Содержание к диссертации
Введение
1 О числе изолированных нулей у возмущения аналитической функции 16
1.1 Определения и формулировка теоремы об оценке числа нулей. 16
1.2 Теорема Эрве и свойства идеалов кольца ростков голоморфных функций 21
1.3 Доказательство теоремы об оценке числа нулей 23
2 Оценка числа предельных циклов у квадратичных векторных полей, близких к центрам 26
2.1 Квадратичные векторные поля и их предельные циклы . 27
2.2 Переход к отображению Пуанкаре 31
2.3 Оценка числа нулей невязки отображения Пуанкаре 32
2.4 Доказательство основной теоремы 2 по модулю вспомогательных утверждений 33
2.5 Доказательство леммы 2 37
2.6 Доказательство леммы 3 42
Построение отмеченного полидиска 43
Константа роста для идеала Баутина /р() в образующих Дюлака 53
Константа роста для идеала Баутина /р() в канонических образующих 60
2.7 Теорема Ильяшенко-Ллибре для уравнения в комплексной нормальной форме 71
2.8 Доказательство теоремы 1 75
Связь параметров 5, а и к в разных нормальных формах . 77
Теорема Ильяшенко-Ллибре в нормальной форме Каптейна 84
2.9 Доказательство предложения 2 84
2.10 Доказательство теоремы 3 86
Приложение. Компьютерные вычисления, использованные в работе 88
- Теорема Эрве и свойства идеалов кольца ростков голоморфных функций
- Доказательство основной теоремы 2 по модулю вспомогательных утверждений
- Константа роста для идеала Баутина /р() в канонических образующих
- Связь параметров 5, а и к в разных нормальных формах
Введение к работе
Актуальность темы.
Настоящая диссертация посвящена исследованию предельных циклов квадратичных (т.е. полиномиальных степени два) векторных полей на вещественной плоскости. Полиномиальное векторное поле на плоскости задается системой дифференциальных уравнений
х = Р(х,у), y = Q(x,y), (1)
где (ж, у) Є М2, а Р(х,у) и Q(x,y) — многочлены. Его предельным, циклом называется изолированная замкнутая траектория, гомеоморфная окружности. Во второй части 16-й проблемы Гильберта поставлены следующие вопросы1:
(ql) Можно ли оценить число предельных циклов любого полиномиального векторного поля на плоскости величиной Н{п), зависящей только от п — наибольшей из степеней многочленов Р и Q?
(q2) Если ответ на первым вопрос положителен, то оценить сверху Н{п).
Эта проблема была сформулирована Гильбертом в 1900 г. в докладе на П-ом Международном конгрессе математиков. С тех пор 16-й проблеме Гильберта были посвящены многие исследования, получены значительные результаты, разработаны новые методы и разделы теории дифференциальных уравнений, однако сформулированные выше вопросы до сих пор открыты. Единственный известный общий результат о числе предельных циклов полиномиальных векторных полей состоит в конечности этого числа для каждого конкретного векторного поля. Для квадратичных векторных полей соответствующая теорема была получена Бамоном в 1986 г.2, а общее утверждение для векторных полей произвольной степени было доказано несколькими годами позже независимо Ильяшенко3 и Экалем4.
Во многих современных исследованиях рассматривается ограничение 16-й проблемы Гильберта для квадратичных векторных полей на плоскости. Это — простейший класс векторных полей, уже для которого ответы
:Yu. Ilyashenko, Centennial History of Hilbert's 16th Problem, Bull. Amer. Math. Soc, 2002, 39, no. 3, 301-354.
2R. Bamon Quadratic vector fields in the plane have a finite number of limit cycles, Publ. I.H.E.S 64 (1986), pp. 111-142.
3Yu. Ilyashenko Finitness theorems for limit cycles, Amer. Math. Soc, Providence, Ш, 1991.
4J. Ecalle Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1992.
на вопросы, поставленные выше, неизвестны. Кроме того, квадратичные векторные поля обладают рядом замечательных свойств, упрощающих их исследование. Именно,
любой предельный цикл квадратичного векторного поля обходит ровно одну особую точку, которая является фокусом;
у квадратичного векторного поля может быть не более двух особых точек типа фокус;
все предельные циклы квадратичного векторного поля, за исключением, может быть, одного цикла, обходят один и тот же фокус.
