Содержание к диссертации
Введение
1. Некоторые весовые пространства С.Л. Соболева 13
1.1 Теоремы вложения для одного класса весовых пространств . 13
1.2 О весовом пространстве соболева в кубе 15
1.3 Об одном приложении весового пространства соболева . 20
2. Первая краевая задача для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка 23
2.1 Теорема вложения и обобщенная разрешимость первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения . 23
2.2 Об обобщенной разрешимости первой краевой задачи для другого вырождающегося эллиптического уравнения 29
3. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка 38
3.1 Третья краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения 38
3.2 Обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения . 45
3.3 Задача дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения 53
Литература 58
- Теоремы вложения для одного класса весовых пространств
- Теорема вложения и обобщенная разрешимость первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения
- Об обобщенной разрешимости первой краевой задачи для другого вырождающегося эллиптического уравнения
- Обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения
Введение к работе
Основным объектом изучения в работе являются вырождающиеся эллиптические уравнения и связанные с ними весовые пространства типа Соболева.
Имя Сергея Львовича Соболева (1908-1989) хорошо известно широкому кругу математиков как одного из создателей понятия обобщенных функций, глубоко изменившего облик современной математики. Связанные с его именем такие понятия, как обобщенное решение, обобщенная производная, теоремы вложения, пространства Wp , стали общепринятыми. Теоремы вложения, сформулированные и доказанные С.Л. Соболевым еще в тридцатых годах прошлого столетия, оказались весьма полезным аппаратом функционального анализа и уравнений в частных производных.
В настоящее время классические разделы математики претерпевают значительные изменения под влиянием наплыва новых идей и методов, главным образом связанных с функциональным анализом. В первую очередь эти идеи коснулись теории дифференциальных уравнений: обыкновенных и в частных производных.
Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Число опубликованных работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям весьма значительно. В этих исследованиях в основном рассматривались вырождающиеся эллиптические системы уравнений первого порядка (см., например, работы А.В. Бицадзе, И.Н. Векуа, Л.С. Парасюк и т.д.). Что касается вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка, то к числу первых в этом направлении относится работа М.В. Келдыша (1951), где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий, которые заменяются условием ограни-
ченности решений. Позже А.В. Бицадзе в своей работе указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией.
Одним из представителей вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка является уравнение вида
д2и д2и ди _ (с\л л\
дх2 ду2 ду
которое впервые было рассмотрено И.Л. Каролем. Им были построены фундаментальные решения этого уравнения при а < 1. Позже Р.С. Хайруллин в своей работе с помощью этих фундаментальных решений исследовал основные краевые задачи для уравнения (0.1.1) при тех же значениях а.
Отметим, что к вырождающимся эллиптическим уравнениям приводят прикладные задачи гидро - и газовой динамики, теории упругости, перенос нейтронов и другие процессы в физике и механике. Значительное количество примеров приведено в работе [20].
В данной работе дается определение одного класса весовых пространств С.Л. Соболева. Освещается вопрос о плотности множества финитных функций в данном весовом пространстве. Доказана теорема о плотности финитных функций в весовом пространстве Соболева в кубе О, = (0, а)п. Дается приложение этого весового пространства при изучении задачи Дирихле и задачи Е
для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка.
Центральное место занимает исследование первой, третьей и смешанной краевых задач для эллиптических уравнений, вырождающихся на различных частях границы цилиндрической области. Доказывается однозначная обобщенная разрешимость этих краевых задач в весовых пространствах С.Л. Соболева, также устанавливается фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения. Далее рассмотрена задача Дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптического
уравнения.
В диссертации используются методы, позволяющие изучать уравнения неклассического типа второго порядка. К этим методам относятся: функциональный метод, модифицированный метод Вишика, теорема Рисса и три теоремы Фредгольма, теорема о сжимающих отображениях и вариационный метод.
Актуальность темы исследования
В работах М.А. Лаврентьева, М.В. Келдыша, И.Н. Векуа, С.А. Христиа-новича, С.А. Чаплыгина, Л.Г. Гудерлея и других была отмечена важность проблемы неклассических уравнений математической физики при решении задач, возникающих в трансзвуковой газовой динамике, в магпитогидроди-намических течениях с переходом через скорость звука и скорость Альфена, в течениях жидкости в открытом канале, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и во многих прикладных задачах механики. Поэтому краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений привлекают внимание многих авторов.
