Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задачи и основные уравнения 25
1.1 Об инвариантных решениях с линейным полем скоростей 25
1.2 Общая постановка задачи, уравнения совместности: угловая скорость и вспомогательная матрица 28
1.3 Решения УГД с линейным полем скоростей в эйлеровых и лагранжевых переменных и их связь 31
1.4 Подмодель с плотностью, зависящей только от времени 32
2 Подмодели с нулевой угловой скоростью 35
2.1 Дифференциальные уравнения подмодели и классифицирующее соотношение 35
2.2 Классификация уравнений состояния. Три подмодели 37
2.3 Уравнения подмоделей в лагранжевых переменных 44
3 Подмодели с нулевой вспомогательной матрицей 49
3.1 Дифференциальные уравнения подмоделей. Общий вид функции плотности 49
3.2 Нахождение уравнений состояния. Две подмодели 51
3.3 Новые интегралы 57
4 Вырожденная вспомогательная матрица и ненулевая угловая скорость 62
4.1 Уравнение для определения плотности инвариантно относительно растяжения. Уравнение для угловой скорости 63
4.2 Уравнение для вспомогательной матрицы и уравнение состояния 66
4.3 Уравнение для определения плотности инвариантно относительно переноса 73
4.4 Уравнения подмодели с плотностью экспоненциального типа 74
4.5 Уравнения подмодели с плотностью дробного типа 77
4.6 Уравнения подмодели с плотностью дробно-линейного типа
Примеры поведения частиц газа для некоторых подмоделей 83
5.1 Разлет частиц газа из точечного источника 83
5.2 Схлопывание шара в иголку или диск 87
5.3 Выпрямляющийся разлет газа из вихря 92
Заключение 112
Литература 118
- Решения УГД с линейным полем скоростей в эйлеровых и лагранжевых переменных и их связь
- Классификация уравнений состояния. Три подмодели
- Нахождение уравнений состояния. Две подмодели
- Уравнения подмодели с плотностью экспоненциального типа
Введение к работе
Актуальность темы. Многие явления окружающего нас мира можно описать математической моделью, состоящей из набора дифференциальных уравнений. Математическая модель движения сжимаемой жидкости - уравнения газовой динамики. Настоящая диссертационная работа посвящена нахождению решений уравнений газовой динамики в виде линейного поля скоростей. Объектами исследования газовой динамики являются газ, при обычных условиях, жидкие тела и твердые тела, находящиеся под воздействием больших температур и давлений. Поэтому решение в виде линейного поля скоростей является фундаментальным решением для любых уравнений механики сплошной среды: при этом постоянная вязкость и постоянная теплопроводность не влияют на такие движения.
Движения сплошной среды с линейным полем скоростей изучали G.L. Diri-chlet и Б. Риман. Они рассматривали движения несжимаемой жидкости, движущейся в силовом поле. Л.В. Овсянниковым впервые было показано, что для политропного газа система уравнений газодинамики сводится к системе девяти обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (модель Овсянникова). Найдено несколько интегралов такой системы. Развитие математической теории этих уравнений получил J.F. Dyson при изучении динамики вращающегося газового облака. Им были найдены другие интегралы системы и выяснено за какие физические законы сохранения они отвечают. О.И. Богоявленским, И.В. Немчиновым были изучены поведение и общие свойства газовых эллипсоидов с линейным полем скоростей. ОН. Анисимовым, Ю.И. Лысиковым, Н.А. Иногамовым найдены некоторые частные решения модели Овсянникова. О.В. Лаврентьевой, В.В. Пухначевым была рассмотрена математическая модель движения несжимаемого жидкого эллипсоида, в котором скорости частиц жидкости являются линейными функциями координат.
В настоящей работе, в отличии от перечисленных, разыскивались решения уравнений газовой динамики с линейным полем скоростей в эйлеровых переменных с произвольным уравнением состояния. Уравнения состояния, выражения для функций плотности и давления, обыкновенные дифференциальные уравнения для функций, зависящих только от времени, назовем подмоделью с линейным полем скоростей. Как будет показано, задачи о нахождении решения в эйлеровом и лагранжевом представлениях эквивалентны, но при решении задачи в эйлеровых переменных намечается полная классификация подмоделей по рангу не постоянной вспомогательной матрицы и по видам уравнений состояния.
Целью работы является классификация и нахождение всех уравнений состояния, для которых уравнения газовой динамики имеют решение в виде ли-
нейного поля скоростей. При этом требуется определить выражения для функций плотности и давления, вывести обыкновенные дифференциальные уравнения для функций, зависящих только от времени, то есть построить подмодель. Найти интегралы, полученных подмоделей. Графически представить и физически интерпретировать новые виды движений, полученные как частное аналитическое решение полученных подмоделей.
Методы исследования. Для реализация поставленной задачи использованы методы группового анализа, теории дифференциальных уравнений, теории матриц, обобщенный метод разделения переменных. Для визуализации полученных результатов, использовались пакеты прикладных программ.
Научная новизна.
Развит метод разделения переменных, с помощью которого проведена полная классификация подмоделей движения газа с линейным полем скоростей.
Найдены все уравнения состояния, для которых уравнения газовой динамики имеют решения в виде линейного поля скоростей.
Рассмотрены примеры движения газа с линейным полем скоростей: разлет частиц газа из точечного источника, схлопывание шара в иголку или диск, выпрямляющийся разлет газа из вихря.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Найдены все подмодели движения газа с линейным полем скоростей, на которые не оказывают влияния вязкость и теплопроводность. Полученные результаты могут служить основой для дальнейшего исследования. Например, нахождение новых точных решений перечисленных подмоделей и их физическое толкование. Развитие метода разделения переменных позволит, в дальнейшем, решать сложные переопределенные функционально-дифференциальные уравнения. Полученные точные решения можно использовать в тестовых задач для численных методов, а также для конструирования новых численных методов. Они так же могут быть положены в основу конструирования аппаратов с заданными характеристиками движения газа.
В работе проведена визуализация следующих процессов: вытягивание выделенного сферического объема в иглу или диск; выпрямляющийся разлет частиц газа из вихря; радиальный разлет частиц газа из точечного источника с вакуумной границей и радиальный разлет частиц газа с дальнейшей фокусировкой в точке.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:
37, 38, 39, 40-ая региональные молодежные конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2006-2009 гг.);
IV, V Всероссийские конференции "Актуальные проблемы прикладной ма-
тематики и механики", посвященные памяти академика А.Ф.Сидорова (Абрау - Дюрсо, 2008, 2010 гг.);
Международная конференция "MOGRAN-13. Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений" (Уфа, 2009 г.);
Международные конференции "Нелинейные уравнения и комплексный ана-лиз"(Банное, 2009, 2010 гг.);
Всероссийская конференция "Нелинейные волны: теория и новые приложения" (Новосибирск, 2011 г.);
Семинар по дифференциальным уравнениям БашГУ, 2011 г.;
Семинар Института механики УНЦ РАН, 2011 г.
VI Уфимская международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения, посвященная 70-летию чл.-корр. РАН В.В. Напалкова" (Уфа, 2011 г.);
Семинар по дифференциальным уравнениям математической физики Учреждения РАН Института математики с ВЦ УНЦ РАН, 2011 г.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 статей [1]-[8], (в том числе, 2 - в журналах из списка ВАК [7], [8]).
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 118 страниц, в том числе 9 рисунков и 1 таблица. Список литературы состоит из 50 наименований.
Решения УГД с линейным полем скоростей в эйлеровых и лагранжевых переменных и их связь
Уравнения газовой динамики (УГД) имеют вид Du + — = 0, Dp + pdivu = 0, Dp + pa2(p,p)divu = 0, (1.1.1) где u{t,x) — (u,v,w) - вектор скорости частицы, зависящий от времени t и эйлеровых декартовых переменных х — (х, y,z), р (t, х) - плотность, р (t, х) - давление, D = dt+u-V - оператор полного дифференцирования по времени, V = (дх,ду,д2), да = д/да. Скорость звука а(р,р) вычисляется по уравнению состояния р = f (/?, S) (S - энтропия) по формуле а2 = /р (p,S). Последнее уравнение для давления из УГД можно заменить на уравнение для энтропии DS = 0. Уравнения (1.1.1) представляют собой модель невязкого нетеплопроводного газа, который движется в отсутствии внешних источников энергии и силовых полей.
УГД допускают 11-ти параметрическую группу Ли, порожденную преобразованиями (со штрихом обозначены преобразованные переменные) [33] 1. t = t + to, х = х + XQ (переносы по переменным t я х); 2. х = х + Hot, v! = и + щ (галилеевы переносы в направлении осей 3. x = Ox, v! = Ой, ООт = E, det О = 1 (вращения); 4. t = at, x = ax (равномерное растяжение пространства независимых переменных);
Любое вращение вокруг некоторой оси на некоторый угол представляется суперпозицией вращений вокруг осей х, у и z. Суперпозиции преобразований 1-4 допускаются системой (1.1.1), поэтому они образуют группу. Группе соответствует алгебра Ли с базисом из операторов, записанных в декартовой системе координат [39] Xi = дх, Хч = ду, Хз = dz, Х4 = tdx + ди, Х = tdy + dv, Х6 = tdz + dw, Х7 = ydz - zdy + vdw - wdv, X8 = zdx - xdz + wdu - udw, X9 — xdy - ydx + udv - vdu, Xw = dt, Xn = tdt + хдх + уду + zdz. Далее будем рассматривать четырехмерные подалгебры из оптимальной системы [39]. Для нахождения групповых решений необходимо вычислить инварианты подалгебр. Всего 48 подалгебр. Представление решения получается приравниванием инвариантов к постоянным [43], [46] - [49].
Рассмотрим подалгебры с инвариантными решениями ранга ноль. А именно, подалгебры с номерами 4.14, 4.26- 4.28, 4.30 (а ф 0, Ъ ф 0; а ф 0,6 = 0), 4.3ІЧ-4.35, 4.36 (а ф 0), 4.37, 4.39, 4.40, 4.43. Обозначения по столбцам: № - номер подалгебры, с.к. - система координат, D - декартовая система координат. Таблица 1.1: Таблица инвариантов № Базис с.к. Инварианты:р, р Представления инвариантного решения 4.14 2,3,10,11 D u,v,w и = UQ, v — Vo, W = Wo 4.26 4,5,6,11 D й — xt l U = Xt l + UQ 4.27 1,а4 + 5,6, 64 + 11, а 0 D Ъ ф 0, {аЪ) хи - Ы ху - a 1 In t v — yt l,w — zt l u = ab(y(bt)-l + a,-1\n\t\), v = vo + yt-1, W = WQ + zt l Продолжение на следующей странице № Базис с.к. Инварианты:/!?, р Представления инвариантного решения Ъ = 0,ua_1 — yt l,v — yt_1, w — zt x и = щ + ayt-1,v = VQ + yt-1,w = WQ + zt l 4.28 1,5,6, о4 + 11 D а ф Q,ua x — \n\t\ v — yt l,w — zt la — 0,u,v — yt l,w — zt l u = UQ + aln\t\,v = vo + yt_1, w = wo + zt 1u = u0,v = vo + yt 1, W = Wo + zt l 4.30 2,3,а4 + 6, 64 + с5 + 11 с О D a 0,6 0,и — xi_1,wc_1 - In tb lw - x(tab)-1 + a 1 In \t\а ф 0,6 = 0,и — xt-1, vc"1 — In \t\ ,w — x(at 1) и = UQ + xt l,v = vo + cln, w — wo + x(at) l + a_161n \t\и = xt-1 +UQ,V = c\n\t\ + vo, w = x(at) l + WQ 4.31 2,3,4, а5 + 11, а О D и — xt l, va l — In t, w и = xt-1 + Uov = aln\t\ + vo,w = wo 4.32 2,3,4,11 D и — xt-1,v,w и = xt 1 + UoV = Vo,W = WQ 4.33 1,2,3, а4 + 11 D ua l — h\\t\,v,w и = uo + aln\t\,v = vo,W = WQ 4.34 1,2,3,11 D u,v,w U = UQ, V = Vo, w = wo 4.35 2,3,а1 + 5 4 + 66 + 10 D a O,b Q,u,vb l - t - (ab)-1 (x - ) ,wа ф 0,6 = 0,u — t, v + a_1 (x - j,w и = Uo + t,v = vo + bt + a-1 (x - \t2),W = WQu = t + uo,v = vo + a-1 (x — \t2),w = WQ 4.36 2,3,а1 + 5, 6 + 10 D а ф 0, и — xa l,v, w — t и = xo"1 + Uo,V = Vo,W — t + Wo 4.37 2,3,1+5,10 D u,v — x,w U = UQ,V = X + Vo,w = wo 4.39 1,2,3,4+10 D и — t,v,w и = t + Щ, V = vo, W = Wo 4.43 1,4,5,6 D и — xt l и = xt l + U o где Uo, VQ, WQ - произвольные постоянные, символом 1, a4 + 5 обозначены подалгебры с базисами, состоящими из операторов Х\, aXj + Х5. Как видно из таблицы (1.1), все перечисленные представления ин вариантных решений имеют линейное поле скоростей и = A(t)x + u0{t), (1.1.2) где А (і) - матрица размерности 3x3, элементы которой зависят от времени и удовлетворяют уравнению А + А2 = О, WQ (t) - вектор, координаты которого зависят от времени. Таким образом, инвариантные решения с линейным полем скоростей являются частными решениями подмоделей УГД с ЛПС, рассматриваемы в дальнейшем. Общая постановка задачи, уравнения совместности: угловая скорость и вспомогательная матрица
Рассматриваются уравнения газовой динамики (1.1.1) с произвольным уравнением состояния р = f(p,S). Решение УГД разыскиваем в виде линейного поля скоростей (1.1.2).
Задача заключается в следующем. Необходимо: найти уравнения состояния, для которых УГД имеет решение в виде линейного поля скоростей (1.1.2); вывести зависимость функций р, р от независимых переменных t, х; вывести обыкновенные дифференциальные уравнения для матрицы A{t) и вектора uo(t), которые назовем подмоделью; Замечание. Как было показано в п. 1.1 для инвариантных решений давление р и плотность р постоянные. Мы заранее не предполагаем специальный вид этих функций. Зависимость от и і? получится из изучения совместности УГД.
Классификация уравнений состояния. Три подмодели
В уравнении (2.2.2) были независимые переменные t, I, р. Путем дифференцирования мы исключили переменную р. А по формуле (2.1.6) вместо переменной / ввели новую переменную р. В результате t и р новые независимые переменные.
Последнее уравнение дифференцируем по t и по р % = 2Ф ре шЧтА, h Аг/г" = 2Ф е$1тШ. Исключив правую часть второго уравнения из первого, получим соотношение щ = -ph {p)WWtlA Так как переменные t и р независимые, то это равенство возможно только в случае, когда a {t) h"{p) a(t)tvA h {p) l-7i, (2.2.5) где 7i постоянная. То есть, произошло разделение переменных. Последние равенства есть уравнения для определения функций a(t) и h(p). Уравнение для a(t) имеет вид а + (7i - 1)а trA = 0. Его решение записыыается по формуле a(t) = ехр ((1 - 71) / trAdtj. Следуя обозначению в формуле (2.2.3), получим flft) -1+7 efaodt = e(l-7i)/tr _ trA J Дифференцируем последнее равенство (_ у е/ооЯ + _ 1 + 7) aoefaodt = (1 _ ъ)ЬтАе(1-ъ)1ъА т Исключив выражение ехр ((1 — 71) JtiAdt), получим уравнение (S) +-(S- )(S- H После замены аі = а0 гЛ)_1+7і -1, получим дифференциальное уравнение а[ + aitvA(ai + 7 - Ті) = 0 решением которого будет функция -w=tiA Uu« N-V (2-2-6) где N - постоянная. Заметим, что при 7 — 7i в пределе получим a0(t) = (1 — f)txA как в ПОДМОДЕЛИ 2. То есть формула (2.2.6) задает общий вид функции aQ{t). Из (2.2.5) для функции h(p) получим уравнение h"P+(l-7l)ti = 0, решением которого будет функция h = Ро Ь 72 7i для любого 7i, 72, Ро - произвольные постоянные. Уравнение для определения уравнения состояния примет вид др Ръ - 1 / д- = 7Р + Ро h 72 = др 71 р = Ло(5) + Po/7l f - 72 — , (2.2.7) (71 - 7)7i 7 где ho(S) - произвольная функция энтропии. Формула (2.2.7) имеет смысл в предельных случаях7 —» 0 и 71 — 7-При 7 — 0 формула (2.2.7) имеет вид я71 - 1 р = ho(S)+po о Ь 72 In р. 7i При 7i — 7 уравнение состояния примет вид -У U ҐС\ , РО 7 1 1 -Р7 р = p1h0{S) -і р1 In р - 72 7 7 Найденные из (2.2.5) функции a(t) и h(p), подставим в уравнение (2.2.3), учитывая выражение для р (2.1.6). Получим: 2р0(#У1_2Я" = 1. Решением последнего уравнения будет функция R (I) вида Л (7)=А)/1 + (7і-1)/Г/( Л-1)1 где ро, 1\- постоянные.
Таким образом, уравнение (2.1.7) выполнено, а значит и выполнены все уравнения совместности. Все неизвестные функции определены. ПОДМОДЕЛЬ 3 состоит из уравнений 5" + 2SA = a0{t)S, А + А2 = S, г/ + ATv + SUQ = ao(t)v, й 0 + Ащ = v, где a0(t) определяется по формуле (2.2.6). Уравнение состояние имеет вид ръ _ рЧ і _ р! р = p1hQ{S) + ро- г 72 , (71 - 7)71 7 а плотность задается формулой р = Poe-ftlAd% + (ті - 1)/ . (2.2.8) Подмодель вполне определена, все функции найдены. Ь) Если в уравнении (2.2.1) выражение (ра2)рр ф 0, то переменные t, р разделяются 2е-/ Ф (pe/tr ) = k = F(p (2.2.9) где F(p) - некоторая функция. В таком случае уравнение (2.1.7) примет вид a0(t) = tvA [1 + (pa2)pF(p) - (ра2)р] . Можно заметить, что в этом уравнении переменные разделяются tiA -l = F{p){pal)p-{pa\ = -1. где 7 _ постоянная. Отсюда следует выражение для функции a0(t) a0(t) = (1 --f)tvA и уравнение для определения функции а2(р,р) F{p){pa2)p-{pa2)p = -1. Уравнение имеет два инварианта р + J F l(p)dp и pa2 — jp. Следовательно, решение примет вид pa ppp = lp + h(P + fJ{L), (,,10) где h(z) - произвольная функция. Уравнение (2.2.10) является уравнением для нахождения уравнения состояния. Вернемся к рассмотрению уравнения (2.2.9). Так как в него входят независимые переменные t, р, р, дифференцируем это уравнение по t -(1-7)G = 0, где G(/) = In # (/). После интегрирования, получим выражение для функции R (I) я (/)=/ оі/і + (7-ад1/(7-1), где ре» h постоянные. Так как R"(I)R -1(I) = Ф (peJtrAdtY то из уравнения (2.2.9) определяется функция F{p) F(p) = FQpl \ где FQ = 2pQ (po ф 0 иначе R (I) = 0, а следовательно, и р = 0). В уравнении (2.2.10) введем новую переменную по формуле [ dp Тогда уравнение (2.2.10) с новой переменной примет вид dpi р , f dp + 7Pi -7 / 7 ) +%i). dp F(p) У F(p) После подстановки известной функции (/?), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными /оу = 7Рі + Л(рі). После его интегрирования, получим Pi = X (М $)), где x(z)i 9(3) произвольные функции энтропии. Учитывая ранее сделанную замену, получим уравнение состояния р = н ± + х (pg(S)). 7 где Н = —F0 - постоянная. Таким образом, ПОДМОДЕЛЬ 4 состоит из уравнений і S + 2SA = (1 - j)S trA, А + А2 = S, г/ + ATv + Suo = (l- j)v trA, 4 + Ащ = v, уравнение состояния имеет вид P = H + X(pg(S)), функция плотности Подмодель вполне определена, все функции найдены. 2.3 Уравнения подмоделей в лагранжевых переменных Дифференциальные уравнения ПОДМОДЕЛИ 2 - ПОДМОДЕЛИ 4 состоят из двух матричных уравнений и двух векторных уравнений. Уравнение для матрицы S S + 2SA = a0{t)S транспонируем S + 2ATS = a0(t)S и сложим с предыдущим 5" + SA + ATS = aQ{t)S. Уравнение для вектора v оставим в виде Vі + ATv + SUQ = a0(t)v. Используя связь (1.3.3) эйлерового и лагранжевого представлений М = АМ, &0 = Ах0 + щ, M" = SM, перепишем уравнения для S я v в виде {МТМ"У = aQ(t)MTM", (MTxff = а0(і)Мт . Один раз интегрируем эти равенства МТМ" = L ехр ( f a0{t)dt) , Мт4 = Гехр ( / a0{t)dt\ , (2.3.1) где L, I - постоянные матрица и вектор.
В формуле (2.3.1) вид функции a0(t) не уточнен. В ПОДМОДЕЛИ 2 - ПОДМОДЕЛИ 4 функция ao(t) может иметь два вида: (2.2.6) и ag(i) = (1 — 7)trA Как было уже сказано, формула (2.2.6) задает общий вид функции ao(t). Поэтому достаточно использовать только такой вид этой функции.
Используя формулу (1.3.6) ti(M M-1) = \м\ \м\-\ выражение (2.2.6) для ao(t) перепишем в виде m= М І-7-(І-7І)ІУ1МГ ао[) \М\ l-iViMT-7i Тогда вычисляется интеграл от функции ao(t) fa0(t)dt = {1- ті) In \M\ + In M71"7 - Nx\. Равенства (2.3.1) примут вид МТМ" = LliVxlMl1"71 - IMI1-7!, (2.3.2) мг4 = ІІМІ1"71 - імі1"7!, где L - постоянная матрица, I - постоянный вектор. Если 7i = 7 или iVi = 0, то уравнение (2.3.2) такое же как в работе И Условие симметричности матрицы S имеет вид МТМ" = (МТ)"М. В силу равенства (2.3.2), получим (L-LT) ІМІ -ЛЧМІ1-71 =0. (2.3.3) Следовательно, либо L = LT, либо Л = М71-7. Последнее равенство выполняется в двух случаях: 1. \М\ = JV 71-7 = ДГ0 о, то есть определитель матрицы М есть постоянное, не равное нулю число. Тогда из (2.3.2) следует М = M\t + /, где М\ - постоянная матрица, / - единичная матрица. Это приводит к противоречию S = А + А2 = М"М 1 = 0, так как матрица S предполагалась ненулевой. 2. 7i = 7 = N\ = 1- Тогда из (2.3.2) следует М = M\t + /. В этом случае также возникает противоречие. Таким образом, возможен единственный случай для выполнения равенства (2.3.3), когда матрица L симметричная L = LT (2.3.4) В этом случае справедливы следующие теоремы. Теорема 1. Матричное уравнение (2.3.2) имеет первые интегралы МТМ - (МТ) М = Mi - Mf, (2.3.5) гдеМ{0) = 1, М (0) = М1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Дифференцируем (2.3.5) по t (МТ) М + МТМ" - {МТ)"М - (МТ) М = 0, МТМ" = (МТ)"М, М"М 1 = (МТ)"(МТ)-1. Последнее равенство верно, так как матрица S симметричная и S = м"м-\ Теорема 2. При L = dl система (2.3.2) имеет интегралы М{МТ) - М МТ = М( - Мь (2.3.6) где d - произвольная постоянная, I - единичная матрица. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Дифференцируем (2.3.6) по і м (мТу + М{МТ)" - М"МТ - М {МТ) = 0. Используя (2.3.2), (2.3.4) перепишем последнее равенство в виде MTML = LMTM. При L = dl равенство превращается в тождество. Теорема 3. Уравнение (2.3.2) инвариантно относительно группы линейных преобразований, осуществляемых постоянными неособыми матрицами Т М = МТ, L = Г7-1 TTLT, TVi = Т71-7
Нахождение уравнений состояния. Две подмодели
Приравнивая к нулю коэффициенты при х, получим (S + SA)UJ = (Е СИ +Е ш А)ш, и (if + ATv) = 0. В силу уравнений (1.2.12) эти равенства можно записать в виде {S-E U )(AU-UJ ) = 0, У {Аш-ш ) = 0. (4.1.3) Запишем вектор х через переменные /, а.\, х1 х = а\ 0 1 + а0 I Ра і х1 _ + -го; ш (4.1.4) и подставим в уравнение (4.1.2), учитывая (4.1.3). Тогда в уравнении (4.1.2) переменная х1 - свободная (уравнение не содержит функций, зависящих от х1), а следовательно, коэффициенты при х1 должны равняться нулю S{ALJ-U )=0. (4.1.5) Утверждение 1. В уравнении (4.1.2) выражения (ра2)рр, (ра2)рр равны нулю. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В уравнение (4.1.2) входят переменные t, I, J, а\, р, р. Переменную а\ можно выразить через переменные t, I, J по формуле осі PV2 Переменную I можно выразить через J, р из формулы (4.1.1). Тогда переменные t, J, р, р можно считать независимыми.
Переменная р входит только в функцию а2(р,р), поэтому дифференцируем (4.1.2) пор. Получим векторное уравнение (pa2)ppV In р = (pa2)pp(Sx + и х x + v). После подстановки функции р вида (4.1.1) и вектора х вида (4.1.4) получим однородную систему для определения выражений (ра2)рр и (ра2)рр {ра2)рр J R 2 (IUJ2 - LJ3) - — (СО2 (l(s23 - 0Jl) + 522) + W3(/533 + 523 + W1)) = (pa2)№a\P (sis + /(523 + UJ2) - w3) ; JRj R JRj R (pa2) pp (/(523 - w1) + 522) - 2/w1 = (pa2)ppa2P (s22 + /(s23 - a;1)); (pa2) (/S33 + S23 + ul) + 2a;1 pp = (pa2)ppa\P(s2z + /S33 + w1).
Два последних уравнения образуют систему, определитель которой не равен нулю (—2о;1(522 + 2/52з + /25зз) ф 0). Поэтому система имеет тривиальное решение (ра2)рр — (ра2)рр — 0. Что и требовалось доказать.
Из утверждения 1 следует равенство для определения уравнения состояния pa2=1P + h(p), (4.1.6) где 7 _ произвольная постоянная, h - некоторая функция. Так как функция а2(р,р) найдена путем дифференцирования уравнения (4.1.2), поэтому ее необходимо подставить в (4.1.2). Получим VH(p) = Cx + T + y(Sx + uxx + v), Н(р)= fp-1h (p)dp. (4.1.7) Утверждение 2. Из уравнения (4.1.7) следует дифференциальное уравнение для угловой скорости: Си = Леи — jcj trA ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (4.1.8) Вычислим ротор от обеих частей (4.1.7) Vx[(a-7 w )х\ = 0 = Е Сос + 7 = о, где tic вектор, задающий антисимметричную часть матрицы С. Матрица С выражается через матрицу В (см. (4.1.2)), поэтому антисимметричная и симметричная части матрицы С выражаются через антисимметричную и симметричную части матрицы В Sc trA = S + SA + ATS trA, E 6JC trA = E UJ +E UJ A + ATE й -E LJ trA = = E Co - AUJ , где SQ - симметричная часть матрицы С. Из последнего матричного уравнения следует дифференциальное уравнение для й. Что и требовалось доказать. Тогда соотношения (4.1.3), (4.1.5) выполняются в силу (1.2.12).
Вернемся к расмотрению уравнения (4.1.7). После интегрирования (4.1.7), учитывая (4.1.8), получим Н(р) - 2-1X-(SC + YS)X + (Г+ 7 0 Х + ЯІ(«), где Н\ - некоторая функция. Подстановка х вида (4.1.4) в (4.2.1), дает (4.2.1) Н(Р) = з І аі \ 1 I + а0 (Sc + jS) ai 0 1 + aQ I Po + (4.2.2) +(f+7#) / 0 о \ ai 1 + a0 V / Po J + Щ{і). Выберем переменные t,I, p в качестве независимых. Выразим через них величину а1 Фе-ш р-Ч1\Р\-11\ где Ф = Ф (t, pi) - обратная функция к функции R из (4.1.1), \npi = \npi-2uj1 J P-ldI). Полученное равенство дифференцируем по / о= Ui 0 1 + а0 I А (Sc + -yS)$ + (т + -уь) $, от переменных t, I, р переходим к переменным t, I, J, используя (4.1.1). Получим тождество со свободной переменной I где Ф 2&pie- lfp-idipu}i ф зз + б + а;1) Р Р 0 1 + ф 0 I и Je-"lSp-ldIQ2{I,t,J) = \P\l 2Ti{I,t,J), (4.2.3) где Ті, Q2 - многочлены первой и второй степени по / соответственно. Гі(/, t, J) = u\2RR-jl + J)(Im3 + m2) + J(m2(/s33 + s23) -m3(Is23 + 522)), Q2(I, t, J) = UJ\2RR-J1 + J)(s33/2 + 2s23/ + s22)+ J(/2(s23S33 - S33S23) + I{SMS22 - S33S22) + 523S22 - S23S22), m2 = a0s22 + P0S23 + cr2, m3 = a0s23 + /30s33 + x3, где Sy = sCij + 7s i. о" = П + 7 A i, j, к = 2,3. (4.2.4)
Так как функции е ш JP dI и Р1//2 не являются многочленами от / и линейно независимы, то из тождества (4.2.3) следует Ті = Q2 = 0.
Приравнивая коэффициенты при различных степенях / в уравнениях Ті = 0, Q2 = 0, получим систему пяти равенств S33 + 533S23 - S33S23 = 0, UJ 2а/ 2Я J лг + 1 S23 + S33S22 - S33S22 = 0, U І -уБ + 1 ) «22 + 523 22 23 22 = 0, CJ 1 ( JW + Х T ) (a 23 + a + S33 (a 22 + Gti = из которых следует, что 2R 1 (Щ- + 1 + J (Д,в23 + СГ2) " 522 (/50533 + 73) = 0, r(t) = R(t,J) = Ro(t)\J\ ), RQ 0, (4.2.5) JRj где r(t) - некоторая функция. Утверждение 3. В (4.2.5) функция r(t) не зависит от t, то есть является постоянной. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО После подстановки ж вида (4.1.4) в (4.2.1) получим уравнение (4.2.2). Перепишем его в виде многочлена 2-ой степени по / а2 _ _ _ Н(Р) = Y (s22+2S23l+S33I2)+a1 (a0(s22 + «23-0 + Ms23 + 53зЛ +2 + 1) + + 2( 22 + 2а0 052з + szzPl) + «0 2 + осгз + Яі(). Используя (4.1.1), (4.2.5), выразим а.\ через независимые переменные р, I, t а, = (pR t)/2\P\-1/2e-{r(t)+1)"lfP ldI-Тогда функция (4.2.1) примет вид Н(р) = ±pr (t, I) ± Pr(t)/4(t, I) + X(t), (4.2.6) где знак ± выбирается в зависимости от знака Риаі e-2(r+l)w1 / р-Чі М -0 = гр ( зз/2 + 2s23/ + 522), е-{г+\)ш1 JР-ЧІ №, I) = рГ/2р1/2 (т + гп31), (4.2.7) 2\(t) = a20s22 + 2a0A)S23 + /fes + 2(а0 т2 + /Vs + #i( )) В уравнение (4.2.6) входят переменные t, I, р, которые являются независимыми. Дифференцирование по t дает соотношение О = ±r (ftp + 1//V) Ыр± pVt + РГ Ч + х , в которое входят функции рг\пр, рГЮРЫр, pr, prW2, являющиеся линейно независимыми. Следовательно, коэффициенты при этих функциях должны быть нулевыми
Уравнения подмодели с плотностью экспоненциального типа
Дифференциальные уравнения для матрицы А, функции г из и уравнения для матрицы S и вектора Си из (5.3.1) назовем основными, так как они независимы от уравнений для векторов щ и v. Введем начальные данные для основных уравнений при t = 0: 5(0) = 50 = 4., а?(0) = До = ь Ь2,И)зГ, т(0) = 1. (5.3.2) Для матрицы А будет справедливо разложение А = SA + E СОА , SA = S = \\sfj\\, Со А — Нс ;л а;л а л11Т- Тогда начальные данные для А при t = 0 имеют вид: і(0)=й = 5?,, (0)=ЙЧкі 12 ізГ, Л(0) = Si + Е Сої . Основные уравнения образуют нелинейную систему 19-го порядка с 18 параметрами для начальных данных. Для понижения порядка системы будут найдены интегралы системы и при помощи эквивалентных преобразований сокращено количество параметров задачи.
Дифференциальным уравнением (5.3.1) для матрицы А действуем на вектор о;, учитывая (1.2.12), (1.2.10) и тождество і? Си Си = СихСо = 0, получим равенство A LJ + A2LJ = 0. Из уравнения (5.3.2) для вектора а; выразим Ай и подставим в последнее равенство. Получим линейное однородное дифференциальное уравнение для вектора Ай, решение которого имеет вид: Аш = air-7, (5.3.4) где В\ - постоянный вектор. Интеграл (5.3.4) позволяет найти решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (5.3.2) для вектора й в виде: w = (Bxt + а2) т \ (5.3.5) где &2 - постоянный вектор. Учитывая (5.3.5), интеграл (5.3.4) можно переписать в виде линейного интеграла: A{ait + a2)=v\- (5.3.6) Постоянные векторы (7i, &2 определяются начальными данными (5.3.2), (5.3.3). При t — 0 из (5.3.5), (5.3.6) получим: т2 = шо, д\ — S\u + щ х UJQ. (5.3.7) Начальные данные при t = 0 должны удовлетворять для ПОДМОДЕЛИ 1 соотношению: ЗД) = 0. (5.3.8)
Основные уравнения допускают некоторые преобразования эквивалентности, сохраняющие структуру уравнений, но меняющие начальные данные. Воспользуемся этим фактом для сокращения числа параметров задачи с начальными данными.
В основные уравнения явно не входит переменная t. Поэтому они допускают преобразования сдвига t — t + о- Тогда в интеграле (5.3.6), за счет выбора to, можно добиться того, чтобы о\ а2 = 0 и получить из (5.3.7) дополнительное уравнение связи начальных данных: шо SiUJo = 0. (5.3.9) Основные уравнения, интеграл (5.3.6) допускают поворот, осуществляемый постоянной ортогональной матрицей О: А — О1АО (CJА - OTCJA, SA — OTSAO), S — 0TSO, Co — 0TCo. За счет выбора матрицы О, векторы Со, Со А в начальный момент времени повернем в положение: Со0 = и;о,0,0т, ш0 0, СОХ = \\UJU,UJI2,0\\T. (5.3.10) Тогда из уравнений связи начальных данных (5.3.8), (5.3.9) получим: чо _ о _ о _ П і _ А 611 — s12 — s13 — U Sll — и Основные уравнения, интеграл (5.3.6) допускают преобразования растяжения: t — 5 lt, А — 5А, S — 62S, Со — 52Со. За счет выбора параметра растяжения 5, величину щ из (5.3.10) можно сделать ±1. Других линейных преобразований эквивалентности нет. Интегралы (5.3.5) и (5.3.6): щ = а;0г"7, а 2 = toots r 1, ш3 = u0t (s\3 - ш12) г-7; оц + ai2is}2 + аіз (s}3 ww) = 0, «21 + a22ts\2 + a23 (s}3 - uo\2) = s}2 азі + аз2 в}2 + a33i (s}3 - W12) = s}3 - W12, понижают порядок основной системы. Преобразования эквивалентности уменьшили количество параметров начальной задачи с 15 до 10 существенных параметров. Учитывая найденные интегралы, решение основных уравнений сводится к решению системы: а3 + а3 (а33 - ai3t(s\3 - wn)) + а2 (а23 - ai3s}2) = = s3 + й х к - аи {Сої х і + s\) , а2 + а2 (а22 - ai2ts\2) + а3 (а32 - аіг із - и12)) = (коЛЛ\ / - Л (5.3.11J = s2 + Со х j - ai2 (wi х г + sx 1 , s ij + s} Si + Si a,- = /(r)(In r) 5y, г, j = 1,2,3, r = rtrA где г, j, к -декартов базис; /(г) = l-7+7r7(aof7+l) l,A= jai, a2, «зМ, S = si,s2,s3. Начальные данные: / 0 s\2 S\3 + UJ12 Л() = s12 522 S23 - wll (5.3.12) \ s\3 - ш12 4з + И S33 /о о о \ й= О 4 4 ,т(0) = 1. \ О s23 S33 /
Интегралов системы (5.3.11), кроме (5.3.5), (5.3.6) больше не обнаружено, поэтому решить аналитически систему (5.3.11) с произвольными существенными параметрами не представляется возможным. Поэтому рассмотрим систему (5.3.11) при специальных значениях начальных данных.
Система (5.3.11) записана для матриц А и S третьего порядка. Для специальных начальных данных система (5.3.11) имеет дополнительные интегралы. Определение 1. . Если матрицы А и S имеют вид А=\ - : і. s=[ - : і, л=і аю a23V s= S22 S23 0-33 / \ 523 s33 то будем говорить, что они задают плоский (двумерный) случай системы (5.3.11). Теорема 5. Если начальные данные для матрицы А выбрать в виде /о о о \ Г Si = О s22 S23 wi = IK,0,011і, ип 0, \ О s23 533 / то система (5.3.11) сведется к плоскому случаю. Доказательство. Условия теоремы означают, что в начальных данных (5.3.12) достаточно положить s\2 = s{3 = 0, ш\2 = 0. Тогда из интегралов (5.3.5), (5.3.6) с учетом (5.3.7) получим ац = а2\ = a3i = О, w2 = W3 = 0. А из (5.3.1) следует, что sn = si2 = Si3 = 0. Остается показать, что а\2 = аіз = 0. Для этих элементов запишем задачу Коши из (5.3.11): а\2 + аі2а22 + аі3а32 = 0, а 13 + аі2а23 + а13а33 = 0, аіз(0) = аі2(0) = 0. Нулевое решение является решением последней системы, а в силу единственности решения задачи Коши, оно единственное при любых функциях а22(г),а2з(),аз2(),а3з(0- Следовательно аі2(і) = аіз(0 = 0. Что и требовалось доказать.
