Введение к работе
Актуальность темы. Магнитная гидродинамика (МГД) — это наука о движении электропроводящих жидкостей и газов в присутствии магнитного поля. Этот раздел физики развивается на стыке гидродинамики и классической электродинамики. Его методы широко используются для описания процессов, протекающих в плазме, жидких металлах и электролитах. Задачи, возникающие при изучении МГД, представляют большой интерес как с практической, так и с теоретической стороны.
С практической стороны МГД, например, позволяет находить бесконтактные способы управления процессом течения: разгонять или тормозить потоки, а также гасить или наоборот создавать вихри, или, например, создавать новые источники энергии, используя принцип МГД - генератора.
Уравнения МГД и связанные с ними задачи представляют интерес и с теоретической стороны. Это связано, прежде всего, с нелинейностью модели и с тем, что система МГД включает в себя уравнения Навье - Стокса и уравнения Максвелла, которые сами по себе являются предметом многочисленных исследований.
В основе МГД лежат две группы законов физики: уравнения гидродинамики и уравнения магнитного поля. Первые описывают течение проводящей среды (жидкости или газа), однако в отличие от обычной гидродинамики, течение связано с распределенными по объему среды электрическими токами. Вторая группа законов описывает токи в среде и вызываемые ими искажения магнитного поля. Наиболее часто систему МГД рассматривают в предположении, что внешнее магнитное поле не является существенным, и его воздействием на процесс течения можно пренебречь, либо свести воздействие к соответствующим краевым условиям для магнитного поля.
Одной из первых работ по исследованию МГД - течений стала работа Ладыженской О.А. и Солонникова В.А. (1960). В этой работе детально исследованы начально-краевые задачи для нестационарной системы, описывающей МГД - течение. Позднее вышел целый ряд работ, посвященных исследованию разрешимости начально-краевых задач магнитной гидродинамики. Среди них можно отметить работы Ступялиса Л.И. (1980), Алексеева Г.В. (1982), Rappaz J. (1982), Mair A.J. (1993).
Помимо краевых задач магнитной гидродинамики, особый интерес представляют задачи управления, возникающие, например, при рассмотрении про-
цессов, протекающих в МГД - двигателях и МГД - генераторах. Такие задачи успешно решаются с помощью различных численных методов. Разработке методов и алгоритмов решения задач управления, в том числе и МГД - течениями, посвящено большое количество работ. Среди них можно, например, отметить работы Васильева Ф.П. (1989), Ишмухаметова А.З. (2003), Хи С. и Krstic М. (2008). В гораздо меньшей степени изучены теоретические вопросы, связанные с задачами оптимального управления МГД - течениями. Среди авторов, занимавшихся изучением таких вопросов можно отметить Фурсикова А.В. (1996), Gunzburger M.D. (1998), Barbu V. (2003), Алексеева Г.В. (2003), Чеботарева А.Ю. (2007).
Настоящая работа также посвящена теоретическому изучению задач оптимального управления магнитогидродинамическим течением в одномерном случае. Изучение одномерного случая существенно упрощает уравнения МГД. Однако, именно благодаря такой постановке задачи удается более детально изучить теоретические основы процесса МГД - течения и подробно исследовать связь между скоростью течения, индуцированным и и внешним магнитными полями.
Следует отметить, что и в одномерном случае связь между внешним магнитным полем и скоростью течения, а также индуцированным магнитным полем не является линейной.
Цель работы. Целью работы является теоретическое исследование наименее изученных задач оптимального управления для МГД - течения Гарт-мана: задачи мультипликативного управления и задачи жесткого управления. Исследование включает в себя рассмотрение вопросов существования и единственности решения системы уравнений, описывающих процесс МГД - течения Гартмана, существования и единственности решения указанных задач оптимального управления, изучение вопросов управляемости, а также изучение свойств решений и разработку асимптотических алгоритмов построения оптимального управления.
Методы исследований. При получении результатов данной диссертации использовались следующие методы: теория функциональных пространств Соболева и теоремы вложения, методы исследования разрешимости краевых задач в пространствах Соболева, методы априорных оценок, метод регуляризации, методы теории оптимального управления для уравнений в частных
производных, включающих методы доказательства разрешимости и принцип множителей Лагранжа. Применялись также более тонкие методы анализа, такие как метод единственности Гильберта или метод единственности продолжения решения параболической системы.
Научная новизна. В диссертации изложены следующие новые научные результаты:
Изучена задача мультипликативного управления для одномерного МГД - течения Гартмана. Доказаны теоремы существования, единственности решения и выведена система оптимальности. Построена асимптотика оптимального управления и доказана его субоптимальность.
Для задачи мультипликативного управления доказана изолированность решений и получено условие существования конечного числа решений. Получены априорные оценки, определяющие качественные свойства решения.
Изучена задача жесткого управления магнитным полем. Доказаны теоремы существования и единстенности решения. Показано, что оптимальное управление принадлежит границе множества допустимых управлений. Выведена система оптимальности.
Доказана аппроксимативная управляемость одномерного МГД - течения Гартмана относительно локализованного управления. Обоснован алгоритм, позволяющий построить аппроксимативное управление.
Все указанные результаты получены автором диссертационной работы. Из совместных работ в диссертации приведены результаты, полученные лично автором.
Теоретическая и практическая ценность работы. Основные результаты работы являются теоретическими. Идеи и методы, используемые в диссертации, могут быть применены для исследования различных задач оптимального управления параболическими системами.
Практическая ценность работы заключается в возможности использовать ее результаты для обоснования использования численных алгоритмов решения задач оптимального управления. Кроме того, помимо упомянутых задач, имеется значительное количество задач в инженерной магнитной гидродинамике, которые могут быть сведены к системам, рассмотренным в диссертации.
Работа была поддержана следующими грантами: проект РФФИ - «Дальний восток» - 06-01-96003, грант ДВО РАН 09-I-OMH-08.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на XXI и XXII Воронежской весенней математической школе (г. Воронеж;, 2007 г. и 2008 г.), на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (г. Хабаровск, 2005 г. и 2009 г., г. Владивосток, 2008 г.), а также на семинарах Вычислительного центра им. А.А. Дородницына РАН (г. Москва) и Института прикладной математики Дальневосточного отделения РАН (г. Владивосток).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6]. Статьи [2]-[3] опубликованы в журналах, входящих в список ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 82 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 52 наименований.
