Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с нею двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа Фаршбаф Могими Мохаммад Багер

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Фаршбаф Могими Мохаммад Багер. Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с нею двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.02.- Москва, 2005.- 84 с.: ил. РГБ ОД, 61 05-1/894

Содержание к диссертации

Введение

1 Собственные функции задачи Трикоми 23

1.1 Постановка задачи 23

1.2 Общее решение уравнения Трикоми 25

1.3 Сшивание решения 29

1.4 Граничное условие задачи Трикоми 30

1.5 Полнота системы функций Лежандра в (0, |) 32

1.6 Доказательство полноты системы собственных функций задачи Трикоми в 1^(12+) 44

2 Собственные функции задачи Неймана-Трикоми . 50

2.1 Постановка задачи 50

2.2 Общее решение задачи Неймана-Трико ми 52

2.3 Граничное условие задачи Неймана-Трикоми 52

2.4 Доказательство полноты системы собственных функций задачи Неймана-Трикоми 55

2.5 Доказательство полноты системы функций Лежандра 58

3 Собственные функции задачи Геллерстедта . 64

3.1 Постановка задачи 64

3.2 Собственные функции задачи Геллерстедта 66

3.3 Полнота собственных функций задачи Геллерстедта 67

3.4 Уравнение Лаврентьева-Бицадзе 70

3.4.1 Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе 71

3.4.2 Задача Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе 75

Выводы 79

Литература 80

Доказательство полноты системы собственных функций задачи Трикоми в 1^(12+)
Граничное условие задачи Неймана-Трикоми
Доказательство полноты системы функций Лежандра
Полнота собственных функций задачи Геллерстедта

Введение к работе

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Первым исследователем в этой области был Ф. Трикоми. Результаты его работы были развиты в работах С. Геллерстедта. Они изучали краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа, известные теперь в литературе как "задача Трикоми"и "задача Геллерстедта".

С. М. Пономарев, С. П. Пулькин, О. А. Репин, К. Б. Сабитов, М. С. Салахитдинов, М. М. Смирнов, А. П. Солдатов, Р. С. Хайруллин, Хе Кан Чер, Л. И. Чибрикова, и др. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Спектральные свойства задач для уравнения смешного типа активно изучались начиная с 80 годов. С. М. Пономарев выписал собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и доказал их полноту в эллиптической части области, являющейся круговым сектором, Е. И. Моисеев доказал базисность этой системы в эллиптической части области и используя свойство базисности построил спектральный метод решения краевых задач для уравнения смешанного типа. Я. Н. Мамедов распространил результаты о полноте собственных функций для вырождающихся уравнений смешанного типа, в частности, для уравнения Трикоми, но в случае, когда эллиптическая часть области - это половина круга в соответствующей геометрии. Полнота собственных функций задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе была дока- зана К. Б. Сабитовым и А. Н. Кучкаровой [12]. Там же были выписаны собственные функции задачи Геллерстедта и в случае вырождающегося уравнения смешанного типа.

В этой работе изучена полнота собственных функций для вырождающихся уравнений смешанного типа в случае когда эллиптическая часть области D+ - четверть круга в соответствующей геометрии. Ранее были результаты только для случая полукруга.

Цель работы. Целью работы является исследование полноты систем собственных функций задач Трикоми и Неймана-Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа, а также задачи Геллерстедта.

Методы исследования. Собственные функции задачи выписываются с помощью метода разделения переменных с использованием функций Бесселя и Лежандра. Полнота системы функций Лежандра исследуется с помощью решения специального интегрального уравнения. При этом используется принцип сжимающих отображений и теория пространств суммируемых с некоторой весовой степенной функцией в L_p. Применяется фор- мула Мелера-Дирихле для представления функции Лежандра. Кроме того, используются полнота специальных неортогональных систем косинусов.

Научная новизна. В первые главе доказана полнота собственных функций задачи Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа в эллиптической части области, являющейся четвертью круга в соответствующей геометрии. Ранее такие результаты были известны для половины круга. Доказана полнота собственных функций задачи Неймана-Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа в эллиптической части области являющейся четвертью круга в соответствующей геометрии. Ранее аналогичные результаты были известны для половины круга. Доказана полнота собственных функций задачи Геллерстедта для вырождающегося уравнения смешанного типа. Ранее такие результаты были известны для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные результаты и предложенные методы исследования представляют теоретический интерес и могут быть использованы в спектральной теории краевых задач для уравнений сме- шанного типа и при решении прикладных задач методом спектрального анализа.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК, МГУ (научные руководители - академик Е. И. Моисеев, профессор И. С. Ломов ), а также докладывались на международной конференции в Калининграде в апреле 2005г, посвященной 200 летию К. Г. Якоби.

