Содержание к диссертации
Введение
1. Простейшая модель хемореактивного движения. шар с аксиально-симметричной активной зоной 16
1.1 Описание модели и вывод уравнений 16
1.2 Уравнения медленного движения шара в равновесном газе 19
1.3 Исследование уравнений движения 21
2. Вывод уравнений динамики в общем случае 25
2.1 Переход к динамике растущего тела 25
2.2 Вычисление потоковых величин 27
2.3 К вычислению потоков. Дифференциальная частота 28
2.4 Динамика столкновений для различных типов взаимодействия 29
2.4.1 Зеркальное отражение 30
2.4.2 Диффузное отражение 31
2.4.3 Сорбция 32
2.4.4 Учет изменения геометрии масс при сорбции 33
2.5 Особенности динамики твердого тела с переменной геометрией масс 36
2.6 Основная система уравнений 38
2.7 Границы применимости и связь с кинетикой газа 40
3. Уравнения динамики при малых скоростях и их асимптотические свойства 51
3.1 Основное приближение 51
3.2 Уравнения динамики 53
3.3 Финитность и существование стационара 55
3.4 Условие глобальной устойчивости стационара 58
3.5 Вид траекторий в координатном пространстве 60
4. О динамике твердого тела под действием постоянного и диссипативного моментов 69
4.1 Единственность и глобальная устойчивость в случае диагональной диссипации 71
4.2 Пример, в котором появляются несколько стационарных решений 73
Заключение 77
- Уравнения медленного движения шара в равновесном газе
- Учет изменения геометрии масс при сорбции
- Финитность и существование стационара
- Пример, в котором появляются несколько стационарных решений
Введение к работе
Актуальность темы. В 90 гг. группой, возглавляемой член-корр. РАН И.В.Мелиховым, было открыто явление, названное хемореактивным движением [42-44]. Оно заключалось в том, что твердые частицы, помещенные в газ, начинали активно двигаться, если между веществом этих частиц и газом происходила химическая реакция. Это движение отличалось от броуновского тем, что было не хаотическим и характеризовалось значительно большими скоростями. Было известно, что многие физико-химические процессы между газом и твердой фазой протекают неоднородно по поверхности: процесс часто оказывается сосредоточенным в так называемых активных зонах, вне которых поверхность ведет себя как инертная. И.В.Мелиховым было высказано предположение о том, что возникновение хемореактивного движение связано с неоднородностью протекания химического процесса на поверхности твердых частиц.
В 2000 году на основании идей И.В .Мелихова и его коллег в рамках одного из проектов ESA (European Space Agency) был поставлен эксперимент, в котором в условиях микрогравитации наблюдалось движение растущих кристаллов [63]. На рисунке 1 представлены траектории этих кристаллов. Большинство из них имеют изгибающийся синусообразный характер, который не поддавался интерпретации на момент получения результата.
Поэтому возникла задача о построении математической модели, которая описывала бы движение твердых частиц в газе, когда на их поверхности, причем неоднородно, происходит осаждение молекул газа. Требовалось исследовать, к каким динамическим эффектам может привести способность поверхности твердого тела поглощать молекулы газа.
Предлагаемая в этой работе модель состоит в том, чтобы рассматривать движущуюся в газе частицу, как твердое тело, на которое действуют силы, складывающиеся из соударений молекул газа с ее поверхностью.
Итак, кинетический подход для описания динамики твердого тела заключается в том, что сила, момент сил и скорости изменения других величин, характеризующих состояние тела, рассчитываются как потоки микроскопических изменений (этих величин) от соударений молекул газа с поверхностью тела.
Рис. 1 Траектории растущих кристаллов в условиях микрогравитации (Дж. Вилнеф и Х,-Г. Маас, 2000) [63].
При таком подходе, во-первых, используется функция распределения молекул газа, которая является решением кинетического уравнения с граничными условиями, согласованными с динамикой твердого тела. Поскольку получение аналитических решений в виде нестационарной функции распределения в окрестности движущегося тела не только для уравнения Больцмана, но и для его упрощенных моделей типа БГК, в обозримом будущем не представляется возможным1, для описания движения газа используется два основных приближения. Первое - это гидродинамическое обтекание, применяющееся в тех случаях, когда размеры тела велики по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа (малые числа Кнудсена). Второе -свободномолекулярное обтекание, когда размеры тела невелики, так что
1 Даже в задаче о тепловом скольжении для уравнения БГК нахождение аналитических решений потребовало модификаций краевых условий Максвелла (А,В.Латышев, А.А.Юшканов [34]).
возмущением, вносимым движением тела в динамику газа можно пренебречь (большие числа Кнудсена). Последнее приближение использовалось в работе В.В.Белецкого и А.М.Яншина [12], оно также будет использоваться в данной работе.
Во-вторых, кинетический подход подразумевает постановку граничных условий для функции распределения на поверхности твердого тела. Существует обширная литература посвященная этому вопросу [3, 4, 25, 27, 29, 32, 36, 47, 48, 52, 56] Наиболее известными условиями отражения, до сих пор не потерявшими свою популярность из-за простоты и эффективности (в аналитических расчетах), являются зеркально-диффузные условия Максвелла [56]. В настоящее время разработаны и другие способы определения граничных условий, они используются в тех задачах, в которых зеркально-диффузные условия неудовлетворительны по своей точности. Но все они, как правило, весьма громоздки, либо вообще не имеют конечной аналитической формы для ядер рассеяния, как, например, метод молекулярной динамики (см. например [53]), что делает их малопригодными для аналитических расчетов.
