Содержание к диссертации
Введение
1. Динамика упругой цилиндрической оболочки при взаимодействии со слоем вязкой несжимаемой жидкости 16
1.1. Основные положения 16
1.2. Физическая модель поплавкового маятникового акселерометра (ПМА) 16
1.3. Математическая модель 21
2. Решение задачи динамики в случае абсолютно твердого корпуса прибора 35
2.1. Постановка задачи 35
2.2. Переход к безразмерным переменным 38
2.3. Реакции слоя жидкости, действующие на поплавок 41
2.4. Решение задачи гидродинамики в цилиндрической щели 45
2.5. Решение задачи гидродинамики в левой торцевой щели 59
2.6. Решение задачи гидродинамики в правой торцевой щели 66
2.7. Определение давления и компонент вектора скорости 68
2.8. Гидродинамические силы, действующие на поплавок ПМА
и закон движения центра масс поплавка 74
2.9. Гидродинамический момент в ПМА. Вибрационный возмущающий момент 81
3. Решение задачи динамики для поплавкового гироскопа с абсолютно твердым корпусом 91
3.1. Гидродинамические силы, действующие на поплавок поплавкового гироскопа и закон движения центров масс поплавка и ротора гироскопа 91
3.2. Гидродинамический момент в поплавковом гироскопе. Вибрационные возмущающие моменты 97
4. Решение задачи упругогидродинамики в случае упругого корпуса прибора 102
4.1. Постановка задачи и построение математической модели 102
4.2. Переход к безразмерным переменным 104
4.3. Решение задачи гидродинамики 110
4.4. Определение упругих перемещений цилиндрического корпуса прибора 129
4.5. Определение давления и компонент вектора скорости 156
4.6. Силы, действующие на поплавок ПМА 159
4.7. Закон поступательного движения поплавка 160
4.8. Момент, действующий на поплавок ПМА со стороны слоя жидкости. Вибрационный возмущающий момент 166
Заключение.172
Литература 176
Приложения 191
- Физическая модель поплавкового маятникового акселерометра (ПМА)
- Переход к безразмерным переменным
- Гидродинамический момент в поплавковом гироскопе. Вибрационные возмущающие моменты
- Переход к безразмерным переменным
Введение к работе
Актуальность. В настоящее время условия эксплуатации современных изделий приборо- и машиностроения таковы, что они подвергаются воздействиям значительных перегрузок и различного рода вибрациям, обусловленным разнообразными источниками. Технические требования привели к необходимости использования упругих оболочек, которые обеспечивают необходимую прочность приборов и машин одновременно со снижением их массы и материалоемкости. Таким образом, запросы современной техники привели к необходимости построения и исследования математических моделей систем «упругая оболочка-жидкость-твердые тела», на основе которых возможно решение различных прикладных задач.
Основными элементами конструкций различных высокоточных чувствительных поплавковых приборов являются сложные механические системы, состоящие из твердых, жидких и упругих тел. Практикой подтверждается необходимость учета влияния упругой податливости конструкций включающей жидкость, однако исследование данной системы представляет собой чрезвычайно сложную и трудоемкую задачу, даже в простейших постановках, требуя разработки и исследования сложных математических моделей механических систем, учитывающих динамическое взаимодействие между твердыми, упругими и жидкими телами, составляющими данную систему. Таким образом создание и исследование механических систем, позволяющих максимально приблизиться к оригиналу, а также поиск подходящих форм записи приемлемых для инженерной практики разрешающих дифференциальных уравнений и методов их интегрирования, позволяющих исследовать динамические процессы в данных системах, уточнить вибрационную погрешность поплавковых маятниковых акселерометров и гироскопов являются актуальными проблемами в современном приборостроении.
В работе рассмотрены некоторые из таких моделей, построенные для поплавковых акселерометров и гироскопов. Для данных приборов принципиальными элементами являются упругая замкнутая цилиндрическая оболочка, заполненная жидкостью, и взвешенный в ней абсолютно твердый поплавок. В рассмотренных моделях принимается во внимание, что приборы подвержены значительным вибрациям от внешних источников [57-60,93, 102].
Таким образом, задача построения математических моделей, позволяющих исследовать динамику систем «упругая оболочка-жидкость-твердые тела» при воздействии вибрации, и уточнить вибрационные погрешности поплавковых приборов учетом упругой податливости элементов конструкции является важной и актуальной в настоящее время.
Поплавковые маятниковые акселерометры и гироскопы, исследуемые в данной работе, являются прецизионными приборами систем стабилизации, ориентации и наведения, и их точность определяет точность всей системы навигации. Достаточно сказать, что для поплавковых маятниковых
акселерометров погрешность - отклонение нуля -должна быть менее 10"*g, а
предъявляемые требования по дрейфу (некомпенсированная случайная
составляющая) поплавковых гироскопов составляет менее 10~3 град/час, а в
комфортных условиях - менее 10~6 град/час [64, 71].