Интерес к изучению граничных задач для вырождающихся дифференциальных уравнений вновь заметно возрос после появления работ Г. Фикера и О.А. Олейник. Фундаментальные результаты в этом направлении, как известно, принадлежат М.В. Келдышу [29]. Полученные им результаты затем развивались и обобщались в работах О.А. Олейник [43], Н.Д. Введенской [6 и др.
Изучение обобщенных решений вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка началось с работ С.Г. Михлина [39] и М.И. Вишика [7]. Вслед за этим появился ряд работ, в которых методами, близкими к методу М.И. Вишика, изучались вырождающиеся уравнения второго и более высо-
кого порядка.
Довольно много работ и монографий посвящено разрешимости краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений, но не достаточно изучено влияние поведения весов на различных частях границы области. Поэтому отметим последние исследования.
В работах И.Е. Егорова и Н.А. Тихонова [22] в области Q, ограниченной в Rn П (0 < хп < а) границей Г, часть Го которой лежит в гиперплоскости хп = 0, а остальная часть Гі - в полупространстве хп > 0, рассматривается эллиптическое уравнение
Lu=Y, Ы*))+ Чх)-+с(х)и=/(ж)' (ол-2)
і ,j=l г ^ ^' і=1 г
где dij(x) = a>ji(x)- непрерывные функции в Сі. Предполагается, что в уравнении (0.1.2) коэффициенты a,ij, bi непрерывно дифференцируемы в Qs = Q, П (хп > 5), где 5 - любое положительное число, а функция с(х) непрерывна в Q6. Считается выполненным условие
X аіАхШі > о \/х Є й П (хп > 0) V Є Rn и ||2 > 0.
Также выполняются неравенства
фп)Єп <С2± ацШ&, Є R\ c2cp(xn) < ann(x) < C2(p(xn),
где ip(t) - непрерывная положительная функция при 0 < t < а, ср(0) — 0.
При таких предположениях эллиптическое уравнение (0.1.2) вырождается на Tq. Рассматриваются первая и третья краевые задачи для данного уравнения с произвольным вырождением. Доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений краевых задач, и изучены спектральные свойства оператора первой краевой задачи, которые обобщают известные результаты для вырождения степенного характера [22].
В работе [24] И.Е. Егоров в области О, рассматривает уравнение (0.1.2), где ip(t) удовлетворяет условию
Г dt
JW)=co-
о Изучается краевая задача Е для данного эллиптического уравнения, и доказывается единственность ее обобщенного решения. Теоретическая и практическая значимость
Работа носит теоретический характер, заполняя определенный пробел в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений и найти приложение в теории краевых задач для уравнений смешанного типа, возникающих при решении многих важных вопросов прикладного характера (теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и т.д.). Особо
значительную роль такие уравнения играют в газовой динамике. Историография вопроса.
Исследования по плотности финитных функций в весовых пространствах с достаточно произвольным весом ведут свое начало из работ Е.Т. Поульсе-на, применившего для доказательства теоремы о плотности финитных функций методы функционального анализа. Затем вопросы о плотности финитных функций рассматриваются в работах Л.Д. Кудрявцева, О.В. Бесова, В.Р. Портнова, Л.Н. Домышевой, Г.Н. Яковлева, П.И. Лизоркина, СМ. Никольского, А. Куфнера, М.О. Отелбаева и др.
Рассмотрим обзор последних (в 80-90 г.г. прошлого столетия) исследований по плотности финитных функций.
В работе О.В. Бесова [1] исследуется три случая плотности финитных функций в весовом пространстве С.Л. Соболева.
В первом случае рассматривается пространство Wptl(G) функций и с нор-
H\w = Е H^^IU = Е | / W(*)Dau(*)\Pdx 1 . (0.1.3)
|о|(JG J
Также рассматриваются вопросы существования граничных значений (следов) производных функций из Wp)j(G) на dG и возможность сколь угодно точной аппроксимации функций из Wp\l(G) функциями с компактным носителем в G. При этом изучается возможность конструктивного построения аппроксимирующих функций с помощью срезающих функций, т.е. используется метод аппроксимации, не зависящий от индивидуальной функции. Далее устанавливаются две теоремы о пространстве функций, заданных в области с негладкой (липшицевой) границей, обладающих производными по всем переменным до порядка I и конечной нормой (0.1.3).