Применимость кинетического подхода для расчета сил моментов, действующих на тело, ограничивается тем условием, что частота столкновений молекул газа с поверхностью тела должна быть столь достаточно велика, так чтобы интегрирование по отдельным столкновениям было оправданным. Это условие эквивалентно тому, что число столкновений за минимальное характерное время должно быть на несколько порядков больше единицы. К характерным временам относятся период вращения вокруг своей оси, время прохождения одного витка при движении по спирали, характерные времена релаксации, т.е. величины, обратные коэффициентам в первых членах разложения диссипативных сил и моментов, а также, возможно, времена, определяемые спецификой конкретной задачи.
В динамике твердого тела кинетический подход применялся ранее В.В.Белецким и А.М.Лншиным для исследования движения космических тел и искусственных спутников Земли [12]. В этой работе при расчете аэродинамической силы и момента сил использовалась функция распределения
налетающих и отраженных от поверхности молекул газа, а граничные условия были выбраны зеркально-диффузными. Однако, расчет отраженного потока газа в этой работе происходил без учета конечности массы тела, т.е. молекулы отражались как бы от бесконечно тяжелой стенки, а потом из разницы приносимого и уносимого импульса рассчитывались силы и моменты сил, которыми определялось движение. Что касается нашей задачи, такой подход нельзя было непосредственно применять, поскольку монокристаллы микронных размеров - это не спутники, и a priori пренебрегать тем, что их масса конечна, нельзя. Более того, оказалось, что конечность массы тела весьма существенна для расчета момента сил при сорбции. Наконец, в работе В.В .Белецкого и А.М.Яншина использовалось приближение гипертеплового обтекания, что опять же неприменимо для описания движения частиц, скорости которых намного меньше тепловой.
Задача движения твердого тела под действием сил, имеющих природу, сходную с хемореактивной, рассматривалась в работе А.И.Нейштадта et al. [57, 58], в ней речь шла о динамке кометных ядер. В этой работе для вычисления сил, возникающих при сублимации кометного вещества на ядре кометы, использовалась эмпирическая формула.
Можно указать и на некоторые другие работы, рассматривающие движение твердого тела в газе и жидкости [15, 34, 51, 54], однако в них использовались другие модели и подходы.
Одной из подзадач при определении силы и момента сил, действующих на тело, является расчет динамики столкновений каждого типа. Т.е. задача об определении приращений импульса, кинетического момента (а в случае сорбции еще и массы, тензора инерции и смещения центра масс) в единичном акте столкновения каждого типа. В случае диффузного отражения определяются средние по отраженному потоку приращения. Первой известной работой, в которой выполнен расчет динамики столкновений двух абсолютно упругих тел следует считать статью Максвелла [56]. Расчет динамики
столкновений абсолютно упругих шаров и точечных молекул уже вошел в классические учебники [35], а вот неупругие столкновения, следует признать, до сих пор являются слабо разработанным вопросом.
Далее одной из особенностей поставленной задачи является то, что тело, поглощающее молекулы газа, имеет непостоянную геометрию масс. Главные центральные моменты инерции и главные оси инерции меняются при росте тела.
Рис.2
При этом, если изменения массы и главных центральных моментов инерции при присоединении единичной молекулы имеют тот же порядок малости, что и отношение массы молекулы к массе тела, то изменение ориентации собственных осей может быть значительным при сколь угодно малом отношении масс. Пример тому представлен на рисунке. Здесь собственные оси поворачиваются на 45 (Рис.2). Поэтому, если на его поверхность случайным образом, но в среднем равномерно, будут налипать молекулы, то базис собственных осей будет хаотически менять свою ориентацию во времени.
Здесь хотелось бы привести еще один любопытный пример, идея рассмотрения которого была подсказана Ю.Н.Орловым. Предположим, что дана матрица вида:
J =
1 є, є, 1 О є,
где внедиагональные элементы - случайные величины, имеющие изотропную плотность распределения: ^(є, ,є2) = 5^^/sf + Є2 J- Найдем, как будут распределены оси собственного базиса для данной матрицы. Эта задача легко
решается аналитически:
k =
є, +є-
, О,
Є, + Є2 j
\з =
+
^ТЩ' 42'±^ЩТ4)
РисЗ.
(Соответствующие собственные значения: J, =1, J2 3 = 1 + Jsj2 + є\ ). И в ответе оказывается, что угол поворота базиса ср, составленного из собственных векторов, имеет равномерное распределение на отрезке [о, 2л] вокруг оси с направляющим вектором (0, 1, 0). И это верно для любого значения дисперсии
ВеЛИЧИН 8,,85.2
Задача об изменении главных центральных моментов и осей инерции при присоединении к телу малой массы в линейном приближении по отношению масс рассматривается в книге В.И.Арнольда [1]. В частности делается вывод о
Сходная задача- о влиянии малых изменении элементов матрицы на ее собственные значения рассматривалась С.К.Годуновым [23]. Им были найдены так называемые є-спектрьі для собственных значений.
том, что «если эллипсоид инерции близок к эллипсоиду вращения, то добавление малой массы может сильно повернуть главные оси инерции».
Задача о динамике твердого тела с переменной геометрией масс рассматривалась К.Магнусом [39]. Но ориентация собственных осей инерции в работе К.Магнуса полагалась неизменной, что, по-видимому, связано с указанной выше трудностью.
Поэтому возникли вопросы о том, когда изменение геометрии масс действительно является несущественным, и как его учитывать в тех случаях, когда пренебречь им нельзя. Собственно ответ на первый вопрос есть в упоминавшейся выше книге В.И.Арнольда [1]. Достаточным условием того, что главные оси инерции не будут существенно менять свою ориентацию при присоединении малой массы, является отсутствие динамической симметрии. А ответ на второй вопрос, точнее один из вариантов решения был получен в рамках этой работы и будет представлен ниже.
