Содержание к диссертации
Введение
1. Развитие методов динамического анализа машин и механизмов 15
1.1 Сложные технические системы и их анализ 15
1.2 Системный метод в исследовании динамических свойств машин, механизмов и конструкций 16
1.3. Основные задачи динамики и методы их решения 19
1.4 Методология анализа сложных динамических систем на основе метода декомпозиции 22
1.5 Достижения нелинейной динамики систем 25
1.6 Механические связи в системе и их влияние на динамические свойства систем 27
2. Анализ структурных особенностей динамических взаимодействий в линейных системах 35
2.1 Метод декомпозиции при слабых динамических взаимодействиях между подсистемами 35
2.2 Структурный анализ динамических систем 39
2.3 Поверхности потенциальной энергии и собственные колебания систем 47
2.4 Вынужденные колебания систем 51
2.5 Анализ характера изменения кривизны энергетической поверхности. Экстремальные свойства кривизны поверхности и собственных частот 56
2.6 Кривизны энергетических поверхностей и инварианты 60
2.7 Чувствительность системы на изменение ее упругих характеристик 60
2.8 Оптимизация систем и их конструктивная вибро изоляция 61
3. Анализ структурных особенностей динамических взаимодействий в нелинейных системах 65
3.1 Нелинейные системы. Численный эксперимент 65
3.2 Определение характерных точек энергетических поверхностей 69
3.3 Экстремальные свойства энергетических поверхностей нелинейных систем 70
3.4. Энергетические поверхности и устойчивость положения равновесия 74
4. Приложение теории фракталов к анализу неоднородности динамических и структурных свойств систем 86
4.1 Фрактальное представление случайных процессов и множеств 86
4.2 Вычисление фрактальной размерности 90
4.3 Фрактальный анализ динамических систем 92
4.4 Фрактальный анализ симметричной системы 97
4.5 Формы колебаний и их фрактальные оценки 100
4.6 Определение размерности конфигурационного пространства по фрактальной размерности множеств 103
4.7 Оценка конструктивной неоднородности систем с помощью фрактальных оценок подсистем и связей 109
5. Приложение вейвлет-анализ а к исследованию нестационарных динамических процессов в машинах и механизмах 113
5.1 Методы приближенного описания динамических процессов 113
5.2. Вейвлет-преобразования и частотно-временной анализ 115
5.3 Вейвлет-преобразование функции амплитуд колебаний нелинейной системы 122
5.4 Странные аттракторы и их частотно-структурные свойства 128
6. Методология комплексного анализа структурных и динамических свойств систем 135
6.1 Методология комплексного анализа структурных и динамических свойств систем 135
6.2 Выбор моделей минимальной размерности 141
6.3 Идентификация математических моделей динамических систем 142
6.4 Структурная устойчивость временного ряда 145
6.5 Комплексный метод оценки устойчивости частотного и энергетического спектра сигнала 150
6.6 Рекомендации к анализу и синтезу систем по динамическим характеристикам 154
6.7 Блок-схема анализа систем 157
7. Анализ структурных и динамических свойств машин, механизмов и аппаратов. решение основных задач динамики 161
7.1 Механизм ориентации приборов. Обеспечение виброизоляции точных приборов 161
7.1.1 Исследование структурных и динамических свойств подвижной опорной конструкции 161
7.1.2 Исследование связанности подсистем при их относительном движении 180
7.1.3 Выводы и рекомендации 189
7.2 Структурные и динамические свойства авиационных двигателей РДЗЗ и ДЗОКП 1192
7.2.1 Проблема наблюдаемости межвальных подшипников двигателей РДЗЗ и ДЗОКП 192
7.2.2 Динамические и структурные свойства двигателя РДЗЗ 193
7.2.3 Динамические и структурные свойства двигателя ДЗОКП 203
7.2.4 Выводы и рекомендации 211
7.3 Исследование динамических особенностей системы «Вибрационная машина-обрабатываемая среда». Динамическое структурообразование 213
7.3.1 Вибрационные технологические машины. Вибрационное гранулирование 213
7.3.2 Исследование процесса вибрационного гранулирования чайного сырья 217
7.3.3 Динамическое структурообразование гранул 234
7.3.4 Выводы и рекомендации 236
7.4 Структурные и динамические свойства ручных чаесборочных аппаратов и системы «Оператор-аппарат-чайный куст» 238
7.4.1 Проблема снижения виброактивности ручных аппаратов 238
7.4.2 Исследование структурных и динамических свойств чаесборочного аппарата АЧР-3 30 240
7.4.3 Динамические особенности системы «оператор - аппарат - чайный куст» 250
7.4.4 Выводы и рекомендации 262
7.5 Динамические и структурные особенности роторной системы 264
7.5.1: Проблема снижения динамических нагрузок на опоры ротора 264
7.5.2 Вейвлет-анализ экспериментальных данных 265
7.5.3 Исследование динамических свойств ротора турбонасосного агрегата (ТНАГ) 272
7.5.4 Исследование динамики ротора ТНАГ с учетом уплотнительных колец 285
7.5.5 Выводы и рекомендации 398
7.6 Основные выводы 299
Основные результаты и выводы 300
- Системный метод в исследовании динамических свойств машин, механизмов и конструкций
- Поверхности потенциальной энергии и собственные колебания систем
- Экстремальные свойства энергетических поверхностей нелинейных систем
- Формы колебаний и их фрактальные оценки
Введение к работе
На современном этапе экономического состояния России и становления рыночных отношений особое внимание должно уделяться качеству машин, механизмов и конструкций, от работоспособности и надежности которых во многом зависит эффективность функционирования отраслей хозяйства и возможность выхода с ними на мировой рынок.
