Содержание к диссертации
Введение
1. Современное состояние вопроса 10
1.1 Исследование контактной податливости 10
1.2 Напряженное состояние составных цилиндров 13
1.3 Напряженное состояние составных колец с учетом контактной податливости 17
2. Исследование контактной податливости поверхностей с различной шероховатостью 29
2.1 Особенности структуры металлических поверхностей 29
2.2 Сближение поверхностей контакта при нагружении 31
2.3 Определение параметров аппроксимирующих функций 45
3. Напряженное состояние составных цилиндров и колец при осесимметричной нагрузке 51
3.1 Напряженное состояние составных цилиндров при посадке слоев с натягом 51
3.2 Исследование напряженного состояния составных цилиндров по результатам измерения объема межслойного пространства 60
3.3 Напряженное состояние при посадке бандажа на сплошной диск с различной шероховатостью 69
3.4 Анализ напряженного состояния и оценка прочности составных цилиндров и колец 81
4. Напряженное состояние цилиндров и составных колец при неосесимметричной нагрузке по результа там решения МКЭ 93
4.1 Дискретное моделирование в плоской задаче теории упругости... 93
4.1.1 Основные уравнения непрерывной математической модели напряженного состояния деформируемого тела 93
4.1.2 Основные уравнения дискретной математической модели напряженного состояния деформируемого тела 96
4.2 Решение тестовых задач для определения точности программного комплекса МАКРАМЕ 99
4.2.1 Кольцо, нагруженное снаружи равномерным давлением... 100
4.2.2 Сжатие кольца по толщине стенки двумя сосредоточенными силами 104
4.2.3 Сжатие кольца диаметральными сосредоточенными силами 111
4.2.4 Контактная задача для монолитного цилиндра, нагруженного распределенной по длине диаметральной силой и опирающегося на жесткую полуплоскость 112
4.3 Решение контактной задачи для цилиндров, нагруженных распределенной по длине диаметральной силой и опирающихся на жесткую полуплоскость, с учетом шероховатости 118
4.3.1 Контактная задача для монолитного цилиндра 118
4.3.2 Контактная задача для полых цилиндров 120
4.4 Напряженное состояние составного кольца, сжатого по толщине стенки двумя распределенными силами при идеальном контакте и с учетом шероховатости контактирующих слоев 125
4.5 Анализ напряженного состояния и оценка прочности цилиндров и составных колец 130
5. Аналитическое решение плоской задачи теории упругости для составных колец, нагруженных по внутреннему и наружному контурам неосесимметричной нагрузкой 143
Заключение 166
Список использованных источников 168
Приложения 182
- Напряженное состояние составных цилиндров
- Исследование напряженного состояния составных цилиндров по результатам измерения объема межслойного пространства
- Основные уравнения непрерывной математической модели напряженного состояния деформируемого тела
- Сжатие кольца по толщине стенки двумя сосредоточенными силами
Введение к работе
Актуальность темы. Составные кольца и цилиндры широко применяются в самых разных областях машиностроения. От напряженного состояния (НС) посаженных друг на друга колец и цилиндров зависит безаварийная работа ответственных конструкций. Это втулки и кольца в опорах редукторов, бандажи колес электровозов, корпуса многослойных сосудов давления в химическом машиностроении. В современных методах расчета и проектирования знание НС деталей конструкции необходимо для оценки статической, циклической и хрупкой прочности конструкции и при определении ее остаточного ресурса.
Вопросам решения плоских задач теории упругости посвящена обширная литература, развиты мощные методы аналитического и численного решения задач в трудах Н.И. Мусхелишвили, СП. Тимошенко, А.И. Лурье и других авторов. Многослойные конструкции исследованы в работах С.А. Амбарцумяна, А.Я. Александрова и Л.М. Куршина, В.В, Болотина и Ю.Н. Новичкова, Э.И. Григолюка, Ю.В. Немировского, Г.С. Шапиро и B.C. Никишина и других ученых.
В тоже время стальные составные конструкции имеют ряд особенностей, которые затрудняют применение к ним общих методов решения плоских задач теории упругости и теории оболочек. Это, прежде всего, неидеальность поверхностей сопрягаемых деталей, которая приводит к сложному контактированию деталей и возникновению в_зоне контакта промежуточного слоя, характеристики которогонелинейно зависят от давления. Другая особенность составных конструкций заключается в том, что в направлении нормали к поверхности контакта они являются системами с односторонней связью: детали воспринимают только напряжения сжатия и отстают друг от друга при возникновении напряжений растяжения на линии контакта. Это вызывает дополнительные нелинейности в задачах о НС составных конструкций, учет которых осуществлен в настоящее время недостаточно полно.