После того, как найдены сила и момент сил, действующие на тело из-за взаимодействия молекул газа с его поверхностью и получена базовая система уравнений, необходимо исследовать полученные уравнения динамики. Конечно, получение аналитического ответа в максимально общей постановке задачи не представляется возможным. Поэтому было выбрано приближение (медленного по сравнению с тепловыми скоростями движения частиц, а также пренебр ежимой малости изменений массы и геометрии масс), согласованное с имеющимися приложениями.
В рамках этого приближения оказалось возможным применить восходящий к Эйлеру переход во вращающуюся систему координат, при котором размерность системы существенно снижалась и получилась автономная система из шести обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномами второй степени в правой части. Эта система, тем не менее, оказывается достаточно сложна, например, при некотором значении констант она может быть сведена к известной системе Лоренца [см., например, 24,37]. Она также может рассматриваться, как обобщение уравнений динамики твердого тела в сопротивляющейся среде, среди которых встречаются случаи,
допускающие явное интегрирование ([15] и соответствующие ссылки в этой книге). То обстоятельство, что фазовый поток для такого рода систем систем (при физически адекватных значениях параметров) оказывается сжимающим, не позволяет применять методы, развитые для гамильтоновых систем [1,2,15,30,39,40,50].
Для исследования полученной динамической системы, а именно выяснения вопроса существования, единственности и глобальной устойчивости стационарного решения, был использован метод функций, монотонных в силу решений. Этот метод восходит к идеям Л.Больцмана [14,16] (именно на основе монотонности функционала в силу решения строится доказательство знаменитой Н-теоремы Больцмана), A.M.Ляпунова [28,38] и А.Пуанкаре [46]. Этот метод плодотворно применялся и ранее для исследования локальной устойчивости уравнений динамики.
Цель работы. Построение модели движения твердого тела в газе с неоднородными поверхностными процессами, приводящими к осаждению на поверхности тела вещества из газа, вывод базовой системы уравнений и изучение важных частных случаев, а также объяснение экспериментально обнаруженного эффекта - движение частиц по спиралевидным траекториям.
Методы исследования. В работе используются методы кинетической теории, динамики твердого тела и теории обыкновенных дифференциальных уравнений, среди которых метод функций, убывающих в силу решения.
Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. Построена модель движения выпуклого твердого тела, поверхность которого неоднородно поглощает молекулы газа. Выведены общие уравнения, учитывающие изменение геометрии масс и формы поверхности тела. Изучены приближения, допускающие нахождение асимптотических траекторий.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Выведенные уравнения будут интересны специалистам по динамике твердого тела. Найденные решения могут служить объяснением результата эксперимента. В дальнейшем полученные результаты могут быть использованы для разработки методов обнаружения и диагностики химических процессов
между газом и твердыми частицами в технологических процессах, а также гетерогенных процессов в атмосфере. Также они могут оказаться полезными при изучении движения космических тел на стадии их зарождения.
Апробация работы. Результаты работы обсуждались на семинаре по математической физике 7-го отдела ИПМ им. М.В .Келдыша РАН (руководители проф. М.В. Масленников, проф. В.В. Веденяшш, проф. В.А. Дородницын ); на научном семинаре по нанотехнологаческим процессам и наноструктурам, МИФИ, 2002; семинаре «Движение искусственных спутников Земли относительно центра масс и проблемы ориентации» ИПМ им. М.В.Келдыша РАН (Руководитель проф. М.Ю.Овчинников); семинаре «Гамильтоновы системы и статистическая механика» Мехмата МГУ (руководители акад. РАН В.В.Козлов, чл.-корр. Д.В.Трещев), 2003; семинаре «Динамика относительного движения» Мехмата МГУ (Руководители чл.-корр. В.В.Белецкий, проф. Ю.Ф.Голубев, доц. К.ЕЛкимова, доц. Е.В.Мелкумова), 2003; семинаре «Аналитическая механика и теория устойчивости» Мехмата МГУ (Руководители акад. РАН В.В.Румянцев, чл.-корр. В.В.Белецкий, проф. А.В.Карапетян), 2003.
Результаты были представлены в докладах на IV международной конференции NPNJ-2002 (Санкт-Петербург, 2002); V international congress on mathematical modeling V ICMM (Дубна 2002); XIV Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" (Дюрсо, 2002 г.); Международной школе-семинаре «Нелинейные процессы в дизайне материалов» (Воронеж, 2002); 7-ом Всероссийском Совещании-семинаре «Инженерно-физические проблемы новой техники» (Москва 2003); XII международной конференции ВМСППС, (Владимир, 2003); The 5-th EuroMech Fluid Mechanics conference (EFMC 2003), 24-28 August 2003, Toulouse France; The 5-th International Conference Single Crystal Growth and Heat&Mass Transfer (ICSC-2003), (Обнинск 2003); XLVI научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Москва -
Долгопрудный, 2003; на XXVIII академических чтениях по космонавтике (Москва, 2004).
Публикации. Основной материал диссертации опубликован в работах [5-11,17-22,41,59-62,65-66]
Структура и объем работы (Распределение материала по главам). Простейшая модель хемореактивного движения, среди решений которой есть спиральные траектории, была предложена в [6, 17-21, 59-62]. Здесь этот материал3 излагается в главе 1, в которой с помощью кинетического подхода исследуется движение тела сферической формы с одной аксиально-симметричной активной зоной . В 1.1-1.2 описывается модель, и вводится в рассмотрение функция р(и), как вероятность поглощения частицы, зависящая от координаты поверхности сферы. Эта функция, с одной стороны, характеризует степень локализации и интенсивность химического процесса на поверхности частицы, а с другой стороны может определять граничные условия для функции распределения молекул газа. В 1.3 приведены явные вычисления пятикратных интегралов для сил и моментов в случае газа с максвелловским распределением по скоростям в приближении, когда скорость частицы много меньше тепловой. Такое приближение оправдано тем, что в реально наблюдаемых условиях [42-44] скорости твердых частиц действительно малы по сравнению с тепловой. В 1.4 исследуется полученная система, в частности используется метод убывающих функционалов, позволяющий качественно исследовать динамику системы, найти асимптотики решений приближенной системы.