Исследованию гидроупругости тонкостенных конструкций посвящено множество работ различных авторов, таких как: А.С. Вольмир [29-32], А.Г. Горшков [36-41], Э.И. Григолюк [42-46], М.А. Ильгамов [48-51], Л.И. Могилевич [76-93], B.C. Попов [102], Д.В. Тарлаковский [107], Ф.Н. Шклярчук [110-113] и другие.
Большое число работ посвящено проблемам построения и исследования математических моделей поплавковых и «сухих» приборов. Среди них основополагающими являются работы: К.П. Андрейченко [6-9], О.М. Городецкого [34-35], Л.Г. Лойцянского [70], А.Ю. Ишлинского [52-53], Д.М. Климова [35], С.Ф, Коновалова [61-64], Л.И. Могилевича [76-93],
Е.А. Никитина [96], B.M. Панкратова [98], Д.С. Пельпора [99-101], С. S. Draper [122], R. Kumar [124], R.A. Stein [134] и ряда других.
На первых этапах при исследовании влияния упругих элементов конструкции (корпус поплавка) эти элементы представлялись в виде двухзвенных абсолютно жестких элементов с прямолинейными звеньями и точкой излома. С.Ф. Коновалов и А.А. Трунова [61-64] в своих работах производили учет упругости корпуса поплавкового прибора и других элементов (сильфона), когда эти элементы представляются в виде твердой двухзвенной конструкции с прямолинейными звеньями и точкой излома в середине, либо в виде твердой конструкции прямолинейной формы при консольном закреплении навесного элемента. Однако, такой подход, видимо, приводит к некоторому завышению погрешности из-за упругой податливости.
. Более точный подход связан с использованием тонких оболочек; в.рамках :: которого тонкостенные упругие элементы конструкции, окруженные слоем жидкости, такие как корпус поплавка в поплавковых гироскопах, рассматриваются как упругая замкнутая цилиндрическая оболочка с жестким защемлением на торцах. При этом показано, что учет упругих свойств корпуса поплавка в поплавковых приборах необходим при некоторых параметрах прибора.
К.П. Андрейченко [6-9] в своих работах применил метод осреднения инерционных членов уравнений динамики жидкости с введением поправочных коэффициентов, учитывающих нестационарность профиля скорости. Этот метод позволяет найти присоединенную массу и момент инерции жидкости, коэффициенты демпфирования угловых и поступательных колебаний поплавка, исследовать наиболее полно устойчивость гидродинамической опоры. Однако при исследовании моментов поплавковых приборов этот метод справедлив только для чисел Рейнольдса значительно меньших единицы. Более точно учет влияния инерции жидкости, взаимодействующей с замкнутой цилиндрической оболочкой был проведен в режиме установившихся гармонических колебаний
[85]. В работах [75-81] К.П. Андрейченко, Л.И. Могилевича была исследована упругогидродинамика корпуса поплавка гироскопического прибора, с полным учетом инерционных членов уравнений гидромеханики и даламберовых сил инерции, но корпус прибора считается абсолютно твердым. В работах Л.И. Могилевича, К.П. Андрейченко, В.В. Гурова [77, 91-93] приближенно учитывалась упругость корпуса прибора. Поставленная в этих работах задача не являлась связанной, и на оболочку - корпус прибора оказывало влияние только гидростатическое давление, так как считалось, что поплавок не перемещается, плавая в состоянии нейтрального равновесия. Кроме того, при решении задачи динамики оболочки отбрасывались даламберовы силы инерции. В работах Д.В. Кондратова, Л.И. Могилевича и B.C. Попова [57 - 60] исследовались связанные задачи для поплавковых приборов с учетом
упруГОСТИ.- - -. _-.;. . _._.-...- - . ..::; ;:.-:л' -- .
Во всех этих работах рассматривались случаи симметричного истечения жидкости из радиальной щели в торцевые, и влияние несимметричности торцевого истечения жидкости не рассматривалось. Оно, как оказалось, значительно сказывается на величинах поступательных перемещений поплавка и постоянной составляющей момента, а следовательно на погрешности прибора.
Таким образом, для наиболее полного исследования факторов влияющих на динамику поплавковых приборов, и в частности, влияния упругости корпуса прибора, необходимо построение математической модели, учитывающей инерцию трехмерного движения слоя жидкости, взаимодействующего с упругой оболочкой и абсолютно твердыми телами, а также влияние несимметричности истечения жидкости из радиальной щели в торцевые на гидродинамические силы и моменты в поплавковых приборах.
Целью работы является построение комплексной математической модели для исследования динамики сложных механических систем, состоящих из упругой цилиндрической оболочки, взаимодействующей со слоем жидкости и
абсолютно твердыми телами, находящимися внутри оболочки, при несимметричном истечении жидкости из цилиндрической щели в торцевые, при воздействии вибрации применительно к поплавковым датчикам первичной информации в системах навигации и разработка методов исследования таких математических моделей.
Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:
Разработка физико-механической и соответствующей математической модели для сложных механических систем, состоящих из упругой цилиндрической оболочки, содержащей сдавливаемый слой вязкой жидкости и абсолютно твердый поплавок, плавающий в состоянии нейтрального равновесия при несимметричном истечении жидкости из цилиндрической щели в торцы при воздействии вибрации;
-Решение связанной нелинейной задачи упругогидродинамики для
описанной механической системы, включающей в себя задачу гидродинамики в цилиндрической щели, две различные задачи для торцевых щелей, задачу для упругой цилиндрической замкнутой оболочки и для абсолютно твердых тел с соответствующими граничными условиями и условиями согласования при переходе из цилиндрической щели в торцевые под воздействием переносной силы инерции;
3. Определение на основе полученного решения силы и момента,
действующих на поплавок, закона движения поплавка и вибрационной
погрешности для поплавкового маятникового акселерометра и
поплавкового гироскопа при несимметричном торцевом истечении
жидкости, разгружающей опоры поплавка.
Объект исследования и обоснование математической модели и методов ее исследования. Решение сложных нелинейных связанных задач упругогидродинамики проводится методом возмущений [26, 65], Осуществлен переход к безразмерным переменным в указанных выше системах уравнений динамики жидкости и оболочки, сам представляющий собой сложную задачу.
За малые параметры приняты, традиционная в теории смазки, относительная толщина сдавливаемого слоя жидкости и относительный эксцентриситет.
При решении поставленных задач используется одночленное разложение по относительной толщине сдавливаемого слоя жидкости, как это принято в теории смазки [106, 114-117, 120, 131], и двухчленное асимптотическое разложение по относительному эксцентриситету. При этом для исследования динамики приборов используется одночленное разложение в режиме гармонических колебаний, а второй член разложения по относительному эксцентриситету применяется для определения погрешности приборов. Второй член разложения в рассматриваемых задачах не достигает того же порядка что и первый член разложения ни при каких значениях безразмерных переменных и --- безразмерных постоянных параметров подобия, имеющих- физический.смысл.::. Поэтому в данном случае достаточно прямого разложения, и нет необходимости применять более тонкие методы возмущений, такие как метод сращивания асимптотических разложений, метод многомасштабных разложений [26, 65] и другие.
Ввиду присутствия в колебательных системах демпфирования, возникающего за счет сдавливания слоя вязкой жидкости, переходный процесс быстро затухает, влияние начальных условий в конечном итоге перестает сказываться на колебаниях, и возникают установившиеся вынужденные колебания. Таким образом, исследуется режим установившейся вибрации [116, 121, 124, 132] и переходный процесс не принимается во внимание. Математически это означает, что необходимо найти частное решение линеаризованных неоднородных задач, а общее решение соответствующих однородных уравнений не рассматривается. Следовательно, при рассмотрении достаточно длительных во времени процессов можно отбросить с самого начала общее решение однородных уравнений и начальные условия [25]. Данный подход позволил решить сложную нелинейную связанную задачу
динамики твердых тел, вязкой несжимаемой жидкости и упругой цилиндрической оболочки.
Научная новизна. Основной особенностью данной работы является развитие принципа построения и исследования математических моделей механических систем, представляющих собой упругую цилиндрическую оболочку, слой жидкости с погруженным в нем абсолютно твердым телом, при несимметричном истечении жидкости из радиальной щели в торцевые. В ранних работах исследование этих приборов проводилось при симметричном торцевом истечении жидкости, и влияние несимметричности на вибрационную погрешность прибора не рассматривалось.
1. Впервые построена математическая модель поплавковых приборов для
несимметричного истечения жидкости в торцы, при этом были
_.-... поставлены три связанные задачи: для цилиндрической -щели, -и ДЛЯ:.: ;::: каждой торцевой щели с соответствующими граничными условиями, учитывая то, что торцевая щель справа - одного порядка с цилиндрической, а торцевая щель слева - мала по сравнению с цилиндрической.
2. Предложенная математическая модель позволяет выявить совместное
влияние поступательных и угловых колебаний корпуса прибора на закон
поступательного перемещения поплавка, а также на постоянную
составляющую гидромеханического момента, и, соответственно, на
погрешность прибора, в то время как ранее, при исследовании приборов с
несимметричным истечением жидкости, влияние угловых колебаний
корпуса было принято отделять от влияния поступательных колебаний,
так как они действовали независимо. Показано, что как на закон
движения поплавка, так и на постоянную составляющую
гидромеханического момента влияют не только члены, содержащие
отдельно произведения угловых и произведения поступательных
колебаний, но и их совместные произведения, появляющиеся в
уравнениях из-за несимметричности, которые на определенных частотах сильно влияют на поступательные перемещения поплавка и приводят к значительному увеличению постоянной составляющей возмущающего гидромеханического момента, и как следствие, оказывают существенное влияние на погрешность прибора. 3. С помощью построенной математической модели исследовано влияние упругости корпуса прибора на закон движения поплавка и постоянную составляющую момента. При этом угловые колебания корпуса прибора сказываются еще сильнее, чем случае абсолютно жесткого корпуса, как на законе движения поплавка, так и на постоянной составляющей возмущающего момента. Достоверность полученных результатов достигается с помощью
!. ::::_:: ПОСТроеНИЯ: МаКСИМаЛЬНО -ТОЧНЫХ ДЛЯ !. ДОСТИЖЄНИЯ" ПОСТаВЛЄННОЙ. ЦЄЛИ.;.: .