Исследование НС составных колец и цилиндров с учетом реальных особенностей контакта деталей, разработка математических моделей НС составных колец и цилиндров являются актуальной задачей в современных расчетах на прочность составных деталей.
Целью диссертационной работы являются расчетные исследования НС составных цилиндров и колец с учетом односторонних контактных связей и
уточненной нелинейной зависимости сближения контактирующих поверхностей от давления; разработка системы тестов, обеспечивающей оценку достоверности используемых расчетных методик исследования плоского НС рассматриваемых составных колец и цилиндров; создание программных средств, реализующих разработанные методы расчета.
Основные задачи, решаемые для достижения поставленной цели:
экспериментальные исследования нелинейного контактного сближения механически обработанных поверхностей;
разработка аналитических методов расчета НС осесимметрично нагруженных составных цилиндров с учетом нелинейной контактной податливости и различных систем натягов;
исследование предварительного НС, возникающего в составных цилиндрах при изготовлении их с натягом;
разработка аналитических методов расчета неосесимметрично нагруженных составных колец с учетом нелинейной функции контактной податливости;
решение контактных задач для составных колец методом сопряжения с применением решения плоской задачи для колец методом конечных элементов (МКЭ).
Методы исследований. Экспериментальные исследования контактной податливости проводились на многослойных пакетах образцов из стали 20Г с помощью специально изготовленной установки. Исследования НС опираются на разработанные методы решения плоских задач теории упругости в комплексных переменных и на решение задачи Ляме при осесимметричном нагру-жении. При численном решении задач плоской теории упругости используется МКЭ. Математически задача о НС составного цилиндра с учетом шероховатости поверхностей сводится к решению систем нелинейных алгебраических уравнений. Используется модифицированный метод Ньютона. Ряд алгебраических систем решен с помощью программного средства MAPLE V. Разработанные программы написаны на алгоритмических языках, использующихся в современных ПК.
Научная новизна работы:
- разработана методика расчета НС составных цилиндров, изготовленных с
натягом, с учетом функции нелинейной КП поверхностей, с помощью которой
обнаружены локальные минимумы в эпюре кольцевых напряжений от натяга по толщине многослойной цилиндрической стенки;
установлено соответствие между функцией изменения объема межслой-ного пространства от внутреннего давления в составном цилиндре и видом НС составного цилиндра;
аналитическим методом в комплексных переменных решена контактная задача для составного кольца, нагруженного неосесимметричнои нагрузкой; для двух-, трех- и четырехслойных составных колец выражение коэффициентов ряда для напряжений получены через коэффициенты разложения в ряд нагрузки в замкнутом виде
численным МКЭ исследовано контактное взаимодействие и НС неосе-симметрично нагруженного составного кольца, опирающегося на жесткую полуплоскость;
экспериментально установлены функции контактной податливости механически обработанных поверхностей с шероховатостью 15-30 мкм.
Практическая ценность результатов исследований:
разработанный метод определения системы натягов в многослойном цилиндре по результатам измерения объема межслойного пространства в процессе нагружения сосуда внутренним давлением позволяет качественно оценить НС многослойного сосуда и его допускаемый ресурс;
исследованные функции контактной податливости механически обработанных поверхностей позволяют оценить НС составных колец, изготовленных с натягом;
метод расчета составного кольца при неосесимметричном нагружении позволяет дать практические рекомендации по величинам натяга при формировании, например, колесных пар электровозов, включающих колесный центр с надетым на него бандажом.
В диссертационной работе автор защищает:
методику расчета с учетом функции нелинейной контактной податливости технологических напряжений в составных цилиндрах, изготовленных последовательным надеванием слоев с натягом;
закономерность распределения кольцевых напряжений от натяга по толщине стенки составного цилиндра в зависимости от толщины слоев и системы натягов;
методику определения НС под давлением в многослойных цилиндрах по результатам измерения объема межслойного пространства;
метод решения контактной задачи для неосесимметрично нагруженного составного кольца с использованием решения плоской задачи теории упругости в комплексной форме;
результаты исследования неосесимметрично нагруженных составных колец, полученные применением метода сопряжения при численном решении каждого кольца методом конечных элементов;
функцию нелинейной контактной податливости для механически обработанных поверхностей и методику определения ее параметров.