Во втором случае устанавливаются некоторые вспомогательные утверждения для одномерного случая.
В третьем случае устанавливаются для липшицевого многообразия некоторые свойства геометрического характера.
К.Х. Бойматов [3] в своей работе о плотности финитных функций в весо-
о вых пространствах изучает вопрос о характеризации функций и(х) Є Wp^aity
для гладких областей. Для этого рассматриваются пространства W(p,\ а, 6),
V(Q',(T, S) функций и(х) (х Є fi), имеющих обобщенные по С.Л. Соболеву
производные Dau, \а\ < т, с нормами соответственно
]Г f а(х) \Dau{x)\pdx + f а(х)5-тр{х) \и(х)\рdx і , (0.1.4)
}
l/p (0.1.5)
Основные результаты относятся к случаю произвольного открытого множества Q С Rn- Рассматриваются теоремы о плотности множества Со(Г2) в V(Q;
В работе Л.Н. Домышевой [21] для функций из весовых полунормированных пространств L^(Jn) строятся последовательности финитных бесконечно дифференцируемых функций, сходящихся по полунорме к данным функциям, и указываются скорости сходимости этих последовательностей. Также доказывается теорема о существовании такой бесконечно дифференцируемой по переменной хп, финитной относительно гиперплоскости R71"1 функции /; Є Lrp^(Jn), что fl(x) = 0 на J^6 и
|/ - Я; -%,(Jn)| < *W.№ лГпГ; Jn) + |/; ^(4%)|,
где /*- функция, определенная равенством
f ix) = \
при A = 25.
В работе И.Е. Егорова [23] исследуется обобщение результатов теоремы вложения и компактности для пространства со степенным характером вырождения метрики, которая определяется неотрицательно определенной квадратичной формой. С этой целью рассматривается случай произвольного вырождения метрики на границе области.
В работе Л.Д. Кудрявцева [30] рассматривается вопрос о построении для функции /, определенной на числовой полупрямой R+ и принадлежащей
некоторому весовому полунормированному пространству, сходящейся к ней последовательности бесконечно дифференцируемых финитных функций. В этой работе применяются прямые конструктивные методы приближения фиксированной функции финитными. Здесь имеет место теорема о том, что
Л-»0
+ и(х)[1 - фк(хп)], Lrp^{Rn)
= о,
из этой теоремы следует теорема о плотности множества бесконечно диффе-
ренцируемых функций в пространстве LpjTnjtp-
Этот подход к исследованию краевых задач для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе, впервые продемонстрированный в работе Л.Д. Кудрявцева, получил дальнейшее развитие в работах СМ. Никольского, П.И. Лизоркина, СВ. Успенского, О.В. Бесова, X. Трибеля и других [1], [3].
Среди работ последних лет, посвященных изучению уравнений эллиптического типа второго порядка, необходимо отметить следующие: A. Kufner [31], М.И. Вишик и В.В. Грушин [8], С.А. Терсенов [50], В.П. Глушко [19], А.А. Вашарин и П.И. Лизоркин [5], М.В. Келдыш [29], В.А. Брюханов [4], В.В. Катрахов [28], И.Е. Егоров [25], Н.А. Тихонов [51].
Вопрос о разрешимости краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений был рассмотрен в работах [52], [25], [34], [32]. В этих работах для исследования краевых задач были использованы: метод априорных оценок, теоремы о неподвижных точках, геометрические методы, метод продолжения по параметру.
Краткое содержание диссертации.
Первая глава носит вспомогательный характер.
В этой главе дается определение одного класса весовых пространств СЛ. Соболева. Приведены теоремы вложения и компактности весовых пространств, ранее доказанные И.Е. Егоровым. Доказана теорема о плотности финитных
функций в весовом пространстве Соболева в кубе Г2 = (0, а)п. Дается приложение этого весового пространства при изучении задачи Дирихле и задачи Е для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка.