Публикации. Основные результаты работы подготовлены и оформлены в трёх статьях и направлены в печать.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, трёх глав и списка литературы. В введении указана актуальность задачи и краткая история основных результатов по уравнениям смешанного типа и основные результаты диссертации. Объём диссертации составляет 84 страницы.

Основное содержание работы Первая глава.

В первой главе рассматриваются собственные функции задачи Трикоми для уравнения смешанного типа и доказывается полнота собственных функций.

В пункте 1.1 приведена постановка задачи Трикоми со спектральным параметром Л для вырождающегося элл иптико-гиперболического уравнения в области D в следующем виде, \y\^m+1u_xx+yu_yy + qu_y + \\y\^m+1u = 0, bD^D+UD-, (і) где q < 1, m > —2 - действительные числа, и с условием склеивания limy^qu_y= lim (-у)Ч,, (2) у-++0 у—>-0 и граничными условиями w|_x=o = 0, и|₇ = и\_ъ = 0, (3) причем границей области D служат характеристики 71 , 72 и "нормальная"кривая 7, которые имеют вид:

7=((^,^)1^+(2^/(771 + 2)) =1, 0<а;<1}, = {(я,у)\х = 2(-yf^/{m + 2)), О < х < 1/2}, = {(ж, у) 11 - я; = 2(-2/)^/(771 + 2)), 1/2 < я < 1}.

Пусть область D₊ ограничена сегментом [0,1] оси Ож, сегментом [0, ((т + 2)/2) "из] оси Оу и кривой 7, а область D_ ограничена сегментом [0,1] оси Ох и характеристиками 7і ,72-Регулярное решение задачи (1-3) изучается в следующем классе функций и Є C{D₊ U DJ) п С²(>+) П С²(Г>_) с условием склеивания (2).

В пункте 1.2 найдено общее решение уравнения (1) и с помощью работ [1] и [2] это решение получено в следующем виде и = r²Mi_o_₂^₍₄/Ar)sin²^ (ЛР²%(_СО50)+ +⁵Qa%(^C0S^)) при у > 0, (4) « = Р^2Р~К-20Ц(v%>) sinh²^ $Qf__2p(cosb ^) при t/ < 0. где I₇(z)— модифицированная функция Бесселя первого рода, P(z), Qq(z), [4, с. 143 ] функции Лежандра на разрезе, Qa(^z) - функция Лежандра.

В пункте 1.3, используя условия склеивания (2), найдено общее решение задачи Трикоми в следующем виде: и = r^2/?-h_a__2/?+i (л/Лг) ехр(2г/?тг) sin^2/? вх X (f COth /?7ГР2%(С05 в) - Q^COS в)) П_РИ у > О, _(g) u = p²^2l_Q_^₊i(^p)_Smh²^^Qf__2jS(cosh^) при у < 0.

В пункте 1.4, с помощью граничного условия (3)найдены значения для а в выражением (5) и найдены собственные функции задачи Трикоми в следующем виде - ЗД-¹ ^fc+lfr*^ ^ехР(²^/?)Г(21 + 2к + 2) _ ^ ^Uk3-^r *2T(-2f3 + 2k + 2)sm7r(-2{3 + 2k + lf^Sm ^вХ xflP^cosfl) - Р₂-_к²(-со50)] при у > 0, ukj = р²^~²Лл+|(^р) ^sinh^ ^Q2^+l(^COsh Ф) ^пр^и у < - где J₇ функция Бесселя, P^(z), Qq(z), [4, с. 143 ] функции Лежандра на разрезе и Q^(z) - функция Лежандра.

В пункте 1.5 доказана следующая теорема о полноте системы функций Лежандра (}

Теорема 1.5.1 Система функций Лежандра о* = вш^вр^смв) - Р₂-й(-со50)] полна в 2(0, |) при 0 Є (0, |).

В пункте 1.6 доказаны следующие результаты о полноте собственных функций задачи Трикоми.

