Введение к работе
Актуальность темы. В поведении большого числа динамических систем обнаруживается явление отохастичности. В фазовом пространстве таких систем, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, существуют особые ' притягивающие множества, получившие название странных аттракторов. Возможность количественного описания аттрактора дают его различные размарностные характеристики. Ваквейшими из них являются фрактальная и хаусдорфова размерности. Трудности, которые возникают при экспериментальном определении величины размерности аттракторов, сделали актуальной задачу получения аналитических оценок фрактальной и хаусдорфовой размерностей.
Не менее важным для "чких систем является получение условия их глобальной асимптотической устойчивости.
Цель работы состоит в получении верхних оценок фрактальной и хаусдорфовой размерностей аттракторов нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и условий глобальной асимптотической устойчивости автономных систем.
Методы исследования. В работе используются второй метод Ляпунова и результаты теории слабо сжимающих операторов в евклидовом пространстве.
Научная новизна. В работе получены теоремы, обобщающие ранее известные, о верхних оценках фрактальной размерности компактов, инвариантных при деНйрекцируемых отображениях, фрактальной и хаусдорфовой размерностей аттракторов систем обыкновенных дифференциальных уравнений, об условиях глобальной асимптотической устойчивости автономных сиотем.
Эти результаты позволили получить нетривиальные верхние оценки фрактальной размерности аттракторов известной системы Лоренца и системы,возникающей при изучении волн в плазме.
Для широкой области параметров системы Лоренца доказана гипотеза Идена о верхней оценке хаусдорфовой размерности аттрактора. ' Получена такжэ лучшая на сегодня оценка области глобальной асимптотической'устойчивости системы Лоренца.
Ка основе полученных в диссертации результатов найдены оценки хаусдорфовой размерности аттрактора' и области глобальной
асимптотической устойчивости обобщенной системы Лоренца. Эти оценки применены к системе Лоренца, системам, описывающим взаимодействие волн в плазме и конвекции вращающейся жидкости.
Показывается, что полученные результаты улучшают известные.
Оценена также хаусдорфова размерность аттрактора пягимерной системы связанных гиростатов.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут найти применение в исследовании нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в поведении которых возможно явление стохастичьости. Результаты относительно обобщенной системы Лоренца могут быть использованы при изучении различных физических систем, сводимых к ней.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Куйбышевском областном межвузовском научном совещании-семинаре (1984), на семинарах кафедры теоретической кибернетики математико-механичэсксго факультета СПОТУ (1991 -1994 гг.).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, шшгсаюцего 68 наименований, изложена на 96 страницах машинописного текста.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы С1-31.