Основной вопрос, который мы исследуем во второй главе - это однозначная обобщенная разрешимость первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения
^ г,j=l г
+ с(х, t)u = f(x, t), (х, t) Є Q,
где функция (f(t) удовлетворяет условиям: (pit) > О -непрерывная функция при 0 < t < а, ац - вещественные измеримые в Г2 С Rn функции (i,j = l,..., п), удовлетворяющие условию симметричности: a,ij = a,ji; с(х, t) непрерывна в Г2, и а(ж, t) непрерывна в О, П {t > 5} для \/5 > 0. Предполагается, что выполнено неравенство
cip21|2 < J2 а*Мз < ър2 ||2, teRn,
где peC(Q), \Vp\Lp(2), р(х)>0 Ух Є ft, р > 1.
Также доказана теорема о существовании и единственности обобщенного решения первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения
/ с\ \ ft r\ TL r\
i,j=l i=l
du +a(x,t)— + c(x,t)u = f(x,t), (x,t)GQ,
где функции
в Q С Rn функции (г, j = 1,..., п), удовлетворяющие условию симметричности: dij = dji-
Предполагается, что выполнены неравенства
ч>Ы& <С2 ч(х)&& є Rn, c2(f(xn) < ann(x) < C2(p(xn).
Для доказательства существования обобщенных решений используется модифицированный метод Вишика, а для доказательства единственности обобщенного решения используются методы из функционального анализа.
В третьей главе изучается третья краевая задача для эллиптического уравнения (0.1.7). Доказывается существование и единственность ее обобщенного решения. Также доказана обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения (0.1.6).
В конце данной главы исследована задача Дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения
bU==dt
Ы*)-) + Z ^Г Ы*,и: V«K) + (0.1.8)
i,j=i г
+а(я, *)-^- + с(ж, t)u = f,
где функции ip(t),ip(i) удовлетворяют условиям: ip(t) > 0,^() > 0 - непрерывные функции при t > 0, <р(0) = ф(0) = 0; Vu = (их ,..., иХп), а^- вещественные измеримые в її функции (г, j = 1, ...,п), удовлетворяющие условию симметричности: аг-у(ж, и, Vu) = a,ji(x, и, Vu) для У и Є Cq(Q). Предположено, что выполнены неравенства
vraisuip \aij{x, <р: Vy>)p 2{х)\ <+оо,
vraisup
x&Q
dij(x, ip, V
p2(x)
,Q i=1
Фп)Єп < с2 y,
Oij(x,
V<>, 5 Є Hi, где M - положительное число, не зависящее от ip, S, ж, .
С помощью теоремы о сжимающих отображениях и вариационного метода доказывается существование единственного обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения (0.1.8).
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре профессора И.Е. Егорова "Дифференциальные уравнения с частными производными" (НИИ математики при ЯГУ, г. Якутск), на семинаре профессора А.И. Кожанова"Неклассические уравнения математической физики" (ИМ СО РАН, г. Новосибирск), а также доложены на различных конференциях: Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка" (2004, 2005, 2006); Лаврен-тьевские чтения молодых ученых и специалистов Республики Саха (Якутия) (2002, 2005); IV и V Международные конференции по математическому моделированию (2004, 2007); Республиканская научно - практическая конференция "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (2003); Всероссийская конференция "Космо-и геофизические явления и их математические модели" (2002). Работа поддержана грантом №8425 Ведомственной научной программы Федерального агентства по образованию "Развитие научного потенциала высшей школы" на 2005 год и грантом 2006-РИ-19.0/001/711
научной программы "Проведение научных исследований молодыми учеными" Федерального агентства по науке и инновациям Министерства образования и науки РФ.
Теоремы вложения для одного класса весовых пространств
Основные результаты относятся к случаю произвольного открытого множества Q С Rn- Рассматриваются теоремы о плотности множества Со(Г2) в V(Q; T,S)H множества Со(П) в Wp(Q;a,S). Доказательство этих теорем сводится к проверке эквивалентности норм (0.1.4),(0.1.5).
В работе Л.Н. Домышевой [21] для функций из весовых полунормированных пространств L (Jn) строятся последовательности финитных бесконечно дифференцируемых функций, сходящихся по полунорме к данным функциям, и указываются скорости сходимости этих последовательностей. Также доказывается теорема о существовании такой бесконечно дифференцируемой по переменной хп, финитной относительно гиперплоскости R71"1 функции при A = 25.
В работе И.Е. Егорова [23] исследуется обобщение результатов теоремы вложения и компактности для пространства со степенным характером вырождения метрики, которая определяется неотрицательно определенной квадратичной формой. С этой целью рассматривается случай произвольного вырождения метрики на границе области.
В работе Л.Д. Кудрявцева [30] рассматривается вопрос о построении для функции /, определенной на числовой полупрямой R+ и принадлежащей некоторому весовому полунормированному пространству, сходящейся к ней последовательности бесконечно дифференцируемых финитных функций. В этой работе применяются прямые конструктивные методы приближения фиксированной функции финитными. Здесь имеет место теорема о том, что из этой теоремы следует теорема о плотности множества бесконечно диффе о ренцируемых функций в пространстве LpjTnjtp Этот подход к исследованию краевых задач для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе, впервые продемонстрированный в работе Л.Д. Кудрявцева, получил дальнейшее развитие в работах СМ. Никольского, П.И. Лизоркина, СВ. Успенского, О.В. Бесова, X. Трибеля и других [1], [3]. Среди работ последних лет, посвященных изучению уравнений эллиптического типа второго порядка, необходимо отметить следующие: A. Kufner [31], М.И. Вишик и В.В. Грушин [8], С.А. Терсенов [50], В.П. Глушко [19], А.А. Вашарин и П.И. Лизоркин [5], М.В. Келдыш [29], В.А. Брюханов [4], В.В. Катрахов [28], И.Е. Егоров [25], Н.А. Тихонов [51]. Вопрос о разрешимости краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений был рассмотрен в работах [52], [25], [34], [32]. В этих работах для исследования краевых задач были использованы: метод априорных оценок, теоремы о неподвижных точках, геометрические методы, метод продолжения по параметру. Краткое содержание диссертации. Первая глава носит вспомогательный характер. В этой главе дается определение одного класса весовых пространств СЛ. Соболева. Приведены теоремы вложения и компактности весовых пространств, ранее доказанные И.Е. Егоровым. Доказана теорема о плотности финитных функций в весовом пространстве Соболева в кубе Г2 = (0, а)п. Дается приложение этого весового пространства при изучении задачи Дирихле и задачи Е для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка. Основной вопрос, который мы исследуем во второй главе - это однозначная обобщенная разрешимость первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения г,j=l г где функция (f(t) удовлетворяет условиям: (pit) О -непрерывная функция при 0 t а, /?(0) = 0; ац - вещественные измеримые в Г2 С Rn функции (i,j = l,..., п), удовлетворяющие условию симметричности: a,ij = a,ji; с(х, t) непрерывна в Г2, и а(ж, t) непрерывна в О, П {t 5} для \/5 0. Предполагается, что выполнено неравенство Также доказана теорема о существовании и единственности обобщенного решения первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения где функции p(t), ip(t) удовлетворяют условиям: (p(t) 0, ifj(t) 0 - непрерывные функции при t 0, /?(0) = -0(0) — 0; ац - вещественные измеримые в Q С Rn функции (г, j = 1,..., п), удовлетворяющие условию симметричности: dij = dji
Теорема вложения и обобщенная разрешимость первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения
Одним из представителей вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка является уравнение вида которое впервые было рассмотрено И.Л. Каролем. Им были построены фундаментальные решения этого уравнения при а 1. Позже Р.С. Хайруллин в своей работе с помощью этих фундаментальных решений исследовал основные краевые задачи для уравнения (0.1.1) при тех же значениях а.
Отметим, что к вырождающимся эллиптическим уравнениям приводят прикладные задачи гидро - и газовой динамики, теории упругости, перенос нейтронов и другие процессы в физике и механике. Значительное количество примеров приведено в работе [20].
В данной работе дается определение одного класса весовых пространств С.Л. Соболева. Освещается вопрос о плотности множества финитных функций в данном весовом пространстве. Доказана теорема о плотности финитных функций в весовом пространстве Соболева в кубе О, = (0, а)п. Дается приложение этого весового пространства при изучении задачи Дирихле и задачи для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка.
Центральное место занимает исследование первой, третьей и смешанной краевых задач для эллиптических уравнений, вырождающихся на различных частях границы цилиндрической области. Доказывается однозначная обобщенная разрешимость этих краевых задач в весовых пространствах С.Л. Соболева, также устанавливается фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения. Далее рассмотрена задача Дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптическог уравнения.
В диссертации используются методы, позволяющие изучать уравнения неклассического типа второго порядка. К этим методам относятся: функциональный метод, модифицированный метод Вишика, теорема Рисса и три теоремы Фредгольма, теорема о сжимающих отображениях и вариационный метод.
В работах М.А. Лаврентьева, М.В. Келдыша, И.Н. Векуа, С.А. Христиа-новича, С.А. Чаплыгина, Л.Г. Гудерлея и других была отмечена важность проблемы неклассических уравнений математической физики при решении задач, возникающих в трансзвуковой газовой динамике, в магпитогидроди-намических течениях с переходом через скорость звука и скорость Альфена, в течениях жидкости в открытом канале, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и во многих прикладных задачах механики. Поэтому краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений привлекают внимание многих авторов.
Интерес к изучению граничных задач для вырождающихся дифференциальных уравнений вновь заметно возрос после появления работ Г. Фикера и О.А. Олейник. Фундаментальные результаты в этом направлении, как известно, принадлежат М.В. Келдышу [29]. Полученные им результаты затем развивались и обобщались в работах О.А. Олейник [43], Н.Д. Введенской [6 и др. Изучение обобщенных решений вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка началось с работ С.Г. Михлина [39] и М.И. Вишика [7]. Вслед за этим появился ряд работ, в которых методами, близкими к методу М.И. Вишика, изучались вырождающиеся уравнения второго и более высокого порядка.
Довольно много работ и монографий посвящено разрешимости краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений, но не достаточно изучено влияние поведения весов на различных частях границы области. Поэтому отметим последние исследования.
В работах И.Е. Егорова и Н.А. Тихонова [22] в области Q, ограниченной в Rn П (0 хп а) границей Г, часть Го которой лежит в гиперплоскости хп = 0, а остальная часть Гі - в полупространстве хп 0, рассматривается эллиптическое уравнение где dij(x) = a ji(x)- непрерывные функции в Сі. Предполагается, что в уравнении (0.1.2) коэффициенты a,ij, bi непрерывно дифференцируемы в Qs = Q, П (хп 5), где 5 - любое положительное число, а функция с(х) непрерывна в Q6. Считается выполненным условие
Об обобщенной разрешимости первой краевой задачи для другого вырождающегося эллиптического уравнения
Основной вопрос, который мы исследуем во второй главе - это однозначная обобщенная разрешимость первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения где функция (f(t) удовлетворяет условиям: (pit) О -непрерывная функция при 0 t а, /?(0) = 0; ац - вещественные измеримые в Г2 С Rn функции (i,j = l,..., п), удовлетворяющие условию симметричности: a,ij = a,ji; с(х, t) непрерывна в Г2, и а(ж, t) непрерывна в О, П {t 5} для \/5 0. Предполагается, что выполнено неравенство Также доказана теорема о существовании и единственности обобщенного решения первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения где функции p(t), ip(t) удовлетворяют условиям: (p(t) 0, ifj(t) 0 - непрерывные функции при t 0, /?(0) = -0(0) — 0; ац - вещественные измеримые в Q С Rn функции (г, j = 1,..., п), удовлетворяющие условию симметричности: dij = dji Предполагается, что выполнены неравенства Для доказательства существования обобщенных решений используется модифицированный метод Вишика, а для доказательства единственности обобщенного решения используются методы из функционального анализа. В третьей главе изучается третья краевая задача для эллиптического уравнения (0.1.7). Доказывается существование и единственность ее обобщенного решения. Также доказана обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения (0.1.6). В конце данной главы исследована задача Дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения где функции ip(t),ip(i) удовлетворяют условиям: ip(t) 0, () 0 - непрерывные функции при t 0, р(0) = ф(0) = 0; Vu = (их ,..., иХп), а - вещественные измеримые в її функции (г, j = 1, ...,п), удовлетворяющие условию симметричности: аг-у(ж, и, Vu) = a,ji(x, и, Vu) для У и Є CQ(Q). Предположено, что выполнены неравенства
С помощью теоремы о сжимающих отображениях и вариационного метода доказывается существование единственного обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения (0.1.8).
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре профессора И.Е. Егорова "Дифференциальные уравнения с частными производными" (НИИ математики при ЯГУ, г. Якутск), на семинаре профессора А.И. Кожанова"Неклассические уравнения математической физики" (ИМ СО РАН, г. Новосибирск), а также доложены на различных конференциях: Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка" (2004, 2005, 2006); Лаврен-тьевские чтения молодых ученых и специалистов Республики Саха (Якутия) (2002, 2005); IV и V Международные конференции по математическому моделированию (2004, 2007); Республиканская научно - практическая конференция "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (2003); Всероссийская конференция "Космо-и геофизические явления и их математические модели" (2002). Работа поддержана грантом №8425 Ведомственной научной программы Федерального агентства по образованию "Развитие научного потенциала высшей школы" на 2005 год и грантом 2006-РИ-19.0/001/711 научной программы "Проведение научных исследований молодыми учеными" Федерального агентства по науке и инновациям Министерства образования и науки РФ.
Обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения
Докажем, что операторы А, С вполне непрерывны в H\{Q), причем пол о ная непрерывность оператора С следует из компактности вложения H\(Q) в Ь2(ПТ). Убедимся, что любая слабо сходящаяся в H\{Q) последовательность {ик}, к = 1, 2,..., преобразуется оператором А в сильно сходящуюся последовательность {Аик}. Ввиду ограниченности оператора А последовательность {Ащ} слабо сходится к Аи, где и есть слабый предел последовательности {щ}. Кро о ме того, ввиду компактности оператора вложения H\(Q) в L2(Q) последовательности {uk} и {Ащ} сходятся сильно в L2(Q) к и и Аи соответственно. Оценим [А(ик - ит), А(щ - ит)] Сі [\\ик - um\\L Q) \\Аик - Аит\\ + + \\щ - ит\\ыя) \\Аик - Aum\\L2(Q) ] . Отсюда, при к, т —ї со правая часть стремится к нулю, и, следовательно, о {Ащ} действительно есть сильно сходящаяся в Hi(Q) последовательность. Значит, оператор А есть вполне непрерывный оператор. Теперь докажем, что оператор С есть вполне непрерывный. Имеем Так как H\(Q) компактно в 1 (1), то из любого ограниченного множе о ства элементов H\(Q) можно выделить такую последовательность, чтобы последовательность следов на 1/2 (Qr) была фундаментальна в (Фг): 2(Пг) Отсюда ввиду вышеизложенного следует, что правая часть последней оценки стремится к нулю при р, m —У со. о Так как (3.2.6) имеет место при любом ц Є H\(Q), то (3.2.6) эквивалентно операторному уравнению и + Аи + Си = F (3.2.7) в пространстве H\{Q). Ввиду этого для уравнения (3.2.7) справедлива первая теорема Фредголь о ма: разрешимость уравнения (3.2.7) при любом F Є H\(Q) есть следствие теоремы единственности для него. Теорема 3.2.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.2.1 и / со, а2 с0 , c-\at 0, (p(T)fi(x) + \а(х, Т) 0. Тогда задача (3.2.1), (3.2.4) не о может иметь более одного обобщенного решения из H\(Q), она действительно о разрешима в Hi(Q) при любом / Є 2jCr-i(Q), гДе "W 0 ПРИ і 0и a(t) = 0((p-l(t)S-2(t)) вблизи t = 0. Доказательство. Интегрируя по частям в выражении В (и, и) = 0, получим На основании (3.2.2) можно получить неравенство п Уж Єй, V = (Єї + ігц,..., ЄП + мъ) б С". Беря вещественную часть равенства (3.2.8) с учетом условий теоремы, бу-дем иметь п о 0. Отсюда получаем и = 0 в Q. Ні о Теперь разрешимость краевой задачи (3.2.1), (3.2.4) в H\{Q) следует из единственности обобщенного решения в данном пространстве. Теорема доказана. Справедлива известная лемма: Лемма 3.2.1. Пусть Т и Т\ - вполне непрерывные операторы в гильбертовом пространстве Н, причем Т имеет всюду плотную в Н область значений, и существует обратный Т-1. Тогда для любого числа є 0 найдется такое число М 0, что Теорема 3.2.3. Пусть выполнены неравенства (3.2.2), (3.2.3) и lim (pS2 = 0, /Є 2,0-1 (Q)- Тогда для смешанной краевой задачи (3.2.1), (3.2.4) имеет место альтернатива Фредгольма, а задача на собственные значения Lu — Хи = 0, гг.р = 0, (щ — (ли)\п = 0 приводит к дискретному и конечномерному спектру.