Внедрение работы. Результаты исследования многослойных цилиндров внедрены в ОАО «ИркутскНИИхиммаш» при проведении расчета остаточноо ре сура, расчеты составных колец использованы при оценке прочности сушильных цилиндров на ОАО Байкальский целлюлозно-бумажный комбинат, что подтверждается актами внедрения. Подана заявка на изобретение на способ посадки бандажа на колесный центр.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на I и II международных конференциях «Проблемы механики современных машин» (Улан-Удэ, июнь 2000 г., 2003 г.); научно-технической конференции ИрГУПСа (Иркутск, декабрь 2000 г.); VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, август 2001 г.); научно-технической конференции ИВАИИ (Иркутск, декабрь 2001 г.); научной конференции «Проблемы динамики и прочности исполнительных механизмов и машин» (Астрахань, октябрь 2002 г.); XXIII Российской школе по проблемам науки и технологий (Миасс, июнь 2003 г.).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 статей.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти разделов, заключения, и приложений. Общий объем работы - 181 страница, включая 40 таблиц, 60 рисунков и список литературы из 178 наименований. Диссертация имеет приложение с результатами расчетов и актами внедрения.
В первой главе дается литературный обзор решений контактных задач осесимметрично и неосесимметрично нагруженных составных колец и цилиндров, особенно с учетом шероховатости поверхностей. В результате анализа
имеющихся работ выбран метод расчета многослойных цилиндров с учетом контактной податливости, разработанный в трудах П.Г. Пимштейна с сотрудниками. В задачах сопряжения составных колец автор опирался на работы Л.Б. Цвика и использовал программный комплекс МАКРАМЕ, разработанный в ИМАЩ СИ. Федотовой под руководством Б.А. Щеглова, а затем в Иркутск-НИИхиммаше с участием Л.Б. Цвика.
Во второй главе приведены результаты экспериментальных исследований функции контактной податливости для механически обработанных поверхностей, полученные измерением сближения поверхностей на многослойных пакетах. Исследования производились автором в лаборатории В.К. Погодина в ОАО «ИркутскНИИхиммаш».
В третьей главе исследуется НС составных цилиндров и колец учетом контактной податливости шероховатых и волнистых поверхностей при осесим-метричном нагружении. Автором предложена методика расчета предварительных напряжений в составных цилиндрах и получены новые результаты [126 — 129]. Предложена методика качественной оценки НС составных цилиндров по результатам измерения объема межслоиного пространства [9]. Приведена оценка прочности составных цилиндров с учетом плотности прилегания слоев. Дана оценка прочности бандажа, надетого на колесный центр в виде диска.
В четвертой главе рассматривается НС цилиндров и составных колец при неосесимметричном нагружении. Задачи решаются МКЭ. Алгоритм решения контактных задач основан на минимизации невязок перемещений. Тестирование производится на задачах, имеющих аналитическое решение. Получены новые результаты как для цилиндров, опирающихся на жесткую полуплоскость, так и для составных колец [8]. Приведен анализ НС и оценка циклической прочности колец.
В пятой главе приведено аналитическое решение контактной задачи для составного цилиндра или кольца, нагруженного по внутреннему и наружному контурам неосесимметричной распределенной нагрузкой р = p(Q) [10], [11], [130]. Произведено тестирование полученного решения, реализованного в среде MAPLE V, на примерах, имеющих аналитическое решение.
На основе проведенных исследований автором предложены практические рекомендации по оценке прочности и совершенствовании конструкций, включающих составные кольца и цилиндры.
Работа выполнялась в Иркутском Государственном Университете Путей Сообщения и в ОАО «ИркутскНИИхиммаш». Автор считает своим долгом выразить благодарность Генеральному директору ОАО «ИркутскНИИхиммаш», члену РИА, профессору Кузнецову A.M. за поддержку в работе, старшему научному сотруднику, к.т.н. В.Н. Жуковой и доценту, к.т.н. А.Н Панасенко за помощь в реализации разработанных алгоритмов на ПК и всем сотрудникам ОАО «ИркутскНИИхиммаш», которые помогали автору в выполнении этой работы.