Машины и механизмы различного назначения характеризуются постоянной интенсификацией рабочих процессов, увеличением мощности при снижении материалоемкости, что приводит к повышению уровня вредных вибрационных воздействий, в значительной мере снижающих надежность, безопасность и точность их работы. Для обеспечения их надежной и безопасной работы необходимо изучение динамических процессов, происходящих при функционировании машин и механизмов, состояния отдельных узлов, их динамического взаимодействия в виде упругих колебаний, а также всей конструкции и фундаментных конструкций с учетом общей вибрации.
Несмотря на нормализацию и стандартизацию, ассортимент конструктивных элементов в машинах и механизмах возрастает, а отношения между ними все более усложняются. Основными тенденциями в конструировании являются специализация и агрегирование функций конструктивных элементов. Аналогично и в пространственных отношениях элементов структуры существует несколько направлений развития; прежде всего это тенденция к созданию блочных систем. Другим направление является кассетирование, упрощающее манипуляции со сменяемыми элементами.
Говоря о сложных технических системах (СТС), обычно подразумевается прежде всего совокупность иерархически зависимых подсистем. Значимые и устойчивые связи образуют структуру СТС - упорядоченное множество элементов и их отношений. Один и тот же проектируемый объект может быть представлен различными конструктивными решениями - несколькими структурами. Т.е. одна и та же функция может быть реализована различными структурами. Для создания эффективных сложных технических систем, отвечающих современным требованиям, необходимо рассмотрение различных структурных решений.
Глубокое проникновение в сущность динамических явлений, проявляющихся в динамических взаимодействиях элементов и подсистем машин и механизмов, происходящих в процессе функционирования машин, во многом обеспечивает выбор обоснованных конструктивных решений, обеспечивающих требуемые эксплуатационные характеристики, надежность, безопасность и долговечность, а также качество выполнения функциональных задач. С другой стороны, обобщение и развитие методов структурного и динамического анализа, позволяющих снизить временные затраты на решение сложных динамических задач, является важным и необходимым направлением научных исследований.
Технические конструкций самого различного назначения (авиационные, ракетно-космические, энергомашиностроительные и др.) обычно классифицируют как сложные структуры, проектный анализ которых даже при использовании ЭВМ остается трудоемкой нетривиальной задачей. Развитие численных методов расчета сложных структур и компьютерных технологий позволяют использовать расчетные модели, описывающие реальные условия эксплуатации и режимы работы технических систем. В результате этого появилась возможность сокращения объемов дорогостоящей экспериментальной отработки конструкций на стадии проектирования. Опыт применения численных методов и созданных на их основе алгоритмов расчета сложных структур привел к пониманию того обстоятельства, что не существует ни одного метода, обладающего бесспорными преимуществами при решении задач динамического анализа. Это привело к необходимости применения альтернативных вариантов "гибридизации" различных методов в одном алгоритме в целях использования их преимуществ и компенсации слабых сторон. Исходя из сказанного, становится ясным, что для эффективного проектирования сложных технических систем необходимо развитие методов и .методик исследования, основанных на разделении их на подсистемы и выделении связей, определяющих структурные особенности и характер динамических взаимодействий в системе. Такой анализ является системным и дает в руки инженерам подход, ориентирующий на конечную цель и позволяющий оценить взаимосвязи в системе, а также распознавать в различных технических объектах (или подсистемах) существенные аналогии (подобия) в пространственных и временных характеристиках.
Ясно, чем сложнее система, чем более высокие требования предъявляются к ней, тем более глубокой и полной должна быть информация о количественном и качественном характере динамических явлений возможных в рассматриваемой системе, и, следовательно, необходимы методы оценки и анализа численной информации большого объема о динамическом поведении системы, получаемой расчетными и экспериментальными методами.
Активизация исследований в области развития методологии анализа динамических и структурных свойств сложных технических систем тесно связана как с повышением и ужесточением требований к разрабатываемым машинам и механизмам, так и с развитием компьютерных технологий. Бурное развитие компьютерной техники и технологий:— векторные, параллельные компьютеры, повышение быстродействия, увеличение оперативной памяти компьютеров позволяет создавать динамические моделей с большим числом степеней свободы, получать большое количество информации о динамическом состоянии систем, обработка которых затруднена без применения специальных методов их анализа. Продуктивным подходом для решения этой задачи являются развиваемые последние десятилетия численно-аналитические методы анализа множеств и временных рядов, опирающиеся на геометрические представления и вычислительные возможности компьютерной техники. В основе методов лежат принципы определения характерных особенностей информационных множеств, что позволяет проводить их свертку до множеств меньшей размерности и при необходимости их последующее восстановление или развертывания их по определенным алгоритмам к множествам большей размерности. Эти методы становятся теоретической основой создания компьютерных методов;и технологий анализа множеств и временных рядов в различных отраслях научной и практической деятельности.
