Вторая и третья краевые задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения Селицкий Антон Михайлович

Гладкость сильных решений в прямоугольных подобластях

Параболические функционально-дифференциальные уравнения с запаздываниями по времени изучались многими авторами, см. [26], [22], [29], [37], [39]. Наиболее общий случай таких уравнений, содержащих переменные запаздывания в старших производных, рассматривался в работах В. В. Власова [1], [2].

Первая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами по пространственным переменным рассматривалась в работах Р. В. Шамина и А. Л. Скубачевского [14], [36].

В [36] рассматривалось пространство начальных данных первой краевой задачи для параболических дифференциально-разностных уравнений, т. е. пространство начальных функций, для которых существует сильное решение рассматриваемой задачи. Задача о пространстве начальных данных тесно связана с известной проблемой Т. Като о корне квадратном из оператора [4]: совпадают ли V(A1 2) с V(A 1 2) для га-секто-риального оператора? В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный (Ж.-Л. Лионе [24], А. Макинтош [27], [28]). П. Аушером, С. Хофма-ном, А. Макинтошем и П. Чамичаном проблема Т. Като была решена для сильно эллиптических дифференциальных операторов и систем с ограниченными измеримыми коэффициентами [19]. В работах П. Ау-шера и П. Чамичана [20] и А. Аксельсона, С. Кейт и А. Макинтоша [21] эти результаты были перенесены на случай ограниченных областей с липшицевой границей. В работе Р. В. Шамина [17] дано явное описание пространства начальных данных первой краевой задачи для параболических функционально-дифференциальных операторов, обобщающее результаты [36], а также выделен широкий класс сильно эллиптических функционально-дифференциальных операторов, удовлетворяющих гипотезе Т. Като. Интересно отметить, что аналогичные функционально-дифференциальные уравнения в одномерном случае рассматривались Т. Като и Дж. Мак Леодом [25].

В диссертации впервые рассмотрены вторая и третья краевые задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами по пространственным переменным в старших производных. В отличие от параболических дифференциальных уравнений, эти уравнения обладают рядом принципиально новых свойств. Например, гладкость обобщенных решений может нарушаться внутри цилиндрической области даже при бесконечно гладкой правой части уравнения. Для таких уравнений доказана однозначная разрешимость и исследована гладкость сильных решений. При этом доказывается, что гладкость сохраняется в некоторых цилиндрических подобластях и может нарушаться на границах соседних цилиндрических подобластей, а при п 1 еще и на цилиндрических множествах, мера которых сколь угодно мала. Приводятся критерии сохранения гладкости сильных решений на границах соседних цилиндрических подобластей.

При исследовании гладкости сильных решений впервые были рассмотрены вторая и третья краевые задачи для сильно эллиптического дифференциально-разостного уравнения в одномерном случае, показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться в рассматриваемой области, но сохраняется в прямоугольных подобластях. Этот результат позволил в одномерном случае явно описать пространство начальных данных второй и третьей краевых задач для параболического дифференциально-разностного уравнения и получить новый класс операторов, удовлетворяющих гипотезе Т. Като. При этом новым является подход, использующий комплексный вариант интерполяции гильбертовых пространств. В многомерном случае при дополнительных предположениях получено явное описание области определения оператора, соответствующего задаче.

Описание пространства начальных данных опирается как на работы А. Л. Скубачевского и Р. В. Шамина [36], Р. Сили [31] и П. Гривара [23]. В диссертации также используются методы, основанные на теории эллиптических функционально-дифференциальных уравнений А. Л. Скубачев-ский [35], А. Л. Скубачевский и Е. Л. Цветков [13], Е. Л. Цветков [16]. Проверка гипотезы Т. Като опирается на работу Р. В. Шамина [17].

Вторая краевая задача для параболических функционально-дифференциальных уравнений возникает в теории нелинейных оптических систем с двумерной обратной связью. Квазилинейные параболические функционально-дифференциальные уравнения возникают при математическом описании нелинейных оптических систем с преобразованием поля в двумерной обратной связи (М. А. Воронцов [38]). Такие системы используются при генерировании лазерных пучков и применяются в современной компьютерной технологии.

