Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Движение выпуклого тела, расположенного на поверхности уголкового желоба :
1.1. Колебания выпуклого тела без проскальзывания:
1.1.1. Колебания выпуклого тела:
1.1.1.1. Геометрические соотношения стр.15
1.1.1.2. Условие движения без проскальзывания выпуклого тела с опорой на окружность .стр. 19
1.1.1.3. Уравнения движения выпуклого тела по поверхности уголкового желоба стр. 20
1.1.1.4. Условие равновесия выпуклого тела на поверхности уголкового желоба .стр. 22
1.1.1.5. Об устойчивости движения выпуклого тела по поверхности
уголкового желоба стр. 23
1.1.1.6. Численные эксперименты и их результаты стр. 29
1.1.2. Колебания выпуклого тела при опирании на эллипс:
1.1.2.1. Геометрические соотношения стр. 37
1.1.2.2. Условие движения без проскальзывания выпуклого тела при опирании на эллипс .стр. 39
1.1.2.3. Вывод уравнений движения выпуклого тела, движущегося без проскальзывания, при опирании на эллипс .стр. 40
1.1.2.4. Условие равновесия выпуклого тела при опирании на эллипс на поверхности уголкового желоба стр. 43
1.1.2.5. Численные эксперименты при расположении центра масс выше опорной окружности и их результаты стр. 45
1.1.2.6. Численные эксперименты при расположении центра масс ниже опорной окружности и их результаты стр. 57
1.2. Движение с проскальзыванием по уголковому желобу выпуклого тела:
1.2.1. Уравнения движения стр.63
1.2.2. Численные эксперименты при расположении центра масс выше опорной окружности и их результаты стр. 66
1.2.3. Численные эксперименты при расположении центра масс ниже опорной окружности и их результаты стр. 73
1.3. Результаты главы 1 .стр. 95
Глава 2. Движение выпуклого тела, расположенного на поверхности цилиндрического желоба :
2.1. Колебания без проскальзывания выпуклого тела, расположенного на поверхности цилиндрического желоба:
2.1.1. Геометрические соотношения стр. 97
2.1.2. Условие двухточечного опирания стр. 100
2.1.3. Условие отсутствия проскальзывания стр. 103
2.1.4. Об устойчивости движения выпуклого тела по поверхности цилиндрического желоба .стр. 105
2.1.5. Уравнения движения .стр. 107
2.1.6. Численные эксперименты и их результаты .стр. 110
2.2. Движение с проскальзыванием выпуклого тела, расположенного на поверхности цилиндрического желоба :
2.2.1. Уравнения движения стр. 118
2.2.2. Численные эксперименты и их результаты стр. 120
2.3. Экспериментальная проверка моделей движения:
2.3.1. Движение без проскальзывания стр. 154
2.3.2. Движение с проскальзыванием стр. 156
2.4. Результаты главы 2... стр.158
Глава 3. Движение выпуклого тела, расположенного на поверхности кругового конуса :
3.1.Геометрические соотношения .стр.159
3.2. Условия двухточечного опирания стр.161
3.2.1. Об устойчивости движения выпуклого тела по поверхности кругового конуса .стр.167
3.3. Равновесие выпуклого тела на неподвижной конической поверхности стр. 167 3.4 Равновесие выпуклого тела на внутренней поверхности
вращающегося конуса стр. 170
3.5. Кинематика колебаний без проскальзывания выпуклого тела на внутренней поверхности неподвижного конуса :
3.5.1. Геометрический анализ стр. 172
3.5.2. Алгоритм построения траекторий точек стр. 173
3.5.3. Графики траекторий .стр. 175
3.6. Колебания без проскальзывания выпуклого тела на внутренней поверхности неподвижного конуса:
3.6.1. Уравнения движения стр. 178
3.6.2. Численные эксперименты и их результаты стр. 180
3.6.3. Движение выпуклого тела со сменой характера опирания .стр.183
3.7. Колебания с проскальзыванием выпуклого тела на внутренней поверхности неподвижного конуса:
3.7.1. Уравнения движения стр. 186
3.7.2. Численные эксперименты и их результаты стр. 189
3.8. Колебания выпуклого тела на внутренней поверхности вибрирующего конуса:
3.8.1. Уравнения движения .стр. 193
3.8.2. Численные эксперименты и их результаты стр. 195 3.9. Результаты главы 3 стр. 203
Заключение и основные выводы .стр. 205
Библиографический список
- Условие движения без проскальзывания выпуклого тела с опорой на окружность