Свойства (1) и (2) элементарны и приведены в обзоре Коппела5 о квадратичных векторных полях. Свойство (3) является недавним результатом Чжан Пингуанга6. Таким образом, вопрос о верхней оценке числа предельных циклов у квадратичного векторного поля сводится к вопросу об оценке числа предельных циклов, обходящих одну особую точку типа фокус. При этом наиболее сложным для исследования оказывается случай, когда фокус является медленным, будучи малым возмущением особой точки типа центр. Основополагающий результат о числе предельных циклов, рождающихся при малом возмущении центра в классе квадратичных векторных полей, был получен Баутиным7 в середине прошлого века. При таком возмущении в малой окрестности особой точки рождается не больше трех предельных циклов. Этот результат опирается на алгебраические свойства кольца голоморфных функций от нескольких комплексных переменных (точнее, на структуру специального идеала в этом кольце, связанного с отображением Пуанкаре для квадратичного векторного поля). Его доказательство, полученное Баутиным, крайне трудоемко. В 90-х гг. оно было значительно упрощено Жолондеком8, и сейчас входит в учебный курс для аспирантов9. Несмотря на то, что результат Баутина является локальным,
5W.A. Coppel A survey of quadratic systems, J. Diff. Eq. 2 (1966), pp. 293-304.
8Zhang Pingguang Quadratic systems with two foci, Appl. Math. J. Chinese Univ., 14A (1999), pp. 247-253. J) Zhang Pingguang On the distribution and number of limit cycles for quadratic systems with two foci (in Chinese), Acta. Math. Sinica, Chinese ser., 44 (2001), pp. 37-44. // Zhang Pingguang On the distribution and number of limit cycles for quadratic systems with two foci, Qualitative Theory of Dynamical Systems, 3 (2002), pp. 437-463.
7H.H. Баутин, О числе предельных циклов, рождающихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокус или центр, ДАН СССР, 24, №7 (1939), стр. 668-671. // Н.Н. Баутин, О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра, Мат.сборник, 30(72), вып.1 (1952), стр. 181-196.
8Н. Zoladek Quadratic systems with center and their perturbations, J. Diff. Eq. 109 (1994), pp. 223-273.
9Yu. Ilyashenko, S.Yakovenko Lectures on Analytic Differential Equations, Graduate Studies in Math, Vol.86, AMS, 2008.
и не дает общего утверждения о числе предельных циклов квадратичного векторного поля даже в гнезде одного фокуса, долгие годы предполагалось, что любое квадратичное векторное поле имеет не более трех предельных циклов10. Эта гипотеза была опровергнута лишь в 1979 г., когда было доказано существование квадратичного векторного поля с по крайней мере четырьмя предельными циклами11. В 1980 г. Ши Сонглином12 был приведен конкретный пример такого векторного поля. Несмотря на отсутствие примеров квадратичных векторных полей с пятью и более предельными циклами, существующие верхние оценки на число их предельных циклов, даже при дополнительных ограничениях, представляются непомерно большими.
В 1994г. Дюмортье, Руссари и Руссо13 предложили общий подход к доказательству существования числа Н(п). При помощи компактификации фазового пространства и пространства коэффициентов полиномиального векторного поля, этот вопрос сводится к вопросу о конечной цикличности предельных периодических множеств. В случае п = 2 данная стратегия приводит к рассмотрению 121 конфигурации предельных периодических множеств, и к необходимости доказательства конечной цикличности каждой конфигурации. По сей день в различных работах исследовано более 80 таких конфигураций, и доказана конечная цикличность каждой из них. Реализация этой стратегии имеет целью решение проблемы (ql), которая сформулирована выше, однако не позволяет ответить на вопрос (q2). Для ответа на последний вопрос может оказаться полезной оценка числа предельных циклов, не проходящих через малые окрестности особых точек системы (1). Это приводит к рассмотрению ограниченной 16-й проблемы Гильберта для квадратичных векторных полей, которую мы сейчас сформулируем.
Рассмотрим квадратичное векторное поле (1) с особой точкой типа фокус или центр. Нетрудно проверить, что при помощи подходящей аффинной замены координат и линейной замены времени, такая особая точка может быть помещена в начало координат, а система (1) преобразована к
10 J. Reyn, Phase portraits of planar quadratic systems, Springer, 2007
11 Chen Lansun, Wang Mingshu Relative position and number of limit cycles of a quadratic differential
system, Acta Math.Sinica 22 (1979), pp. 751-758.
12Shi Songling, A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems не был приведен конкретный пример такого векторного поля, Scientia Sinica, 23:2 (1980), pp. 153-158.
13F. Dumortier, R. Roussarie, C. Rousseau, Hilbert 16th problem for quadratic vector fields, Journal of Differential Equations, 110 (1994), no. 1, 86-133.
нормальной форме Каптейна :
х = Хгх - у - Х3х2 + (2Л2 + \ъ)ху + Л62/2, , ,
у = х + Х1У + Х2х2 + (2Л3 + Х4)ху - Х2у2, [ Х)
где Лі Є Ж, X = (Л2,...,Лб) Є S5 (т.е. ||Л|| = 1), а Л = (Лі, Л) обозначает набор параметров, входящих в коэффициенты системы (2д). Рассмотрим предельные циклы векторного поля, отвечающего системе (2д), обходящие начало координат. Среди этих циклов S-хорошими называются те, которые не проходят через (^-окрестности всех (в том числе и комплексных) особых точек системы и содержатся в круге \Jх1 + у2 < 1/6 (где 6 > 0 - произвольно). Обозначим через Н(6,Х) число (^-хороших предельных циклов системы (2д). Следующая ограниченная версия 16-й проблемы Гильберта для квадратичных векторных полей была предложена Ильяшенко:
Проблема. (Ю.С. Ильяшенко) Для произвольного 6 > 0 получить равномерную по А Є 1 х 5 оценку для величины Н(6, Л).
Решение этой проблемы было существенно продвинуто совместно Ильяшенко и Ллибре15 (см. теорему 1 ниже). Полученный ими результат даёт искомую оценку, однако неравномерную по Л, и сводит проблему к получению равномерной оценки при приближении Л к некоторым особым множествам, каждое из которых имеет положительную коразмерность. В зависимости от типа такого особого множества, проблема распадается на несколько отдельных задач, методы исследования которых различаются. Чтобы сформулировать соответствующие результаты и задачи, необходимо ввести два вспомогательных параметра, характеризующие векторное поле (2д). Опишем здесь лишь их общий смысл; строгие определения этих величин приведены в тексте диссертации. Параметр <т(Л) > 0 измеряет расстояние от векторного поля (2д) до квадратичных векторных полей, приведенных к нормальной форме Каптейна, и имеющих особую точку типа центр в начале координат; параметр к(Х) > 0 измеряет расстояние от векторного поля (2д) до множества сингулярных векторных полей (т.е. квадратичных векторных полей с прямой особых точек).
Для тех значений Л, при которых о~(Х) = 0 или к(Х) = 0, легко получить равенство Н(6, Л) = 0. Тем не менее, при Л близких к таким значе-
14 W.Kapteyn On the midpoints of integral curves of differential equations of the first degree, Nederl. Akad. Wetensch. Verslag. Afd. Natuurk. Konikl. Nederland, 19 (1911), pp. 1446-1457 (Dutch). // W.Kapteyn New investigations on the midpoints of integrals of differential equations of the first degree, Nederl. Akad. Wetensch. Verslag. Afd. Natuurk., 20 (1912), pp. 1354-1365; 21, 27-33 (Dutch).
15Yu. Ilyashenko, J. Llibre, A restricted version of the Hilbert's 16th problem for quadratic vector fields, arXiv:0910.3443vl [math.DS]
ниям, оценка на Н(5,\): полученная Ильяшенко и Ллибре, неограниченно растёт. Приведем формулировку их теоремы. Эта формулировка адаптирована для нормальной формы Каптейна и несколько отличается от оригинальной.
Теорема 1. (Ильяшенко-Ллибре) Пусть {5, а, к} С (0,1), и А Є Ш х S5 таково, что о" (А) > а, а к (А) > к,. Тогда
Н{6,\) < (| loga| + 1)ехр (ехр(1076(Г33кГ2)) . (3)
Из этой теоремы следует, что для решения ограниченной 16-й проблемы Гильберта для квадратичных векторных полей остается рассмотреть три частных случая:
Задача 1. Оценить Н(5, А) равномерно по А при <т(А) ^0и к(А) > к > 0, где к сколь угодно мало, но фиксировано.
Задача 2. Оценить Н(6, А) равномерно по А при к (А) ^0и <т(А) > а > 0, где о" сколь угодно мало, но фиксировано.
Задача 3. Оценить Н(5, А) равномерно по А при <т(А) —> 0 и к(Х) —> 0.
Задача 2 решена Ильяшенко с использованием методов теории быстро-медленных систем. Этот результат является новым и пока не опубликован. Задача 3 полностью не решена; определенные продвижения в ней получены недавно Дюмортье и Руссо16 .
В диссертации получен ответ к поставленной выше задаче 1. Таким образом, проводимое в работе исследование является важным шагом в решении ограниченной 16-й проблемы Гильберта для квадратичных векторных полей на плоскости. Это обстоятельство относит диссертацию к кругу актуальных исследований по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Цель работы.
Целью настоящей диссертации является исследование (^-хороших предельных циклов у квадратичных векторных полей, достаточно близких к векторным полям с особой точкой типа центр, и получение равномерной (по параметру, оценивающему близость векторного поля к центрам) верхней оценки на их число.
16F. Dumortier, С. Rousseau, Study of the cyclicity of some degenerate graphics inside quadratic systems, Communications On Pure and Applied Analysis, 8:4 (2009), pp. 1133-1157.
Методы исследования.
В работе применяются методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории динамических систем, алгебры и комплексного анализа.
Научная новизна работы.
В диссертации получены следующие новые результаты:
Доказана теорема об оценке числа изолированных нулей аналитического возмущения тождественно нулевой функции.
Доказана теорема об оценке числа предельных циклов, обходящих мало возмущенный центр квадратичного векторного поля, и не проходящих вблизи других особых точек этого векторного поля и вблизи бесконечности. Полученная оценка является равномерной по малости возмущения центра.
Теоретическая и практическая ценность.
Диссертация носит теоретический характер. Техника, разработанная в диссертации, может быть полезна специалистам по теории динамических систем и дифференциальных уравнений. Полученные в диссертации результаты отвечают на один из важных вопросов, связанных с решением 16-й проблемы Гильберта для квадратичных векторных полей, и могут быть использованы в дальнейших исследованиях специалистами в этой области.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и конференциях:
семинар механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова по динамическим системам под руководством профессора Ю.С.Ильяшенко (неоднократно, 2007-2009 гг.);
семинар отдела дифференциальных уравнений в МИРАН имени В.А. Стеклова под руководством акад. Д.В. Аносова и проф. Ю.С. Ильяшенко (2008 г.);
конференция "Singularities of planar vector fields, bifurcations and applications"(C.I.R.M, Марсель-Люмини (Франция), 11 - 15 мая 2009 г.),
летняя школа-конференция "Динамические системы" (Словакия, 25 июня - 7 июля 2009 г.),
новогодняя мини-конференция кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (28 декабря 2009 г.).
Публикации.
Результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведён в конце автореферата [1-3].
Структура и объем работы.
Теорема Эрве и свойства идеалов кольца ростков голоморфных функций
Идеалы в кольце аналитических функций. Через ДД) С С" мы обозначим полидиск с центром в точке Є Сп и полирадиусом р = (pi,... ,рп)-Размерность полидисков мы не будем явно указывать, если она ясна из кон текста. Для U С Сп через 0(U) и 0(U) мы обозначим классы функций, голоморфных в U и в окрестности U соответственно. Пусть Оп() — кольцо ростков аналитических функций от п переменных в точке . Через 1р() мы будем обозначать идеалы в кольце 0(Др()), через /() — идеалы в кольце Оп(). Для функции /, голоморфной в окрестности точки , мы будем писать / Є /(С), если ее росток в точке принадлежит /(). Идеал, порожденный функциями {/oj-.-j/d} С 0(ДР()) (либо их ростками в точке ) будем обозначать через (/0,..., fd)P(0 (соответственно, (/0,... ,/ )() )Для / Є 0(АР()) положим
Определение 1. (Идеал Баутина, см. [R], [IYa2]) Рассмотрим функцию f(x, А) от нескольких комплексных переменных, голоморфную в окрестности точки (О, ) Є С х Сп. Переменная х Є С называется основной, а остальные п переменных А = (Аі,...,Ап) Є Сп являются параметрами. Пусть есть разложение ростка /(ж, А) в ряд Тейлора по х в начале координат. Идеал I = /() = (/о,..., Л-,.. .)(), порожденный всеми коэффициентами {fk} в точке , называется идеалом Баутина ростка f в точке х = 0 при А = . Поскольку кольцо Оп() нётерово (см. [Н, стр. 29, 44]), всякая строго возрастающая последовательность идеалов в нем конечна. Это мотивирует следующее определение. Определение 2. Индексом Баутина ряда (5) называется минимальное d 0, для которого I = (fo,..., fd)(0 пРи этом fo, fd называются каноническими образующими идеала Баутина. С идеалами в кольце голоморфных функций на полидиске (в частности, с идеалами Баутина) связано важное понятие - константа роста. Эта величина зависит от выбранной системы образующих для идеала и ограничивает по модулю коэффициенты в разложении элементов идеала по заданным образующим. Дадим строгое определение ниже: Определение 3. Пусть {/0)..., /п} С 0(Ар()), и 1Р() = (/0,..., fn)P(0-Скажем, что С О является константой роста в разложении элементов идеала /р() по образующим /о,..., fn (или, кратко, константой роста для идеала 1Р() и образующих fo, fn), если для любой функции f Є Ір($.) существует разложение с коэффициентами щ Є 0(Др()); такое, что для любого і справедливо неравенство Пусть {/о, ...,/„} С О(АДО), Ш = (/о, /п)р(0 и (/ , 0 = {А Є ДД) /о(А) = ... = /п(А) = 0} — локус идеала /р() внутри полидиска ДД). Определим понятие подходящего полидиска для идеала 1р(). Положим J,(fl = {/ Є 0(ДДІ)) I V77 Є Е(Р, 0 выполнено / Є /(ту) = (/0j..., /,)(77)}. Очевидно, что ip() С Jp(). Выполняется ли в общем случае обратное включение, нам не известно. Поэтому мы вводим следующее определение: Определение 4. Полидиск ДД) назовем подходящим для идеала 1р(), если Jp(Q =1р(). Легко убедиться, что свойство полидиска быть подходящим не зависит от выбора образующих идеала. Введем еще несколько определений. Внутренним диаметром линейно связного компактного множества называется максимум из кратчайших длин кривых, соединяющих внутри этого множества всевозможные пары его точек. Через dist (V, W) мы обозначаем расстояние между двумя множествами УД С С в смысле следующего определения: Теорема об оценке числа нулей для возмущения аналитической функции. Следующая теорема является обобщением теоремы "о нулях и росте" из [IYal] (см. теорему 6 ниже): Теорема 4. Рассмотрим линейно связный компакт К С С; содерэюащий диск Аг(0) радиуса г 1, а также - односвязную окрестность U компакта К с кусочно-гладкой границей, - полирадиус R и функцию f(x, X), голоморфную в U х Дд() и ограниченную там по абсолютной величине константой М 0; - ряд Тейлора /(ж, А) = T,k ofk(X)xk в точке х = 0 при X Є Дд(), и соответствующий идеал Баутина I — /() индекса d. Существует полидиск Др() С Дд() такой, что для любого А Є Др(); число N(X) изолированных нулей функции /(-,А) на компакте К оценивается сверху константой, зависящей только от первых тейлоровских коэффициентов /о,..., fa ряда (5), от величины М и от геометрии мноэюеств К и U. Более точно, пусть D — внутренний диаметр компакта К, є = dist (К, dU) и С(р, ) — константа роста для идеала 1Р(0 = (/о, , fd)P(), тогда Кроме того, оценка (7) выполняется для любого полидиска Др() С Дя(), который является подходящим для идеала 1Р{,), с соответствующей ему константой роста С(р, ). Замечание. Отметим, что существование константы роста нами не утвероісдается ни для произвольного полидиска, ни даже для любого подходящего полидиска. Ниже мы сформулируем теорему Эрве, которая гарантирует существование подходящего полидиска и существование константы роста при определенном выборе подходящего полидиска. В этой связи заметим, что оценка из теоремы 4 справедлива при условии, что полидиск Ар(,) подходящий, и константа роста для 1р()существует.
Доказательство основной теоремы 2 по модулю вспомогательных утверждений
В этой главе мы докажем теоремы, сформулированные во введении. Основной из них является теорема 2 об оценке числа -хороших предельных циклов у квадратичных векторных полей при возмущении особой точки типа центр. При ее доказательстве ключевым инструментом служит теорема о числе изолированных нулей у возмущения аналитической функции, которая была доказана в главе 1. Она применяется к невязке отображения Пуанкаре. Наиболее трудоемкой частью является вычисление константы роста для идеала Баутина невязки отображения Пуанкаре у квадратичного векторного поля. Этому вычислению посвящен 2.6. По модулю этого вычисления, а также еще нескольких других вспомогательных утверждений, доказательство теоремы 2 является идейно прозрачным. Оно приведено в 2.4. В 2.7 мы остановимся на теореме Ильяшенко-Ллибре, где приведем ее оригинальную формулировку. Затем в 2.8 мы "переведем" теорему Ильяшенко-Ллибре на язык нормальной формы Каптейна. Тем самым, будет доказана теорема 1. Как следствие теорем 1 и 2 мы получим теорему 3, доказательству которой посвящен конец этой главы.
Рассмотрим квадратичное векторное поле на вещественной плоскости, заданное системой дифференциальных уравнений где Р(х, у) и Q(x, у) — многочлены второй степени от (х, у) Є М2. Во введении было отмечено, что при наличии особой точки типа фокус или центр, система (9) приводится к нормальной форме Каптейна (2д), а именно
Здесь Аі Є Ж, А = (А2,--.,А6) Є S5 (т.е. А = 1), а А = (АЬА) обозначает набор параметров, входящих в коэффициенты системы (2д). Множество всех таких наборов Л = R х S5 мы будем называть пространством коэффициентов нормальной формы Каптейна. Далее, говоря о векторном поле (2д), мы будем иметь ввиду векторное поле, заданное этой системой уравнений. Напомним, что -хорошие предельные циклы для квадратичного векторного поля в нормальной форме Каптейна были также определены во введении. Параметры, характеризующие векторное поле. В ЭТОЙ работе важную роль будут играть параметры т(А) и к(Х), физический смысл которых был описан во введении. Эти параметры определяются в терминах расстояния от набора коэффициентов Л векторного поля (2д) до некоторых специальных подмножеств Ей 5в пространстве коэффициентов Л. Далее мы дадим необходимые определения.
Центры, локус и векторные поля, близкие к центрам. Найдем те значения А Є Л, при которых векторное поле (2\) имеет особую точку типа центр в начале координат. По теореме Дюлака [Dul], условия центра для квадратичного векторного поля в нормальной форме Каптейна задаются уравнениями где fi - многочлены от А, заданные формулами
Определение 5. Идеал, порожденный многочленами /і(A),..., /4(A) в кольце многочленов от X, называется идеалом Дюлака для систем (2\) в нормальной форме Каптейна, а /і(А),... ,/4(А) называются образующими Дюлака.
Замечание. Мы задали идеал Дюлака для системы (2\), узазав его образующие. Формально, идеал Дюлака для эллиптического семейства векторных полей определяется как идеал (в кольце голоморфных функций), порожденный коэффициентами ряда для фактор-поля (некоторой полуформальной одномерной проекции исходного семейства, см. [IYa2, 12FJ), а его образующие легко находятся методом неопределенных коэффициентов из определения. В случае семейства (2д) эти образующие имеют вид (11). Ниже мы определим такэ/се идеал Баутина для невязки отображения Пуанкаре вдоль векторного поля (2\), однако найти канонические образующие этого идеала представляется непомерно громоздкой вычислительной задачей. Совпадение идеалов Баутина и Дюлака в данном контексте (см. [IYa2, теорема 12.32]) является одним из ключевых сообра-оісений, которое мы используем при нахоснсдении константы роста для идеала Баутина в канонических образующих.
Уравнения (10) задают подмножество Е С Л, которое называется локу-сом идеала Дюлака. Заметим, что локус Е является компактным, поскольку Л неограничено лишь по переменной Лі, а на Е выполнено тождество Аі = 0.
Определение 6. Пусть а 0. Векторное поле (2\) называется а-близким к центрам, если сг(А) := dist (А, Е) а. В противном случае, оно называется а-далеким от центров. Расстояние берется в смысле евклидовой метрики в Ж6.
Сингулярное множество Е и векторные поля, далекие от сингулярных. Векторное поле (2д) общего положения имеет изолированные особые точки. Однако в вырожденном (сингулярном) случае оно может иметь прямую особых точек. Обозначим через 3 множество параметров А Є Л, соответствующих этому случаю. Хотя у сингулярных квадратичных векторных полей предельных циклов нет, но для Л, близких к S, появляются дополнительные трудности при оценке числа предельных циклов. Поэтому важную роль играет расстояние от Л от множества Н. Нам будет удобно вместо евклидова расстояния определить "удаленность Л от множества 5" следующим специальным образом.
Константа роста для идеала Баутина /р() в канонических образующих
Внутри области, ограниченной циклом L, нет других особых точек векторного поля (2д), кроме начала координат. По теореме Пуанкаре-Бендиксона, -предельное множество любой точки х из К — это либо начало координат (то есть, фокус), либо предельный цикл, обходящий начало координат. В обоих случаях траектория точки х бесконечно много раз пересекает ось Ох. Значит, существует и точка первого пересечения этой траектории с осью Ох, и тем самым, отображение Р {х) определено на всем отрезке К. Сформулируем две основные леммы, позволяющие применить теорему 7 к оценке числа нулей функции D (x) на отрезке К. Лемма 2. Функция D x(x) аналитически продолоісается в U(K) х АШ(Х) и не превосходит там по абсолютной величине 2/5. Лемма 3. Пусть ( Є S и 0 І? 10 7. Найдется полирадиус р = (pi,..., ре) такой, что и при этом выполняются следующие свойства: 1) полидиск Др() является подходящим для идеала 1р(), 2) константа роста для идеала 1Р() и его канонических образующих не превосходит 1056/R7. Мы докажем лемму 2 в 2.5, а лемму 3 в 2.6. Теперь мы располагаем всеми необходимыми утверждениями и оценками, чтобы завершить доказательство теоремы 2. По условию, мы имеем и по лемме 2, отображение -DA аналитически продолжается в U{K) х ДД)-Аналогично неравенству (20) доказывается, что Итак, мы нашли оценку для числа изолированных нулей функции D\(x) на отрезке К при Л Є ДД)- Для А = А Є ДД) по определению отрезка К мы оценили число (5-хороших предельных циклов векторного ПОЛЯ (2д). Полученная оценка имеет вид (4). Теорема 2 доказана по модулю лемм 2 иЗ. 2.5 Доказательство леммы 2 Для доказательства леммы 2 нам понадобится несколько вспомогательных утверждений. Предложение 1. Если X Е А и векторное поле (2\) имеет 5-хорошие предельные циклы, то \Х\\ 10/5. Доказательство. При А Є Л и г ф 1 выполняются неравенства Аг 1. Отсюда и из (14) следует, что /д 10. Если Аі 10/, то в силу уравнений (13д), при г 1/5 имеем \г\ 0. Значит, внутри круга радиуса 1/5 нет предельных циклов. Поэтому нет и d-хороших предельных циклов. Доказательство завершено. Рассмотрим набор коэффициентов Л и отрезок К, выбранные в 2.4. Второе вспомогательное утверждение оценивает снизу "зазор" между 5-хорошими предельными циклами векторного поля (2д) и его изоклиной Г = {в = 0}. При оценке этого зазора основную роль играет к-отделенность векторного поля (2д) от сингулярных. Из (6 ) следует, что изоклина Г задается уравнением где (3 задано формулой (17). Заметим, что рд(0) 10 в силу (14), и поэтому при д\{@) 0 справедливо неравенство откуда следует, что Up — действительно область. Справедливо следующее утверждение: Предложение 2. Все 5-хорошие предельные циклы векторного поля (2Х) лежат внутри области Up. В 2.9 будет сформулировано аналогичное утверждение, доказанное в [IL]. Там же из этого утверждения мы легко докажем предложение 2.
Перейдем к доказательству леммы 2. Функция Dx(x) определена при х Є К по лемме 1. Для того, чтобы получить аналитическое продолжение функции D (x) по а; и по А мы рассмотрим систему (13д) в полярных координатах и соответствующее ей неавтономное уравнение, получающееся исключением времени. Если затем заменить полярный радиус на комплексную переменную z, а 9 Є [0,27г] по-прежнему считать вещественным, то уравнение примет вид
Для краткости, обозначим правую часть этого уравнения через F\(z,9). Теперь мы будем считать, что компоненты вектор-параметра Л могут принимать комплексные значения. Пусть z(X,9,x) — решение уравнения (21) с начальным условием z(\, 0, х) — х Є С. По теореме об аналитической зависимости решения от начальных условий и параметров, функция Р\(х) = z(A, 27Г, ж), там, где она определена, является аналитическим продолжением отображения Пуанкаре по и по А. Пусть D — область в Ш+ х S1, ограниченная самым внешним J-хорошим предельным циклом L векторного поля (2д), который проходит через правый конец отрезка К: Из предложения 2 следует, что D С Цд. Рассмотрим -окрестность D области D в CxS1 (при каждом 9 берется -окрестность отрезка [0, z(\, 9, а(Х))] в С). Мы покажем, что для Л Є AW(A) и х є U(K) решение z(X,9,x) уравнения (21) определено при 9 Є [0,27г] и содержится в D . Отсюда по теореме об аналитической зависимости решения от начальных условий и параметров будет следовать, что функция Р\(х) = z(A, 2-7Г, х) аналитична по х и по А в U(K) х AW(A). Кроме того, поскольку при х Є U(K) имеем Р\{х) Є Up5/2b(K) а длина отрезка К не превосходит 1/J, то при грубой оценке получим
Чтобы показать, что для для Л Є Ац,(Л) и ж Є Ue{K) решение z(\, 9, х) лежит в D , мы сравним его с решением z(\,9,xo), где хо — произвольная точка отрезка К на расстоянии не большем чем є от х. Мы убедимся, что эти два решения Ц-близки при всех 9 Є [0,2п]. Для оценки разности между двумя решениями близких дифференциальных уравнений с близкими начальными условиями воспользуемся неравенством Гронуолла. Сформулируем его для нашего случая.
Связь параметров 5, а и к в разных нормальных формах
Ниже мы докажем (см. лемму 7), что отмеченный полидиск является подходящим для идеала Баутина. Приведем еще одно важное следствие из леммы 4, которое будет использоваться при доказательстве леммы 7.
Следствие 6. Пусть h Є Єї — один из неприводимых сомножителей многочленов fi. Если локус Г/г пересекается с отмеченным полидиском Др() с центром Є Е, то 1\ имеет непустое пересечение с локусом Е внутри этого полидиска. Доказательство. Если h Є {Лі, Аг, А4,А5,Рб} и Г/,П ДДО Ф 0 то из утверждения 2) ЛеММЫ 4 И формул (11), (12) ДЛЯ fi Следует, ЧТО 7Г/г() Є ЕПГЛПДР«). Если ГР4 П Др(0 ф 0 и & Ф 0, то тгР4() Є Е П ГР4 П ДД). Если ТР4 Г) Ар() ф 0 и 4 = 0, то из утверждения 4) леммы 4 следует, что ГРб П ДД) 7 0- Из утверждения 2) леммы 4 и формул (11), (12) для /г-теперь следует, что 7ГР4 о 7ГР6() Є Е П ГР4 П ДД ) Если ГР2 П ДД) ф 0 и либо 2 7 0) либо 2 = 0 и при этом Рб() = 0» то можно изменить координату & точки так, чтобы новая точка осталась внутри Др() и попала на ГР2. Это следует из утверждения 3) леммы 4. Далее, из выражений для fi в каждом из двух рассматриваемых случаев легко проверить, что полученная точка принадлежит Е. Осталось рассмотреть случай, когда ТР2 Г) ДД) ф 0, и при этом 2 = О а Рб(0 Ф 0. В этом случае поскольку /i() = Л() = 0, имеем i = 5 = 0. Изменением координат з и е точки можно добиться того, чтобы новая точка осталась внутри ДД) и при этом в ней q обратилось в нуль. Это следует из утверждения 5) леммы 4. Поскольку 2 = 0, то в этой точке Рч = 0. Из выражений для fi теперь легко проверить, что полученная точка принадлежит ГР2 П Е. Следствие доказано. Константа роста для идеала Баутина /Д) в образующих Дюлака Рассмотрим образующие Дюлака /i(A),..., /4(A), заданные формулами (11), (12). В этом параграфе мы докажем следующую лемму. Лемма 5. Пусть Є Е; 0 R 10 7 и Др() — отмеченный R-полидиск. Тогда если f Є 0(Д/Э()) и росток функции f на локусе Е принадлеоісит идеалу /(E), то найдутся функции 2і,...,а4 Є 0(Ар())} для которых выполняется соотношение f = aifi + а2/2 + аз 3 + а4 4 (29) Для доказательства этой леммы нам потребуется несколько вспомогательных утверждений из теории функций многих комплексных переменных. Предложение 3. Пусть U — область в С71, функции fug голоморфны eU,T — \t U\ g(t) = 0} — множество пулей функции д в U, а V = {t Є Г grad д = 0} — подмножество Г, где все частные производные g обращаются в нуль. Полооюим S = Г — Г С U. Допустим, что S связно и S D Г. Тогда, если в некоторой подобласти V С U, такой что V ПГ 0; выполнено /rnv — 0; то /г = 0. Доказательство. По теореме о неявной функции S является аналитиче ским многообразием. На этом многообразии голоморфная функция / тож дественно обращается в нуль на открытом множестве S П V. Так как S связно, то по теореме единственности имеем /s = 0. Поскольку S D Г, то /г = 0 по непрерывности. Предложение 4. Пусть U — область в Сп, функции g,f Є 0{U), Г = {t Є U\g(t) = 0} и росток функции g неприводим в любой точке множества U. Тогда если /г = 0, то f делится на g в U, иначе говоря, существует такая функция h Є 0{U), что f = gh. Доказательство см. в [Н, стр. 41, теорема 6]. Из предложений 3 и 4 легко следует Предложение 5. Пусть U — область в Сп; функции fug голоморфны в U. Пусть Г, Г , S определены как в предложении 3, множество S связно, и S D Г. Тогда, если в некоторой подобласти V С U, такой что V Г) Г 0, выполнено /rnv = 0; о росток функции g неприводим в любой точке множества U, то f делится на g в U. В начале 2.6 мы определили неприводимые локусы Г\ и проекции 7Г/г : С6 — Г/j для всех h Є 1, кроме Р2- В дальнейшем нам будет удобно использовать также следующие обозначения: Следующее предложение является основным инструментом при доказательстве леммы 5. Оно позволит нам найти коэффициенты щ в разложении (29).