физической и математической моделей приборов, корректной постановки задачи, а также применения классических математических методов и известных методов возмущения для расчета, использования апробированных и основополагающих принципов и подходов теоретической механики, механики жидкости и теории упругости. Решения получены аналитическими методами и имеют физический смысл во всей области определения. Построенная математическая модель в отсутствии угловых колебаний основания, к которому крепится корпус, дает результаты, которые хорошо согласуются с уже известными результатами, полученными другими авторами при исследовании приборов с симметричным истечением жидкости, и не противоречат имеющимся физическим представлениям.
Практическая ценность и реализация результатов. Полученные в
диссертации результаты могут быть использованы для исследования сложных
динамических систем, содержащих упругую цилиндрическую замкнутую
^ оболочку, заполненную жидкостью с взвешенными в ней абсолютно твердыми
телами. Предложенные математические модели поплавковых приборов
позволяют разработчику исходя из известного частотного диапазона вибраций уже на этапе проектирования определить наиболее оптимальные параметры системы, обеспечивающие необходимую точность.
Полученные аналитические решения позволяют исследовать влияние различных факторов на динамику и точность поплавковых приборов, а также быстро и эффективно проводить численные расчеты на ПЭВМ для приборов с заданными параметрами. Результаты исследования использованы в отчетах по грантам РФФИ 05-08-33329а, 06-08-00043а.
Кроме того, предложенная математическая модель может быть использована для определения резонансов колебания оболочки, считая поплавок неподвижным, как для двигателя внутреннего сгорания с водяным охлаждением, применяемым на тепловозах. Резонансы колебаний приводят к „- - _ появлению кавитации.и кавитационному износу гильзы цилиндра двигателя и:': ,. самой оболочки - рубашки, ограничивающей слой охлаждающей жидкости, а также и в других приложениях.
Результаты диссертации получены в рамках бюджетной темы кафедры высшей и прикладной математики Российского государственного открытого технического университета путей сообщения «Устойчивоподобные свойства траекторий динамических систем. Приложение к изучению математических моделей транспортных динамических процессов», по разделу «Вопросы исследования прикладных статических и динамических задач механики сплошной среды транспорте». Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 05-08-33329а, 06-08-00043а.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научно-практической конференции студентов и аспирантов «Проблемы железнодорожного транспорта в условиях реформирования отрасли» Поволжского филиала Российского открытого государственного технического университета путей сообщений (Саратов, 2004), на X, XI и XII Международных симпозиумах в МАИ «Динамические и технологические проблемы механики
конструкций и сплошных сред» (Москва-Ярополец, 2004, 2005, 2006), кафедре «Высшая и прикладная математика» Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 2005). На защиту выносятся следующие положения:
Новая физико-механическая и математическая модели взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости с твердым телом и упругой оболочкой в условиях вибрации впервые учитывают влияние несимметричности истечения жидкости в торцы на погрешность поплавковых маятниковых акселерометров и гироскопов.
С помощью построенной математической модели выявлено значительное влияние угловых колебаний основания, к которому крепится прибор, на закон поступательного перемещения поплавка и на постоянную
. „-.:_--.- составляющую- гидромеханического::: возмущающего: -момента, -И,'-соответственно, на погрешность прибора. Как на закон движения поплавка, так и на постоянную составляющую момента помимо произведений поступательных и произведений угловых колебаний, большое влияние оказывают смешанные произведения поступательных и угловых колебаний корпуса, появляющиеся из-за несимметричности истечения жидкости в торцы.
3. Использованная математическая модель выявила влияние упругости
корпуса прибора на закон движения поплавка и постоянную составляющую
гидромеханического момента. При этом учет упругости корпуса прибора
значительно больше сказывается на поступательных перемещениях
поплавка за счет угловых вибраций основания, чем на поступательных
перемещениях поплавка за счет поступательных колебаний.
Гидромеханический момент значительно больше при учете упругой
податливости корпуса, чем без ее учета, и при этом является не
монотонным.
Публикации: Основные положения диссертационной работы и результаты исследования опубликованы в научных трудах [10-21].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, приложений и списка использованной литературы. Работа содержит 175 страниц машинописного текста, 7 рисунков, 9 таблиц и приложения. Список использованной литературы включает 136 наименований.
В первом разделе приведены основные положения и допущения, построены физическая и математическая модели поплавкового маятникового акселерометра (ПМА), представляющего собой сложную механическую систему, включающую абсолютно твердую или упругую цилиндрическую оболочку, слой вязкой несжимаемой жидкости и абсолютно твердые тела.
