Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 9
1.1 Элементы топологии 9
1.2 Элементы функционального анализа 11
1.3 Элементы выпуклого анализа 16
1.4 Элементы абстрактного выпуклого анализа 20
1.5 Элементы негладкого анализа и теории многозначных отображений 23
2 Абстрактные выпуклые аппроксимации негладких функций 28
2.1 Вспомогательные построения 28
2.2 Абстрактно кодифференцируемые функции 30
2.3 Абстрактно выпуклые аппроксимации 34
2.4 Исчисление абстрактно кодифференцируемых функций 35
2.5 Необходимые условия экстремума 40
2.6 Примеры H–кодифференцируемых функций 43
3 Кодифференцируемые функции 51
3.1 Предварительные сведения 51
3.2 Определение кодифференцируемости 54
3.3 Исчисление непрерывно кодифференцируемых функций 60
3.4 Необходимые условия экстремума кодифференцируемых функций 65
3.5 Некоторые свойства кодифференцируемых функций 69
3.6 Метод кодифференциального спуска 74
3.6.1 Формулировка метода 75
3.6.2 Вспомогательные результаты 76
3.6.3 Исследование метода кодифференциального спуска 80
3.6.4 Сходимость метода кодифференциального спуска 83
4 Исчерпывающие семейства неоднородных выпуклых аппроксимаций 86
4.1 Определение неоднородных выпуклых аппроксимаций 86
4.2 Исчисление неоднородных верхних выпуклых и нижних вогнутых аппроксимаций 89
4.3 Условия экстремума 93
4.4 Метод спуска 100
4.4.1 Описание метода спуска 101
4.4.2 Исследование метода спуска 103
4.4.3 Сходимость метода спуска 105
4.4.4 Метод спуска и метод кодифференциального спуска 106
5 Приложенияк задачам вариационного исчисления 110
5.1 Одна негладкая классическая задача вариационного исчисления 110
5.2 Негладкая задача Больца 115
5.3 Минимаксная задача вариационного исчисления 122
Заключение 125
Список обозначений 127
Литература 130
- Элементы абстрактного выпуклого анализа
- Исчисление абстрактно кодифференцируемых функций
- Некоторые свойства кодифференцируемых функций
- Исчисление неоднородных верхних выпуклых и нижних вогнутых аппроксимаций
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Негладкий анализ, как раздел математики, изучающий недифференцируемые функции, в первую очередь в связи с теорией негладких экстремальных задач, сформировался во второй половине XX века под влиянием работ В.Ф. Демьянова, А.М. Рубинова, Н.З. Шора, Б.Н. Пшеничного, А.Д. Иоффе, Ф. Кларка, Дж. Варги и многих других авторов. Основными инструментами исследования в негладком анализе являются производная по направлениям и субдифференциал, а также их многочисленные обобщения, такие как верхняя и нижняя производные Кларка, субдифференциал Кларка, проксимальный субдифференциал и субдифференциал Мишеля–Пено. Общим свойством всех обобщений понятий производной по направлениям и субдифференциала является тот факт, что все они определяют некоторую положительно однородную аппроксимацию приращения функции. Одним из наиболее продуктивных методов исследования производных по направлениям негладких функций является метод, основанный на понятии экзо-стера, поскольку данный метод позволяет выражать удобным образом условия экстремума негладкой функции, а также строить направления спуска и подъёма данной функции. Однако, в негладком случае производная по направлениям, как и её обобщения, не является непрерывной функцией точки, что существенно затрудняет построение эффективных численных методов решения негладких оптимизационных задач. Поэтому В.Ф. Демьянов ввёл понятие кодифференцируемой функции и кодифференциала с помощью которого строится неоднородная аппроксимация приращения негладкой функции. Для очень широкого класса негладких функций кодифференциальное отображение является непрерывным в метрике Хаусдорфа, что позволяет строить эффективные методы недифференцируемой оптимизации на основе понятия кодифференциала. Отметим здесь замечательное свойство метода кодиф-ференциального спуска “обходить” некоторые точки локального минимума, существенно отличающее данный метод от других методов гладкой и негладкой оптимизации. Ещё одним преимуществом подхода, основанного на кодифференцируемости, является наличие удобного исчисления кодифференцируемых функций, построенного В.Ф. Демьяновым и А.М. Рубиновым, в то время как для большинства обобщений понятий субдифференциала и производной по направлениям не существует полноценного исчисления. Дальнейшим обобщением понятия кодифференциала является понятие верхнего и нижнего коэкзостера, с помощью которого также определяется неоднородная аппроксимация приращения функции.