Системный метод в исследовании динамических свойств машин, механизмов и конструкций
Из всех существующих методических подходов к анализу сложных систем, системный наиболее близок к проблеме анализа закономерностей развития и строения технических систем. Системный подход является естественным научным методом, основанным на формальном выводе и количественной оценке свойств системы и позволяющим определить задачу, описать ее с помощью формализованных процедур и, в итоге, найти решение поставленной задачи (обычно анализ и синтез систем)[161, 213, 214]. Системой называется совокупность, образованная (и упорядоченная по определенным правилам) из конечного множества элементов. При этом между элементами системы существуют определенные отношения. Элемент и система являются относительными понятиями. Система определяется структурой, которая характеризует внутреннюю организацию, порядок и построение системы. Структура определяется совокупностью элементов и отношений между ними. Структура наряду с функционированием является наиболее важным свойством системы, функционирование системы задается ее структурой. Система может быть разделена на подсистемы различной сложности. Относительно замкнутая система с заданной структурой функционирует однозначно - структура определяет способ функционирования. С другой стороны, функционирование не определяет структуру однозначно. Одна и та же функция может быть реализована различными структурами. Это свойство и позволяет находить наилучшие решения при создании технических систем. Таким образом, для получения оптимальной конструкции необходимо рассматривать различные по структуре технические решения. Чем больше рассматривается структурных решений, тем больше вероятность получения эффективной системы с заданным функциональным назначением и предъявляехмыми к ней требованиями [214,304]. В окружении среды живет и функционирует любая система, она испытывает на себе воздействия среды и в свою очередь оказывает обратное влияние. Иногда система может создаваться только для того, чтобы изхменить свойства окружающей среды. Поэтому взаимосвязь среды и системы можно считать одной из основных особенностей функционирования системы, которая в значительной степени определяет ее внутренние характеристики. Другим важным свойством системы является ее целостность.
Под целостностью понимают внутреннее единство, принципиальную несводимость свойств системы к сумме свойств составляющих ее элементов, т.е. система обладает качествами «целого», мыслимого как единое образование. Именно такой характер целого и делает образование системой, а роль элементов сводится к обеспечению функционирования этого целого. В соответствии с этим становится важным анализ особенности формирования целого. С целостностью системы тесно связано понятие степени сложности системы, определяемой сложностью ее организации. Следующим важным свойством является иерархичность. Разделение системы на уровни при ее построении явилось естественной реакцией на усложнение системы. Это нашло отражение в функциональной и структурной дифференциации, когда введение принципа иерархии позволяет получить еще одну степень свободы для наращивания системы; в этом случае многообразие равноправных систем стало возможным развивать по вертикали благодаря введению принципа подчиненности[214,304]. Важным свойством безопасного функционирования системы является ее наблюдаемость, которая характеризует возможность нахождения параметров состояния системы по результатам косвенных наблюдений за динамикой системы с помощью датчиков. Основным требованием к сбору информации является ее полнота и частота обновления данных. Рассматривая проблему получения информации о состоянии системы, обычно исходят из формы представления ее в виде временного процесса (временного ряда). Приведенные выше основные свойства систем имеют универсальный характер, они справедливы как для системы в целом, так и для каждой ее подсистемы. Критерием оценки работоспособности любой подсистемы является ее вклад в функционирование всей системы. Такого рода подчиненность каждого уровня более высокому уровню гарантируют эффективность выполнения системой заданных функций. Важным элементом системного анализа является оценка состояния системы. Под состоянием системы понимается совокупность параметров, характеризующих функционирование системы, которая однозначно определяет ее последующие изменения (например, в динамике — перемещения и скорости элементов системы). Наиболее наглядно состояние системы определяется через степени свободы, которые легко распространяются на широкий класс физических явлений. Для системы характерна множественность состояний, что является отражением ее динамизма, множественности вариантов развития. Чем разнообразнее возможные состояния системы, тем сложнее ее поведение. Поэтому при изучении систем в качестве адекватного математического аппарата широко привлекается теория множеств и построенный на ее базе функциональный анализ[198, 213, 214]. Одним из важных вопросов в анализе и синтезе технических систем является моделирование динамических процессов, определяющих состояние системы. Динамические процессы связаны в первую очередь с выполнением системой заданного функционального назначения. С другой стороны они могут приводить к снижению эффективности систем, к негативным последствиям: (аварии, катастрофы) и вредным воздействиям на человека (вибрационные болезни операторов).