Вторая глава посвящена выводу уравнений, описывающих движение твердого тела произвольной выпуклой формы в газе. При этом учитываются три типа взаимодействия молекул тела с газом: зеркальное и диффузное отражение, а также сорбция. В 2.1 обсуждается переход от уравнений
3 Результаты главы 1 получены совместно с В.В.Веденяпиным и сотрудниками Химфака МГУ
Й.В,Мелиховым и А,Л.Горбачевским.
4 Активной зоной называется область преимущественной локализации процесса,
динамики твердого тела с постоянной массой и геометрией масс к переменной, вводятся потоковые величины, описывающие изменение массы и геометрии тела. В 2.2-2.3 подробно описывается метод расчета потоковых величин. В 2.4 рассчитывается динамика столкновений для каждого типа взаимодействия. В 2.5 обсуждаются особенности динамики тела с переменной геометрией масс. В связи с проблемой не непрерывного изменения главных осей инерции тела при непрерывном изменении геометрии масс [1,8ДО], предлагается уравнения динамики записывать в терминах тензора инерции, который меняется непрерывно. Выводится уравнение, описывающее его эволюцию. В 2.6 представлена полученная система уравнений для общего случая и одно из ее возможных упрощений. В 2.7 обсуждаются границы применимости полученной системы. А также представлена связь динамики тела с кинетикой газа: выписано соответствующее кинетическое уравнение с граничными условиями, согласованными с уравнениями движения тела. Представлены ядра рассеяния для зеркального и диффузного отражения молекул газа в случае подвижной стенки.
В приложении 1 к главе 2 получено уравнение, описывающее изменение геометрии поверхности тела.
В приложении 2 к главе 2 излагается материал о граничных условиях для функции распределения молекул газа на поверхности твердого тела.
В главе 3 в условиях малости модифицированного числа Маха и числа Струхаля, получена динамическая система, описывающая движение твердого тела в газе с произвольной гладкой выпуклой границей в приближении постоянной массы и геометрии масс. Учитываются зеркально-диффузное взаимодействие молекул газа с поверхностью и сорбция. Получено условие финитности системы и показано существование стационарного решения. Найдено условие единственности и глобальной устойчивости стационарного решения. Показано, что при этом условии асимтотикой координатной траектории является цилиндрическая спираль. В 3.1 содержится описание
приближения, в 3.2 получены основные уравнения. В 3.3 обсуждается необходимое условие применимости модели - финитность решения, которое обеспечивается диссипативностью линейной части системы, а также устанавливается существование стационарного решения. В 3.4 найдено условие единственности и глобальной устойчивости стационарного решения. В 3.5 устанавливается вид асимптотики координатных траекторий при условии глобальной устойчивости стационара.
В главе 4 полученная динамическая система рассматривается в случае, когда уравнение на момент оказывается не зависящим от импульса. Как показано в 3.2 главы 3 к уравнениям этого типа принадлежит система Лоренца, что показывает сложность динамики системы в общем случае. В 4.1 рассматривается случай диагональной диссипации, для которого оказывается возможным усилить неравенства, обеспечивающие существование и глобальную устойчивость стационара. В 4.2 представлен пример системы типа (8), в котором постоянная составляющая вектора момента направлена вдоль одной из собственных осей инерции. На этом примере показано, что при нарушении указанных неравенств стационарное решение может терять устойчивость и становиться неединственным,
В заключении кратко суммируются основные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту.
Считаю приятным долгом выразить глубокую благодарность моему научному руководителю В.В.Веденяпину, поставившему передо мной эту задачу, и совместно с которым были получены результаты первой главы. Также хочу поблагодарить И.В .Мелихова, на основании его работ и при участии которого возникла эта задача, и А.Я. Горбачевского за полезные обсуждения. Наконец, я рада возможности выразить признательность М.В.Масленникову и Ю.Н.Орлову за внимание к работе и полезные замечания.
Уравнения медленного движения шара в равновесном газе
В этом параграфе будут выведены уравнения движения твердого тела в газе с максвелловской функцией распределения в предположении, что скорость тела мала по сравнению с тепловой скоростью молекул. Таким образом, считаем, что функция распределения молекул газа по скоростям есть максвеллиан; Здесь Т — температура, к — постоянная Больцмана. Это предположение обеспечивает широкий диапазон предлагаемых параметров, которыми в задаче являются размер тела, интервал наблюдения, плотность и давление (либо температура) газа. Характерная площадь, на которой протекают процессы на поверхности тела, должна быть такова, чтобы произведение частоты ударов в нее на время наблюдения было бы достаточно велико по сравнению с единицей. Это условие нарушится, если размер тела будет столь мал, что тело начнет чувствовать отдельные удары. Кроме того, мы пренебрегаем влиянием движения тела на функцию распределения молекул газа, считая тело не очень большим по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа, в противном случае вместо максвелловской функции распределения должна быть использована функция Максвелла-Чепмена-Энскога [29,52]. Предположим, что характерные значения скорости тела малы по сравнению со средней скоростью теплового движения, что соответствует реальным экспериментальным условиям (13-15). При этих предположениях получаем следующее выражение для интегралов3 (1.8-1.10): 3 Подробное вычисление этих интегралов здесь не приводится, поскольку они являются простым частным случаем интегралов для сил и моментов, вычисленных в приложении к главе 3 для тела произвольной геометрии. д, к тепловой скорости молекул, є = m/-Kjr - отношение масс. Будем теперь считать, что функция Р симметрична относительно поворотов вокруг вектора S: Тогда система уравнений (1.7) приобретает следующий вид. dR Q 1.3 Исследование уравнений движения. Предположим, что для системы (1.13) выполнено следующее условие: характерное время изменения кинетического момента много больше, чем каждое из характерных времен изменения остальных переменных системы (1.13). Таким образом, вектор К может считаться примерно постоянным. Найдем, какой вид траекторий возможен при этом, решив соответствующую упрощенную систему: Последнее уравнение описывает вращение S вокруг вектора К с угловой скоростью со.