Одной из актуальных задач, стоящих в настоящее время, является дальнейшее развитие теории неоднородных аппроксимаций негладких функций, как одного из наиболее эф-
фективных инструментов исследования негладких задач.
Целью диссертации является построение общей теории неоднородных аппроксимаций негладких функций на основе идей абстрактного выпуклого анализа, развитие теории кодифференцируемости и неоднородных выпуклых аппроксимаций в нормированных пространствах, а также их применение к исследованию различных экстремальных задач.
Теоретическая значимость работы состоит в том, что в ней развивается общая теория аппроксимаций негладких функций, позволяющая решать различные негладкие экстремальные задачи. В диссертации строится исчисление абстрактных выпуклых аппроксимаций негладких функций, впервые приводятся многочисленные свойства кодифференцируе-мых функций, а также детально изучается метод кодифференциального спуска и развивается аппарат исчерпывающих семейств неоднородных выпуклых аппроксимаций, являющийся удобным инструментом исследования различных оптимизационных задач.
Практическая значимость работы определяется тем, что в ней разработан общий подход к построению различных аппроксимаций негладких функций и изучению различных экстремальных задач с ограничениями. Кроме того, в диссертации подробно изучены метод кодифференциального спуска и метод спуска, основанный на неоднородных выпуклых аппроксимациях, позволяющие эффективно решать негладкие экстремальные задачи и строить новые численные методы решения гладких оптимизационных задач с ограничениями. Также в диссертации приведены различные приложения к задачам вариационного исчисления.
Научная новизна. Все основные научные результаты диссертации являются новыми.
Методы исследования. В диссертации применяются современные методы теории экстремальных задач, негладкого анализа и недифференцируемой оптимизации.
Основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту:
построено исчисление абстрактных выпуклых аппроксимаций негладких функций;
получены необходимые условия экстремума негладких функций в терминах абстрактных выпуклых аппроксимаций;
на основе абстрактных выпуклых аппроксимаций указана связь между квазидифференциалом, экзостером, кодифференциалом и коэкзостером;
понятия кодифференцируемости и коэкзостера обобщены на случай функций, определённых на нормированном пространстве;
получены многочисленные новые свойства кодифференцируемых функций;
обобщён и подробно изучен метод кодифференциального спуска;
построено исчисление исчерпывающих семейств неоднородных верхних выпуклых и нижних вогнутых аппроксимаций негладких функций;
построен и изучен метод спуска, основанный на неоднородных верхних выпуклых аппроксимациях;
выведены необходимые условия экстремума в некоторых негладких задачах вариационного исчисления.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции “Устойчивость и процессы управления”, посвящённой 80-ти летию со дня рождения В. И. Зубова (г. Санкт-Петербург, 1-2 июля, 2010 г.), международной конференции “Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы (CNSA-2012)” (г. Санкт-Петербург, 18-23 июня 2012 г), международной конференции “Обратные и некорректные задачи математической физики” (г. Новосибирск, 5-12 августа, 2012 г), 17 Саратовской зимней школе “Современные проблемы теории функций и их приложения” (г. Саратов, 27 января - 3 февраля, 2014 г.), XLI и XLII международных научных конференциях аспирантов и студентов “Процессы управления и устойчивость” (г. Санкт-Петербург, 5-8 апреля, 2010 г., 4-7 апреля, 2011 г.) и семинаре по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (математико — механический факультет, СПбГУ).
Публикации. По результатам исследований опубликовано 8 печатных работ, из которых две в соавторстве и две в изданиях, рекомендуемых ВАК.
Работы [2, 8] написаны в соавторстве. В работе [2] автору принадлежит доказательство основных результатов, В.Ф. Демьянову — общая постановка задач, идея метода кодифференциального спуска и идея приложения теории кодифференцируемых функций и теории точных штрафных функций к исследованию задач вариационного исчисления. В работе [8] автору принадлежит доказательство основного результата об эквивалентности методов наискорейшего и гиподифференциального спусков, Г.Ш. Тамасяну — общая постановка задачи.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, пяти глав, заключения, списка обозначений и списка литературы. Определения, предложения, теоремы, леммы, следствия, примеры и замечания нумеруются в соответствии с главой, параграфом, в которых они находятся. Формулы нумеруются в соответствии с главой, в которой они находятся. Объём работы составляет 140 страниц. Список литературы включает 128 наименований.
Элементы абстрактного выпуклого анализа
Пусть X — непустое множество, Н — непустое множество функций h: X — Ж. Для любых функций /,д:Х—їШ мы будем писать f д (либо д /), если для любого х Є X будет f(x) д(х). Будем говорить, что сумма г = f -\-д функций fиg корректно определена, если /_1(е) П д 1{—е) = 0, когда є Є {+оо, —оо}. Здесь, как обычно, /_1(е) — это полный прообраз элемента е при отображении /.
Будем говорить, что множество Н замкнуто относительно сложения, если для любых h\, I12 Є Н сумма h\ + Л-2 корректно определена и принадлежит Н (т. е. Н + Н С Н). Также будем говорить, что множество Н замкнуто относительно вертикальных сдвигов, если для любых с Є Ш. и h Є Н будет с + h Є Н. Обозначим (-Н) = { — h h Є Н}. Определение 1.4.1. Функция /: X — Ж называется абстрактно выпуклой по отношению к множеству Н (или ії-вьшуклой), если существует непустое множество U С Н такое, что
При этом будем говорить, что Д-выпуклая функция / порождена множеством U.
Определение 1.4.2. Функция /: X — Ж называется абстрактно вогнутой по отношению к множеству Н (или і7-вогнутой), если существует непустое множество V С Н такое, что
При этом будем говорить, что і7-вогнутая функция / порождена множеством V. Предложение 1.4.1. Справедливы следующие утверждения:
1. Пусть множество Н замкнуто относительно сложения, а функции /,д:Х—їШ являются Н-выпуклыми. Тогда функция / + g также является Н-выпуклой.
2. Пусть множество Н замкнуто относительно вертикальных сдвигов. Тогда для любой Н-выпуклой функции /:Х- КисЄІ функция с + / также Н-выпукла.
3. Пусть множество Н является конусом (т. е. для любых t 0 и h Є Н будет th Є Н), а функция f: X — Ж является Н-выпуклой. Тогда для любого Л 0 функция Л/ является Н-выпуклой, а для любого Л 0 функция Л/ является (—Н) -вогнутой.
Пусть /: X — Ж — произвольная функция. Множество supp+(/, Н) = {h Є Н / h} называется верхним опорным множеством функции / по отношению к множеству Н, а множество supp (/, Н) = {h Є Н h /} называется нижним опорным множеством функции / по отношению к множеству П. Нетрудно проверить, что функция / является -ff-выпуклой тогда и только тогда, когда
Аналогичное утверждение справедливо для і7-вогнутьіх функций.
Множество d Hf(x) = {h Є supp (/, H) f(x) = h(x)} называется H-субдифференциалом функции / в точке х, а множество d Hf(x) = {h Є supp+(/, H) f(x) = h(x)} называется Н-супердифференциалом функции / в точке х.
Отметим очевидное необходимое и достаточное условие минимума (максимума), выражаемое в терминах абстрактной выпуклости. Пусть множество Н содержит все постоянные функции h = с, с Є К. Тогда для того чтобы точка х Є X была точкой глобального минимума (максимума) функции / необходимо и достаточно, чтобы
Следующие теоремы, указывающие связь между выпуклым анализом и теорией абстрактной выпуклости, послужили основной мотивацией к развитию абстрактного выпуклого анализа.
Теорема 1.4.1. Пусть X — нормированное пространство, Н = X . Тогда функция /: X — Ж, не равная тождественно +оо является И-выпуклой тогда и только тогда, когда f является пн. сн. сублинейной функцией.
Теорема 1.4.2. Пусть X — нормированное пространство, множество Н состоит из всех непрерывных аффинных функций, т. е.
Тогда функция f: X — Ж, не равная тождественно +оо, является Н-выпуклой тогда и только тогда, когда / является собственной пн. сн. выпуклой функцией.
Укажем ещё одну общую теорему об .ff–выпуклых функциях.
Теорема 1.4.3. Пусть X — компактное метрическое пространство. Предположим, что множество Н удовлетворяет следующим условиям:
1. каждая функция h Є Н непрерывна на X;
2. Н является конусом;
3. для любых h Є Н и с 0 будет h + с Є Н;
4. для каждого z Є X существует функция h Є Н такая, что h(z) = 0, h(x) 0 для всех х ф z и h + 8 Є Н для всех достаточно малых 8 0.
Тогда функция /: X — IRU{+oo} является Н–выпуклой тогда и только тогда, когда / полунепрерывна снизу на X. 1.5 Элементы негладкого анализа и теории многозначных отображений
Пусть X, Y — нормированные пространства, Осі — открытое множество. Пусть S С X — произвольное множество. Напомним, что отображение F, сопоставляющее каждой точке х Є S некоторое, возможно пустое, подмножество пространства Y называется многозначным отображением и обозначается F: S =4 У.
При исследовании многозначных отображений важную роль играет понятие метрики Хаусдорфа.
Определение 1.5.1. Пусть А, В С X — ограниченые подмножества. Величина называется расстоянием Хаусдорфа между множествами А и В. Расстояние Хаусдорфа является метрикой на множестве всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства X.
Многозначное отображение F: П =4 Y с ограниченными значениями (т. е. для любого х Є П множество F(x) ограничено) называется непрерывным по Хаусдорфу в точке і Є О, если для любого є 0 существует 8 0 такое, что для любого у Є П, \\у — х\\ 8 будет Pfj(F(y), F(x)) є. Многозначное отображение F: П =4 Y называется полунепрерывным сверху в точке х Є П, если для любого открытого множества V такого, что F(x) С V существует окрестность U точки х такая, что для любого у Є U будет F(y) С V.
Исчисление абстрактно кодифференцируемых функций
В данном разделе мы посроим исчисление абстрактно кодифференцируемых функций. При этом заметим, что аналогичным образом можно получить некоторые правила для вычисления верхних Д-выпуклых и нижних -ff-вогнутых аппроксимаций, а также исчисление -ff-гиподифференцируемых и -ff-гипердифференцируемых функций.
Пусть П С X — открытое множество. Ясно, что если функция /: П — Ж является і7-кодифференцируемой в точке х Є П, то для любого с Є R функция / + с также Н-кодифференцируема в этой точке, причём 8jj(f + с)(х) = 8uf{x) и Djj(f + с)(х) = Djjf(x). Отметим ещё два очевидных правила вычисления і7-производньіх.
Предложение 2.4.1. Пусть функции /і,/г: П — Ж являются Н-кодифференцируемыми в точке х, и предположим, что множество Н замкнуто относительно сложения. Тогда функция /1 + /2 также является Н-кодифференцируемой в точке х, причём fe(/i + /2)( ) = 8н/і(%) + 8н$2(х) и Dff(fi + /2)(#) = Dufiix) + DHJ2{X).
Предложение 2.4.2. Пусть функция /: П —) К является Н-кодифференцируемой в точке х Є Q, и пусть а єЖ произвольно. Предположим, что О Є Н в случае а = 0, и Н является конусом в случае а / 0. Тогда функция af является Н-кодифференцируемой в точке х, 8u{cif){x) = а.8н${х) и Djj{a.f){x) = aDjjf{x) в случае а 0, и функция af является (—Н)-кодифференцируемой в точке х, 8(-H)(ctf)(x) = &8н/(х) и D u){pLf){x) = aDjjf(x).
Следствие 2.4.1. Пусть множество Н является линейным подпространством пространства Жх (здесь Жх — линейное пространство, состоящее из всех отображений из X в Ж). Тогда множество всех функций /: П — Ж, являющихся Н-кодифференцируемыми в точке х Є П (или на множестве А С Q), есть линейное пространство относительно поточечных операций сложения и умножения на число. Рассмотрим вопрос об і7–кодифференцируемости суперпозиции функций. Теорема 2.4.1. Предположим, что выполнены следующие условия:
1. множество Н является линейным подпространством Жх;
2. функции fi\ П — М. являются Н–кодифференцируемы в точке х Є Q, і Є I = {1,... , п};
3. 5НІІ(Х) регулярны в нуле, і Є І;
4. S С Wn открытое множество такое, что у = (f\(x),..., fn(%)) Є S;
5. функция g: S — M. дифференцируема в точке у;
6. функция Т(-) = g(f\(-), , fn( )) определена на открытом множестве О С П.
Тогда функция Т является Н-кодифференцируемой в точке х и
Предложение 2.4.3. Пусть функции /і,/г: П — Ж являются Н-кодифферепцируемыми в точке х Є Q, и предположим, что Н является линейным подпространством Жх. Пусть таксисе 5HJI(X) и 5нІ2(х) регулярны в нуле. Тогда функция f\ /2 является Н-кодифференцируемой в точке х и
Предложение 2.4.4. Пусть функция /: П — Ж является Н-кодифференцируемой в точке х Є Q, и предположим, что Н является линейным подпространством Жх. Пусть также 5nf(x) регулярна в нуле и / ф 0 в некоторой окрестности точки х. Тогда функция g = 1// является Н-кодифференцируемой в этой точке и
Предложение 2.4.5. Пусть функция /: П — Ж является Н-кодифференцируемой в точке х Є Q, и предположим, что Н является линейным подпространством Жх. Пусть также 5HJ{X) и регулярна в нуле и а 0. Тогда функция д(-) = а является Н-кодифференцируемой в точке х и
5нд(х) = In а а х 6нІ (х). Рассмотрим вопрос об і7–кодифференцируемости инфимума и супремума Н– кодифференцируемых функций. Сначала мы изучим этот вопрос в случае конечного числа функций.
Теорема 2.4.2. Пусть функции fi\ П — М. являются Н–кодифференцируемыми в точке х Є Q, і Є I = {1,...,п}. Предположим, что множество Н удовлетворяет следующим условиям:
Тогда функции / = maxie/ /j и g = minie/ /j являются H-кодифференцируемыми в точке х. Более того, для любых (ФІ,ФІ) Є 5Н$І(Х) и (Ui,Vi) Є Dufiix), і Є І, будет
Доказательство. Заметим, что правые части формул (2.5)-(2.8) не зависят от выбора (ФІ,ФІ) Є Sufi(x) и (Ui,Vi) Є Djjfiix), ІЄІ, поэтому они корректно определены.
Мы будем рассматривать только функцию /, поскольку утверждение теоремы для функции д доказывается аналогичным образом. Зафиксируем произвольные (ФІ,ФІ) Є fiiifi(x), ІЄІ. Для любого допустимого Аж Є X имеем и что при сделанных предположениях относительно множества Н правая часть последнего равенства представляет собой сумму ії-вьшуклой и і7-вогнутой функций. Рассмотрим теперь вопрос об і7-кодифференцируемости бесконечного семейства функций. Для этого нам потребуется вспомогательное определение равномерной Н-кодифференцируемости.