Применительно к задачам проектирования технических систем: учет и анализ динамических свойств, колебательных явлений обычно преследует следующие цели: 1) оценка и устранение возможных аварийных режимов; 2) диагностика состояния системы по вибрационным характеристикам; 3) минимизация негативных динамических воздействий, воспроизведение с заданной точностью программных кинематических перемещений; 4) ограничение динамических нагрузок и уровня колебаний, обусловленных эксплуатационными характеристиками механизмов, машин, приборов, конструкций и т.п.; 5) защиту человека-оператора от воздействий повышенного уровня вибраций и шума; 6) использование колебательных явлений при создании специальных вибрационных устройств, осуществляющих технологические и транспортные операции. Обычно динамический анализ включает в себя исследования свободных и вынужденных стационарных колебаний отдельных элементов и конструкции в целом, нестационарных (переходных) процессов, устойчивости движения, автоколебательных процессов. Динамический нелинейный анализ сложных структур остается наиболее трудоемким и дорогостоящим элементом расчета. В то же время реальная потребность в таких методах непрерывно возрастает. Особую сложность представляет нелинейный анализ переходных процессов на длительном временном интервале при выявлении возможных резонансов, анализ последовательного воздействия на систему импульсных нагрузок или исследования воздействий параметрического возбуждения. Для изучения динамических свойств объектов машиностроения совместно с аналитическими и численными широко применяются экспериментальные методы исследований. К числу основных задач экспериментального исследования относятся: выявление природы, характера, уровня, частотного состава, взаимосвязи вибрационных сигналов, а также выявление нелинейных свойств, основных резонансов, демпфирования, собственных форм колебаний и других характеристик колебательных систем при известном и неизвестном входном воздействии[132]. Динамические характеристики определяют внутренние свойства системы и позволяют оценить изменяющееся во времени ее поведение, в том числе вызванное входными возмущениями. Такими характеристиками являются частотные динамические характеристики: амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), фазо-частотная характеристика (ФЧХ); в случае совмещения этих двух характеристик получается амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).
Поверхности потенциальной энергии и собственные колебания систем
Динамику системы можно представить движением изображающей материальной точки в п+1 мерном расширенном конфигурационном пространстве. В этом случае движение материальной точки происходит по некоторой кривой L на потенциальной поверхности. Из рассмотрения динамики единичной точки по энергетической поверхности вытекает, что собственные движения системы являются движениями по геодезическим линиям, которые являются кривыми стационарной длины и определяются из функционала[247]: Кривая L на поверхности S является геодезической линией в том и только в том случае, когда главная нормаль в каждой точке кривой , где ее кривизна отлична от нуля, совпадает с нормалью поверхности, в каждой ее точке. Длина любой спрямляемой кривой L на поверхности S, соединяющей достаточно близкие точки Х\ и Х2 поверхности , не меньше длины дуги геодезической линии, соединяющей эти точки. Через любую точку регулярной поверхности во всяком направлении проходит геодезическая, и притом только одна. Кривая на регулярной поверхности называется геодезической линией, если геодезическая кривизна этой кривой обращается в нуль в каждой ее точке. Уравнения геодезических кривых для двумерной поверхности определяются уравнениями[29б]. ds2 = (Е - P)(cndql + 2спд}д2 + c22ql), где Е - полная энергия системы, Р - потенциальная энергия, системы, #,- -обобщенные координаты. Данное выражение соответствует принципу наименьшего действия для движения по инерции материальной точки на любой поверхности. В римановом пространстве для л-мерной поверхности геодезические линии определяются дифференциальными уравнениями[247]: На рис. 2.7 представлена схема, определяющая пространственное расположение кривизны линии на поверхности k{v-r , являющаяся линейной комбинацией двух векторов ksb (геодезическая кривизна линии) и кпп (нормальная кривизна кривой). Обозначим через угол в между вектором главной нормали v кривой L и единичным вектором нормали п к поверхности Р. Тогда справедливо равенство[247]: Если кривая является геодезической линией, то к„=к/, угол 6=0. Таким образом, линии главной кривизны энергетической поверхности являются геодезическими линиями. Эти линии обладают экстремальными свойствами. Расхождение геодезических линий на энергетической поверхности определяет отклонение траекторий при изменении начальных условий. Даже при незначительных изменениях в начальных условиях через значительное время траектории движения могут разойтись значительно. Обычно в практике решений этих вопросов определяются показатели Ляпунова.