Теорема 1.6.1 Пусть q < 1, т > —2, 2q + т > 0 и существует функция f(x_ty) Є 1^(-0+), Для которой у²***f(x_ty)u_kjdxdy ~ О, VA; = 0,1,2,..., \fj — 1,2,..,, где ujy, являются собственными функциями задачи Трикоми. Тогда f(x,y) — 0 в 2^(-^+)-

Доказательство теоремы основано на применении следующих двух лемм.

Лемма 1.6.1. Если / Є L2(D₊), то f _r2/2/(sin6l)^m/Cm+2)^cir

Уо Jo причём »7г/2 (/(r,6»))²/(sin0)^m^^m+2)^ < CO для п. в. г (0,1)

Лемма 1.6.2. Если / y~^T^f\x_i y)u_kjdxdy = О, Jd+ Vfc = 0,1,2,...,Vj = l,2,... то /тг/2 / Дг, 0)(sin 9)^q/im+2)v_k(0)dO = 0, Jo V& = 0,1,2,..., для п. в. г (0,1), где Ukjt являются собственными функциями задачи Трикоми и v_k = sin²⁰ бр^савв) - Р"_к²(-соз0)] при $ Є (0, тг/2).

Вторая глава.

Во второй главе рассматриваются собственные функции задачи Неймана-Трикоми для уравнения смешанного типа и доказывается полнота системы собственных функций.

Дт_о уЧу = Дт_о(-у)Х, (7) и граничными условиями

Их|о;=0 = 0 U\₇ = uL = 0, причем характеристики 7ь 72 нормальная- кривая 7 ^и области D, L, D₊ определены такие же как, и в пункте 1.1.

В пункте 2.2, найдено общее решение задачи Неймана-Трикоми в следующем виде ^г"^²-^-2/3+»W>^)sin²⁰e ехр(2г'/?7г)[ cot(/??r) х ₌ J хР_эд(совв) - Q«-2₃(cose)] при г/ > 0 [ ^-^_a_₂^₊i(VAp)smh²"t/'<3;%(<=shV)npHj/ < 0

В пункте 2.3, с помощью граничного условия найдено значения для cv, и получены собственные функции в следующем виде _ _2g_i 4+^M ехр(2гтг/3)Г(2/? + 2fc + 1) ^Ufcj_r * 2Г(-2/? + 2А; + 1) sin 7г(-2/3+ 2&) ^X хуг sin²^#[-PJ_k^2/J(cosв) - P^f (- cos)] при у > О, "ftj ⁼ P^2/3"²^+¹(/ⁱA:jp)sinh²^^Q2f(cosh'0) при у < 0. при A; = 0,1,2, .

В пункте 2.4 доказаны следующие теоремы. Теорема 2.4.1. Если q < l,m > —2,77г -f 2g > 0_} и |/(s,y)l(sing)^ —_; —^-dxdy < со 'Л+ 7-m+2(cOS^)²(^m+2^ И / ^/(ж, y)r²P-b_2k+i(rfi_kj)w_k(6)dxdy = 0 Vfc = 0,l,2,- -- ,Vj = l,2,.-._f где w_k(6) = sm^2/3 0[P₂lf(cos в) + P₂lf(- cos в)}, то f(x, y) = 0 в >+.

Для того, чтобы доказать теорему 2.4.1 нам требуется следующее замечание 2.4.1 и теорема 2.5.1.

Замечание 2.4.1. Если / Є ^(1)+), то справедливо нера- венство \f(x,y)\(smO)%$

Следствие. Из теоремы 2.4.1 и замечания 2.4.1 следует полнота в эллиптической части области системы собственных функций задачи Неймана-Трикоми.

В пункте 2.5 доказана следующая теорема о полноте системы функций Лежандра.

Теорема 2.5.1. Если /? Є (0,1/4), f(0)/{cos9)^a Є і(0,тг/2), a =(1/2) -2/3 и

Г f($)w_k(e)d0 = O, V* = 0,1,2,--. Jo w_k{&) = sin²'? 6»[p-²^(cosв) + Р"^ад(- COS 6»)], то /(0) =(п. в.)= 0.

Третья глава.

В главе 3 рассматриваются собственные функции задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа и доказывается полнота системы собственных функций в эллиптической части области.