Во втором разделе представлена постановка задачи для поплавкового маятникового:акселерометра с абсолютно твердым.корпусом,:представляющей„?-г._ собой связанную задачу гидродинамики: уравнения Навье-Стокса, неразрывности и граничные условия, включающую в себя задачи гидродинамики в цилиндрической щели, в двух торцевых щелях, а также задачу динамики для абсолютно твердого поплавка на основе второго закона Ньютона. Осуществлен переход к безразмерным переменным, решена задача в цилиндрической щели, затем в двух торцевых щелях, проведено согласование давления и расхода жидкости при переходе из цилиндрической щели в торцевые и найдены окончательные выражения для давления и компонент вектора скорости. Определены гидродинамические реакции, действующие на поплавок поплавкового маятникового акселерометра и закон поступательного движения поплавка. Найден гидродинамический момент в ПМА и определена постоянная составляющая момента, влияющая на динамику поплавка. Проведены численные расчеты значений поступательных перемещений поплавка и постоянной составляющей момента, отражающие влияние несимметричности истечения жидкости в торцы на погрешность прибора.
В третьем разделе построенная для ПМА математическая модель в виде задачи гидродинамики использована для исследования поплавкового гироскопа с учетом наличия абсолютно жесткого ротора, перемещающегося в податливых опорах относительно центра масс поплавка. Определены гидродинамические силы и моменты в гироскопе. Произведены расчеты значений поступательных перемещений поплавка и постоянной составляющей гидромеханического и инерционного моментов.
В четвертом разделе представлена постановка задачи для поплавкового маятникового акселерометра с упругим корпусом, представляющей собой связанную нелинейную задачу упругогидродинамики, включающую в себя задачу гидродинамики в цилиндрической щели, две различные задачи для торцевых щелей, задачу для упругой цилиндрической замкнутой оболочки и -для. абсолютна, твердых .тел е.: соответствующими, граничными -условиями.и ---. условиями согласования при переходе из цилиндрической щели в торцевые. Для данной задачи построена математическая модель и осуществлен переход к безразмерным переменным, определены упругие перемещения цилиндрического корпуса прибора, найдены давление и компоненты скорости. Вычислены гидродинамические силы и момент, определена постоянная составляющая момента. Проведены расчеты значений поступательных перемещений поплавка и постоянной составляющей момента, отражающие влияние упругости при несимметричном истечении жидкости в торцы на погрешность прибора.
Физическая модель поплавкового маятникового акселерометра (ПМА)
Для исследования реакций оболочки, взаимодействующей со слоем жидкости и абсолютно твердыми телами, на примере поплавкового маятникового акселерометра рассмотрим следующую физическую модель (рис. 1.1,1.2,1.3,1.4).
Корпус 1 прибора - абсолютно твердая или упругая цилиндрическая оболочка с жестким защемлением по торцам, толщиной ho, содержит цилиндрическую камеру; система координат OiX Zj жестко связана с основанием, к которому крепится корпус прибора в цанговых зажимах 5; /і -длина камеры; R\ - радиус камеры; Oi - центр камеры и центр масс корпуса прибора; Xi, yi, Z\ - главные центральные оси инерции тела. Поплавок 2 -абсолютно твердый цилиндр, плавающий на поддерживающем слое жидкости 4, который включает в себя дополнительную маятниковую массу 3, смещенную из центра поплавка на величину плеча /; 02Х2Уі і жестко связана с поплавком; ( - центр подвеса поплавка; х2, у2, z2 - главные оси инерции корпуса поплавка; /2, й2 - соответственно длина и наружный радиус поплавка. В зазорах 5 = К\-Кг и a = (/j - /2)/2 между стенками рабочей камеры и поплавком расположен поддерживающий и демпфирующий слой вязкой несжимаемой жидкости.
При исследовании динамики поплавкового прибора в качестве поддерживающего и демпфирующего слоя жидкости, окружающего поплавковую камеру, принята модель вязкой несжимаемой жидкости. Учет вязкости необходим, так как именно он создает демпфирующие свойства. Если бы частота колебаний внешнего источника вибрации была столь велика, что возникающая при этом скорость течения жидкости была бы соизмерима со скоростью звука (число Маха было бы не менее 0,4), учет сжимаемости был бы необходим, однако в реальных приборах частоты колебаний источника вибрации таковы, что скорости движения жидкости в тонких зазорах между поплавком и стенками камеры весьма малы, и поэтому жидкость можно считать несжимаемой [27 - 30,32,43 - 46].
- Большинство специальных жидкостей, используемых в поплавковых приборах, с подобранной вязкостью и большой плотностью, для разгрузки опор поплавка, могут считаться ньютоновскими. Рассматривается термостабилизированный прибор: крепление ПМА за торцы способствует отведению тепла в торцы.
Таким образом, физическая модель поплавкового маятникового акселерометра представляет собой совокупность абсолютно твердых и упругих тел 1 и 2 с демпфирующими и сложными динамическими связями между корпусом поплавка 2 и корпусом прибора 1 через опоры 6 и слой жидкости 4.