Напряженное состояние составных цилиндров
Расчеты напряженного состояния многослойных цилиндров, проделанные впервые А.В. Гадолиным [31] и детально развитые Н.Ф. Дроздовым [65], были затем многократно повторены в различных вариациях в технической литературе. В работах [13, 14, 55, 99, 100] из рассмотрения НС многослойных цилиндров, изготовленных с натягом, делается вывод о возможности уменьшения их расчетной толщины. Расчеты производятся по допускаемым напряжениям, при этом не учитывается возможность снижения предварительных напряжений из-за релаксации и игнорируется расчет по несущей способности, хотя известно, что предварительное напряженное состояние в любом случае не повышает несущую способность при единовременном нагружении. В работах [56, 148] из аналогичных предпосылок рассчитываются гильзованные цилиндры, полученные последовательной горячей посадкой слоев. Во многих работах исследуется НС многослойных цилиндров, изготовленных из материалов с различными физико—механическими свойствами. В работе [69] рассматривается многослойный толстостенный цилиндр, нагружен ный внутренним давлением и перепадом температур, в котором свойства материалов переменные по толщине стенки и слои анизотропные. Приведено решение краевой задачи и пример расчета. Аналогичная задача решается в [170] с учетом напряжений от вращения и сил трения между слоями при постоянной и непостоянной осевой деформации. В работе [25] та же задача со ступенчатой неоднородностью слоев решается заменой ступенчатой неоднородности на непрерывную, и сравниваются решения для ступенчато-неоднородных и непрерывно-неоднородных сред. Иной подход к задаче о НС многослойного цилиндра с разными модулями упругости использован в [147]. Решая задачу Ляме для многослойного цилиндра с разными модулями и с одним приведенным модулем, из равенства перемещений определяют приведенный модуль упругости, а затем решают более сложную задачу для однослойного цилиндра с приведенным модулем. В работе [96] задача о нелинейно-упругом 2-х слойном цилиндре решается разложением функции в ряд по малому параметру. Сопоставление расчета многослойных цилиндров по предельным нагрузкам в предположении несжимаемости и плоской деформации, изложенного в [59, 58, 57] с результатами разрушения двух экспериментальных сосудов показало достаточную точность этого метода расчета. Общим недостатком перечисленных работ применительно к расчету мно гослойных сосудов, изготовленных из стали, является предположение об иде альном контакте слоев. В реальных сосудах слои прилегают с зазорами, вызьь ваемыми шероховатостью и волнистостью поверхностей, поэтому необходимо учитывать контактную податливость многослойной стенки. Учет этого явления можно осуществить в рамках подхода [19, 18], вводя дополнительные очень тонкие слои, обладающие свойствами, нелинейно зависящими от внешних сил.
Однако такой подход вызывает трудности при численной реализации из-за малой толщины «мягких» слоев. Качественное описание НС многослойного цилиндра с учетом неплотного прилегания слоев дано в [177]. В работе [109] наряду с результатами экспериментальных исследований многослойных сосудов приведены без формул результаты числовых расчетов в упругой и пластической зонах многослойного сосуда с постоянными зазорами. Графики изменения напряжений от давления для внутренней поверхности сопоставляются с экспериментальными данными и делается вывод, что зазоры при опрессовке составляют 0,1 - 0,2 мм, а в упругой зоне - 0,07 мм. Аналогичные результаты получены в работе [81], где предполагается, что зазоры между слоями выбираются уп руго, а затем цилиндр можно рассматривать как монолитный в пластической зоне. На IV Международной конференции по технологии изготовления СВД в 1980 году была представлена работа [178], в которой предлагается новый подход к определению НС многослойных сосудов. Между слоями вводится упругая прослойка с модулем, обратно пропорциональным зазору между слоями. Контактные давления определяются из условий сопряжения слоев, при этом осевые напряжения предполагаются постоянными по толщине стенки. Это в принципе неверно для длинного цилиндра, в котором постоянной является осевая деформация. В этой работе указывается на оценку плотности прилегания слоев в немецких и американских нормах по отношению замеренных кольцевых напряжений на наружной поверхности к напряжениям в монолитном цилиндре. По нормам кода ASME требуется, чтобы это отношение было больше 0,5, а по немецким нормам - больше 0,6. Расчет напряженного состояния многослойных цилиндров с учетом контактной податливости развит в работах [115 — 125, 73]. При расчете напряженного состояния в этих работах каждый слой і рассчитывается как толстостенный цилиндр, нагруженный внутренним давлением /?;./ и наружным давлением Pi, а неизвестные контактные давления pt находятся решением системы нелинейных алгебраических уравнений, полученных из условия сопряжения слоев. Условия сопряжения слоев і +1 на радиусе г, в многослойном сосуде, слои которого посажены с натягом Л, записываются в перемещениях и, с учётом сближения базовых поверхностей слоев [120], [73] Радиальные перемещения в слоях выражаются через напряжения с помощью закона Гука а кольцевые и радиальные напряжения в слое / определяются от действия давлений по слоюpi.j на радиусе гк.} ирі на радиусе rt по формулам Ляме. Осевые напряжения в каждом слое выражаются через постоянную по толщине стенки осевую деформацию ., которая определяется из условия равновесия осевых сил в цилиндре с днищами
Исследование напряженного состояния составных цилиндров по результатам измерения объема межслойного пространства
О плотности прилегания слоев в составном цилиндре можно судить по объему межслойного пространства, который определяется экспериментально. Для этого межслойное пространство составного цилиндра 1 тщательно герметизируется и к нему присоединяется манометр 2 и баллон 3 с известным объемом Fg, снабженный вентилем 4 (рис. 3.3). Измерение объема межслойного пространства VM производится следующим образом: баллон 3 с известным объемом V6 заполняется воздухом под давлением/ и вентиль 4 перекрывается; затем баллон герметично подсоединяют к межслойному пространству составного цилиндра и вентиль открывается. При этом в общем объеме межслойного пространства составного цилиндра и баллона (V6+ VM) устанавливается давление рм. Используя закон Бойля-Мариотта, где AVM - объем присоединительной системы и изменение объема межслойного пространства под действием давления рм. Замеряя объем межслойного пространства при разных давлениях р внутри сосуда можно получить зависимость VM— VJp).Очевидно, что характер этой зависимости определяется величиной натягов, с которыми изготовлен составной цилиндр. Зная величину натягов Д( можно рассчитать напряженное состояние в каждом слое и межслойные расстояния (зазоры) yt между базовыми поверхностями слоев на радиусе г,. На рис, 3.4-3.5 на примере многослойного цилиндра с внутренним радиусом г о = 307 мм, центральной обечайкой толщиной s\ = 20 мм, двенадцатью слоями толщиной s = 5 мм и наружным слоем толщиной Системы натягов были приняты, в мм: Д] = 0,17, Д2 = 0,16, ... Ди= 0,05 для цилиндра №1, Ді = Д2 = ...= Діз = 0,108 для цилиндра№2 и Ді = 0,05, Д2 = 0,06,... Діз = 0,17 для цилиндра №3. Давление внутри цилиндра изменялось от 0 до 60 МПа.
Параметры функции контактной податливости взяты для стального проката стали 10Г2С1: а- 0,645, уо = 0,2165 мм,/? = 0,107 МПа. Результаты расчетов у , VM сведены в таблицу 3.2. Там же в последнем столбце приведены сближения поверхностей слоев 5І после нагружения давлением р = 60 МПа 3 = Я(0) - М60) и в последней строке - объём вытесненного деформированием слоев воздуха Каждой системе натягов Д, соответствует свое напряженное состояние, как предварительное при р = 0, так и от давления р = 60 МПа. Эпюры кольцевых напряжений для всех трех цилиндров приведены на рис. 3.6 - 3.7: предварительные напряжения от системы натягов (рис. 3.6) и напряжения от давления за вычетом предварительных напряжений (рис. 3.7). Из приведенных эпюр напряжений видно, что напряженное состояние во всех трех цилиндрах существенно различается. Минимальные напряжения на внутренней поверхности возникают в цилиндре 1, а максимальные — в цилиндре 3. При этом средний натяг Д (или средний зазору ) во всех трех цилиндрах одинаковый. Поскольку в результате измерений объема межслойного пространства можно рассчитать только среднюю величину зазора то для оценки распределения зазоров по слоям необходимо привлечь дополнительную информацию в виде зависимости VM = VM (р). Из графиков, приведенных на рис.3.4, видно, что эти зависимости для разной системы натягов раз личаются. Если по определенной экспериментально средней величине зазора/ рассчитать теоретическую зависимость VM=VM(p) при среднем натяге Д = у0 - у , то сопоставляя полученную расчетную зависимость с экспериментальной, можно сделать вывод о том, какому виду системы натягов соответствует экспериментальная кривая V = V (p)- При V VMP это система натягов аналогичная системе натягов в цилиндре 1, а при VJ V это система натягов аналогичная системе натягов в цилиндре 3. Соответствующий вывод можно сделать и о величине напряжений от давления на внутренней поверхности цилиндра.