Решение для S можно представить выражением; При этом на Q получается линейная неоднородная система с периодическими коэффициентами и периодической неоднородной частью. Переходя во вращающуюся систему координат, то есть, выполнив замену: Q{t) = ещ (Ш) P{f), получим линейную неоднородную систему с независящими от времени коэффициентами и неоднородной частью: Для однородной системы: имеем, что Р убывает: общее решение однородной системы стремится к нулю, поскольку (ОР,Р) = 0 и -А,+ %! (). Следовательно, решение сходится к единственному для каждых К и S(0) частному решению Р неоднородного уравнения. Поскольку во вращающейся системе координат это стационарная точка, то в неподвижной системе вектор Q вращается по окружности, соосной к той, по которой вращается вектор S, но с отставанием по фазе, зависящим от константы уравнения X и со. Рис. 1.3 Координатная траектория R(t) стремится к цилиндрической спирали с постоянным шагом и диаметром. Интегрируя последнее уравнение, получим, что координатная траектория R(t) стремится к спирали с постоянным шагом и осью, параллельной вектору К (рис. 1.3). Укажем шаг и диаметр спирали: В частных случаях спираль может вырождаться. Если S LK, то шаг спирали становится нулевым, и спираль вырождается в окружность. Напротив, если S \\ К, то равным нулю становится диаметр спирали, и она вырождается в прямую. Результат первой главы - простейшую модель хемореактивного движения и полученные в ее рамках уравнения еще не следует считать приложимой к реальным физическим процессам в виду следующих недостатков. Полученные в ее рамках траектории являются всего лишь промежуточными, а не полными асимптотиками основной системы (1.13). Нахождению последних препятствует отсутствие диссипации по кинетическому моменту, и, как следствие, инфинитность траекторий в фазовом пространстве. Однако эта модель является существенным этапом5 предшествующим построению более общих и адекватных реальности моделей, позволившим отработать кинетический подход к описанию динамики. Сначала рассмотрим динамику твердого тела с неизменной массой и геометрической формой.
Одним из традиционных способов описания динамики твердого тела - использование в качестве основных переменных направляющие косинусы или орты главных осей инерции, проходящих через центр масс. Пусть М- его масса, R- радиус-вектор центра масс, J- тензор инерции, Sl,S2,S3 орты, направленные вдоль главных осей инерции, (они же задают собственную систему координат, в которой тензор инерции диагонален), Q - импульс, К - кинетический момент. Обозначим обобщенное произведение двух векторов как: Тогда если Jl}J2,J3 - главные центральные моменты инерции, то тензор инерции тела можно представить в виде: з Если Х = (х1,х2,х3) - трехмерный вектор, поставим ему в соответствие объект Х = . Тогда обычное векторное произведение можно будет представить в виде [X,Y] = XY, где слева - векторное произведение двух векторов, а справа - действие оператора X на вектор Y. Заметим, что угловая скорость тогда может быть представлена в виде: Формула (2.1) представляет собой разложение угловой частоты по собственному базису, а формула (2.2) есть представление самосопряженного тензора через собственные векторы. Итак, запишем основные уравнения динамики: dR Q Здесь & - равнодействующая всех сил, Ж- сумма всех моментов, действующих на тело. Как изменится эта динамическая система при появлении взаимодействия тела с газом? Во-первых, среди сил и моментов появятся слагаемые, связанные с суммарным импульсом и кинетическим моментом, передаваемым молекулами газа телу при столкновениях. Также, когда поток поглощаемого вещества оказывается столь значителен, что оказывается необходимым учесть и изменение массы тела, к системе следует присоединить уравнение: И сделать поправку в первом уравнении основной системы: Здесь поправка к скорости W учитывает смещение центра масс, a 9f- поток массы, возникающие за счет поглощения телом вещества. Одновременно интенсивное поглощение молекул газа поверхностью может привести к изменению геометрии масс. Проблемы описания изменения геометрии масс будут рассмотрены далее в 2.4 далее. 2.2 Вычисление потоковых величин Из чего складываются и, соответственно, как вычисляются потоковые члены: сила - поток импульса, момент - поток кинетического момента, массовый поток и все остальные? Очевидно, что силы складываются из микроскопических изменений импульса в отдельных соударениях. Для их нахождения необходимо найти микроскопические изменения импульса для каждого типа соударения и проинтегрировать по всей поверхности по всем соударениям. Если имеют место несколько разных типов взаимодействия молекул газа с телом (например, зеркальное отражение и поглощение, каждое со своей вероятностью), то локальные потоки, полученные для каждого типа, следует сложить с соответствующими весами, и, потом проинтегрировать по поверхности.