Рассматривается поплавковый маятниковый акселерометр, корпус которого соединяется с торцевыми дисками с помощью жесткой заделки. Корпус поплавка предполагается абсолютно твердым ввиду его толстостенности. Зазор между стенками поплавка и камеры заполнен вязкой несжимаемой жидкостью для разгрузки опор, обладающих упругой податливостью.
В навигационных приборах с цилиндрическим поплавковым подвесом углы ct2,y2 значительно меньше р2. Угол р2 мал: Р2«1 рад. Поперечные максимальные смещения поплавка относительно камеры малы по сравнению с соответствующими зазорами: дг,,г1«5 и у] «а. Зазоры Омалы по сравнению с радиусом поплавка: b«R2. Угловые колебания корпуса поплавкового маятникового акселерометра, установленного на гиростабилизированной платформе, относительно инерциального пространства малы. Считая сс2,у2«р2, положим а2=у2 = 0. Обозначим через xuzl перемещения центра подвеса поплавка 02 относительно камеры Olxlylzl) через Р2- угол поворота поплавка 02x2y2z2 вокруг выходной оси 02у2. Для простоты положим, что перемещения вдоль Охух корпуса поплавкового маятникового акселерометра вдоль 02у2 поплавка отсутствует, то есть wlyt=o,y]=o. Амплитуда колебаний поплавка относительно камеры и амплитуда прогиба корпуса прибора как упругой оболочки значительно меньше 6. В том случае, когда они одного порядка малости, необходимо учитывать прогиб корпуса прибора как упругой оболочки.
Переход к безразмерным переменным
Расчеты показывают наличие некоторого влияния несимметричности истечения жидкости из радиальной щели в торцевые на перемещение поплавка. Даже в случае нулевой плавучести (Am = 0, т.е. при отсутствии поступательной вибрации) перемещения поплавка имеют место из-за угловой вибрации основания. Из таблицы 2.1. видно, что угловые скорости при указанных амплитудах очень мало сказываются на поступательных перемещениях поплавка, а при разностях фаз, равных л/2 вообще не сказываются. При увеличении амплитуд угловых скоростей в 100 раз (таблица 2.2.) их влияние на поступательные перемещения возрастает. При этом влияние угловых вибраций на поступательные перемещения поплавка сказывается по большей части за счет члена уравнения (2.42), содержащего смешанные произведения амплитуд угловых и поступательных вибраций, так как сами -поступательные1 перемещения, обусловленные только угловыми вибрациями значительно меньше перемещений, обусловленных поступательными колебаниями корпуса прибора.
В приложении 5 представлены условные графики зависимости значений поступательных перемещений поплавка от частоты со за счет отдельно действующих поступательных, угловых вибраций и за счет их совместного действия. Таким образом, видим, что момент в правой торцевой щели такого же порядка как и моменты в цилиндрической и левой торцевой щелях, поэтому им также нельзя пренебрегать. Для определения постоянной составляющей момента необходимо определить неизвестную пока составляющую по 9 скорости жидкости, не зависящую от 0. Следует учесть, что v6l отлична от нуля только в том случае, когда ив1 непериодическая функция координаты 0. Так как, 0 входит в уравнение только под знаком синуса или косинуса в решение задачи в нулевом приближении по X, то рассматривать только необходимые величины, не зависящие от 8. Для них система уравнений динамики жидкости в первом приближении по X распадается на две независимые системы. Одна из них представляет собой уравнения для v01 (2.23) с соответствующими граничными условиями (2.24). Нетрудно видеть, что в выражении для момента кроме произведений поступательных перемещений и угловых скоростей присутствуют и смешанные произведения, возникающие из-за несимметричности истечения жидкости в торцы. Они оказывают существенное влияние на величину постоянной составляющей момента, и при различных значениях амплитуд могут влиять как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения постоянной составляющей. Кроме того, величина постоянной составляющей значительно изменяется при изменениях фазы колебаний. В таблице 2.3 приведены значения постоянной составляющей момента при равенстве всех фаз колебаний я/2, и отклонение нуля п., = у , где mh маятниковость. Индексами обозначены; 1 - только для поступательной вибрации, 2 - только для угловой вибрации, 3 -для поступательной и угловой вибрации. Из расчетов видно, что, несмотря на малые значения поступательных перемещений, обусловленных только угловыми вибрациями основания, к которому крепится акселерометр, угловые колебания оказывают значительное влияние на постоянную составляющую момента, и это влияние с увеличением частоты растет. На больших частотах значение постоянной составляющей момента, обусловленного угловыми вибрациями, превышает значение постоянной составляющей момента, обусловленного поступательными вибрациями основания. Кроме того, постоянная составляющая момента за счет.. угловых и поступательных колебаний вместе взятых не является простой" суммой постоянных составляющих за счет угловых колебаний и за счет поступательных колебаний, из чего следует, что существенное влияние на постоянную составляющую оказывают смешанные произведения угловых и поступательных колебаний, которые могут влиять как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения постоянной составляющей на различных частотах.