В пункте 3.1 дана постановка, задачи Геллерстедта со спектральным параметром А для вырождающегося эллиптико-гиперболического уравнения в области D = D+ Ui)_rU D₂- в следующим виде, \y\^m*^lu_xx + уи_уу + qu_y + \\y\^m+lu = О, где q < l,m > —2 - действительные числа. Решение этой задачи ищется в классе функций и Є C⁰(D+UJDi-Ui?2-) П С²(Л+) П C²(D!-) П C²{D₂-) с условием склеивания limуЧ,= lim (-у)Чу,

У-++0 у-»-0 и граничными условиями u|₇ = _и\_ъ = и\_ъ = О, где характеристики 7і і 72 , 7з, 74 ^и "нормальная"кривая 7 имеют вид: ₇ = -5(я;₎₃,)|я;²+|^^| -1, -1<х<1,у>0}, f 2(-,^ (ти+ 2^ 1 ₇₂ = ^(аг.їг) |1 — ^ ___^_, _ ^—_—J ₇₄=|(*,_V)|1 ₊ _S = A_^_,_^_-) <_v<0|.

Область D+ ограничена сегментом [—1,1] оси Ox и "нормальной" кривой 7- Область >!- ограничена сегментом [0,1] оси Ох и характеристиками 71 ) 72 ^и область D2- ограничена сегментом [—1,0] оси Ох и характеристиками 7з »74-

В пункте 3.2 найдены собственные функции задачи Гел-лерстедта в следующем виде {Wmn} = {iHj} U {V_kl} где {uij} - собственные функции задачи Трикоми нечетно продолженные на значения х < 0 и {vki} собственные функции задачи Неймана-Трикоми четно продолженные на значения х < 0. Можно показать, что в этом случае {w_mn} имеет следующий вид в эллиптической части области _w __r2/4j _l(ru ) 7гГ(2/? + т + 1)ех_Р(2г/?тг) ^1^№т"^]2Г(-2/? + т + 1) sin[(-2/? + т)тг] ^Х х sin^^[(-l)^m+1p-^(oostf) - Р"^2/?(- COS 0)] при 0 < 0 < 7г , Vm = 0,1,2, * , и Vra = 1,2, .

В пункте 3.3 доказана следующая теорема о полноте собственных функций задачи Геллерстедта.

Теорема 3.3.1. Пусть q < 1, т > —2, т + 2д > 0 и пусть существует / Є L2(D+), для которой справедливо / їГ^Дяї y)w_mndxdy = О Vm = 0,1,2, , Vn = 1,2, , где {w_mn} являются собственными функциями задачи Геллерстедта.Тогда f(oc,y) =(п.в)= О в L₂(D₊),

Доказательство полноты системы собственных функций задачи Трикоми в 1^(12+)

В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф. И. Франкль, А. В. Бицад-зе, К. И. Бабенко, S. Agmon, L. Nirenberg, М. М. Protter, С. S. Morawetz, P. Germain, R. Bader, Р. О. Lax, R. P. Phillips, M. Schneider, Б. А. Бубнов, В. Ф. Волкодавов, В. Н. Врагов, Т. Д. Джураев, В. Н. Диденко, В. А. Елеев, В. И. Жегалов, А. Н. Зарубин, Т. Ш. Кальменов, Г. Д. Каратопраклиев, И. Л. Кароль, А. И. Кожанов, Ю. М, Крикунов, А. Г. Кузьмин, О. А. Ладыженская, Е. И. Моисеев, А. М. Нахушев, С. М. Пономарев, С. П. Пулькин, О. А. Репин, К. Б. Сабитов, М. С. Салахитдинов, М. М. Смирнов, А. П. Солдатов, Р. С. Хайруллин, Хе Кан Чер, Л. И. Чибрикова, и др. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Спектральные свойства задач для уравнения смешного типа активно изучались начиная с 80 годов. С. М. Пономарев выписал собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и доказал их полноту в эллиптической части области, являющейся круговым сектором, Е. И. Моисеев доказал базисность этой системы в эллиптической части области и используя свойство базисности построил спектральный метод решения краевых задач для уравнения смешанного типа. Я. Н. Мамедов распространил результаты о полноте собственных функций для вырождающихся уравнений смешанного типа, в частности, для уравнения Трикоми, но в случае, когда эллиптическая часть области - это половина круга в соответствующей геометрии. Полнота собственных функций задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе была дока зана К. Б. Сабитовым и А. Н. Кучкаровой [12]. Там же были выписаны собственные функции задачи Геллерстедта и в случае вырождающегося уравнения смешанного типа.