В книге [13] проблема зависимости траекторий аттрактора Лоренца определена через поведение геодезических вблизи характерных точек. Пример расхождения геодезических вблизи гиперболической точки Рр показано на рис. 2.8, где схематически изображено движение по седлообразной поверхности. Проиллюстрируем сказанное примерами траекторий движений изображающей точки при свободных колебаниях системы, имеющей две степени свободы. Как отмечалось ранее, характер свободных движений зависит от начальных условий и реализуется движением по геодезическим кривым. На рис.2.9 приведены варианты свободных колебаний с различными начальными условиями для различных систем. Рисунок 2.9,а иллюстрирует линейную систему двух слабосвязанных маятников, в которой происходит перекачка энергии от одного маятника другому. Начальное условие Xs=a, Х2=0. Рисунок 2.9,6 характеризует нелинейную систему с жесткой характеристикой (начальные условия Х}=а, Х2=0). В этом случае движение изображающей точки локализуется в узкой области - Xj»X2. Рисунки 2.9,в и 2.9,г относятся к нелинейной системе с мягкой характеристикой нелинейности (начальные условия Х\ Х2 иХ -Х2). При вынужденных движениях системы траектория изображающей точки зависит от величины вибрационной силы и ее частоты, кривизны энергетической поверхности и ее локальных изменений (в случае нелинейной системы). Изменение кривизны поверхности для линейной системы между экстремальными значениями (главными кривизнами) в случае приведения к нормальным координатам определяется формулой Эйлера (вблизи стационарной точки)[247]: где Kj и К2- главные кривизны двухмерной поверхности в точке X, а ср -угол с главным направлением, соответствующим главной кривизне Kt. Из формулы видно, что для вычисления нормальной кривизны поверхности в произвольном направлении достаточно знать ее главные кривизны в рассматриваемой точке. В случае равенства k\ =к2 имеем - кі=к2=к. В этом случае поверхность является поверхностью вращения. Рассмотрим пример - разгон ротора с двумя дисками. Ротор работает за второй критической скоростью. На рис. 2.10 приведены амплитуды вынужденных колебаний (орбитальные амплитуды) при прохождении критических скоростей. В области между критическими скоростями амплитуда колебаний первого диска проходит через ноль (точка антирезонанса для данной координаты). Приведение к орбитальным амплитудам позволяет конфигурационное пространство уменьшить с четырех до двух. На рис. 2.11 приведена кривая максимальных амплитуд на энергетической поверхности. Точка антирезонанса, которая находится между критическими скоростями, соответствует прохождению изображающей точки плоскости Р0Х{. В точке анатирезонанса первый диск неподвижен. Таким образом, обход (разгон ротора) всех собственных частот системы приводит к последовательному пересечению плоскостей РОХІ (і=1,...,п-1). Количество проходимых плоскостей определяет число точек антирезонанса.
Общие дифференциальные уравнения движений точки по поверхности Представим описание дифференциальных уравнений движения материальной точки по поверхности Р (рис. 2Д2)[247]. Общее уравнение движения точки по поверхности имеет вид: Здесь R — проекция реакции на нормаль к поверхности Р. Это уравнение можно представить в виде трех скалярных дифференциальных уравнений движения точки по поверхности Р: где Fr, FN и Fp,— проекции равнодействующей всех активных сил па оси естественного триэдра геодезической кривой, #v — главная кривизна траектории, в— наименьший угол между нормалями поверхности и траектории. Эти соотношения называют естественными уравнениями движения материальной точки по поверхности. Первое и третье уравнения системы (2.25) дают возможность найти закон движения изображающей точки. Второе уравнение определяет неизвестную реакцию R. Вопрос об определении движения точки усложняется, если приходится определять силы трения. Тогда силы FtYL-Fp будут иметь в своем составе силы трения, которые в свою очередь связаны с нормальной реакцией R на основании законов трения скольжения. Если угол 0=0 и на точку не действуют активные силы и поверхность Р — идеально гладкая, изображающая точка движется равномерно по геодезической кривой, что соответствует собственным движениям системы. При действии вибрационных сил на систему, при равенстве частоты возбуждения собственным частотам, происходит резонанс, характеризуемый максимальным поглощением системой вибрационной энергии. Величина, направление действия, частота вибрационного воздействия определяет характер движения изображающей точки по энергетической поверхности, что сказывается на расхождении нормали линии траектории движения от нормали геодезических линий соответствующих главным линиям кривизн поверхности (собственным частотам системы), определяемой углом в. При преобразовании координат к нормальным координатам (Y=V -К) определяется проекция активной силы на линии главных кривизн. В этом случае амплитуда вынужденных колебаний в нормальных координатах определяется выражением[82]: где.е.- коэффициент демпфирования, ш - частота вибрационной силы, су,- - і-я собственная частота системы, Fyi — проекция вектора вибрационной силы на і- ю нормальную координату (Fy=V Fo). На рис.2.12, приведена; схема, объясняющая;выражение (2.26), она представлена в плоскости проходящей по линии главной кривизны энергетической поверхности, соответствующей одной из собственных частот системы.
Экстремальные свойства энергетических поверхностей нелинейных систем
Сложность поверхности - наличие характерных точек и их распределение в конфигурационном пространстве определяют локальные изменения кривизны поверхности, наличие дополнительных экстремальных значений кривизн в дополнение к главным экстремалям (главные: кривизны поверхности потенциальной энергии - экстремальные свойства собственных частот системы по теореме- Релея [23]). Исследуем; изменения кривизны энергетической: поверхности нелинейной системы - определим функцию изменения кривизны в зависимости от направления движения изображающей точки; Так как в нелинейных системах связанность координат переменная и зависит от относительных перемещений координат, рассмотрим, что происходит при изменении этих параметров. Рассмотрим, систему из двух масс, связанных упругой нелинейной связью, на: массы і наложены также: упругие нелинейные связи. Такую подсистему можно рассматривать как парциальные координаты: многомернойінелинейноШ системы. Вид нелинейности примем в виде функции; С=Со(1 +ax2,LУравнения движения: будут иметь следующий; вид: - СпХ,Х2(I - ссп(Х\ - 2ХХХ2 + апХ}) Как и для- линейной системы выполним, преобразование координат Х= V(cp) Y, где V( p) является; матрицей- преобразования к вращающимся, координатам,, являющейся функцией: угла р; Также определим вторую производную потенциальной- энергии по направлению оси у і вращающейся системы координат, что будет определять производную по направлению. Теперь, если определить производную- г, то, получим? выражение: для определения связанности і координат.. Выражение для: производной по углу р является функцией; от параметров системы И: угла. р. Анализ полученного выражения; при его не очень сложном виде, показал, что получить зависимость как в; линейном случае нельзя..Попытка решения.данной: задачи; с. помощью-пакетов программ с символьной математикой привело к решениям, записанным на нескольких десятках страниц. Это связано: с тем,, что при увеличении перемещений в дополнение к двум главным, кривизнам формируются еще две экстремальные кривизны. Продемонстрируем: это на примерах.
Энергетическая поверхность для упругого элемента с мягкой характеристикой показана на рис. 3.11,а, а поверхность кривизны представлена на рис. 3.11,6. При увеличении перемещения у\ (движение концов упругого элемента в противофазе) происходит изменение кривизны поверхности (в римановом смысле). Кривизна в направлении синфазных движений остается без изменений, равной нулю. Случай упругого элемента с жесткой характеристикой показан на рис. 3.12. Появление дополнительных экстремальных кривизн энергетической поверхности при увеличении амплитуд, колебаний приводит к усложнению поведения системы в данной области конфигурационного пространства, появлению различных нелинейных эффектов, является условием перехода к другим более сложным режимам колебаний. 3.4. Энергетические поверхности и устойчивость положения равновесия Рассмотрим анализ устойчивости положения равновесия на примере двойного маятника с телами М\ и М2 (массы т} и т2}г которые рассматриваются как материальные точки (рис.3.15) [199]. Масса стержней, сопротивление воздуха и трение в горизонтальных цилиндрических опорах не рассматриваются; спиральные пружины в шарнирах с жесткостью С/ it С2 при верхнем вертикальном положении маятника находятся в недеформированном состоянии. Связи системы идеальны, стационарны и голономны, а активные силы, действующие на систему консервативны- Положение маятников определяется углами Х\ и Х4, Потенциальная энергия Р складывается из потенциальной энергии Pi пружин и потенциальной энергии Pi сил тяжести. Ру=±СхХ2х+±Сг{Х,-Хг)\ Р7 =(ml +m2)g!l([ + cosXl) + m2gI2(l + cosX2). В работе [211] для этой системы после ее линеаризации определяются области устойчивости по критерию Сильвестра. При заданных значениях массы ті и т2 маятников и их длины /; и 12 определяются жесткости пружин С/ и Сі так, чтобы в верхнем вертикальном положении равновесие маятников было устойчивым. При Сі=С2 0 система уравнений движения маятников не связана, только в уравнении движения первого маятника учитывается масса второго маятника. На рис. 3.16 представлен график определяющий области устойчивости равновесия маятников в верхнем положении в зависимости от жесткости пружин. При увеличении жесткости пружин верхнее положение становится устойчивым. При этом подходе, использованном в упомянутой работе, фактически не были рассмотрены нелинейные свойства и их влияние на устойчивость системы. Рассмотрение системы в нелинейной постановке с построением энергетических поверхностей дает более глубокое понимание особенностей этой системы. Для анализа устойчивости по энергетическим поверхностям применим следующие теоремы [112,211]: 1) Теорема Лагранжа-Дирихле. Если в состоянии равновесия потенциальная энергии есть минимум, то состояние равновесия устойчиво. 2) Обратная теорема Ляпунова. Если в состоянии равновесия потенциальная энергия не есть минимум, то состояние равновесия не есть устойчивое. При построении энергетической поверхности рассматриваемое конфигурационное пространство включает верхнее и нижнее положение маятников. При отсутствии пружин С; и С2 система имеет пять эллиптических и четыре гиперболические точки. Эллиптическая точка в начале координат соответствует неустойчивому верхнему вертикальному положению двойного маятника (Р-Ртах). Остальные эллиптические точки (устойчивые положения) характеризуются нижним положением обоих маятников.