Из расчетов, представленных в таблице 2.3 и отраженных на графиках (приложение 5) видно также, что постоянная составляющая момента за счет поступательных колебаний основания убывает с ростом частоты со. При этом постоянная составляющая за счет угловых колебаний основания сначала возрастает до определенной частоты, а затем начинает падать, имея экстремум на частоте ю = 4740 рад/с.
Построенную математическую модель взаимодействия слоя жидкости с твердыми телами можно применить для исследования и других поплавковых приборов навигации, например, для поплавкового гироскопа. Рассмотрим поплавковый гироскоп, условно представленный на рис. 3.1. Корпус 4 прибора - абсолютно твердое тело, содержащее цилиндрическую камеру, а система координат OiXjyiZi жестко связана с корпусом прибора; 1\ -длина камеры; R\ - радиус камеры; Oj - центр камеры и центр масс корпуса прибора; хь уь Zi - главные центральные оси инерции корпуса. Поплавок 2 — абсолютно твердое тело, плавающее на поддерживающем слое жидкости и включающее в себя все элементы поплавка, кроме ротора гиромотора; 02x2y2z2 жестко связана с корпусом поплавка; 02 - центр подвеса поплавка; х2, уг, z2 -главные оси инерции корпуса поплавка; /2, R2 - соответственно длина и наружный радиус поплавка. Ротор 1 гиромотора - абсолютно твердое тело в податливых опорах 5; Озх3у3г3 - увлекаемая (резалева) система координат, жестко связанная с центром масс ротора. В зазорах 8 = R \ Я2 и а = (1\ - /2)/2 между стенками рабочей камеры и поплавком расположен поддерживающий и демпфирующий слой 3 вязкой несжимаемой жидкости, разгружающий магнитные опоры 6 поплавка [78].
Гидродинамический момент в поплавковом гироскопе. Вибрационные возмущающие моменты
Из полученных выражений для поступательных перемещений поплавка видно, что, как и в случае акселерометра, помимо квадратов амплитуд поступательных колебаний Е%, Е, в соотношения для перемещений xXm,zXm входят также амплитуды угловых скоростей г[т, р1т и их смешанные произведения Ех г1т и Ez plm, Для поплавкового гироскопа с параметрами: Д2=2-10"2м, /2=5,7-1(Г2м, ш2= 2.54 10"2 кг, т} =8.96-10-2 кг, 6 = Ы0чм, р = 2-103кг/м3, V = 2,53- M2/C, Аш = 0кг, nx{=nzl=Q кг/с2, пл =3.56-106 кг/с2, п:2 =3.74-106 кг/с2, Ай =1.12-102 кг/с, kz2 =1.18-102 кг/с, Ех =EZ =g/o2pafl/c, ры =rlm =а]т ;ю рад/с, расчеты приведены в таблицах 3.1 - 3.2. Из расчетов видно существенное влияние несимметричности истечения жидкости из радиальной щели в торцевые на перемещение поплавка.
Из таблицы 3.1 видно, что при заданных амплитудах угловых скоростей на малых частотах основное влияние на поступательные перемещения поплавка оказывают поступательные вибрации основания, к которому крепится прибор, но с увеличением частоты все большее влияние на поступательные перемещения поплавка оказывают его угловые вибрации, а на больших частотах они играют доминирующую роль. Тем не менее, поступательные перемещения поплавка за счет угловой и поступательной вибрации не становятся равными поступательным перемещениям поплавка только за счет угловых вибраций в силу влияния членов соотношений для закона движения поплавка (3.5), содержащих смешанные произведения, которые тоже вносят свой вклад.
С увеличением постоянного угла а в 10 раз (таблица 3.2) влияние угловых вибраций корпуса основания, к которому крепится прибор, значительно увеличивается. Только на малых частотах сказывается влияние поступательных колебаний корпуса. С увеличением частоты со поступательные перемещения поплавка определяются в основном угловой вибрацией корпуса, а на больших частотах влияние его поступательных колебаний вообще перестает сказываться.
В приложении 5 представлены условные графики зависимости значений поступательных перемещений от частоты СО поплавка за счет отдельно действующих поступательных, угловых вибраций и за счет их совместного действия.
Вид соотношения для постоянной составляющей гидродинамического момента и расчеты ее численных значений показывают, что, как и в случае поплавкового маятникового акселерометра, помимо членов, содержащих отдельно произведения амплитуд поступательных перемещений и произведения амплитуд угловых скоростей, в выражении для постоянной составляющей присутствуют также их совместные произведения, возникающие из-за несимметричности истечения жидкости в торцы. Они оказывают существенное влияние на величину постоянной составляющей момента.
На малых частотах влияние угловых колебаний основания, к которому крепится прибор, мало сказывается на постоянную составляющую гидродинамического момента. С увеличением частоты колебаний постоянная составляющая момента за счет поступательных вибраций основания падает, а за счет угловых вибраций - растет. При этом угловые вибрации основания оказывают все большее влияние на величину постоянной составляющей, тогда как влияние поступательных колебаний становится пренебрежимо мало. При этом величина постоянной составляющей значительно изменяется при изменении фазы колебаний.