Гладкость сильных решений на границе соседних прямоугольных подобластей

Пусть 0 1, тогда будем рассматривать два класса точек: первый состоит из точек у1 = I (/ — 0, ..., N), а второй из точек у1 = I — 1 + 0 (I = l,...,iV + l). Если же 0 = 1, то будем рассматривать точки у0, ..., yN+l, у1 = I. А также введем второй класс подобластей, получающийся перенумерацией первого: Q2i = Qu. Выберем 0 S min{#, 1 — 0}, если 0 1, я 0 5 , если 0 = 1. Будем рассматривать шары В силу следствия 1.4.1, сильное решение задачи (1.1.2) - (1.1.4) почти всюду удовлетворяет уравнению (1.1.2). Умножим уравнение (1.1.2) на функцию v С(В (у1) х [О, Г]) такую, что suppv С B2s(yl) х [О, Т) (1 = 1, ..., N), и проинтегрируем по подобластям (Qp; П B2s(y1)) х (О, Т). Затем, проинтегрировав по частям и просуммировав по риг, получим Так как и — сильное решение задачи (1.1.2)- (1.1.4) и v — произвольная функция, мы получаем, что А в силу следствия 1.4.2 Рассмотрим случай в 1. Изучим сначала вопрос сохранения гладкости в точках у = Z — 1 + 0 (/ = 1, ..., N), точки с целыми координатами рассмотрим позже. Введем вектор-функции V\ = {UiPiu)\x=e_0; V2 = (ВДи)1 = +о; i = (UiPmx)\x=e_0; W2 = (U2P2ux)\x=e+0. Тогда (1.5.2), Вторая матрица в равенстве (1.5.6) это R22. Следовательно, (1.5.6) и (1.5.7) можно записать в виде где A" — последний столбец первой матрицы в (1.5.6), W[ — вектор W\ без последней координаты, а В — строка из (1.5.7) без последнего элемента. Из условия сильной эллиптичности оператора Ац следует, что матрица R2i положительно определена, следовательно, R22 положительно определена И 2о ф 0. Из (1.5.9) имеем:

Подставляя (1.5.10) в (1.5.8), получим: Тогда (1.5.6), (1.5.7) можно переписать в следующем виде: Обозначим через Tk столбцы матрицы Т, через Gk — элементы строки G. Матрицы Aik и Л/ получаются из матрицы 7 заменой 1-го столбца столбцом Tk и S соответственно. Тогда из Теорема 1.5.1. Пусть оператор Ал сильно эллиптический и С2 = 0. Для заданного I (1 / N) сильное решение и задачи (1.1.2) - (1.1-4) принадлежит W2 (В$(у) х (0, Т)) (у = 1 — 1+9) тогда и только тогда, когда Доказательство. Достаточность следует из (1.5.14). Для доказательства необходимости введем функцию где As и Bs — векторы размерности Ns, Є С00 (R), (х) = 1 при х Є (0-Я, 0 + 6) и(я) = 0 при ж (0-25, 0 + 25). По построению Ws = Л5, К = Ва. Пусть det Л/jfc т 0 при некотором к = г. Положим Ац = 0, если I г и / N + 1, Ліг = 1, Л1д+і = По построению функция и Є И ( 5г) П W iQsi х (О, Т)), удовлетворяет (1.5.14), (1.5.15) и essuppu С {jB y1) х [О, Т]. Следовательно, і и W(«4ft) является сильным решением задачи (1-1-2) - (1-1-4) при некоторой / Є L2(QT) И ip Таким образом, и W22,1(j(y ) х (0, Т)). Предположим , что det Л/ 0. Положим Ац = Вц = 0, A\ +i = —F, что w — сильное решение, но и . W2 {Bs(yl) х (0, Т)). П Теперь мы изучим вопрос сохранения гладкости в точках у1 = /, I — 1,...,N, по-прежнему 0 1. Введем векторно значные функциии V\ = W2 = ( 2- 2 )1 =1-0- Пусть в векторах V\ и W\ нумерация элементов начинается с нуля. Тогда где A" — первый столбец первой матрицы в (1.5.18), W[ — вектор W\ без первой компоненты, а В — строка из (1.5.19) без первого элемента. Из предположения сильной эллиптичности оператора AR следует, что матрица R2\ положительно определена, следовательно, положительно определена матрица R22 и ац Ф 0. Обозначим через T& столбцы матрицы Т, и через G& — элементы строки G. Матрицы Kik и Л; получаются из матрицы R22 заменой 1-го столбца столбцом Tk и S соответственно. Тогда из (1.5.24) и (1.5.25) получим: f- det i?22 det R22 N Wl0 = -Y/GkWlk + FVl0. (1.5.27) k=l Теорема 1.5.2. Пусть оператор AR сильно эллиптический и С2 = 0. Для заданного I (1 I N) сильное решение и задачи (1.1.2) - (1-1-4) принадлежит W2 (В$(у1) х (0, Т)) (у1 = I) тогда и только тогда, когда

Гладкость сильных решений на границе соседних цилиндрических подобластей

В этом разделе мы будем использовать обозначения, введенные при доказательстве леммы Для простоты будем предполагать, что у1 = 0, и Введем множества 7J = 7«г х (О, Т), где 7s/ = dQs/ П -В25(ж5/). В силу леммы 3.4.2 сильное решение и задачи (3.1.2) - (3.1.4) почти всюду в (Qsi \ /Сє) X (О, Т) удовлетворяет уравнению (3.1.2). Умножим обе части равенства (3.1.2) на функцию v Є C(QT) такую, что supp v С l)B25{xpl) х [О, Т) (I — 1, ..., Jo); и проинтегрируем по областям Qsi П Так как и является обобщенным решением задачи (3.1.2) - (3.1.4), в силу произвольности v следует, что Заметим, что JVP и iV? не могут одновременно равняться Jo. Для определенности будем считать, что Nq ф JQ. ПО следствию 3.4.1 функция и на при I JQ удовлетворяет краевому условию (3.1.3), т. е. Введем матрицы AjS, получающиеся из матриц Rnjs вычеркиванием последних Ns — JQ строк, и матрицы Bjs, получающиеся из матриц Rnjs вычеркиванием первых JQ строк. Введем вектор-функции Матрица L ,s (вектор L s) получается из матрицы Ljs (вектора Ls) вычеркиванием последних Ns — Jo столбцов (элементов), и L js (L"s) — вычеркиванием первых Jo столбцов (элементов). Введем также квадратные матрицы а8 порядка (Ns — JQ), элементы которой вычисляются по формулам Обозначим через K\k и Aik(x ) матрицы, полученные из Rnnp заменой 1-го столбца k-м столбцом матриц Т1-7 и Si, соответственно. Здесь х = Теорема 3.5.1. Для данного I (1 I Jo) сильное решение и задачи (3.1.2) - (3.1.4) принадлеоісит пространству W2 (Bs(yl) х (О, Т)) для любых / Є L2(QT) и ір Є [D(ATI), 2(Q)]I/2 тогда и только тогда, когда Доказательство. Введем матрицы где va(x) = (АДж п + ВДж )) ) при ж = (х1, хп) Є Qsi, As(x ), Bs(x ) — гладкие вектор-функции порядка Ns, обращающиеся в ноль при \х \ 26/3; функция т}(хп) Є С00(—6, 6) и г)(хп) — 1 при хп Є {S/3, 8/3).

Тогда, очевидно, Vs = В8(х ), Wjs = {Bs(x ))x. (j n), Wns = As(x ). Заметим, что и Є W (QT) тогда и только тогда, когда В р = B q. В дальнейшем будем считать, что р(х) — 0. а) Пусть detAfr ф 0 (6 п, 1 г Np + iVg - Jo). Введем вектор е с элементами е = Jjtn где 5kr — символ Кронекера, размерности Np + Nq — JQ. Положим Здесь /г — вектор размерности Np-\- Nq — 2JQ С координатами / = e&+j0, є1 — вектор размерности iVp с координатами е\ = е&, е2 — вектор размерности ЛГ9 с координатами (еь ... По построению функция и Є Wj(Qr)nW22,1(Qe/X (О, Т)) (I = 1, ..., Ns, s = р, q) с носителем supp if С B4s(xsl) X [О, Г]. Нетрудно проверить, что условия (3.5.14), (3.5.17) выполнены. Это означает, что и Є W(AR) — сильное решение задачи (3.1.2) - (3.1.4) при некоторой / Є L2(QT)- НО при этом Здесь є1 — вектор размерности Np — JQ с координатами е\ = 5&г, є2 — вектор размерности Nq — JQ С координатами е\ = 5k+N -j0/, Лг, Sr — r-e столбцы матриц Л и S, соответственно. Как в случаях а) и б), и Є W(AR) — сильное решение задачи (3.1.2) -(3.1.4) при некоторой / Є Разбиение % состоит из одного класса подобластей: 0ц = (0, 1) х (О, 1), Qn = (1, 2) х (0, 1), а множество JC состоит из 6 точек (s — 1, т) (s = 1, 2, 3;т = 0, 1). В силу того, что матрица положительно определена, оператор Дн, соответствующий задаче (3.5.19) - (3.5.21), сильно эллиптический. Так как разбиение К состоит только из одного класса подобластей, подобласти другого класса получаются из 0ц и Qu перенумерацией: 021 = 012, 022 = Qn- Матрицы Дш

Дна, Т1, Г2, Ah, А21к (к = 1, 2, 3) и Ли, Лі2, введенные выше, имеют вид Очевидно, detAjj = detA2 = 0. Условия сохранения гладкости теоремы 3.5.1 имеют вид detAn = detAi2 = 0, то есть а\Х1-о = сЖ1_2 = 0 при 0 Х2 1. Будем предполагать, что эти условия выполнены, а функции 1 =0 и jar2=i достаточно гладкие с носителем в (0, 2). Тогда из теоремы 3.5.1 следует, что После замены переменных х\ = Xi — 1 в (3.5.24) и х { = х\ + 1 в (3.5.23) (заметим, что І7І 1) легко видеть, что условия (3.5.23), (3.5.24) эквивалентны условиям Из невырожденности матрицы Ящ следует, что оператор RQ: L2(Q) -

Гладкость сильных решений на границе соседних цилиндрических подобластей

Разностные операторы RIQ определяются следующим образом. Обозначим через IQ\ L2(0, d) -» Ь2(Ж) оператор продолжения функций нулем вне интервала (0, d), PQ: Ь2(Щ - L2(0, d) — оператор сужения функций на интервал (0, d). Тогда RIQ = PQR{IQ (І = 0, 1, 2), Здесь ajfc, bk, Ck — комплексные числа, а N такое, что d = N+9, 0 в 1. В разделе 1.1 приводится постановка задачи, формулируется условие сильной эллиптичности и даются необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности, выраженные через коэффициенты уравнения (1), попутно приводятся необходимые для изложения сведения из теории разностных операторов. В разделе 1.2 дается определение слабого решения задачи (1) - (3) с помощью операторного уравнения вида с начальным условием Кроме того, приводится определение слабого решения в смысле интегрального тождества. Доказывается эквивалентность этих определений, а также существование и единственность слабого решения задачи (1)-(3). В разделе 1.3 изучается вопрос сохранения гладкости решений по времени (так называемые сильные решения). Аналогично работе [36] доказывается, что сильные решения существуют тогда и только тогда, когда (f Принадлежит ИНТерпОЛЯЦИОННОМу Пространству [ (Д), Li2(Q)]l/2, где Л — m-секториальный оператор, соответствующий задаче (1) - (3). В разделе 1.4 приведен пример, когда гладкость сильных решений задачи (1) - (3) может нарушаться внутри интервала Q. С другой стороны, доказывается, что гладкость сохраняется в подобластях В разделе 1.5 приводятся критерии сохранения гладкости сильных решений на границах соседних прямоугольных подобластей Qsi х (О, Т). Приводятся примеры, как на сохранение, так и на нарушение гладкости. В разделе 1.6 доказывается, что [2 (.4), L2{Q)]\/2 — W\{Q\ где через W\{Q) обозначено пространство Соболева комплекснозначных функций из L/2(Q), имеющих обобщенные производные из 1/2((5)

Доказательство использует комплексный вариант интерполяции граничных условий, применявшийся в работах Сили [31] и Гривара [23]. Доказывается справедливость гипотезы Т. Като для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений с краевыми условиями второго и третьего рода. Вторая глава посвящена второй краевой задаче для параболического дифференциально-разностного уравнения в многомерном случае. Рассматривается дифференциально-разностное уравнение п 2. Здесь Мг- — (п — 1)-мерные многообразия класса С00 открытые и связные в топологии dQ. Предположим, что в окрестности каждой точки х Є К = dQ \ UMi область Q удовлетворяет условию конуса. QT = Q х (О, Г), 0 Т со, Гг = (dQ \ К) х (О, Т), v - единичный вектор внешней нормали к Гг, / Є (Qr); а ір Є Li(Q). Разностные операторы RijQ, RIQ определяются следующим образом. Обозначим через IQ: Li(Q) - I/2(lRn) оператор продолжения функций нулем вне области Q, PQ: Li(Rn) -» - (Q) оператор сужения функций на Q. Тогда Здесь aijh, a ih — комплексные числа, множество M состоит из конечного числа векторов с целочисленными координатами. В разделе 2.1 приводится постановка задачи, формулируется условие сильной эллиптичности и даются необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности, попутно приводятся необходимые для изложения сведения о разностных операторах. В разделе 2.2 доказывается существование и единственность слабого решения задачи (4) - (6) путем ее сведения к абстрактному операторному уравнению.

Приводится также определение слабого решения в смысле интегрального тождества. Доказывается эквивалентность этих определений. В разделе 2.3 рассматриваются сильные решения задачи. Аналогично одномерному случаю показано, что оператор, соответствующий эллиптической части уравнения, является генератором аналитической полугруппы. Методами теории полугрупп доказана однозначная сильная разрешимость задачи. В разделе 2.4 приведены примеры, когда гладкость сильных решений второй краевой задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения может нарушаться внутри цилиндра QT, как на границе некоторых цилиндрических подобластей, так и в окрестности некоторых (п — 1)-мерных гиперплоскостей. Доказывается, что гладкость сохраняется в некоторых цилиндрических подобластях и может нарушаться на границах соседних цилиндрических подобластей, а также на цилиндрических множествах, мера которых сколь угодно мала.

Похожие диссертации на Вторая и третья краевые задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения

Краевые задачи для уравнения третьего порядка, содержащего параболо-гиперболический операторТалипов, Атамет

Краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в криволинейных областяхХашимов, Абдукомил Рисбекович

Некоторые краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерных областях Энбом Екатерина Александровна

Краевые задачи для некоторых гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерном евклидовом пространствеДорофеев, Андрей Викторович

Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа третьего и четвертого порядковРустамова Людмила Рустамовна

Краевые задачи для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядкаЯковлева, Юлия Олеговна

Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных третьего и высокого порядков с действительными характеристиками Салихов Шукрулла Назруллаевич

Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа третьего порядкаЗарубин Евгений Александрович

Интегральные представления и граничные задачи для линейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка с сингулярными поверхностямиФозилов, Сулаймон Тохирович

Третье краевое условие в задачах граничного управления для уравнения колебанийНикитин Алексей Антонович