Между эллиптическими точками имеются гиперболические точки (Р О), в этом случае или один маятник в нижнем положении, а другой в верхнем (0 Р Ртах). Эти точки устойчивы для одних относительных движений маятников и неустойчивы для других. Поверхность потенциальной энергии системы для данного случая приведена на рис. 3.17,а, где показаны также и линии уровня энергии (рис. 3.17,6). Рис. 3.17. Поверхность потенциальной энергии(а) и линии уровня(б) При увеличении жесткости пружин происходит трансформация энергетической поверхности. Устойчивость маятника в верхнем вертикальном положении появляется вначале для колебаний маятников в противофазе (рис.3.18), и далее с увеличением жесткости пружин появляется устойчивость для синфазных движений маятников (рис. 3.19). Рассмотрим рис. 3.18,6, в этом случае точка с Хі=Х2-0 (Р-Ро) является гиперболической - имеет одно устойчивое и другое неустойчивое направление. Также существуют две эллиптические точки с меньшей потенциальной энергией. Эти точки определяют устойчивые положения маятников. В зависимости от начальных условий будет реализовываться различные режимы. При P PQ будет колебательное движение относительно устойчивой эллиптической точки одной или другой. При Р Р0 будет существовать режим с в области эллиптических точек перескоком из одной области в другую, проходя область гиперболической точки. Системы с подобными свойствами называются бистабильными системами, где движение частицы происходит в потенциале с двумя минимумами. Такая модель применима ко многим физическим и биологическим явлениям. В работе [245] приводится описание данных эксперимента с лазером, который может излучать две моды с различной поляризацией, что соответствует двум устойчивым состояниям. Из-за шума генерация лазера нерегулярно переключается между излучением этих мод. Частота перескоков между потенциальными ямами зависит от интенсивности шума. При малом шуме перескоки редки; с увеличением его интенсивности частота растет. Если шум очень большой, то наличие точек устойчивости не «чувствуется». Реализация различных режимов определяется соотношением интенсивности шума к уровню энергетического барьера (гиперболическая точка). Для иллюстрации сказанного приведем траектории движения для различных вариантов значений жесткости пружин Су и С2 На рис.3.20 приведено несколько вариантов: а - движение в устойчивой зоне -«бистабильная система»; б, в, г — движения с перескоками при различных значениях жесткости пружин Су, Сі В дополнение, для иллюстрации характера трансформации энергетических поверхностей рассмотрим задачу стабилизации перевернутого двойного маятника с помощью высокочастотной вибрации, действующей на точку подвеса[326].
Формы колебаний и их фрактальные оценки
Одним из: важных: вопросов обоснованного выбора модели системы, анализа полученных: результатов численных расчетов, является определение точности: вычисления; собственных частот и форм колебаний. При аналитическом решении формы колебаний представляют гладкие функции, у которых фрактальная размерность равна 1,0. При расчете сложных конструкций; МКЭ точность расчета собственных частот и форм колебаний зависит отчисла узлов; и: их плотности распределения і в модели,. типов. используемых. конечных элементов[259,250];. В этом случае косвенным методом оценки точности форм колебаний может служить их фрактальный анализ. Основанием для такой возможности является,свойство, фрактальной размерности оценивать, гладкость (дифференцируемость):кривых: и поверхностей (в общем случае и трехмерных объектов). Как отмечалось ранее; гладкие: кривые и поверхности имеют фрактальные размерности равные их топологической размерности. Проведенный анализ расчета балки, МКЭ с различными граничными условиями и сравнение их с точным решением, для- собственных значении показал на возможность проведения такой оценки. На рис. 4.14 приведены кривая распределения 20-ти: собственных значений балки с шарнирным закреплением, полученная с помощью МКЭ, и точная кривая распределения собственных частот. Моделирование балки проводилось 30-ю конечными балочными элементами; описывающие не только линейные перемещения узлов, но и угловые. Представленные графики показывают, что наибольшее расхождение происходит после точки перегиба кривой распределения частот (МКЭ), находящейся в области 10-ой частоты. В этой области значение сдвига b имеет максимум (рис. 4.15). На рис. 4.16 приведены графики точности расчета собственных частот балки МКЭ и показателя фрактальной размерности для форм колебаний. Точность расчета определялась соотношением df=fmoJfMK3- ДлЯ; частоты под номером 12 фрактальная: размерность формы колебаний й=1,5. Что соответствует случайному распределению перемещений узлов, определяющих форму колебаний, в этом случае ошибка вычисления собственного значения достигает величины близкой 100%. Подобные результаты получены для всех граничных условий, рассмотренных в таблице 4.1.