Определение 2.4.1. Пусть О Є Н, А — произвольное непустое множество, функции Д: П — Ш. являются і7-гиподифференцируемьіми в точке х Є П, Л Є Л. Будем говорить, что семейство функций {Д}) А Є Л является равномерно -ff-гиподифференцируемым в точке х, если для всех Л Є Л существуют (ФА,0) Є Snfx(x) такие, что для любого допустимого Ах є X
Замечание 2.4.1. Равномерно -ff-кодифференцируемые и равномерно Н-гипердифференцируемые семейства функций определяются аналогично.
Предложение 2.4.6. Пусть Н замкнуто относительно вертикальных сдвигов, 0 Є Н, Л — произвольное непустое множество, и предположим, что выполнены следующие условия:
1. семейство функций fx- Q №, X Є А равномерно Н-гиподифференцируемо в точке х Є П;
2. для каждого у из некоторой окрестности точки х множество {f\(y) А Є Л} ограничено сверху;
Некоторые свойства кодифференцируемых функций
В данном разделе мы изучим некоторые свойства кодифференцируемых функций и докажем, что каждая непрерывно кодифференцируемая функция является локально лип-шицевой.
Следующее предложение раскрывает связь между кодифференцируемостью и квази-дифференцируемостью.
Предложение 3.5.1. Пусть функция /: П — Ж является кодифференцируемой в точке х Є П. Тогда функция / квазидифференцируема в этой точке, причём любая квазидифференцируемая в точке х Є П функция /: П —) К является ко-дифференцируемой в этой точке, причём
Доказательство. Пусть функция / является кодифференцируемой в точке х. Обозначим
Из предложения 2.2.3 о дифференцируемости по направлениям і7–кодифференцируемой функции и теоремы 1.3.6 о дифференцируемости по направлениям выпуклой функции следует, что функция / дифференцируема по направлениям в точке х, причём
Поскольку функция Ф выпукла, то функция Ф (0, ) сублинейна, а так как функция Ф во гнута, то функция Ф (0, ) суперлинейна. Откуда следует, что функция / является квази дифференцируемой в точке х. Воспользовавшись теоремой о субдифференциале супремума выпуклых функций (теорема 1.3.10), получаем справедливость (3.12). Обратное утверждение очевидно.
В конечномерном случае можно указать необходимое и достаточное условие непрерывной кодифференцируемости в терминах квазидифференциалов (см. [105]).
Теорема 3.5.1 (Кунц). Пусть X = Шп, /: П — Ж — произвольная функция. Для того чтобы функция / была непрерывно кодифференцируема в точке х Є П необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки существовало квазидифференциальное отображение у — T)f(y) функции / такое, что многозначные отображения у — df(y) и у — df(y) полунепрерывны сверху в точке х.
Воспользовавшись предложением 3.5.1, покажем инвариантность необходимых условий экстремума кодифференцируемой функции относительно выбора кодифференциала.
Таким образом, необходимое условие локального минимума кодифференцируемой функции не зависит от выбора кодифференциала.
Доказательство. Очевидно, что достаточно доказать только импликацию (3.13)= (3.14). Поэтому предположим, что выполнено (3.13). Следовательно, для любого g Є X будет
Отсюда, с учётом необходимого условия минимума выпуклой функции (теорема 1.3.11) и теоремы 1.3.13 о субдифференциале сублинейной функции, получаем, что что эквивалентно (3.14).
Замечание 3.5.1. (i) Тесно связанный с предыдущим предложением вопрос об инвариантности необходимых условий экстремума квазидифференцируемой функции рассматривался в [107].
Из доказательства предыдущего предложения видно, что необходимое условие минимума кодифференцируемой функции (предложение 3.4.2) эквивалентно условию: f (x, g) 0 для всех g Є X.
Замечание 3.5.2. Пусть функция /: П — М. кодифференцируема в точке х Є П. Не ограничивая общности можно считать, что
Действительно, если данное равенство не выполнено, то вместо кодифференциала Df(x) можно взять эквивалентный кодифференциал Df(x) = [df(x) — {(a(f,x),0)},df(x) + {(a(f, x), 0)}, для которого данное равенство выполнено. При этом нетрудно проверить, что если функция / непрерывно кодифференцируема в точке х, то отображения у — df(y) — {(a(f,y),0)} и у — df(y) + {(a(f,y),0)} также являются непрерывными в метрике Хаусдорфа в данной точке.
Отметим, что если пользоваться формулами для вычисления кодифференциала указанными в данной главе, то равенство (3.15) будет выполнено автоматически. Учитывая данное замечание и предложение 3.5.2, везде далее мы будем предполагать справедливость равенства (3.15).
Для кодифференцируемых функций справедлив аналог классической теоремы Лагран-жа о среднем значении. Для того чтобы доказать эту теорему нам потребуется вспомогательное утверждение о непрерывности кодифференцируемой функции на отрезках.
Лемма 3.5.1. Пусть функция f: Q — Ж кодифференцируема на множестве П. Тогда для любых Х\,Х2 Є Q таких, что со{жі,Ж2І С Q функция f непрерывна на со{жі,Ж2}.
Доказательство. Зафиксируем произвольные Х\,Х2 Є Q такие, что со{жі,Ж2І С Ни определим функцию д(а) = f(x\ + а(х2 — Х2)) для а Є [0,1]. Ясно, что достаточно доказать непрерывность функции д на [0,1].
Исчисление неоднородных верхних выпуклых и нижних вогнутых аппроксимаций
Приведём краткий обзор результатов, полученных в данной работе.
Во введении даётся обзор литературы по теме работы, обсуждается актуальности исследования, его теоретическая и практическая значимость.
В первой главе приводятся основные определения и утверждения из топологии, функционального анализа, выпуклого анализа, абстрактного выпуклого анализа, негладкого анализа и теории многозначных отображений, используемые в следующих главах.
Во второй главе рассматриваются понятия H–кодифференцируемости, абстрактной выпуклой аппроксимации негладкой функции и некоторые свойства H– кодифференцируемых функций. Далее строится исчисление H–кодифференцируемых функций, выводятся необходимые условия экстремума в негладкой задаче с ограничениями в терминах абстрактных выпуклых аппроксимаций и H–кодифференциалов. Здесь же исследуются два конкретных класса H–кодифференцируемых функций, а именно класс кодифференцируемых функций и класс функций, обладающих верхним коэкзостером.
В третьей главе вводится понятие кодифференцируемости для функции, определённой на нормированном пространстве, приводятся различные характеризации кодифференциру-емости и строится исчисление непрерывно кодифференцируемых функций. Далее рассматриваются необходимые условия экстремума в терминах кодифференцируемых функций и их приложения, изучаются свойства квазидифференцируемости кодифференцируемых функций, инвариантности необходимых условий экстремума кодифференцируемых функций, а также выводится теорема о среднем для кодифференцируемых функций и доказывается теорема о локальной липшицевости кодифференцируемой функции с ограниченным кодиф-ференциалом. Здесь же строится и подробно исследуется метод кодифференциального спуска.
В главе 4 изучаются исчерпывающие семейства неоднородных верхних выпуклых и нижних вогнутых аппроксимаций негладких функций, строится исчисление данных семейств и выводятся различные условия экстремума в терминах данных аппроксимаций. Далее строится и исследуется метод спуска, основанный на неоднородных верхних выпуклых аппроксимациях. Затем данный метод используется для того, чтобы построить модифицированный метод кодифференциального спуска.
В главе 5 рассматриваются приложения разработанной теории к одной негладкой классической задаче вариационного исчисления, негладкой задаче Больца и минимаксной задаче вариационного исчисления.
Дальнейшие исследования могут вестись в направлении развития метода кодифферен-циального спуска и его приложений к задачам вариационного исчисления и оптимального управления. Необходимо более детальное изучение сходимости данного метода в бесконечномерном случае и поведения метода кодифференциального спуска при различных правилах выбора величины шага, а также требуется усовершенствование метода в случае, когда гипо-дифференциал и гипердифференциал исследуемой функции не являются выпуклыми многогранниками. Представляет интерес введение новых содержательных классов негладких функций на основе абстрактных выпуклых аппроксимаций в соответствии с особенностями различных оптимизационных задач.
