выигрыша для і = 1,2 представим в следующем виде:
Модель с тремя возрастными группами и естественным воспроизводством
Задачи управления биологическими популяциями чрезвычайно актуальны. Одной из таких задач является рациональное использование промысловых рыбных популяций. Для эффективного решения поставленной проблемы необходимо количественное обоснование соотношений между величинами рыбных ресурсов и интенсивностью промысла, а также точное определение возможного предела увеличения вылова. Отсутствие возможности непосредственной регистрации обилия рыб и определяемая этим необходимость использования косвенных способов оценивания состояния их запасов является одной из причин того, что в промыслово-биологические исследования активно проникают математические методы. Математическое моделирование динамики биологических популяций не только актуальная, но и чрезвычайно интересная проблема. Существование биологического объекта в составе экосистемы обуславливается как закономерными внутренними процессами, такими как репродукция, рост, питание, смертность и др., так и случайными внешними явлениями, которые оказывают непосредственное влияние на протекание процессов жизнедеятельности. Для описания процессов воспроизводства и смертности существует ряд аналитических моделей, например, модели Мальтуса (1798 г.), Ферхюльста-Пирла (Verhulst, 1838), Олли (АПее, 1931), Риккера (Ricker, 1954). Простейшая модель питания была предложена Лоткой (Lotka, 1925) и Вольтерра (Volterra, 1926, 1931) и послужила толчком к развитию современной математической экологии. Разработан класс матричных и непрерывных моделей, учитывающих внутреннюю возрастную структуру популяции, простейшей из которых является модель Лесли (1945) (см. также, например, Свирежев, Логофет, 1978, Шапиро, Скалецкая, Фрисман, 1979). Сложившаяся неблагоприятная экологическая ситуация диктует необходимость математического моделирования с целью выработки стратегий рационального управления промысловыми биологическими видами и введения природоохранных мер на основе полученных экспертных оценок. В данной работе рассматривается модель динамической игры управления биоресурсами (выловом рыбы). В игре участвует центр (государство), которое назначает долю запретной для вылова (заповедной) части водоема, и игроки (рыболовецкие артели), производящие вылов биоресурсов. В традиционной постановке задачей центра является регулирование вылова путем введения квот на вылов рыбы. В данной работе задача центра - выбор оптимальной доли заповедной территории для поддержания стабильного развития популяции в водоеме в долгосрочной перспективе и определение возможного вылова, достаточного для удовлетворения спроса.
Сама постановка задачи является оригинальной. Кроме того, важен и прикладной аспект, поскольку практически организация такой природоохранной схемы значительно проще, чем регулирование вылова через квоты. Исследованиям моделей управления биологическими популяциями посвящено большое количество работ. Классические модели динамики рассмотрены в работах Гимельфарба А.А., Гинзбурга Л.Р., Полуэктова Р.А., Пыха Ю.А., Ратнера В.А. (1974), Goh B.S. (1980), Clark C.W. (1985). Работы Батурина В.А., Соловьева Н.Г. (1984), Селютина (2000) посвящены моделям, учитывающим миграцию. Разработкой моделей оптимального управления взаимодействующих видов занимались такие авторы, как Silvert W, Smith W.R. (1977), Базыкин А.Д, (1985), Chaudhuri К. (1986). Дискретные модели развития популяций рассмотрены в работах Скалецкой Е.И., Фрисмана Б.Я., Шапиро А.П. (1979), Шапиро А.П. (1979), Абакумова А.И. (1993), Иль ичева В.Г., Рохлина Д.Б., Угольницкого Г.А. (2000). Моделям с возрастной структурой посвящены работы Свирежева Ю.М., Тимофеева Н.Н. (1972), Гурмана В.И., Дружининой И.П. (1978), Батурина В.А., Соловьевой Н.Г. (1984), Абакумова А.И. (1991). Разработке теоретико-игрового подхода к задачам управления биоресурсами были посвящены такие работы как Hamalainen R.P., Kaitala V., Haurie А. (1984), Haurie A., Tolwinski В. (1984), Tolwinski В., Haurie A., Leitmann G. (1986). Оптимальные по Парето управления получены в работах Ehtamo Н., Hamalainen R.P (1993, 1995). В работах Петросяна А.А., Захарова В.В. (1986, 1997) получены оптимальные по Нэшу управления взаимодействующими популяциями, а в работе Kunshenko Е., Zakharov V. (1999)- оптимальные по Штакельбергу управления. Целью диссертационной работы является построение теоретико-игровых моделей управления биоресурсами и их исследование с помощью методов динамических игр, а также построение управлений игроков с использованием различных критериев оптимальности. Причем, основной акцент делается на обоснование введения заповедной зоны, размер которой является стратегией центра. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и приложений; включает 147 страниц, 42 таблицы и 128 графиков. В первой главе рассмотрены основные методы исследования игровых задач управления биоресурсами, а именно принцип максимума Понтрягина и уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Исследована модель развития биологической популяции, подверженной эксплуатации двумя игроками. Используя эти методы, найдены оптимальные по Нэшу и Штакельбергу решения.
