Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Структура и асимптотика спектра многоточечной задачи Балле - Пуссена 14
I. Собственные значения, собственные и присоединенные функции задачи (0.1), (0.2) 14
2. Асимптотика одного функционального определителя 2) (р) Асимптотика спектра задачи СОЛ), (0.2) для частного случая 22
3. Асимптотика и структура спектра задачи СОЛ), СО.2). 30 4. Некоторые уточнения структуры спектра задачи СОЛ), (0.2) 43
Глава 2. Асимптотика по параметру Л функции Грина задачи Балле - Пуссена 50
I. Щункция Грина &Ci,S^ 2. Оценки функций Wjti (1,р) 54 3. Оценки функций JL- U?p) 60 4.- Оценки функции Грина &(1,^А) 65 Глава 3. Полнота и базисность системы собственных и присоединенных функций задачи Балле - Пуссена 72 1. Базисность системы собственных и присоединенных функций задачи (0.1),(0.2) в пространстве Си[0)1] 73 2. Полнота системы собственных и присоединенных функций задачи (0.1),(0.2) в пространстве Lt [Q, і] 77 3. Полнота системы собственных и присоединенных функций задачи (0.1),(0.2) в пространстве С [0> J] 85 4. О полноте части системы собственных и присоединен ных функций задачи (0.1),(0.2) 89 Литература Введение к работе
В спектральной теории краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений одним из центральных является вопрос о полноте системы собственных и присоединенных функций. Тогда, т.к. вычет резольвенты в каждом ее полюсе равен оператору проектирования Рк на соответствующее корневое пространство, оказывается верным сходящееся разложение т.е. разложение истокопредставимой функции Ah в ряд по собственным и присоединенным функциям. В частности, когда все полюсы простые, получаем разложение по собственным функциям дифференциального оператора Л . Описанная схема тесно связывает вопрос о разложимости функций по собственным и присоединенным функциям линейного дифференциального оператора (другими словами вопрос о спектральной ба-зисности линейного дифференциального оператора) с асимптотикой и структурой спектра, а также, с асимптотикой резольвенты г\д (т.е. с асмштотикой функции Грина по параметру Л) . Вопрос спектральной базисности для несамосопряженных обыкновенных линейных дифференциальных операторов впервые, по всей видимости, рассматривался Д. Биркгоффом [55, 5б] . Он [55, 56, 57] и Я.Д. Тамаркин [37, 38] установили разложимость функций в ряды по собственным функциям несамосопряженной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения /7-го порядка при регулярных однородных условиях на концах конечного интервала [of,oj (двухточечные условия). В дальнейшем обобщая понятие регулярности краевых условий [53, 70, 77, 78] были получены теоремы спектральной базисности как для двухточечных [27, 52, 53, 58, 59, 60, 69, 73], так и для многоточечных краевых задач [5, 6, 7, 53, 70] (когда в краевых условиях участвуют и внутренние точки отрезка [0L, 6]). Все указанные случаи (случаи регулярных краевых условий) характерны тем, что резольвента Кд убывает по любому направлению комплексной Л - плоскости (за исключением полюсов вместе с некоторыми кругами достаточно малого постоянного радиуса) при \А\- оо, т.е. для них выполняется условие (0.1). Наиболее трудным вопрос базисности оказался для задач с нерегулярными краевыми условиями. Дифференциальные операторы с нерегулярными краевыми условиями, как оказалось, (в отличие от регулярных краевых условий) обладает более сложной спектральной структурой. Условие (0.1) для таких операторов не выполняется и описанная схема, использующая представление оператора Я контур - 4 -ным интегралом, становится неприемлемой. Например, согласно [41], модуль функции Грина Ky-Ct,S, )\ двухточечных задач с нерегулярными распадающимися краевыми условиями имеет при S t экспоненциальный рост по любому направлению комплексной А - плоскости. Базисность двухточечных задач с нерегулярными распадающимися краевыми условиями изучалась рядом авторов: Д. Джексоном [75], Я.В. Гопкинсом [74], Л.Е. Уордом [79 - 83], Г. Зейфертом [7б], В. Эберхардом [64 - 68], А.П. Хромовым [41 -43] и др. Им удалось получить базисность лишь в отдельных частных случаях. Наиболее значительные и полные результаты для двухточечных задач были получены М.В. Келдышем [l5, 16] и А.П. Хромовым [44, 47]. Так, для двухточечных задач с распадающимися краевыми условиями А.П. Хромов установил [47], что в равномерно сходящиеся ряды по собственным и присоединенным функциям разлагаются все L - аналитические по М.К. Фаге [40 ] функции и только они. Некоторые результаты А.П. Хромова были перенесены Г. Фрайлингом [71, 72 J на многоточечные задачи с нерегулярными краевыми условиями. Пространство L- аналитических функций значительно уже пространства L Ш, О}. В некоторых случаях пространство L - аналитических функций совпадает с С IfX o]. Встает вопрос о возможности приближения функций из иг [Of, о J или из С [&fi\ линейными комбинациями собственных и присоединенных функций нерегулярных краевых задач, т.е. вопрос о полноте системы собственных и присоединенных функций. Теорема полноты для нерегулярных двухточечных краевых задач была сформулирована М.В. Келдышем [15] еще в 1951 году. Однако доказать ее долгое время не удавалось. Лишь в 1976 году А.А. Шкаликов [49] установил полноту системы собственных и присоединенных функций в пространстве Ьг[я,6] для двухточечных за - 5 -дач с распадающимися краевыми условиями. Вопрос полноты в пространстве С [0, і] до сих пор оставался открытым. Положительных результатов о полноте для многоточечных нерегулярных краевых задач так же ранее не было. В диссертационной работе установлен критерий конечности спектра задачи (0.2), (0.3), описываемый в терминах кратностей /i,G,...9rw. В случае бесконечного спектра изучена его структура и асимптотика. В связи с этим следует заметить, что отмеченные выше результаты других авторов для нерегулярных краевых задач получены при условии 0 = 0 , т.е. когда дифференциальный оператор L является единичным: ІХ-Х. В этом случае спектр заведомо бесконечен. Исключение здесь составляют работы М. Вольтера [84, 85], где рассматриваются двухточечные задачи (m=Z) с распадающимися краевыми условиями, однако изучаются лишь такие задачи, для которых критерий конечности спектра заведомо не выполняется. (3.4) первой главы имеет вид (1.3.4). Окончание доказательства фиксируется знаком Я . Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [8 - II]. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на семинаре по спектральной теории линейных операторов в МГУ (руководитель профессор А.Г. Костюченко), на семинарах профессоров: С.Г. Крейна, Н.В. Азбелева, П.Е. Соболевского, М.А. Красносельского, Ю.С. Шаталова, на всесоюзной конференции (Магнитогорск, 1984), на региональных конференциях (Пермь, 1980 и 1981), а также в ХУІІ и ХУТІІ Воронежских зимних математических школах. Автор сердечно благодарен своему научному руководителю, профессору Ю.В. Покорному. Работа выполнена на кафедре функционального анализа и операторных уравнений Воронежского государственного университета. Доказательство. Т.к. Я0 - собственное значение кратности единица, то соответствующая ему собственная функция УШ имеет кратность ju . Следовательно, в силу леммы I.I, если fK (1, 0 то и все кKV (Ь) = О (V = ijf-i) . Осталось показать, что существует такое к , для которого Д (, А0)$0. Но это следует из того, что хотя бы один минор порядка и-4 определителя А ( Д) отличен от нуля. В главе 3 будет установлена полнота (а в отдельных случаях и базисность) системы функций Ш = и т, . ало hi В силу (1.9) отсюда будет следовать полнота (базисность ) системы всех собственных и присоединенных функций В дальнейшем множество функций flfl будем называть системой собственных и присоединенных функций задачи (0.1), (0.2). Спектр JV задачи (0.1), (0.2) состоит из таких комплексных Л , при которых оператор (L-Лі) при краевых условиях (0.2) не имеет ограниченного обратного. В силу вышесказанного спектр задачи (0.1), (0.2) дискретен и состоит из собственных значений. Поэтому в дальнейшем для нас "собственное значение" и " точка спектра" - синонимы. В заключение параграфа докажем некоторые свойства функций fK(i JL) (см. (1.5)), потребующиеся нам в дальнейшем. Лемма 1.3 Пусть Л не принадлежит спектру задачи (0.1), (0.2). Тогда функции Д. (19 Л) (іг= й) образуют фундаментальную систему решений уравнения (0.1). Доказательство. Покажем линейную независимость системы функций {Ік} Єаі. Пусть с±-11.(1А) + с {1(Ь,Л)+... + с,,-{к(±,А)-=0 . Применяя к обеим частям равенства линейный функционал UK , получим с ик(1ь) = 0 .В силу определения (1.5) функций fKU,A) имеем UK (fK) = А (Я). Если ЯфА , то А(Я)фО. Следовательно, с -0 при любом к ( = и), и функции (К(1,Л) =я) линейно - независимы. I Лемма 1.4 Пусть ЇСі,Я)- произвольное решение уравнения (0.1). Тогда Доказательство. Т.к. правая и левая части равенства (I.II) суть целые функции, то для доказательства леммы достаточно показать выполнение равенства (I.II) на некотором множестве с конечной предельной точкой, например, на множестве Л Ф- Л . Итак, пусть Я ф Л.. В силу леммы 1.3 найдутся такие Применим к правой и левой частям функционал 1)л . Получим А(Я)- UK [Z(t,J$ = Ск Асимптотика одного функционального определителя D (/ ) . Асимптотика спектра задачи (0.1), (0.2) для частного случая ІХ = X. Пусть 0 5р 5р_ ... » v" целые числа и , ,-, " все различные корни степени р из единицы: В этом параграфе изучается асимптотическое поведение функционального определителя комплексной p- плоскости при достаточно большом \р\ . В конце параграфа в качестве приложения полученных результатов описана структура и асимптотика спектра задачи (0.1), (0.2) для частного случая, когда la = х Пусть 8 0 некоторое фиксированное число. Положим T0(S)={f. J =j5-e IJmfl SjRep 0} (0±& 2#). (2.3) Если о принадлежит полуполосе Тв (8) , то р =р- е св принадлежит полуполосе Т0 (8). Лемма 2.1 В каждой полуполосе \е (8) ,l9\ f при достаточно большом Ы определитель Dip) имеет вид D(p) = ры е р{р- е(/о-еГи&1)}.[$в(р)+0(р], где р=р.&ь& , о( = к,+ к2+...+ кр, ро =о .4 + а а-4+-- /»4»и % СР ограниченная в Т0 (S) функция. Доказательство. Среди чисел 4,4J - 4 » входящих в опреде ление функций .. (р), могут быть равные друг другу. Пусть X z t такие целые, что (т р) Если же нарушается хотя бы одно из условий а) или б), то найдется такое 9 = Э0 , что функция F (р, в0) имеет бесконечное множество нулей. В силу лемм 3.1 и 2.6 бесконечное множество О. нулей в секторе S = {р : - j агор 4 & } будет иметь и характеристический определитель А Срр). Если нарушается условие а) теоремы 3.1 , т.е. [foj t\4 [0}{], где З =QU , l. Qи » и выполняется условие (К), то множество Я. состоит из р = rn-p0+ju-i последовательностей К такому виду за счет функции 0() мы привели объединение двух множеств: множества (3.19) и множества (3.21), элементы которого умножены на exp Если выполняется условие а) теоремы 3.1 и нарушается условие б) теоремы 3.1 (нарушается условие (К)), то 2 состоит из двух последовательностей Если нарушается условие а) теоремы 3.1 и нарушается условие (К), то Q состоит из объединения (всего//+2) последовательностей (3.22) и (3.24). Возводя каждое /?. последовательности (3.22) и каждое д последовательности (3.24) в степень получим все точки спектра j\ задачи (0.1), (0.2)(учитывая при этом случаи выполнения или нарушения условия а) теоремы 3.1 и условия (К)). I В ходе доказательства теорем 3.1 и 3.2 получены в явном виде константы 6" , 6 (см. формулировку теоремы 3.2). Теорема 3.3 В условиях теоремы 3.2 константы э- , 6 имеют следующий вид где определены согласно (3.23) и (3.25). В заключение параграфа отметим оценки характеристического определителя A (j p) , потребующиеся нам в дальнейшем. Обозначим через г число (вообще говоря, зависящее от таких 00 (6)= и м-е (\9\ i) , у которых вещественная часть не отрицательна, и через з? число " к (9) , у которых вещественная часть не положительна. Таким образом, если о четно, то г= = , если же р нечетно и /) = 4 + , то r = Zj+j , ? - Zj при I9\ f и л- , $ Zj+l при J №hf , наконец, если / нечетно и p = 4r + 3 , то r = 2J+4 , tf = 2/+2 при /91 jfc и л=і/ + 2 , tf- W при /0/ Теорема 3.4 Существует константа 0 такая, что Теорема 3.5 При достаточно большом Я и любом достаточно малом 0 найдется такое Сл 0 , что в области S имеет место Величины теже, что и в теореме 3.4. Некоторые уточнения структуры спектра задачи (0.1), (0.2). В этом параграфе описана область комплексной Л - плоскости, в которой лежит весь спектр J\ задачи (0.1), (0.2). Рассматривается вопрос вещественности точек спектра Л. . При этом более детально изучается определитель 2)(р), введенный в 2 (см. (2.2)). Пусть такие целые числа, для которых выполня-ется (2.4). Положим ёк - о и s = K z -i (Tc Построим разбиение множества индексов I = { 1,2,-,/-} на классы эквивалентности, считая два индекса it и эквивалентными тогда и только тогда, когда все числа til,tittt9...izt_1_t cLt имеют одинаковую четность. Обозначим полученные классы разбиения через li,lZi..., I» Очевидно ц =s+i , где s число нечетных чисел среди SZ3S3,..., Sf,. . Описанная схема тесно связывает вопрос о разложимости функций по собственным и присоединенным функциям линейного дифференциального оператора (другими словами вопрос о спектральной ба-зисности линейного дифференциального оператора) с асимптотикой и структурой спектра, а также, с асимптотикой резольвенты г\д (т.е. с асмштотикой функции Грина по параметру Л) . Вопрос спектральной базисности для несамосопряженных обыкновенных линейных дифференциальных операторов впервые, по всей видимости, рассматривался Д. Биркгоффом [55, 5б] . Он [55, 56, 57] и Я.Д. Тамаркин [37, 38] установили разложимость функций в ряды по собственным функциям несамосопряженной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения /7-го порядка при регулярных однородных условиях на концах конечного интервала [of,oj (двухточечные условия). В дальнейшем обобщая понятие регулярности краевых условий [53, 70, 77, 78] были получены теоремы спектральной базисности как для двухточечных [27, 52, 53, 58, 59, 60, 69, 73], так и для многоточечных краевых задач [5, 6, 7, 53, 70] (когда в краевых условиях участвуют и внутренние точки отрезка [0L, 6]). Все указанные случаи (случаи регулярных краевых условий) характерны тем, что резольвента Кд убывает по любому направлению комплексной Л - плоскости (за исключением полюсов вместе с некоторыми кругами достаточно малого постоянного радиуса) при \А\- оо, т.е. для них выполняется условие (0.1). Наиболее трудным вопрос базисности оказался для задач с нерегулярными краевыми условиями. Дифференциальные операторы с нерегулярными краевыми условиями, как оказалось, (в отличие от регулярных краевых условий) обладает более сложной спектральной структурой. Условие (0.1) для таких операторов не выполняется и описанная схема, использующая представление оператора Я контурным интегралом, становится неприемлемой. Например, согласно [41], модуль функции Грина Ky-Ct,S, )\ двухточечных задач с нерегулярными распадающимися краевыми условиями имеет при S t экспоненциальный рост по любому направлению комплексной А - плоскости. Базисность двухточечных задач с нерегулярными распадающимися краевыми условиями изучалась рядом авторов: Д. Джексоном [75], Я.В. Гопкинсом [74], Л.Е. Уордом [79 - 83], Г. Зейфертом [7б], В. Эберхардом [64 - 68], А.П. Хромовым [41 -43] и др. Им удалось получить базисность лишь в отдельных частных случаях. Наиболее значительные и полные результаты для двухточечных задач были получены М.В. Келдышем [l5, 16] и А.П. Хромовым [44, 47]. Так, для двухточечных задач с распадающимися краевыми условиями А.П. Хромов установил [47], что в равномерно сходящиеся ряды по собственным и присоединенным функциям разлагаются все L - аналитические по М.К. Фаге [40 ] функции и только они. Некоторые результаты А.П. Хромова были перенесены Г. Фрайлингом [71, 72 J на многоточечные задачи с нерегулярными краевыми условиями. Пространство L- аналитических функций значительно уже пространства L Ш, О}. В некоторых случаях пространство L - аналитических функций совпадает с С IfX o]. Встает вопрос о возможности приближения функций из иг [Of, о J или из С [&fi\ линейными комбинациями собственных и присоединенных функций нерегулярных краевых задач, т.е. вопрос о полноте системы собственных и присоединенных функций. Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно показать, что каждая ортогональная всем собственным и присоединенным функциям равна нулю почти всюду на отрезке Предположим противное. Пусть существует 4(i) LtlO,i] ортогональная всем собственным и присоединенным функциям и Ч (і)фО на [0,1] . Пусть [dt}d] - минимальный отрезок, вне которого УИ) = 0 почти всюду. В силу сделанного предположения di d . Без ограничения общности можно считать, что с/е[о 4]и [difd] с I (d). В противном случае, сделав замену i=i и рассмотрев задачу (0.1), (0.2) относительно переменной Г , прийдем к выполнению этого условия. В силу леммы 2.8 найдется такое при к 0 . Отсюда в силу леммы 2.9 функция 441)=0 почти всюду вне отрезка [dt) d-S] . Мы пришли к противоречию. Следовательно, почти всюду на Полнота системы собственных и присоединенных функций задачи (0.1), (0.2) в пространстве В этом параграфе будет установлена полнота системы собственных и присоединенных функций в пространстве С [0, і] для задач (0.1), (0.2) в частном случае, когда lx=X . Доказательство. Линейная оболочка J функций {{} U[ti-sf} является алгеброй. Кроме того, для любых ііуіг є [0,1] , t± tz найдутся функции ( , %&е такие, что qji-J 0 и ({J CU, например, o(i-) = 1 , j2 (і) = (і-з) +/L . Следовательно (см., напр., [35]), равномерное замыкание Л совпадает Лемма 3.2 Для любого se[0,{] и любого целого v 0 система функций { --5)"}П„ полна по норме пространства С [0, і] в пространстве Доказательство. Пусть cjd Ej с С[о,і]. В силу леммы 3.1 для любого 0 найдется такой многочлен что при всех Вчастности, следовательно, Ю . Таким образом, многочлен R,(i) = J(i)-ce отличается от функции о60 не более чем на і . Действительно, при всех Пусть Р(t) - многочлен порядка п , удовлетворяющий условиям (0.2), т.е. Рассмотрим последовательность многочленов Лемма 3.3 Система многочленов f #)}„.t полна в пространстве по норме пространства Доказательство. Заметим, что при m=i лемма верна (в силу леммы 3.2), и проведем доказательство по индукции. Пусть лемма верна при т = и-± . Покажем, что она верна и при w=. В силу определения функций непрерывны и ht (і) е и Ut(i)ea . Отсюда для любого найдутся многочлен (в силу предположения о выполнении леммы при т = к-і) и многочлен где &(±,s) - функция Грина задачи (0.1), (0.2) при Х = 0 . И воспользовавшись неревенством Коши - Буняковского, получаем /Ц / JJ [ (S)-ZCc+c(s)]Z-cJs. В силу непрерывности функции г? () и в силу полноты системы - 89 -і % ] П в пространстве Lt[0,l] величину Аг можно сделать как угодно малой, взяв } достаточно большим и подобрав надлежащим образом константы CL . Итак, мы доказали, что функция Ра)-Ьь при любом целом \ 0 может быть приближена суммами вида (3.2) с любой точностью. Отсюда в силу леммы 3.3 система {J % Li Zt полна в пространстве по норме С [0,1] . Теорема 3.2 Пусть lx=X . Тогда система собственных и присоединенных функций задачи (0.1), (0.2) полна в пространстве по норме С [0}і] . Доказательство. В силу теоремы 2.1 система собственных и присоединенных функций fTi полна в пространстве L2 [0, і] и в силу теоремы 3.1 система функций о полна в пространстве Е по норме С [0, 1] . Пусть U) - собственная функция, отвечающая собственному значению Лк , и пусть Чк ), ісг \—і%,т.і " цепочка функций, присоединенных к К У). Отсюда в силу выше сказанного следует утверждение теоремы.полноте части системы собственных и присоединенных функций задачи (0.1), (0.2). В этом параграфе изучается полнота не всей системы собственных и присоединенных функций задачи (0.1), (0.2), а некоторой ее подсистемы. Для нерегулярных краевых задач традиционно разложимость функций в равномерно" сходящиеся ряды по собственным и присоединенным функциям устанавливалась не на всем отрезке [0,1] , а на некотором более узком множестве lc-10,1] . Так, А.П. Хромов [47] доказал разложимость L - аналитических функций (а разлагаются только они) в равномерно сходящиеся ряды по собственным и присоединенным функциям двухточечных задач с распадающимися краевыми условиями на отрезке [0, {-] при t 0 . Г. Фрайлинг [72] показал разложимость L - аналитических функций в равномерно сходящиеся ряды по собственным и присоединенным функциям многоточечных задач с нерегулярными условиями на множестве зависят от разлагаемой функции.Асимптотика одного функционального определителя 2) (р) Асимптотика спектра задачи СОЛ), (0.2) для частного случая
Асимптотика и структура спектра задачи СОЛ), СО.2). 30 4. Некоторые уточнения структуры спектра задачи СОЛ), (0.2)
Оценки функций Wjti (1,р)
Полнота системы собственных и присоединенных функций задачи (0.1),(0.2) в пространстве С [0> J]
Похожие диссертации на Спектральные свойства многоточечных задач