Усложним задачу, считая, что корпус поплавкового маятникового акселерометра - упругая цилиндрическая замкнутая оболочка. На основе построенной математической модели для поплавковых приборов с твердым корпусом построим и исследуем математическую модель, учитывающую упругость корпуса прибора.
Также как и в случае твердой оболочки, торцевая щель слева мала по сравнению с цилиндрической: ал/5 = 0(\у,/2), а торцевая щель справа одного порядка с цилиндрической: ап/5 = 0(1). Амплитуда колебаний поплавка относительно камеры значительно меньше 6. Уравнения Навье-Стокса и уравнение неразрывности для вязкой несжимаемой жидкости с учетом переносного движения основания ПМА в выбранной системе координат r,Q,y, жестко связанной с центром поплавковой камеры, как и ранее, имеют вид (2.1).
Расчеты показывают существенное влияние упругости корпуса ПМА на величины поступательных перемещений поплавка. В данном случае значения поступательных перемещений при тех же параметрах прибора на тех же частотах значительно больше, чем в случае абсолютно твердого корпуса (таблицы 2.1-2.2).
Переход к безразмерным переменным
Расчеты, приведенные в таблице 4.1 показывают, что угловые скорости при указанных амплитудах мало сказываются на поступательных перемещениях поплавка, и основное влияние на величину поступательных перемещений оказывают поступательные колебания корпуса прибора, которые при этом имеют два экстремума: при (0=640 рад/с .х =6,208-1(Г , при со=790 рад/с хХт =7,462-10" . Тем не менее, несмотря на малость значений поступательных перемещений, обусловленных только угловыми вибрациями корпуса, влияние угловых колебаний сказывается за счет членов соотношения (4.69), содержащих смешанные произведения амплитуд угловых и поступательных колебаний. Кроме того, из расчетов видно, что поступательные перемещения поплавка за счет поступательных вибраций основания падают значительно быстрее, чем поступательные перемещения, обусловленные только угловыми вибрациями, что приводит к увеличению влияния угловых колебаний корпуса на поступательные перемещения поплавка с ростом частоты со.
При увеличении амплитуды угловых скоростей в 100 раз (таблица 4.2.) их влияние на величины поступательных перемещений заметно возрастает. На больших частотах значения поступательных перемещений за счет угловых вибраций корпуса прибора становятся одного порядка с перемещениями, обусловленными поступательными вибрациями, а на частотах ю 10 000 рад/с даже превосходят их.
Из соотношения для постоянной составляющей гидродинамического момента видно, что, как и в случае абсолютно твердого корпуса прибора, помимо членов, содержащих произведения поступательных перемещений и членов, содержащих произведения угловых скоростей в нем присутствуют также члены, содержащие произведения амплитуд угловых и поступательных вибраций, возникающие из-за несимметричности истечения жидкости в торцы.
Расчеты показывают, что, несмотря на малые значения поступательных перемещений, обусловленных только угловыми вибрациями основания, к которому крепится акселерометр, угловые колебания оказывают значительное влияние на постоянную составляющую момента, на некоторых частотах значительно превосходящее влияние поступательных вибраций основания, и это влияние с увеличением частоты растет. При этом видно, что значения постоянной составляющей момента, обусловленной поступательными и угловыми вибрациями одновременно во много раз превосходит значения постоянной составляющей для поступательных и для угловых вибраций. Это означает, что решающее влияние на величину постоянной составляющей оказывают члены выражения для постоянной составляющей момента (4.80), содержащие смешанные произведения амплитуд поступательных колебаний и угловых скоростей.
Сравнивая полученные результаты для постоянной составляющей момента с результатами, полученными во второй главе для ПМА с жестким корпусом, видно существенное влияние упругости корпуса прибора на величину постоянной составляющей, которое особенно сильно сказывается за счет вышеназванных смешанных произведений выражения (4.80).
Расчеты показывают, что значения отклонений нуля, соответствующие величинам постоянной составляющей гидродинамического момента, обусловленной угловыми вибрациями основания, к которому крепится прибор, значительно превышают допустимые пределы (10"6 g).
Все вышесказанное свидетельствует о том, что при исследовании математической модели, учитывающей упругость корпуса ПМА с несимметричным истечением жидкости в торцы, очень важно учитывать угловые вибрации, которые сами вызывают моменты, постоянная составляющая которых значительно превосходит постоянную составляющую моментов за счет поступательных колебаний. Учет угловых колебаний, кроме того, позволяет выявить влияние членов, содержащих произведения амплитуд угловых скоростей и амплитуд поступательных перемещений. Эти члены, как оказалось, имеют место в выражении для постоянной составляющей момента, появляясь из-за несимметричности истечения жидкости из цилиндрической щели в торцевые, и при этом оказывают влияние на ее значение большее, чем отдельно взятые угловые или поступательные вибрации.