Анализируя графики распределения у( по толщине стенки (рис. 3.5), следует отметить, что при максимальном давлении р = 60 МПа зазоры у\ на радиусе г} во всех трех цилиндрах практически совпадают и равны 0,005-0,006 мм. С другой стороны, во всех цилиндрах зазоры уп-\ под наружным слоем не изменяются при нагружении внутренним давлением и равны исходной величине уп-\ для каждого цилиндра. Для выяснения однозначности или неоднозначности распределения зазо ров у по толщине стенки при заданной функции V =VJ(p) был поставлен численный эксперимент на четырехслойном цилиндре с параметрами rQ = 500 мм, S) = 20 мм, $2 = «з = 4 мм, s4 8 мм. При среднем натяге А =0,12 мм были рассчитаны 7М = 7М (р) ( 7М (5) = 76,2, 7М (20) = 27,5, 7М (35) = 18,6), а за тем был организован итерационный процесс со сходимостью по натягам Результаты численных исследований сведены в таблицу 3.3, в которой приведены значения исходных систем натягов с соответствующими объемами межслойного пространства VM = jylri и значения натягов, при которых итера ционный процесс сходится с точностью до 1%-т- 2%. Как видно из приведенных результатов, одной и той же зависимости VM =VM(p), выполняемой с точностью до 1%, соответствует множество систем натягов. Таким образом, можно сделать вывод, что задача определения по известной зависимости VM = VM (р) распределения зазоров по слоям не имеет однозначного решения. В то же время
Основные уравнения непрерывной математической модели напряженного состояния деформируемого тела
В этом разделе приведены основные уравнения непрерывной и дискретной математической модели НС деформируемого тела, которая была реализована на ПК в виде программного комплекса МАКРАМЕ на базе метода конечного элемента с билинейной функцией формы. Приводятся результаты тестирования этого комплекса при решении плоско-напряженной задачи для колец при на-гружении их наружным давлением (задача Ламе) и при сжатии кольца двумя сосредоточенными силами по толщине стенки и по диаметру. Тестирование предложенного метода решения контактной задачи произведено для монолитного цилиндра, нагруженного распределенной по длине диаметральной силой и опирающегося на жесткую полуплоскость (задача Герца). Приведено решение этой задачи с учетом шероховатости поверхности. Решена задача о нагружении диаметральной силой полых цилиндров, опирающихся на жесткую полуплоскость при идеальном контакте и с учетом шероховатости поверхности. Исследовано НС составного кольца, сжатого по толщине стенки двумя распределенными силами при идеальном контакте и с учетом шероховатости поверхности. Дан анализ НС и оценка прочности цилиндров и составных колец. В подразделе дается краткая сводка соотношений теории упругости и МКЭ, необходимая для обоснования корректности и эффективности используемых подходов к дискретному моделированию колец (цилиндров). Рассматривается плоское напряженное состояние твердого тела. Предполагается, что среда однородна, изотропна и начальные напряжения в ней отсутствуют. Перемещения и деформации точек предполагаются малыми. Пусть и — вектор перемещений точек упругой среды; Е - модуль продольной упругости; v - коэффициент Пуассона. В случае плоского напряженного состояния [155] рассматривается деформирование тонкой пластины нагрузками, действующими в её плоскости. Рассмотрение в этом случае ведётся в декарто вых координатах х, у, компоненты перемещений по этим осям обозначаются их иуь а компоненты деформаций определяются равенствами Наряду с отдельными компонентами рассматривается также вектор (в смысле линейной алгебры), составленный из компонентов деформаций где верхний индекс Т означает операцию транспонирования.
Для этого вектора из (4.1) следует представление [137] где матрица дифференциальных операторов Л имеет Поле напряжений в точках среды описывается тензором напряжений Т с компонентами, удовлетворяющими соотношениям Предполагается, что при упругом характере деформирования выполняются уравнения закона Гука, т.е. (4.9) Здесь D - матрица упругих констант, а векторы а и є, составленные из компонентов соответствующих тензоров, понимаются как векторы в смысле линейной алгебры. системы координат в рассматриваемой точке М. Предполагается, что компоненты вектора перемещений являются функциями достаточно гладкими, чтобы величины, определяемые равенствами (4.10), (4.11), существовали в рассматриваемой области почти везде. Рассмотрим плоское упругое тело с границей S. Уравнения теории упругости в перемещениях записываются в виде [95] 2v Уравнения (4,12) рассматриваются в теле с границей S = Su + Sa + Sua при краевых условиях определяемые равенствами (4.14), являются краевыми условиями смешанного типа: по нормали к кривой Suo задаются перемещения точек этой кривой, в касательном направлении задаются силовые внешние воздействия. Вектор т ориентирован при этом так, что в координатной плоскости XOY пара единичных векторов т, v, так же как и единичные векторы i, j, определяют правую систему координат. Символ " ", входящий в уравнения (4.13)-(4.14), означает скалярное произведение векторов или произведение вектора и тензора [95]. На границе Su задаются касательные и нормальные перемещения, на границе Sc — касательные и нормальные напряжения. Правые части уравнений (4.13), (4.14), как и граница S предполагаются достаточно гладкими для существования решения краевой задачи (4.12) - (4.14), непрерывного со своей производной почти везде в рассматриваемой области. Численная реализация математической модели, заданной уравнениями (4.12) — (4.14), осуществляется с помощью МКЭ в форме метода перемещений [76]. Рассмотрим поперечное сечение цилиндра, разбитое на изопараметриче-ские конечные элементы (КЭ), число которых равно Ne. Рассмотрим также некоторый конкретный КЭ, номер которого равен е, e Ne. Пусть Ue — вектор-столбец узловых перемещений этого элемента, составленный из последовательности пар узловых перемещений /?, Ufyt і = 1,2, ..., т, где т — число узлов рассматриваемого КЭ. Для обозначения векторной функции, описывающей поле перемещений в пределах конечного элемента, далее используется термин "вектор распределённых перемещений (деформаций, напряжений и т.п.)". Вектор таких перемещений ис представляется в виде где N( ,T) - матрица известных интерполирующих функций (функций формы). Последние рассматриваются как функции локальных координат {;, rj изо-параметрического КЭ, в которых этот элемент является некоторым единичным квадратом[143] Для вектора распределенных деформаций в пределах КЭ из (4.3), (4.15) При вычислении матрицы В с помощью второго равенства (4.17) следует учитывать, что дифференциальные операторы матрицы А определены в координатах х, у, а функции формы - в локальных координатах \, Т, связанных с конечным элементом е. Так как элементы изопарамстрические, то исходные декартовы (далее - глобальные) координаты xty связаны с локальными координатами , г в пределах элемента е соотношением где Xе (4, т}) - вектор с компонентами х, у, изменяющимися в пределах конечного элемента, хе- вектор числовых значений координат узлов элемента е. Вектор напряжений в пределах КЭ определяется равенством (4.8), из которого, с учётом (4.17), следует формула Соотношения (4.17)-(4.21) позволяют свести непрерывную математическую модель деформируемого тела (4Л2) - (4.14) к дискретной. Для этого необходимо предположить непрерывность искомого поля перемещений в дискре-тизованном на КЭ деформируемом теле и ввести в рассмотрение глобальный (т.е. включающий в себя все компоненты для всех узлов дискретной модели, которые предварительно необходимо пронумеровать) вектор узловых перемещений
Сжатие кольца по толщине стенки двумя сосредоточенными силами
В качестве второго теста рассмотрено плоско-напряженное состояние кольца, сжатого по толщине стенки двумя сосредоточенными силами (рис. 4.2, а). Аналитическое решение такой задачи методами теории функций комплексных переменных было предложено Д.В. Вайнбергом [27]. В работе приводятся трех радиусах кольцевого плоского диска (?] = pIR 0,5; 0,7; 1). При решении этой задачи с помощью МАКРАМЕ рассчитывалось кольцо единичной толщины с наружным радиусом Л = 400 мм и внутренним радиусом г = 200 мм. Результаты расчетов представлены в виде таблицы и эпюр для безразмерных коэффициентов ад и аг. Анализировалась половина кольца, т.к. задача симметрична относительно оси, проходящей через центр кольца и точки приложения сил. Кольцо нагружено в узле №67 с координатами ( х = 0; у = 400) сосредоточенной силой /72 и закреплено по оси Г в узле №1 (х = 0;у = 200) (рис. 4.2, б). Отсчет угла ведется от оси Y, направленной вертикально вверх. На этапе предварительной разбивки кольцо было разделено на 100 строк по длине окружности (80 - в верхней четверти и 20 - в нижней) и 33 столбца по радиусу. Принцип разбиения такой же, как в первой тестовой задаче (рис. 4.1).Фрагменты сетки в зонах приложения нагрузки и закрепления представлены на рис. 4.3. Количество строк и столбцов подбиралось таким образом, чтобы форма четырехугольного элемента была близка к квадрату. Отношение сторон четырехугольного элемента в зоне приложения силы составляет—1,3 (рис. 4.3, а), в зоне закрепления —1,6 (рис. 4.3, б). Для простоты анализа прикладываемая сила Р рассчитывалась по формуле P = 7vR чтобы полученные в результате работы программы кольцевые и радиальные напряжения были равны по значению соответственно безразмерным напряжениям а& и аг.
На графиках (рис. 4.4) представлено изменение погрешности безразмерных напряжений S, рассчитываемой, как разность безразмерных напряжений по Вайнбергу и по МКЭ, в зависимости от угла G и степени сгущения конечно-элементной сетки. Коэффициент локального сгущения к соответствует сгущению сетки в зонах приложения сосредоточенной силы и закрепления в 2 раз. Как показывают проведенные расчеты, максимальная погрешность для в = 2 составляет на наружной поверхности 6 = 6,5 при к = 2 (рис. 4.4, б) и на внутренней поверхности S = 3,2 для к = 3 (рис. 4.4, а), а при дальнейшем сгущении сетки погрешность стабилизируется и составляет = 1 - 1,5. Погрешность на внутренней и наружной поверхности кольца для 0=5 при к — 2, 3 и 4 практически не изменяется. При дальнейшем сгущении сетки происходит увеличение погрешности. Таким образом, нельзя сказать однозначно, что увеличение локального сгущения сетки приведет к уменьшению погрешности расчета безразмерных напряжений. Наиболее приемлемыми с нашей точки зрения являются результаты расчета в зонах приложения сосредоточенной силы и закрепления, полученные при сгущении сетки в 24раз (к = 4). Это подтверждают графики зависимости погрешности SOT числа узлов конечно-элементной сетки N, приведенные на рис. 4.5. Коэффициенту локального сгущения к = 4 на этих графиках соответствует точка N= 14539. Погрешности безразмерных напряжений при сгущении к А на внутренней поверхности (рис. 4.5, а) и на наружной поверхности (рис.4.5, б) примерно равны и не превышают 1,25. При этом размеры конечных элементов в миллиметрах составили 0,49x0,37 на радиусе 400 мм и 0,24x0,37 на радиусе 200 мм. В таблице 4.2 представлены значения коэффициентов ад и аг для трех радиусов согласно Д.В. Вайнбергу ( [В] ) и результаты расчетов МКЭ по программе МАКРАМЕ (МКЭ).
Зона недостоверности, соответствующая погрешности не более 10 % составляет 0=2 градуса (11 конечных элементов) для радиальных напряжений мальное отклонение кольцевых напряжений от рассчитанных Д.В. Вайнбергом отмечается на всех радиусах в точке в= 2, т.е. близкой к зонам возмущения (зоне приложения сосредоточенной силы и зоне закрепления). Для того, чтобы уменьшить зону недостоверности, сосредоточенная нагрузка была заменена на распределенную по контуру на длине четырехугольного элемента. При этом предварительную разбивку кольца увеличили вдвое, а коэффициент локального сгущения приняли равным 3, т.е. размеры конечных элементов в зоне приложения нагрузки не изменились. Как показали результаты расчета, задание распределенной нагрузки вместо сосредоточенной силы уменьшает погрешность расчета кольцевых напряжений на внутреннем радиусе на пяти градусах, но увеличивает на двух градусах (рис. 4.6). На среднем и наружном радиусах картина практически не меняется. Таким образом, при одном и том же размере конечных элементов замена сосредоточенной силы в точке на нагрузку, распределенную по линейному закону на одном элементе, уменьшает зону недостоверности в 2 - 2,5 раза только на внутреннем радиусе кольца. Погрешность расчета радиальных напряжений практически не зависит от способа задания нагрузки и за пределами зоны недостоверности 9 2 коэффициенты а„ полученные по результатам работы комплекса МАКРАМЕ и рассчитанные Д.В. Вайнбергом, демонстрируют хорошую сходимость (рис. 4.7).
Похожие диссертации на Напряженное состояние и прочность составных цилиндров и колец с учетом контактной податливости