Учет изменения геометрии масс при сорбции
Изменение геометрии масс стоит обсудить особо. В этом параграфе будет показано, почему в качестве переменной для описания вращения твердого тела с меняющейся геометрии масс предпочтительнее использовать тензор инерции, а не главных оси и главные моменты инерции. Найдем, как меняется тензор инерции при единичном акте поглощения точечной массы поверхностью тела (Рис. 2.2). По определению тензора инерции: После столкновения центр инерции «нового» тела сместится в точку R, поэтому тензор его инерции будет суммой тензора инерции «старого» относительно точки R и тензора инерции поглощенной молекулы: М+т Рассмотрим теперь возможность расчета изменений ортов главных осей и главных моментов инерции. Вообще говоря, вектора S1,S2,S3 и главные моменты инерции JXiJ2,J3 находятся решением задачи на собственные векторы и числа для тензора 2 Формулу (2,20) можно обобщить на случай, когда происходит агрегация многих тел конечного размера. Пусть J. - центральный тензор инерции і-того твердого тела, имеющего массу м. и радиус-вектор центра масс Р . Тогда тензор инерции системы связанных гел j относительно их общего центра R = 1 А масс можно представить в виде: Уг= Зк +Y,MARk -&с I2 -( -Rc)(Rk -Rc)r} И в общем случае решение может быть найдено с помощью такого подхода. Преобразование от старого собственного базиса («S S , } к новому {SlfS2,S3} можно представить в виде: 5 =73 , где Т = е , поворота, нормированный на единицу. Тогда получим, что: (2.22) Sj SJ+(l-cosQ)- Подстановкой (2.22) в (2.24) получим три уравнения на п є S2 и 0 є [0,2тс]. А по ним уже найдутся и главные моменты инерции из (2.23). Найдем достаточное условие, при котором угол поворота собственного базиса при присоединении молекулы малой массы (по сравнению с массой тела) может считаться также малой величиной. Это необходимо для того, чтобы изменения от отдельных соударений можно было бы проинтегрировать в соответствующую потоковую величину. Если угол 0 мал, то в линейном приближении T = E + Q + 0\ J, откуда получаем, что: Поскольку в общем случае вектор г может принимать различную ориентацию относительно собственных осей, то последнее выражение действительно дает малый угол Э только, когда J неравенство: Действительно, невыполнение этого неравенства не согласуется с условием малости угла б. Итак, неравенство (2.26) и есть искомое условие малости угла поворота.
В тех случаях, когда оно не выполняется (или точность приближения малых углов по каким-либо причинам оказывается неудовлетворительной) необходимо решать задачу на собственные векторы и собственные значения для «нового» тензора инерции либо способом (22-24), либо явно, находя корни характеристического уравнения и т.д. Но в любом из этих случаев результат для конечных приращений оказывается довольно громоздким [33], содержащим, в частности кубические радикалы, согласно формуле Кардано. Тем более затруднительно становится интегрирование по отдельным изменениям главных осей и моментов инерции даже в тех случаях, когда они малы. 2.5 Особенности динамики твердого тела с переменной геометрией масс. Итак, на основании уже рассмотренной динамики столкновений в случае сорбции предлагается отвергнуть естественный, на первый взгляд, путь учета в динамике твердого тела изменения массы за счет сорбирующегося вещества - ввести поправки в уравнения, описывающие вращение ортов главных осей и дополнить систему уравнениями на главные моменты инерции. Поскольку этот путь таит в себе трудности, которые, помимо громоздкости выражений, связанны с тем, что если условие (2.26) нарушается, то изменение направлений главных осей не является квазинепрерывным3. Если при присоединении молекул в некоторый момент времени возникает, а затем разрушается динамическая симметрия, то базис главных осей скачкообразно поворачивается на угол, который может принимать совсем не малые значения [1]. Но сам тензор инерции при этом останется квазинепрерывным: каждый его элемент в координатном представлении при присоединении молекулы (масса которой мала по сравнению с массой тела) будет меняться на малую величину. Также, в определенном смысле можно сказать, что главные моменты и главные оси инерции являются вторичными по отношению к тензору инерции, будучи его собственными числами и собственными векторами соответственно.
Поэтому предлагается описывать динамику твердого тела в переменных тензора инерции. Утверждение 1. При движении твердого тела без изменения геометрии масс зависимость тензора инерции от времени описывается уравнением: - объект дуальный к вектору угловой частоты. Пользуясь тем, что каждая точка твердого тела движется вокруг центра масс по закону х = ш, докажем утверждение 1 с помощью выкладки: 3 Строго говоря, при поглощении отдельных молекул любой параметр либо не меняется, либо меняется на конечную величину. Условие же квазинепрерывности некоторого параметра означает, что при присоединении частицы (молекулы газа) малой массы (т « М) изменение этого параметра имеет тот же порядок малости, что и отношение масс:тД/ Условие квазинепрерывности является необходимым для правомерности того, чтобы описывать эволюцию параметра соответствующей потоковой величиной, Для описания динамики твердого тела система с (2.27) дополняется уравнениями: d_jm j где - dt момент сил. = &J Tea. Отметим, что уравнение (2.27) имеет структуру LA-пары [2], среди свойств которого — сохранение собственных значений переменного тензора. Действительно, в данном случае это - главные моменты инерции, они сохраняются при постоянстве геометрии масс. Также в силу кососимметрчности тензора со сохраняется взаимная ориентация собственных векторов тензора инерции - главных осей инерции. В нашем случае, когда на теле осаждаются молекулы газа и меняют его массу и форму, правая часть уравнения для тензора инерции должна быть дополнена потоковой величиной, интегрирующей изменения от отдельных столкновений: где A SJ дается выражением (2.21). По-видимому, именно тензор инерции, а не главные оси и главные моменты инерции будут «правильными» переменными при численном моделировании динамики твердого тела с переменной геометрией масс. При этом, хотя предлагаемое описание, по сути, эквивалентно традиционно используемым способам, и является избыточным для стандартных задач без изменения массы и формы тела, оно является предпочтительным для решения задач с потоками вещества, квазинепрерывно меняющими массу и форму тела.