- Условие равновесия выпуклого тела при опирании на эллипс на поверхности уголкового желоба
- Движение с проскальзыванием выпуклого тела, расположенного на поверхности цилиндрического желоба
- Кинематика колебаний без проскальзывания выпуклого тела на внутренней поверхности неподвижного конуса
Условие движения без проскальзывания выпуклого тела с опорой на окружность
Рассматривается движение тела с симметричным опорным контуром и считается, что центр масс находится в плоскости Оyz, являющейся плоскостью симметрии желоба. В процессе движения тело может испытывать малые случайные боковые воздействия, в результате которых центр масс может выходить из плоскости симметрии желоба. При устойчивом движении центр масс будет возвращаться в плоскость симметрии желоба, а при неустойчивом – отклоняться дальше. Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы центр масс занимал самое низкое положение на траектории возможного бокового смещения, когда центр масс находится в плоскости Оyz. Приведем расчет положения центра масс при боковом смещении.
Исследуем изменение положения центра масс при повороте тела в плоскости oXZ (рис. 1.1.5). При этом предполагаем, что угол наклона тела в плоскости oYZ а=0 и угол наклона оси желоба у=0.
Расчетная схема к исследованию положения центра масс при его движении в плоскости oXZ. Обозначим угол наклона плоскостей, составляющих желоб, как (3 (при этом tgfi=k), а ф - угол наклона оси тела от вертикали.
Таким образом, установлено, что при расположении центра масс выше координатной плоскости хОу движение тела будет неустойчивым.
Если условие выполняется, то центр масс занимает самое низкое положение на траектории возможного бокового смещения.
Здесь предполагается, что при нахождении центра масс ниже опорной окружности в поверхности желоба имеется вырез с размерами, необходимыми для обеспечения движения тела. Рис. 1.1.6. Положения опорной окружности и центра масс выпуклого тела при h -kr (А) и при h -kr (Б)
Выпуклое тело будет стремиться занять положение с минимумом потенциальной энергии, что достигается при наинизшем положении центра масс. В данном случае центр масс будет занимать самое низкое положение, когда опорная окружность ляжет на борт желоба (рис. 1.1.8).
Построены графики зависимостей вертикальной координаты центра масс от угла наклона оси тела в плоскости oXZ – zс() (рис. 1.1.7). При этом принималось, что =0,3; r=1. Высота центра масс принималась: h=0,3 (h -kr); h=-0,3 (h=-kr) или h=-1 (h -kr), а угол изменяется от 0 до 0,5 рад. Рис. 1.1.7. Графики зависимостей zc() при различных значениях высоты центра масс. Из построенных графиков видно, что при h -kr и при отстутствии наклона оси тела в плоскости oXZ (то есть в исходном положении при =0) центр масс тела занимает наивысшее положение, а с ростом угла наклона вертикальная координата центра масс zc уменьшается. Как было указано выше, низшее положение центр масс займет, когда опорная окружность тела ляжет «плашмя» на борт желоба.
Таким образом, при h -кг движение выпуклого тела в соответствии с принципом Торричелли будет неустойчивым - тело ляжет на борт желоба. Но при сравнительно небольшом числе колебаний малые случайные погрешности незначительно скажутся на движении тела. Рис. 1.1.8. Графики траекторий точки контакта и центра масс при
При движении тела высота центра масс и высота точек контакта будут изменяться. На рис. 1.1.8. представлены графики траекторий точки контакта и центра масс при h=0,3 и при h=-1. На рис. 1.1.9 и 1.1.10 представлены графики zc(t) и zk(t) при h=0,3 и h=-0,3 соответственно. На графиках видно, что при h 0 центр масс находится все время выше точки контакта, движение при этом неустойчиво. При h 0 центр масс находится все время ниже опорной окружности, и движение при этом устойчиво.
Сказанное верно для малых амплитуд колебаний, когда центр масс находится ниже точек контакта. В ином случае высота центра масс становится положительной, а движение - неустойчивым.
В ходе численных экспериментов производилось интегрирование уравнений движения (1.1.19), (1.1.23), (1.1.24). Колебания тела рассматривались при различных исходных данных и начальных условиях.
Приняты следующие исходные данные: радиус инерции =0,7; высота центра инерции h=0,1; угол наклона желоба к горизонту =0 (желоб горизонтален); тангенс угла наклона плоскостей k=0,3. Начальные условия: начальный угол наклона тела н=0,3 рад; начальная угловая скорость равна нулю. Результаты численного эксперимента представлены на рис.
Как видно из графиков, амплитуда колебаний тела не превышает /2 рад. Угол поворота изменяется по закону близкому к гармоническому, но угловая скорость и угловое ускорение изменяются по закону, далекому от гармонического. Увеличение начального угла наклона привело к увеличению периода колебаний и к усилению неравномерности движения с возрастанием величин максимумов нормальной реакции. В тот момент, когда опорная окружность параллельна оси желоба, наблюдается максимум нормальной реакции и нулевое значение силы трения. 1.1.1.6.3. Третий случай
Целесообразно рассмотреть и те варианты движения, когда амплитуда колебаний превышает л/2 рад. Тело при этом заменяется моделью, состоящей из опорной окружности и массивной точки,расположенной в центре масс; для прохождения этой точки в желобе образована прорезь.
Приняты следующие исходные данные: радиус инерции р=0,7; высота центра инерции /2=0,1; угол наклона желоба к горизонту у=0 (желоб горизонтален); тангенс угла наклона плоскостей =0,3. Начальные условия: начальный угол наклона тела ан =0,2 рад; начальная угловая скорость ан =1,5 с Результаты численного эксперимента представлены на рис. 1.1.19-1.1.23
Приняты следующие исходные данные: радиус инерции р=0,7; высота центра инерции /2=0,1; угол наклона желоба к горизонту у=0 (желоб горизонтален); тангенс угла наклона плоскостей =0,3. Начальные условия: начальный угол наклона тела сменил знак ан=-0,2 рад; начальная угловая скорость также отрицательна ан=-1,5 с . Результаты численного эксперимента представлены на рис. 1.1.24-1.1.28.
Колебания далеки от гармонических. На данных графиках хорошо виден нелинейный характер колебаний тела с сильной неравномерностью движения и существенной зависимостью периода колебаний от их амплитуды. Также из графиков видно, что наибольшее значение нормальной реакции наблюдается в момент, когда опорный контур тела параллелен оси желоба. В этот же момент наблюдаются наибольшее значение углового ускорения и наименьшее – угловой скорости. В случаях 3 и 4 наблюдается перекатывание тела вдоль оси уголкового желоба. Движение тела с перекатыванием вдоль оси желоба характеризуется большей неравномерностью (возрастают максимумы нормальных реакций, амплитуда ускорения).
Условие равновесия выпуклого тела при опирании на эллипс на поверхности уголкового желоба
Из рис. 1.1.31 видно, что угловая скорость и угловое ускорение изменяются по закону, далекому от гармонического. График угла наклона тела несимметричен относительно оси Т, что объясняется наличием смещения центра масс тела. Также наличием смещения центра масс объясняется и тот факт, что максимум нормальной реакции не соотвествует нулевому значению силы трения.
Приняты следующие исходные данные: радиус инерции тела =0,7; высота центра тяжести h=0,3; смещение центра тяжести тела вдоль оси у d=0,3; угол наклона желоба к горизонту =0 (желоб горизонтален); тангенс угла наклона плоскостей желоба k=0,3. Начальные условия: начальный угол наклона тела н=0,3 рад. Отношение полуосей эллипса a/b=2. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 1.1.34-1.1.35. Рис. 1.1.34. Графики угла поворота, угловых скорости и ускорения, силы трения и нормальной реакции при н=0,3 рад, a/b=2.
Наблюдаются малые колебания тела вблизи положения равновесия, близкие к гармоническим. Графики близки к синусоидальным кривым, нормальная реакция почти равна весу, а консервативная сила трения F очень мала.
Приняты следующие исходные данные: радиус инерции тела =0,7; высота центра тяжести /2=0,3; смещение центра тяжести тела вдоль оси у i=0,3; угол наклона желоба к горизонту =0 (желоб горизонтален); тангенс угла наклона плоскостей желоба =0,3. Начальные условия: начальный угол наклона тела сменил знак н=-0,3 рад. Отношение полуосей эллипса а/Ь=0,5. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 1.1.36-1.1.39.
Изменение начальных условий и геометрии движущегося тела привело к увеличению периода его колебаний и к увеличению неравномерности его движения.
Приняты следующие исходные данные: радиус инерции тела =0,7; высота центра тяжести h=0,3; смещение центра тяжести тела вдоль оси у d=0,3; угол наклона желоба к горизонту =0 (желоб горизонтален); тангенс угла наклона плоскостей желоба k=0,3. Начальные условия: начальный угол наклона тела сменил знак н=-0,3 рад. Отношение полуосей эллипса a/b=2. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 1.1.40-1.1.43.
Приняты следующие исходные данные: радиус инерции тела р=0,7; высота центра тяжести /2=0,3; смещение центра тяжести тела вдоль оси у i=0,3; угол наклона желоба к горизонту у=0,3; тангенс угла наклона плоскостей желоба =0,3. Начальные условия: начальный угол наклона тела ан=0,3 рад. Отношение полуосей эллипса а/Ь=0,5. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 1.1.44-1.1.46.
Колебания далеки от гармонических; движение тела характеризуется значительной неравномерностью. График угла наклона тела заметно несимметричен, что объясняется как наличием смещения центра масс тела, так и наличием наклона желоба к горизонту. Значительным углом наклона желоба также объясняется и то, что сила трения на всем графике отрицательна - она стремится «удержать» тело от сползания в сторону наклона. 1.1.2.5.6. Шестой случай
Приняты следующие исходные данные: радиус инерции тела =0,7; высота центра тяжести h=0,3; смещение центра тяжести тела вдоль оси у d=0,3; угол наклона желоба к горизонту =0,3; тангенс угла наклона плоскостей желоба k=0,3. Начальные условия: начальный угол наклона тела н=0 рад; начальная угловая скорость тела составляет 0,3 с-1. Отношение полуосей эллипса a/b=2. Результаты численного эксперимента представлены на рис.
Приняты следующие исходные данные: радиус инерции тела =0,7; высота центра тяжести h=0,3; смещение центра тяжести тела вдоль оси у d=0,3; угол наклона желоба к горизонту =0 (желоб горизонтален); тангенс угла наклона плоскостей желоба k=0,1. Начальные условия: начальный угол наклона тела н=0,3 рад. Отношение полуосей эллипса a/b=0,5. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 1.1.50-1.1.52. Рис. 1.1.51. Графики силы трения и нормальной реакции при k=0,1,
Приняты следующие исходные данные: радиус инерции тела =0,7; высота центра тяжести h=0,3; смещение центра тяжести тела вдоль оси у d=0,3; угол наклона желоба к горизонту =0 (желоб горизонтален); тангенс угла наклона плоскостей желоба k=0,1. Начальные условия: начальный угол наклона тела н=0,3 рад. Отношение полуосей эллипса a/b=2. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 1.1.53-1.1.55. Неравномерность движения тела несколько уменьшилась; уменьшились величины максимумов углового ускорения
Неравномерность движения тела уменьшилась по сравнению с предыдущим случаем; уменьшились величины максимумов углового ускорения и нормальной реакции, также несколько уменьшился период колебаний.
На представленных графиках хорошо виден нелинейный характер колебаний тела с сильной неравномерностью движения и существенной зависимостью периода колебаний от их амплитуды. Также прослеживается зависимость периода колебаний от отношения полуосей основания тела. Из графиков также видно, что наибольшее значение нормальной реакции наблюдается в момент, когда тело находится вблизи положения равновесия. В этот же момент наблюдаются наибольшее значение углового ускорения и наименьшее - угловой скорости.
При а/Ь=0,5 (эллипс «вытянут в длину») угол поворота изменяется по закону, близкому к гармоническому. При а/Ъ=2 (эллипс «вытянут в ширину») движение тела отличается большей неравномерностью, и закон, описывающий изменение угла поворота, далек от гармонического, а угловое ускорение и нормальная реакция характеризуются большими значениями максимумов. Хотя, как уже отмечалось выше, движение в таком случае является неустойчивым, при небольшом числе колебаний этим можно пренебречь.
Движение с проскальзыванием выпуклого тела, расположенного на поверхности цилиндрического желоба
Системы уравнений (1.1.14) и (1.2.2) вместе с условием (1.1.12) и соотношениями связи составляют математическую модель движения выпуклого тела с опорой на окружность, опирающегося на неподвижный симметричный желоб. Анализ этой модели в случае проскальзывания может быть только численным. При произвольно задаваемых начальных условиях тело может проскальзывать (если условие (1.1.12) не выполняется). В таком случае следует интегрировать систему уравнений (1.2.2), пока не изменится знак скорости проскальзывания VCK . Если это произойдет, надо проверить силовое условие F . отсутствия проскальзывания: — /. Если данное условие не выполнится, то надо N продолжить интегрирование системы (1.2.2). Если же оно выполнится, то надо обнулить VCK и перейти к интегрированию системы (1.1.14), проверяя при этом условие (1.1.12). Если условие (1.1.12) нарушится, то надо снова вернуться к системе (1.2.2), и т.д. Для проверки корректности математической модели и программы, на каждом шаге интегрирования проверяется величина полной энергии ((1.1.22) и (1.2.8)), которая должна сохраняться при движении без проскальзывания и убывать при движении с проскальзыванием. Составлена программа, реализующая данный алгоритм. В Приложении 3 представлен текст данной программы с несущественными сокращениями. Численные эксперименты при расположении центра масс выше опорной окружности и их результаты
В численных экспериментах производится интегрирование уравнений движения (1.2.4)-(1.2.7) по описанному выше алгоритму. Рассматривается несколько случаев, отличающихся начальными условиями и исходными данными. Во всех случаях принято h 0.
Приняты следующие исходные данные: радиус инерции тела =0,5; высота центра тяжести h=0,1; угол наклона желоба к горизонту =0,5; тангенс угла наклона плоскостей желоба k=0,3; коэффициент трения f=0,1. Начальные условия: начальный угол наклона тела н=0,5 рад. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 1.2.1-1.2.6.
На рис. 1.2.7 и 1.2.8 представлены графики координат y с и z с, а также траектории центра масс, приведенных к системе координат oY Z , где координатная ось oY горизонтальна. В дальнейшем данную систему координат и оси oY и oZ будем называть связанными с горизонтом.
Видно, что выпуклое тело, соскальзывающее по наклонному уголковому желобу, совершает сложное движение, складывающееся из сочетания поступательного движения вдоль оси желоба и колебаний тела вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной оси желоба. Интересно сравнить данный случай с задачей о движении бруска по наклонной плоскости с трением (рис.1.2.9).
Приняты следующие исходные данные: радиус инерции тела р=0,5; высота центра тяжести /2=0,1; угол наклона желоба к горизонту у=0,5; тангенс угла наклона плоскостей желоба =0,3; коэффициент трения/=0,2. Начальные условия: начальный угол наклона тела ан=0,5 рад. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 1.2.10-1.2.15.
На рис. 1.2.16 и 1.2.17 представлены графики координат y с и z с, а также траектории центра масс, приведенных к системе координат oY Z , связанной с горизонтом. Рис.1.2.16. График координат центра масс y c и z c при h=0,1 и f=0,2.
Увеличение коэффициента трения привело к некоторому ослаблению неравномерности движения с уменьшением максимумов реакции опоры и силы трения и незначительным уменьшением периода и амплитуды колебаний. При этом существенно уменьшилась средняя по времени величина ускорения центра масс ус , что привело к заметному замедлению сползания тела по сравнению с предыдущим случаем.
В рассмотренных выше численных экспериментах центр масс находился выше центра опорной окружности тела. Такое движение не будет являться устойчивым, так как центр масс занимает наивысшее положение.
Численные эксперименты при расположении центра масс ниже опорной окружности и их результаты В дальнейших численных экспериментах центр масс будет находиться ниже опорной окружности (рис. 1.1.54) - тогда движение тела будет устойчивым.
Исследование подобных случаев имеет определенную практическую значимость, так как его результаты могут найти применение в машиностроении. 1.2.3.1. Первый случай
Приняты следующие исходные данные: радиус инерции тела =0,5; высота центра тяжести h=-0,1; угол наклона желоба к горизонту =0,5; тангенс угла наклона плоскостей желоба k=0,3; коэффициент трения f=0,1. Начальные условия: начальный угол наклона тела н=0,5 рад. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 1.2.18-1.2.23.
Приняты следующие исходные данные: радиус инерции тела =0,5; высота центра тяжести h=-0,1; угол наклона желоба к горизонту =0,5; тангенс угла наклона плоскостей желоба k=0,3; коэффициент трения f=0,1. Начальные условия: начальный угол наклона тела н=0 рад. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 1.2.26-1.2.28.
В данном случае наблюдаются малые колебания тела вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной оси желоба. Характеристики движения тела в данном случае очень близки таковым для случая движения тела по наклонной плоскости с трением (рис. 1.2.9), что хорошо видно на рис. 1.2.29. Нормальная реакция при соскальзывании тела по наклонной плоскости (в безразмерном виде): N/mg = cosy . Подставив угол у=0,5, получим величину нормальной реакции в безразмерном виде: N/mg=0,S7S, что достаточно близко к представленной на графике рис. 1.2.27.
Рассмотрим ряд случаев с увеличенным расстоянием от дна тела до центра масс. Приняты следующие исходные данные: радиус инерции тела =0,5; высота центра тяжести h=-1; угол наклона желоба к горизонту =0,5; тангенс угла наклона плоскостей желоба k=0,3; коэффициент трения f=0,1. Начальные условия: начальный угол наклона тела н=0,5 рад. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 1.2.36-1.2.40.
Кинематика колебаний без проскальзывания выпуклого тела на внутренней поверхности неподвижного конуса
Хорошо видно, что тело, соскальзывающее по цилиндрическому желобу, совершает движение, представляющее собой сочетание поступательного движения вдоль оси желоба и колебаний тела вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной оси желоба.
Приняты следующие исходные данные: R=A\ r=l; /г=0Д; р=0,5; уо=0; угол наклона желоба у=0,5; коэффициент трения У=0,1. Начальные условия таковы: начальный угол наклона тела ан=0,2 (назначен исходя из условия двухточечного опирання); начальная угловая скорость тела осн=0; начальная линейная скорость vn =0,1. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 2.2.9 J Он
Уменьшение радиуса желоба привело к существенному сглаживанию неравномерности движения: увеличился период колебаний, уменьшились максимумы углового ускорения тела, нормальной реакции и силы трения. Также ускорение центра масс ус тела уменьшилось, вследствие чего «сползание» его существенно замедлилось.
Приняты следующие исходные данные: R=2; г=\\ /2=0,1; р=0,5; уо=0; угол наклона желоба у=0,5; коэффициент трения f=0,3. Начальные условия таковы: начальный угол наклона тела ан= 0,5; начальная угловая скорость тела ан= 0; начальная линейная скорость _у0н =0,1. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 2.2.25-2.2.30
В дальнейших численных экспериментах принималось, что центр масс тела находится ниже опорной окружности, то есть /КО. Исследование подобных случаев имеет определенную практическую значимость, так как его результаты могут найти применение в машиностроении
Приняты следующие исходные данные: R=2; г=\\ /г=-0,1; р=0,5; уо=0; угол наклона желоба у=0,5; коэффициент трения /=0,1. Начальные условия таковы: начальный угол наклона тела ан= 0,5; начальная угловая скорость тела ан= 0; начальная линейная скорость _у0н =0,1. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 2.2.33-2.2.38.
По сравнению с первым случаем (п.2.2.2.1), отличающимся только знаком h, незначительно увеличился период колебаний и несколько снизились максимальные величины реакций связи. Средняя скорость «сползания» тела практически не изменилась.
Приняты следующие исходные данные: R=4; г=\\ /г=-0,1; р=0,5; уо=0; угол наклона желоба у=0,5; коэффициент трения /=0,1. Начальные условия таковы: начальный угол наклона тела ан= 0,2; начальная угловая скорость тела ан= 0; начальная линейная скорость _у0н =0,1. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 2.2.41-2.2.46.
Приняты следующие исходные данные: R=l,l; г=\\ /г=-0,1; р=0,5; уо=0 , угол наклона желоба у=0,5; коэффициент трения /=0,1. Начальные условия таковы: начальный угол наклона тела ан=0,5; начальная угловая скорость тела dH= 0; начальная линейная скорость_у0н =0,1. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 2.2.49-2.2.54.
Уменьшение радиуса желоба привело к существенному ослаблению неравномерности движения с заметным увеличением периода колебаний и с приближением их к гармоническому виду. Также существенно замедлилось поступательное движение тела. По сравнению со третьим случаем (п.2.2.2.3), отличающимся только знаком h, несколько уменьшились максимумы нормальной реакции и силы трения.
Увеличение коэффициента трения привело к уменьшению величины линейного ускорения центра масс ус, что существенно замедлило поступательное движение тела. По сравнению с четвертым случаем (п.2.2.2.4), уменьшились максимальные величины реакций связи и незначительно снизилась величина средней скорости поступательного движения тела.
Приняты следующие исходные данные: R=2; r=\\ h=-l; р=0,5; уо=0 , угол наклона желоба у=0,5; коэффициент трения /=0,3. Начальные условия таковы: начальный угол наклона тела ан= 0,5; начальная угловая скорость тела ан= 0; начальная линейная скорость _у0н =0,1. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 2.2.65-2.2.70.
При нулевой начальной скорости поступательного движения наблюдаются колебания тела около положения равновесия, сопровождаемые переходом движения без скольжения к движению с проскальзыванием. Сползания тела не наблюдается.
Для проверки правильности созданных моделей движения тела с выпуклым опорным контуром по поверхности цилиндрического желоба были произведены натурные эксперименты. В экспериментах использовались: цилиндрический желоб радиусом і?=0,072 м и длиной L=0,365 м и металлическая крышка, имеющая следующие геометрические и масс-инерционные параметры: радиус крышки /=0,033 м; толщина стенок 5 =0,0001 м; масса /77=0,007 кг; радиус инерции р=0,0191 м (рис. 2.3.1). Для фиксации результатов использовались секундомер и фотокамера «Canon» IXUS-140 с функцией видеосъемки.
Производилась видеосъемка колебаний крышки, а затем при помощи замедленного просмотра определялся период колебаний путем простого подсчета числа колебаний в одну секунду. Средний период колебаний крышки по результатам 10 экспериментов составил 0,187 секунды.
Затем был произведен численный эксперимент при помощи программы, интегрирующей уравнение движения без проскальзывания (2.1.24). Текст программы представлен в Приложении 5. В программу вводились известные исходные данные, записанные выше, и начальные условия: начальный угол наклона крышки н=0,08 рад, а начальная угловая скорость равна нулю. По результатам расчета период колебаний получился равным 0,2 секунды, что хорошо согласуется с результатами эксперимента.
Для анализа движения с проскальзыванием было необходимо определить значение коэффициента трения. С этой целью был произведен следующий эксперимент: крышка помещалась на поверхность желоба, и наклон оси последнего постепенно увеличивался. Фиксировался угол наклона оси желоба старт, при котором начиналось соскальзывание крышки. Среднее значение этого угла по результатам 10 экспериментов: старт=0,27 рад. Отсюда был вычислен коэффициент тренияy=tgстарт=0,277. С целью выяснения зависимости угла старт от геометрических характеристик перемещающегося тела была проведена серия из 10 экспериментов, в которых крышка радиусом 0,033 м была заменена монетой достоинством 1 рубль радиусом 0,01 м. Для монеты средняя величина угла, при котором начинается соскальзывание старт =0,24 рад, а коэффициент трения /=0,244. Разница определенных таким образом коэффициентов трения составляет примерно 12%.
Для уточнения коэффициента трения было произведено исследование равновесия тела с выпуклым опорным контуром на поверхности цилиндрического желоба. В уравнении (2.1.24) угловые скорость и ускорение примем равными нулю, получив таким образом условие равновесия:
