Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Построение системы точечных масс, представляющих гравитационное поле планеты
I. Вводная часть II
2. Осесимметричная планета , 33
3. Модель с вещественными параметрами
4. Построение модели без выскакивающих точек . . 27
5. Модель, аппроксимирующая незональную часть потенциала планеты ............. 32
Глава 2. Уточнение лараметров многоточечной модели по изменениям элементов орбит спутников . . 37
I. Предварительные замечания 37
2. Условные уравнения 38
3. Условные уравнения в случае модели с вещественными параметрами . 43
4. Условные уравнения для моделей с комплексны ми параметрами 54
5. Уточнение параметров многоточечной модели с учетом амплитуд долгопериодических возмущений . . . 65
Глава 3. Уточнение параметров пространственных точечных масс по лазерным наблюдениям спутников 71
I. Уточнение модели с вещественными параметрами . 71
2. Уточнение модели с комплексными параметрами 82
Глава 4« Численное исследование 91
I. Исходные данные 91
2. Уточнение параметров осевых моделей в линейном случае 97
3. Уточнение в нелинейном случае 116
4. Апостериорная оценка точности ...... 120
Заключение 123
Литература 126
Приложение А. Таблицы . 132
Приложение В. Программы 140
- Осесимметричная планета
- Предварительные замечания
- Уточнение модели с вещественными параметрами .
- Уточнение параметров осевых моделей в линейном случае
Осесимметричная планета
Пространственный случай построения многоточечных моделей труднее для исследования, В частности, в математической литературе нет готового, подходящего для этой задачи, решения многомерной проблемы моментов.
Пространственная точечная масса (вне оси вращения) может учитывать эффекты, вносимые как от слагаемого V2 , так и от V 2 Из практических соображений удобнее иметь модель, обладающую свойством разделения возмущающих сил, когда потенциал точечных масс также разбивается на аналогичную сумму (ЯЛ) [ 29 ]. Располагая одну точку в начале координат и часть точек на оси вращения планеты, учтем в потенциале (1.1) слагаемое V и зональную часть V? Для аппроксимации члена V3 рассмотрим М точечных масс, расположенных вне оси. Выведем по аналогии с [24] уравнения для определения параметров пространственных точечных масс.
Для совместности системы надо иметь такое же число параметров. При определении всей совокупности параметров m]c rk fk к к=1,...,М требуется решать сложные нелинейные уравнения, что является трудноразрешимой задачей. Как показано в [31], даже при соответствии числа уравнений и неизвестных задача некорректна уже при Nt=L 2; одному набору стоксовых постоянных соответствует несколько решений. Система (1.31) линейна относительно жЛ, к = 1,..., М. Введем некоторый произвол в выбор положений точечных масс, добавив нвобходише число точек. Будем считать, что система состоит из M N +Nf+L точечных масс. Задавая значения положений пространственных точек т , к,Як из области (1.29), однозначно определим параметры лгА,Л=Г,...,.М, Построенная система точечных масс будет полностью учитывать слагаемые в V3 до порядка Щ . Вклад в зональную часть V2 начинается с коэффициента IJT Итак, имеем следующий алгоритм: Алгоритм б (подпрограмма MASSJ0
1. Задаются числа Щ9 L и координаты M=Nf+Nj +L точек из области (1.29).
2. Составляется линейная система по формулам (1.31), решение которой дает значения пространственных точечных масс.
Предварительные замечания
За уточняемую модель возьмем систему точечных масс, расположенных на оси вращения планеты. Как было показано в первой главе, такими моделями можно полностью аппроксимировать зональную часть гравитационного потенциала планеты и тем самым учесть вековые изменения в элементах орбит спутников [33] . Поэтому в качестве измерительной информации для уточнения параметров осевой модели можно взять ряд наблюдений вековых изменений элементов орбит нескольких спутников. Например, удобно взять вековой ход восходящего узла SI и углового расстояния перицентра о , так как эти элементы имеют вековые изменения, обусловленные ано-малшш. авиационного поля длаяетк. Значення SI и Ь вело-средственно не наблюдаются Они получаются путем сложной обработки наблюдаемых величин В такую обработку данных применительно к Земле входят исключение периодических возмущений,обусловленных Луной, Солнцем, давлением солнечной радиации и исключение коротко периодических возмущений, вызванных сжатием Земли [ 34 J . Необходимо также учесть влияние атмосферы, если используется невысокий спутник После исправления наблюденных величин за перечисленные возмущения методом наименьших квадратов определяются нужные вековые изменения Я, и со Хотя они получены в результате некоторой обработки действительно наблюденных величин, мы по-прежнему будем называть их наблюденными Для более эффективной этой обработки на эксцентриситеты и наклоны орбит спутников накладываются условия: они не должны быть малыми
Иначе это ведет к неопределенности точек перицентров и узлов, что затрудняет определение возмущений 2 и d . В силу несовершенства моделей атмосферы необходимо использовать наблюдения достаточно высоких (для Земли с высотой h 1000 км) спутников таких, чтобы атмосферное сопротивление не оказывало чрезмерного воздействия. Но спутники не должны быть слишком высокими, чтобы их движение подвергалось достаточным возмущениям, вызванным вариациями гравитационного поля планеты.
Значение центральной массы (рассматриваются кеплеровы модели) уточнять не надо, так как она не приводит к изменению узлов и перицентров,
Уточнение модели с вещественными параметрами .
Исследуем задачу уточнения параметров гравитационного поля планеты по лазерным наблюдениям наклонной дальности спутника и скорости ее изменения. В качестве уточняемой модели, аппроксимирующей гравитационное поле, возьмем систему точечных масс с потенциалом (1,32) в тех же обозначениях. Напомним допущения об этом потенциале, В центре масс помещена точка, создающая основное притяжение и совпадающая по значению с массой планеты Мп Ей отвечает потенциал Ux. На оси вращения планеты расположены точечные массы, отвечающие за большую часть вековых и долго пер и одических возмущений в движении спутника (потенциал U2 )т Выбор значений масс и координат moi, zoi, і = 1,..., N осевых точек производится по алгоритмам 1-5« Возможны комплексно сопряженные значения параметров. Число точек с комплексными параметрами должно быть всегда четным, чтобы значение потенциала U2 оставалось вещественным. Внутри планеты вне оси расположена другая часть точек с координатами %І, УІ І И значениями масс т , і = /,...,М. Начальные значения параметров этих точек могут находиться по алгоритмам 6, 6а. Для устранения особенности потенциала U3 с вещественными параметрами в задачах о движении внешних тел достаточно, чтобы точечные массы находились внутри планеты.
Будем предполагать, что координаты станций слежения и вектора начальных данных спутников определены с большей точностью, чем уточняемые параметры гравитационного поля планеты. Введем прямоугольную систему координат с началом в центре масс .жестко связанную с планетой. Ось Z совпадает с осью вращения, а ось X проходит через некоторый фиксированный меридиан ( в применении к Земле обычно берут гринвичский меридиан). Выведем условные уравнения для определения поправок к уточняемым параметрам. За измеряемые величины возьмем наклонную дальность о и скорость ее изменения о . Составим разности между наблюденными и вычисленными величинами где о - означает наблюденные, а е - вычисленные величины, N2 - число станций, N3- число наблюдаемых спутников. Благодаря существованию случайных ошибок, разности (3.1) отличны от нуля. Величины рЯ , оц находятся по принятой модели потенциала численным способом. Интегрированием дифференциальных уравнений движения спутника определяются координаты х, у, z и скорости х,у, z на моменты времен соответствующих наблюдений. На те же моменты определяются прямоугольные координаты станций по формулам
Уточнение параметров осевых моделей в линейном случае
Для первых четырех моделей получились сильные корреляционные зависимости. Это говорит о том, что в пространстве уточняемых параметров найденные значения тл будут с большой вероятностью находиться в окрестности некоторой : гшерплоскости. Аналогичная трудность возникает и при определении зональных коэффициентов [50] , что следует из неполноты охвата пространства измерениями. В нашем случае дальнейшее увеличение корреляции происходит из-за явной неортого-яальности системы основных функций [ 51 ] . Наконец, сильным корреляционным зависимостям благоприятствует относительная близость точечных масс в некоторых моделях, тем более, если координаты этих масс вещественны (см.таблицу 3 для третьей модели). Отметим, что числа обусловленности матриц нормальных уравнений получились большими (порядка Ю8-10и). При уточнении параметров третьей и пятой моделей числа обусловленности превзошли поря-док 10хх и поэтому пришлось уменьшить число уточняемых параметров (в приведенных выше таблицах под неуточняемыми параметрами нет средних квадратичных отклонений) Как следствие имеем Ф3 Ф3, Ф5 Ф\ , хотя должны были получиться противоположные неравенства (минимум по большему множеству лишь меньше). Малые изменения правой части или в коэффициентах матрицы нормальных уравнений могут привести к значительному изменению решения (коэффициент усиления пропорционален числу обусловленности; см. неравенство (2.27)). В нашем случае задание большой границы BPS3 для числа обусловленности приводило к нежелательным результатам. Так, при уточнении третьей модели с двумя ограяиче-яиями и EPS3 = 10А значения масс т2,т3,т4 приняли значения порядка ТО , функционал имел значение 0.00478, что несколько меньше значения Ф3 . При уточнении пятой модели (комплексной) с одним ограничением IQ=0 и EPS3 е Ю15 для параметра тг средняя квадратичная ошибка имела значение большее, чем сама определяемая величина:
Кроме того, плохая обусловленность приводит к тому, что в пределах машинной точности положительно определенная матрица перестает быть таковою. Это ведет к появлению отрицательных по значению дисперсий, а, следовательно, к ошибкам типа "корень из отрицательного числа".
Из приведенных примеров видно, как из-за малого числа наблюдений происходит изменение коэффициентов IQ , Ij Наша задача заключалась в уменьшении функционала Ф , что и происходило в конкретных ситуациях. Поэтому получались модели, описывающие достаточно хорошо те спутники, по которым производилось уточнение, В случае большего числа наблюдений и равномерного распределения орбит в пространстве коэффициенты l0, lt. будут оставаться относительно стабильными. Значение Iz , вычисленное по уточненной модели и играющее основную роль в вековых изменениях элементов, лучше согласовывалось с І в комплексном случае и в вещественном для второй и третьей моделей. Несмотря на расхождения с зональными коэффициентами I , значение функционала (2.17) во всех случаях уменьшилось и наименьшего значения достигло в комплексном случае. Полученные системы точечных масс относятся к классу" моделей, называемых согласованными с наблюдениями. Такие модели хорошо обслуживают определенный класс спутников. Для получения более универсальных моделей необходимо привлекать большее число измерений.