Финитность и существование стационара
В книге [15] указывается на случай, когда сходная по структуре с (3.10 ) система, но с нулевым постоянным моментом Jl сводится к системе Лоренца. Однако при этом матрица линейной части оказывается не знакоопределенной. В нашем случае отрицательная определненность матрицы линейной части W обязательна в силу (3.8). Тем не менее, система Лоренца [24,37]: также может быть получена из (3.10 ) при симметричной и отрицательно определенной матрице диссипации преобразованием сдвига Здесь параметр а выбирается следующим образом: если а \х , то а произвольное число из интервала (і, +оо), если а ]а2, то а берется из интервала (l, (1-1). Этот факт может служить иллюстрацией того, что в общем случае система (10) может обладать довольно сложным поведением. По определению кинетическая энергия (живая сила) тела есть: Исследуем вопрос об убывании энергии в силу линейной части уравнения: Условием диссипативности линейной части является существование положительной константы О 0 такой, что: для всех ненулевых значений V VL ОІ. Введем вектор % є 5R6: ,=( , ,.. ) = Замечание. Рассмотрим квадратичную форму: ( , Таким образом, эта квадратичная форма может быть представлена в виде суммы двух, одна из которых строго отрицательно определенная, а другая линейно зависит от коэффициента сорбции. Получим, что если $s достаточно мало, так что норма матрицы первой (отрицательно определенной квадратичной формы) больше, чем второй, то линейная часть диссипативна. Нетрудно заметить, что если р\ = 0, то G = C . Поскольку D и W — симметричные матрицы, то, можно сказать, что перекрестные коэффициенты, соответствующие зеркально-диффузному взаимодействию, удовлетворяют принципу симметрии Онзагера [35]. Коэффициенты, соответствующие сорбции ему не удовлетворяют, что объясняется тем, что сорбция - процесс принципиально неравновесный. Также при р\ = 0 энергия убывает в силу линейной части для любой геометрии тела. Если ps Ф 0, то это, вообще говоря, не так, и зависит от геометрии системы. Заметим, что в силу эйлеровой части уравнений (квадратичные члены, называемые также гироскопическими, и возникшие за счет перехода во вращающуюся систему координат) энергия сохраняется. Поэтому, в тех случаях, когда линейная часть диссипативна, всякое решение уравнений (3.10) финитно. Строгое доказательство этого факта дает следующая теорема. Теорема 3.1 Пусть выполнено условие диссипативности линейной части (3.12), тогда любое решение системы (3.10) финитно (заключено в некоторой ограниченной области). Доказательство.
Предположим, что кинетическая энергия (3.11) превышает м (2 i\ некоторое пороговое значение: Е Е = —- W + L 2Jt і, тогда квадрат модуля Ъ, удовлетворяет неравенству: Отсюда легко получить оценку на скорость изменения энергии по времени: Таким образом, если энергия системы больше, чем Ё , то она убывает в силу динамической системы. Следовательно, для любого решения, начиная с некоторого момента времени, решение будет принадлежать множеству, на котором Е Е . Поскольку энергия есть положительно определенная квадратичная форма динамических переменных, то решение системы финитно. А Следствие I. В условиях теоремы 1, согласно теореме о трансверсальной поверхности векторного поля [26, гл. 3, 14] система (3.10) имеет стационарное решение. В данном случае трансверсальной поверхностью к векторному полю, определяемому правой частью системы (ЗЛО), является поверхность уровня энергии Е-Е . Будем рассматривать только такие системы, у которых энергия убывает в силу линейной части, так как в случае неограниченного роста решения выбранное приближение (предположение II 3.1) станет неприменимым. 3.4 Условие глобальной устойчивости стационара. Обозначим =(к;« 0) - стационарную точку в пространстве скоростей, соответствующую стационарным значениям импульса Q0 и кинетического момента К0. Из доказательства теоремы 1 следует, что для стационарного решения справедлива оценка: Найдем условие, при котором стационарное решение будет устойчиво. Рассмотрим функцию: Продифференцируем ее по времени в силу системы (ЗЛО). Теорема 3.2 (Достаточное условие глобальной устойчивости) Пусть для системы (3.10) выполнено условие (3.13), и верно неравенство: Тогда стационарное решение этой системы единственно и глобально устойчиво.
Доказательство. Оценим величину производной по времени функции Я Используя неравенство (3.15) получим: Здесь 5= supt MK0 +\Ь-2 \) Щ=ЛІ 2 +r2Jt2 . Отсюда и из неравенства (3.17) следует, что S S. Следовательно точке. Поскольку функция Я- выпуклая функция своих аргументов, она стремится к своему единственному минимуму, а всякое решение системы, соответственно, к стационарной точке, в которой этот минимум достигается. При доказательстве теоремы были использованы следующие простые факты. Если х,у є И3, то: Замечание. Если выполнено условие теоремы 3.2, то функция Я является функцией Ляпунова для системы (3.10). Ее специфика заключается в том, что она не связана явно с линеаризацией системы в окрестности неподвижной точки. Кроме того, она является глобальной, т.е. убывает не только в малой окрестности устойчивого решения. 3.5 Вид траекторий в координатном пространстве. Рассмотрим случай, когда для системы (ЗЛО) выполнены условия теорем 1, 2 система финитна, и также постоянная сила и момент (3.7) не равны нулю одновременно. Тогда, в собственной системе координат все траектории системы (ЗЛО) сходятся к единственной точке ( 2;Х). Найдем асимптотику траекторий в координатном пространстве. Предельными значениями скорости и угловой скорости в собственной системе координат будут постоянные векторы VQ M lQ и ш= J K. Тогда в неподвижной системе вектор угловой скорости также будет неподвижен, а вектор поступательной скорости будет вращаться вокруг негоы: К(0 = ехр(ш0 )-К Интегрируя, получим, что с точностью до аддитивной постоянной: ад = КвГ где Fj=- 2 ±— 2 Такое движение есть движение по цилиндрической спирали с шагом - и радиусом \R±\. Этот результат можно считать качественным объяснением спиралевидного характера траекторий, обнаруженного в эксперименте [63].
Пример, в котором появляются несколько стационарных решений
В некоторых случаях, когда нарушается условие теоремы 4.2, и число стационарных решений становится неединственным, тем не менее, можно исследовать поведение системы методом функций, монотонных в силу системы. Рассмотрим уравнение (4.3) при условии, что матрица диссипации диагональна В = diag(bub2 b3), а вектор момента сил М является собственным для тензора инерции. Если все главные моменты инерции различны ах ф а2 ф аг, то это означает, что в собственной системе координат у вектора момента только одна компонента отлична от нуля. Без ограничения общности можно считать, что это - первая компонента: М = {щ, 0, 0). Тогда AM = ахМ. Рассмотрим функцию: (4.8) Н {кМ)-ахК2) = - )/+ 3- 2 Найдем ее производную в силу уравнения (4.3): Если ax=m.ax(al,az a3), то функция, определенная в (4.8) не положительна Я 0, причем значение Я = 0 достигается только при у = z = 0. При этом она не убывает в силу системы — 0, и = О также достигается при y-z 0. Следовательно, в этом случае любое решение при t - со сходится к точке Аналогично рассуждая к тому же выводу можно прийти и в случае ах = min(al,a2,a3i). Легко заметить, что если Ь2 = Ь2=-Ь, то для любых а} верно оказывается неавтономным интегралом. Рассмотрим особо случай, когда а{ не является ни максимальным, ни минимальным диагональным элементом матрицы А, а матрица диссипации пропорциональна единичной Ьг = Ь2 Ъъ - —b. Положим для простоты: ах ——. Обозначим: а = а2- ах, тогда: У этой системы есть инвариантная поверхность S= jx,у,z \у -z =0, являющаяся устойчивым предельным множеством, как следует из характера изменения функции (4.8) в силу системы. Инвариантное множество S представляет собой объединение двух плоскостей: y = Qz, 0 = ±1. На этих плоскостях исходная система сводится к виду: [у = -by + аЭху Эту уже, по сути, двумерную систему легко исследовать обычными способами. Укажем её особые точки. Неподвижная точка —,0,0 существует всегда, что иллюстрирует теорему 4.1. Она является единственной и глобально устойчивой, если модуль момента относительно , то первая неподвижная точка теряет устойчивость и от нее в плоскости, соответствующей Q = sign(am), отщепляется пара устойчивых узлов с координатами . Когда же модуль момента превысит величину m —j—г, узлы превращаются в устойчивые фокусы.
В этом случае 8а] характерный вид фазовых траекторий, лежащих на инвариантной поверхности, представлен на рисунке 4.1. В данной работе построена модель движения твердого тела в газе, сорбирующемся на его поверхности. Выведены общие уравнения движения тела с учетом переменной геометрии масс и формы поверхности. В частности: Предложено для описания вращения твердого тела вместо направляющих косинусов главных осей (или других связанных с ними переменных) использовать тензор инерции, заданный в неподвижных осях. Выведено уравнение, описывающее его эволюцию. Это позволяет избежать трудностей, связанных с отсутсвием непрерывности изменения главных осей инерции при непрерывном изменении массы и геометрии тела. Для тел с гладкой поверхностью предложен способ аналитически описать изменение формы поверхности тела при осаждении на нем вещества из газа. Для тела произвольной выпуклой формы в приближении малости модифицированного числа Маха и числа Струхаля и постоянства массы и геометрии масс общая система сведена к динамической системе (автономной системе обыкновенных дифференциальных уравнений) размерности шесть. Для этой системы: При условии диссипативности линейной части полученной динамической системы доказана финитность решений и существование стационарного решения. Найдено условие типа неравенства, обеспечивающее единственность и глобальную асимптотическую устойчивость стационарного решения. Также показано, что в случае общего положения координатная траектория, соответствующая этой асимптотике, имеет вид цилиндрической спирали, что можно рассматривать как качественное объяснение результата эксперимента [61], упоминавшегося в начале введения. Представлены примеры, иллюстрирующие поведение динамической системы. В частности при некоторых значения параметров она сводится к системе Лоренца. Последний факт показывает, что в общем случае система может обладать довольно сложным поведением, что представляет интерес для дальнейших исследований. Также интересным представляется переход от описания движения единичного тела к ансамблю твердых частиц движущихся в газе с распределением по динамическим переменным, геометрическим свойствам и активности. Укажем на еще одно естественное направление развития полученных результатов. Все рассматривавшиеся уравнения получены для таких типов взаимодействия, для которых молекула, попав на поверхность тела, либо покидает его, либо сорбируется. Таким образом, вне рассмотрения оказался случай, при котором сама поверхность испаряет молекулы в газ. В этом случае появится своя специфика, связанная с выбором физической модели процесса. Будет ли поток испаренных молекул зависеть от функции распределения налетающих частиц, если да, то каким образом. Но это уже предмет будущих исследований.