Отличия значений незначительные - в пределах 5-7% (влияние граничных условий на формы колебаний - нарушение масштабной инвариантности в локальной области граничной заделки). Фрактальная размерность позволяет оценить близость исследуемого объекта (системы): к идеальным объектам: и возможность их идеализации при расчетах и дает возможность на основе фрактальной геометрии разрабатывать новые подходы и методы расчета систем (например, в настоящее время широко используется в механике дисперсных уплотняемых материалов[182]). 4.6 Определение размерности конфигурационного пространства по фрактальной размерности множеств Фрактальный анализ позволяет, оценить размерность конфигурационного пространства, особенности распределения! траекторий изображающей; точки (аттракторов) на энергетической поверхности. Идея состоит в реконструкции конфигурационного пространства по одной; из ее проекций[12,198,228-359]. Введем следующее векторное обозначение, пусть Х{ обозначает точку конфигурационного пространства с координатами {X0(tf)/,...,Xo(ti+(n-iyz}. Таким образом, устанавливается начало отсчета Xt для всех имеющихся данных, и позволяет сосчитать число точек в конфигурационном пространстве, отстоящих от Xi на расстояние, не превышающее некоторую заданную величину г. Повторяя; этот процесс для всех значений /, можно вычислить следующую величину [228]: где в — функция Хевисайда: в(х) = О при -с 0 и 9{х) = 1 при х 0. Отклонение L(r) от нуля служит мерой влияния точки Xt на положение1 других точек -влияние-топологии энергетической поверхности. Поэтому функцию L(r) можно рассматривать как интегральную корреляционную функцию аттрактора; Зафиксируем некоторое малое значение є и воспользуемся им в качестве своеобразной оценки для зондирования структуры аттрактора. Если последний представляет собой линию, то, очевидно, число пробных точек, расстояние которых до заданной точки не превышает rt должно быть пропорционально г/с. Если же аттрактор представляет собой поверхность, то число таких точек должно быть пропорционально (r/e) . В более общем случае, если аттрактор представляет собой; -мерное многообразие, то число точек должно быть пропорционально (г/е) . Поэтому можно ожидать, что при сравнительно малых г фу нкция L (г) должна- изменяться как L(r)=/ Иными словами, размерность аттрактора d дается? наклоном зависимости InL(r) от In г в определенном диапазоне г. InL(r) = din г. Данная оценка определяет только нижнее значение размерности модели n d. Рассмотрим пример - систему, состоящую из трех, маятников, соединенных упругой: связью.. Маятник: могут совершать полные обороты. Уравнения движения имеют следующий вид:: щХх +mxg sih( Xl) - Fn = О m2X2 + m2gsm{X2) -F2l F23 = 0 тгХ2+ m3g sin(AT3) - F22 - 0 где Fij=-Fji — нелинейная- упругая связь между маятниками с мягкой характеристикой нелинейностей. Fij=Fmaj(sin((XrXj)/2) при \X\=Xj или Xi=-Xj=x. Fij=0, и Fij=Fmax при:Xi -Xj=7t/2. Fmax 2Ca (С -жесткость упругого элем ента). Такой: вид нелинейности приводит к появлению характерных точек эллиптического (неустойчивого типа - маятники в верхнем положении) и гиперболического типа. Характер движений маятников будет зависеть от начальных; условий и параметров системы. Рассмотрим свободные колебания системы - маятники одинаковые.
В этом случае независимо, от величины упругой связи связанность координат максимальная. На рис. 4.17 и 4.18 : приведены траектории изображающей точки в зависимости от различных начальных условий. Для системы связанных маятников с малым значением квазиупругого коэффициента при начальных условиях уО =[3 0; 3 0; -3 0] (где угловые перемещения (рад) и изображающей точки изображающей точки скорости маятников) движение системы характеризуется тем, что амплитуда колебаний маятника №2 не больше 3-х радиан, а маятники №1 и 3 могут и вращаться (рис. 4.17). На рис. 4.18 приведена система связанных маятников (квазиупругий коэффициент связи значительно больше, чем в предыдущем варианте) при начальных условиях у0=[3 0; -7 0; -3 0]. В этом случае все три маятника могут вращаться. Эти начальные условия по перемещениям для маятников принятые близкими верхнему положению (Х;=3,14), были выбраны такими для того, чтобы получить.в системе переходы через гиперболическую точку, где энергия системы ниже, чем в начальный момент времени. На рис. 4.19 приведены возможные траектории движения изображающей точки (заполнение конфигурационного пространства) при других начальных условиях. Например, при задании одинаковых начальных условий для одинаковых маятников траектория изображающей точки системы будет иметь вид прямой (рис. 4.20,а). В этом случае фрактальная размерность пространства определенная по одной из координат, близка к d=I,0 (рис. 4.20,6). Происходит насыщение при увеличении величины п. Маятники двигаются синфазно. Эти движения могут быть описаны движением одного маятника. Для точного определения dH годится лишь некоторый прямолинейный участок, лежащий между очень большими и очень малыми значениями l/r[l9S]. Кососимметричная форма движений маятников приводит к движению изображающей точки в конфигурационном пространстве по плоской поверхности (рис. 4.21,а). Система может быть описана двумя степенями свободы, d=2,0 (рис. 4.21,6). Изменение начальных условий (например, Х,(0)=[0,3 0; 0,3 0; —0,1 0]) приводит к изгибу плоскости траекторий изображающей точки (рис. 4.22,а). В этом случае минимальная; размерность пространства также равна ё=2,0(рис. 4.22,6). Полученная поверхность изометрична плоскости. Приведем еще: примеры возможных, движений в системе содержащей одинаковые маятники со слабой упругой связью (рис. 4.23), зависящие от начальных, условий. Движение осуществляется по сложным поверхностям. Фрактальная размерность этих траекторий больше 2,0. Приведенные выше обобщения структурных особенностей динамических взаимодействий связанны с понятием неоднородности структурных и динамических показателей; систем.