Методы исследования. Собственные функции задачи выписываются с помощью метода разделения переменных с использованием функций Бесселя и Лежандра. Полнота системы функций Лежандра исследуется с помощью решения специального интегрального уравнения. При этом используется принцип сжимающих отображений и теория пространств суммируемых с некоторой весовой степенной функцией в Lp. Применяется формула Мелера-Дирихле для представления функции Лежандра. Кроме того, используются полнота специальных неортогональных систем косинусов.

Граничное условие задачи Неймана-Трикоми

Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные результаты и предложенные методы исследования представляют теоретический интерес и могут быть использованы в спектральной теории краевых задач для уравнений сме шанного типа и при решении прикладных задач методом спектрального анализа.

Публикации. Основные результаты работы подготовлены и оформлены в трёх статьях и направлены в печать. Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, трёх глав и списка литературы. В введении указана актуальность задачи и краткая история основных результатов по уравнениям смешанного типа и основные результаты диссертации. Объём диссертации составляет 84 страницы. Основное содержание работы Первая глава. В первой главе рассматриваются собственные функции задачи Трикоми для уравнения смешанного типа и доказывается полнота собственных функций. В пункте 1.1 приведена постановка задачи Трикоми со спектральным параметром Л для вырождающегося элл иптико-гиперболического уравнения в области D в следующем виде, Пусть область D+ ограничена сегментом [0,1] оси Ож, сегментом [0, ((т + 2)/2) "ИЗ] оси Оу и кривой 7, а область D_ ограничена сегментом [0,1] оси Ох и характеристиками 7і ,72-Регулярное решение задачи (1-3) изучается в следующем классе функций и Є C{D+ U DJ) п С2( +) П С2(Г _) с условием склеивания (2). В пункте 1.2 найдено общее решение уравнения (1) и с помощью работ [1] и [2] это решение получено в следующем виде и = r2Mio_2 (4/Ar)sin2 (ЛР2%(СО50)+ +5Qa%(C0S )) при у 0, (4) « = Р2Р К-20Ц(v% ) sinh2 $Qf_2p(cosb ) при t/ 0. где I7(z)— модифицированная функция Бесселя первого рода, P(z), QQ(Z), [4, с. 143 ] функции Лежандра на разрезе, Qa(z) - функция Лежандра. В пункте 1.3, используя условия склеивания (2), найдено общее решение задачи Трикоми в следующем виде:

Доказательство полноты системы функций Лежандра

В пункте 3.3 доказана следующая теорема о полноте собственных функций задачи Геллерстедта.

Теорема 3.3.1. Пусть q 1, т —2, т + 2д 0 и пусть существует / Є L2(D+), для которой справедливо О {wmn} являются собственными функциями задачи Геллерстедта.Тогда f(oc,y) =(п.в)= О в L2(D+), Собственные функции задачи Геллерстедта при q = О были в другой форме найдены в работе К. Б. Сабитова и А. Н. Кучкарови [12], там же рассматривалась и полнота этой системы но в других пространствах. В параграфе 3.4 рассмотрены задачи Трикоми и Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. В пункте 3.4.1 рассмотрены собственные функции задачи Трикоми в случае т = О, q = 0. Постановка задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе имеет следующий вид Область D, характеристики 71 , 72 и "нормальная"кривая 7 такие же, как и в пункте 1.1. Собственные функции задачи Трикоми в этом случае имеют вид Полнота этих собственных функции задачи рассмотрена в работе [7, 8] В пункте 3.4.2 рассмотрены собственные функции задачи Неймана-Трикоми в случае m = 0, q — 0. Постановка задачи Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе имеет следующий вид ихх + sgnyuyy + fi2u = 0, Область D, характеристики 71 , 72 и "нормальная"кривая 7 такие же, как в пункте 1.1. Собственные функции задачи Неймана-Трикоми в этом случае имеют вид Г ті"! ukj — k+ Vkijiy/nsin (2fc + 1/2)9 + — I при у 0, Ukj = J2k+i(pfikj)i\/7T/2e P f (-2fc - -)ift J при у 0. Объединение собственных функций задачи Трикоми (3.12) и собственных функций задачи Неймана-Трикоми (3.21) дает собственные функции задачи Геллерстедта, найденные в работе [8]. Полнота этих собственных функции рассмотрена в работе [8]. Благодарности Автор рад представившейся возможности выразить благодарность своему научному руководителю академику РАН Е. И. Моисееву за постановку задач, постоянное внимание к работе, и полезные советы. Также автор благодарен доценту В. В. Тихомирову и всем сотрудникам кафедры общей математики Факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета. В этой главе работы, доказана полнота собственных функций в эллиптической части области задачи Трикоми уравнения эллиптико-гиперболического типа. Отдельно изучается полнота соответствующих функции Лежандра в различных пространствах.

Полнота собственных функций задачи Геллерстедта

В пункте 2.1 приведена постановка задачи Неймана-Трикоми со спектральным параметром Л для вырождающегося эллептико-гиперболического уравнения в области D в следующем виде, где q 1, т — 2 - действительные числа, с условием склеивания Дто уЧу = Дто(-у)Х, (7) и граничными условиями причем характеристики 7ь 72 нормальная- кривая 7 и области D, L, D+ определены такие же как, и в пункте 1.1. В пункте 2.2, найдено общее решение задачи Неймана-Трикоми в следующем виде В пункте 2.3, с помощью граничного условия найдено значения для cv, и получены собственные функции в следующем виде _ 2g_i 4+ M ехр(2гтг/3)Г(2/? + 2fc + 1) Ufcj_r 2Г(-2/? + 2А; + 1) sin 7г(-2/3+ 2&) X В пункте 2.4 доказаны следующие теоремы. Теорема 2.4.1. Если q l,m —2,77г -f 2g 0} и wk(6) = sm2/3 0[P2lf(cos в) + P2lf(- cos в)}, то f(x, y) = 0 в +. Для того, чтобы доказать теорему 2.4.1 нам требуется следующее замечание 2.4.1 и теорема 2.5.1. Замечание 2.4.1. Если / Є (1)+), то справедливо нера венство т+ \f(x,y)\(smO)%$ Следствие. Из теоремы 2.4.1 и замечания 2.4.1 следует полнота в эллиптической части области системы собственных функций задачи Неймана-Трикоми. В пункте 2.5 доказана следующая теорема о полноте системы функций Лежандра. Теорема 2.5.1. Если /? Є (0,1/4), f(0)/{cos9)a Є і(0,тг/2), a =(1/2) -2/3 и Г f($)wk(e)d0 = O, V = 0,1,2,--. Jo где wk{&) = sin2 6»[p-2 (cosв) + Р"ад(- COS 6»)], то /(0) =(п. в.)= 0. Третья глава. В главе 3 рассматриваются собственные функции задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа и доказывается полнота системы собственных функций в эллиптической части области. В пункте 3.1 дана постановка, задачи Геллерстедта со спектральным параметром А для вырождающегося эллиптико-гиперболического уравнения в области D = D+ Ui)rU D2- в следующим виде, \y\m luxx + уиуу + quy + \\y\m+lu = О, где q l,m —2 - действительные числа. Решение этой задачи ищется в классе функций и Є C0(D+UJDi-Ui?2-) П С2(Л+) П C2(D!-) П C2{D2-) с условием склеивания limУЧ,= lim (-у)Чу, У-++0 у-»-0 и граничными условиями u7 = и\ъ = и\ъ = О, где характеристики 7і і 72 , 7з, 74 и "нормальная"кривая 7 имеют вид: Область D+ ограничена сегментом [—1,1] оси Ox и "нормальной" кривой 7- Область !- ограничена сегментом [0,1] оси Ох и характеристиками 71 ) 72 и область D2- ограничена сегментом [—1,0] оси Ох и характеристиками 7з »74 В пункте 3.2 найдены собственные функции задачи Гел-лерстедта в следующем виде {Wmn} = {iHj} U {Vkl} где {uij} - собственные функции задачи Трикоми нечетно продолженные на значения х 0 и {vki} собственные функции задачи Неймана-Трикоми четно продолженные на значения х 0. Можно показать, что в этом случае {wmn} имеет следующий вид в эллиптической части области.

Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с нею двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа Фаршбаф Могими Мохаммад Багер

Доказательство полноты системы собственных функций задачи Трикоми в 1^(12+)

Граничное условие задачи Неймана-Трикоми

Доказательство полноты системы функций Лежандра

Полнота собственных функций задачи Геллерстедта

Похожие диссертации на Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с нею двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа