Введение к работе
Предмет исследования. Настоящая диссертация посвящена топологической классификации негрубых диффеоморфизмов с конечным гиперболическим неблуждающим множеством, заданных на гладких замкнутых ориентируемых двумерных многообразиях и охватывает исследования автора 2005 — 2011 годов.
Актуальность темы. Данная работа относится к одному из важнейших разделов качественной теории динамических систем — топологической классификации каскадов на замкнутых гладких ориентируемых многообразиях размерности два.
История вопроса. Качественная теория динамических систем исходит из отношения эквивалентности, которое сохраняет разбиение фазового пространства на траектории в следующем смысле.
Два потока /' : X —* X, д1 : X —> X (каскада / : X — X, д : X —> X) называются топологически эквивалентными (сопряженными), если существует гомеоморфизм h : X —> X, переводящий траектории одной системы в траектории другой с сохранением ориентации (такой, что g(h(x)) = h(f(x)), гомеоморфизм h при этом называется сопрягающим).
Непосредственная проверка топологической эквивалентности (сопряженности) двух динамических систем является, вообще говоря, невыполнимой задачей. Поэтому возникает актуальная проблема нахождения обозримых топологических инвариантов (некоторых объектов или свойств системы, сохраняющихся при топологической эквивалентности (сопряженности)) таких, что совпадение инвариантов двух систем гарантирует их эквивалентность (сопряженность).
Под топологической классификацией некоторого класса G динамических систем понимается решение следующих задач:
нахождение топологических инвариантов динамических систем из класса G;
доказательство полноты множества найденных инвариантов, то есть доказательство того, что совпадение множеств топологических инвариантов является необходимым и достаточным условием топологической эквивалентности (сопряженности) двух динамических систем из G;
реализация, то есть построение по заданному множеству топологических инвариантов стандартного представителя, принадлежащего G.
К настоящему времени наиболее исчерпывающим образом задача топологической классификации решена для структурно устойчивых (грубых) потоков на поверхностях, а также для двумерных структурно устойчивых диффеоморфизмов с конечным неблуждающим множеством (диффеоморфизмов Морса-Смейла). Как оказалось, задача топологической классификации таких систем свелась к комбинаторной проблеме — классификации некоторых графов и подстановок. Истоки нахождения комбинаторных инвариантов восходят к классическим работам А. А. Андронова, Е. А. Леонтович-Андроновой, А. Г. Майера, написанным непосредственно после введения в 1937 году понятия грубости (А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным) и посвященным классификации потоков в ограниченной части плоскости (фактически на двумерной сфере). Идеи этих работ были развиты М. М. Пейкшото для классификации структурно устойчивых потоков на поверхностях любого рода и распространены затем В. 3. Гринесом, А. Н. Безденежных, Р. Ланжевеном, X. Бонатти и др. для классификации структурно устойчивых двумерных каскадов.
Согласно работам Ж. Палиса и С. Смейла, каскады Морса-Смейла являются структурно устойчивыми (грубыми), а нарушение условия гиперболичности неблуждающего множества или условия трансверсальности пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий данного диффеоморфизма приводят к его негрубости.
Представляется вполне естественным, решение проблемы топологической классификации негрубых систем начать с рассмотрения класса систем, у которых неблуждающее множество гиперболично и конечно (как и в случае диффеоморфизма Морса-Смейла), а нарушение грубости происходит за счет нетрансверсального пересечения (касания) инвариантных многообразий седловых точек. В 1978 году Ж. Палисом был открыт удивительный феномен существования в окрестности такого диффеоморфизма с одной орбитой гетероклинического касания целого семейства несопряженных диффеоморфизмов, зависящего от одного параметра — так называемого модуля топологической сопряженности. Термин "модуль топологической сопряженности" был предложен Л. П. Шильниковым и С. В. Гонченко, как обобщение непрерывного параметра для описания множества неблуждающих траекторий двумерных диффеоморфизмов с квадратичным
гомоклшшческим касанием в работе Н. К. Гаврилова и Л. П. Шнлышкова 1972 года и соответствует термину "moduli of stability", который употребляется в западной литературе.
Из сказанного выше следует, что в любой с71-окрестности диффеоморфизма поверхности, допускающего гетероклинические касания, имеется континуум топологически несопряженных диффеоморфизмов. Если же существует окрестность диффеоморфизма /, в которой множество классов сопряженности удается описать с помощью конечного числа параметров, то говорят что диффеоморфизм / имеет конечное число людулей топологической сопряженности. Следуя В. ди Мелу, С. Ж. ван Стрину, минимально возможное число таких параметров называют числом людулей топологической сопряженности (модальностью) диффеоморфизма
/-
Открытие модулей явилось импульсом для целой серии работ, в которых
рассматривались уже не только необходимые, но также и достаточные условия для топологической сопряженности "близких" диффеоморфизмов. В частности, в работе В. ди Мелу, С. Ж. ван Стрина получены необходимые и достаточные условия того, что диффеоморфизм ориентируемой поверхности имеет конечное число модулей топологической сопряженности и описана структура окрестности такого диффеоморфизма, что фактически решило проблему о топологической сопряженности "близких" диффеоморфизмов поверхности с конечным числом модулей топологической сопряженности.
Следует сразу отметить, что вопрос о топологической классификации "далеких" систем не сводится к исследованию окрестности данного диффеоморфизма, так как при рассмотрении далеких систем появляется необходимость введения "нелокальных" топологических инвариантов, определяющих такие свойства диффеоморфизмов, которые не меняются для близких систем и обнаруживаются лишь при значительных изменениях параметров системы. К таким свойствам относятся, в частности, глобальное поведение инвариантных многообразий седловых периодических точек. С другой стороны, задача исследования и прогнозирования поведения системы при больших изменениях параметра представляется вполне актуальной.
Метод получения "нелокальных" топологических инвариантов для диффеоморфизмов, рассматриваемых в диссертации, является развитием идей, предложенных в работах Хр. Бонатти, В. 3. Гринеса, Р. Ланжевена, В. С. Медведева, Е. Пеку и О. В. Починки, которые посвящены построению
топологических инвариантов для диффеоморфизмов Морса-Смейла, в предположениях различной общности. Топологические инварианты, введенные в этих работах, основываются на идее рассмотрения пространства блуждающих орбит и представляют собой комбинацию классических комбинаторных инвариантов, аналогичных схеме Е. А. Леонтович-Андроновой и А. Г. Майера или графу Пейкшото, с новыми топологическими инвариантами, описывающими вложение инвариантных многообразий седловых периодических точек. Общим подходом к решению задачи топологической классификации как диффеоморфизмов Морса-Смейла, так и диффеоморфизмов, рассматриваемых в диссертации, является представление динамики диффеоморфизма в виде "источник-сток", где под "источником" и "стоком" понимаются инвариантные замкнутые множества, одно из которых является репеллером, а другое — аттрактором, и все точки, отличные от точек притягивающего и отталкивающего множеств, являются блуждающими и движутся под действием диффеоморфизма от репеллера к аттрактору. Пространство орбит действия диффеоморфизма на этом блуждающем множестве поддаётся достаточно простому описанию, что и позволяет решить задачу топологической классификации в рамках данного класса диффеоморфизмов.
В диссертации выделен содержательный класс сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов поверхности, неблуждающее множество которых конечно и гиперболично, а блуждающее множество допускает конечное число гетероклинических орбит трансверсального пересечения и касания. На диффеоморфизмы из рассматриваемого класса наложен ряд дополнительных естественных ограничений, позволяющих получить эффективную топологическую классификацию, основанную на упомянутых выше комбинаторных и непрерывных инвариантах.
Более точно, в диссертации рассматривается класс Ф сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов / Є Diffr(M2), г > 5, заданных на гладком двумерном замкнутом ориентируемом многообразии М2 рода g > 0 и удовлетворяющих следующим условиям:
1) неблуждающее множество П/ состоит из конечного числа неподвижных гиперболических точек и собственные значения Ар, fip любой седловой точки р Є Qf удовлетворяют условиям 0 < Ар < 1 < pip И Хр /Л ф 1, п,т Є {1,2};
2) если (Wp \ р) П (Wq \ q) ф 0 для седловых точек р, q Є П/, то р ^ g
и для любого седла г Є П/ (включая р и g) (VVjf \ г) Л (W^ \ р) = 0 и {W;\q)n{W?\r) = V;
3) блуждающее множество / содержит конечное число орбит
гетероклннического касания (конечность числа трансверсальных гетероклшшческих орбит у диффеоморфизма / Є Ф следует из условий 1) и 2)) и не существует седловых точек р, q Є Qf таких, что все четыре компоненты связности множеств Wp \ р и Wg \ q содержат точки одностороннего гетероклннического касания инвариантных многообразий Wp и Wg".
В диссертации получены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности двух диффеоморфизмов из Ф, и в каждом классе топологической сопряженности диффеоморфизмов построен стандартный представитель. Полным топологическим инвариантом для диффеоморфизмов из множества Ф является схема диффеоморфизма, представляющая собой набор геометрических инвариантов и числовых характеристик (модулей топологической сопряженности), связанных с наличием гетероклинических касаний.
Цель работы состоит в полной топологической классификации диффеоморфизмов из множества Ф.
Методы исследования. Используются топологические и геометрические методы исследования глобальных свойств и аналитические методы изучения локальных свойств динамических систем на многообразиях.
Научная новизна. Диссертация посвящена развитию важного направления в теории динамических систем на многообразиях — отысканию топологических инвариантов, определяющих глобальное поведение траекторий диффеоморфизмов на гладких замкнутых ориентируемых многообразиях размерности два и применению этих инвариантов к решению проблемы топологической классификации.
Автором решены следующие задачи, определяющие новизну работы.
1) Установлено, что динамика любого диффеоморфизма из множества Ф представляется в виде источник-сток, где источником (стоком) является репеллер Rf (аттрактор Af) состоящий из источников (стоков) и устойчивых (неустойчивых) многообразий, не содержащих гетероклинических орбит, седловых точек.
2) Установлено, что пространство орбит Tj действия диффеоморфизма
/Є Фна дополнении несущей поверхности до множества Af U Rf состоит
из конечного числа копий двумерного тора. При этом многообразие Ту
содержит подмножества ГТ Tj, состоящие из конечного числа замкнутых
кривых, являющихся пространствами подмножеств орбит, принадлежащих
неустойчивым и устойчивым сепаратрисам седловых неподвижных точек
соответственно. Эти кривые пересекаются (касаются) по конечному
множеству точек, соответствующих орбитам гетероклинического пересечения
(касания).
3) Каждому диффеоморфизму / Є Ф поставлен в соответствие
топологический инвариант, названный схемой диффеоморфизма и
представляющий собой комбинацию геометрической составляющей Т/, Гї, ЇЧ
с набором числовых параметров — модулей топологической сопряженности,
связанных с описанием орбит одностороннего гетероклинического касания.
-
Установлена взаимосвязь между геометрической составляющей схемы диффеоморфизма и родом несущей поверхности.
-
На языке эквивалентности схем диффеоморфизмов сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов из множества Ф.
-
Решена проблема реализации диффеоморфизмов из класса Ф:
-
введено понятие абстрактной схемы;
-
для любой абстрактной схемы построен диффеоморфизм / Є Ф, схема которого эквивалентна данной абстрактной схеме.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены в теории гладких динамических систем при исследовании двумерных неавтономных периодических по времени систем дифференциальных уравнений и потоков на трехмерных многообразиях, имеющих секущую размерности n = 2.
Апробация работы. По теме диссертации были сделаны следующие доклады на отечественных конференциях:
— на международной конференции по дифференциальным уравнениям и
динамическим системам (Суздаль 2010, 2008, 2006);
— на международной конференции "Дифференциальные уравнения и
топология", посвященной 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягнна
(Москва 2008);
— на международной конференции "Дифференциальные уравнения и
смежные вопросы", посвященной памяти И. Г. Петровского (Москва 2007);
на международных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск 2006, 2005);
на международной конференции "Тнхонов-100" (Москва 2006);
на международной конференции "Динамика, бифуркация и хаос" (Н. Новгород 2005).
По теме диссертации были также сделаны следующие доклады:
на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений Математического института им. В.А. Стеклова РАН (2011 г., заведующий отделом академик Д. В. Аносов);
на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа механико-математического факультета Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (2010 г., руководитель проф. А. Д. Морозов);
— на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ
прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном
университете (2009 г., руководитель проф. Л. П. Шильников);
— на научных семинарах кафедры теории функций механико-
математического факультета Нижегородского государственного
университета им. Н. И. Лобачевского (2008 - 2010 гг., руководитель
проф. М. И. Сумин);
на научных семинарах кафедры высшей математики Нижегородской государственной сельскохозяйственной академии (2005-2010 гг., руководитель проф. В. 3. Гринес);
на научной конференции учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства" (2007 г., Н. Новгород).
Публикации. Всего по теме диссертации автором опубликовано 19 работ, в том числе 2 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации диссертации (см. список литературы). Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору. В работах, выполненных совместно, автору диссертации принадлежат доказательства всех основных результатов, В. 3. Гринесу принадлежит постановка задачи и общее руководство, О. В. Починка являлась консультантом по топологическим вопросам.
Структура диссертации: оглавление, введение, формулировка результатов, четыре главы, заключение, список литературы. Объем
диссертации: стр. 126, рис. 15, наименований литературы 102. Основные утверждения диссертации составляют теоремы 2.1, 2.2, 3.1, 3.2 и 4.1.
