Содержание к диссертации
Введение
I. Полная условная управляемость линейных систем с постоянными коэффициентами 27
1. Полная условная управляемость системы в случае сюръективного коэффициента D при управляющей функции 27
2- Критерий полной условной управляемости системы 34
2.1 Сведение системы к эквивалентной системе уравнений в подпространствах 34
2.2 Критерий полной условной управляемости системы. Нахождение определяющего элемента обратной свяаи 40
2.3 Эквивалентность полной условной управляемости и полной управляемости. Утом йен не известных критериев полной управляемости 48
3. Другие задачи полной управляемости систем 60
4. Полная управляемость дескрипторных систем с краевыми ограничениями на управление 64
5. Полная условная управляемость возмутценных систем 75
5.1 О свойствах одного операторного пучка в банаховом пространстве 75
5.2 Критерий полной условной управляемости сингулярно возмущенной системы. Оценки функции состояния и управляющей функции 86
5.3 Сравнение полной условной управляемости невозмущенной и возмущенной систем 106
6. Полная управляемость возмущенных дескрипторных систем с краевыми условиями на управление 108
II. Полная наблюдаемость линейных дескрипторных систем 114
1. Сведение системы наблюдения к эквивалентной системе в подпространствах 114
2. Критерии полной и относительной наблюдаемости систем 118
3. Эквивалентность условий полупенного критерия условиям известного критерия полной наблюдаемости. Уточнение известного критерия 123
4. Подтверждение дуальности задач полной управляемости и полной наблюдаемости с помощью полученных критериев 126
5. Полная наблюдаемость возмущенных систем 129
6. Сравнение полной наблюдаемости невозмущенной
и возмущенной систем 134
Литература 139
- Критерий полной условной управляемости системы
- Другие задачи полной управляемости систем
- Полная управляемость возмущенных дескрипторных систем с краевыми условиями на управление
- Эквивалентность условий полупенного критерия условиям известного критерия полной наблюдаемости. Уточнение известного критерия
Введение к работе
Актуальность темы
Управляемость и наблюдаемость относятся к базовым свойствам управляемых объектов. Возникновение математических постановок проблем управляемости и наблюдаемости связывают с именем Р. Калмана (1961 г.). Применительно к системе вида
x^Bx+Du (хеЯк), (I)
им было описано условие (критерий) полной управляемости
rank(D BD Bk~lD) = k, (4)
обеспечивающее для любой пары точек aj,aj из R существование такого управления и(0, определенного на некотором промежутке [0,Т], которое переводит точку aj ъ а2. Это значит, что у системы (1) с этим выбранным управлением существует траектория x(t) с началом в точке aj и окончанием в точке а2 >то есть
хФ) = аг, (2)
х(Т) = а2. (3)
Анализу управляемости посвящены монографии Красовского Н.Н., Попова В.М., Ли Э.Б. и Маркуса Л.М, Д'Анжело Г., Андреева Ю.Н., Габасова Р.Ф. и Кирилловой Ф.М., Гурмана В.П., Квакернаака X. и Сивана Р., Бояринцева Ю.Е., а также многочисленные работы разных авторов, например, Бутениной Н.Н., Дмитриева М.Г., Тонкова Е.Л. Внимание исследователей начали привлекать и системы вида
Ax = Bx + Du, (6)
возникающие при моделировании процессов в экономике (уравнение межотраслевого баланса), в электрических цепях, в химической кинетике, в динамике биологических популяций и т. д.. Анализом полной управляемости таких систем занимались, например, Campbeil S.L., Cobb J.D., Lewis F.L., Pandoffi L., Komboulis F.N., Mertzios B.G., Чистяков В.Ф., Щеглова A.A., КопейкинаТ.Б.,АсмыковичИ.К., Марченко В.M.
Основной случай, рассматривавшийся в работах этих авторов, предполагает квадратные матрицы А и В и регулярный пучок А — Лі?. При анализе таких систем игнорировалось и наличие ограничений на управляющие параметры («рули»).
Для приложений важными оказываются системы с малым параметром вида
А(е)х = В(ф+ Щг)и, (8)
где Л(е) - ряд по целым положительным степеням Б. Достаточно упомянуть работы таких авторов, как Курина Г.А.^ Ыедшик| Т.А., Копейкина Т.Б.,
\
Ханаев М.М., Цехан О.Б., Кі ^«*СШаЙ6нлМММ ?-. Haddad А.,
O'Malley R.E.. Здесь рассматривается случай обратимого при всех достаточно малых є Ф 0 п у ч А(&Уі л и регулярного пучка А() — XB(z), и сопоставляется полная управляемость невозмущенной (s = 0) и возмущенной систем.
Задача полной наблюдаемости динамической системы [х^Вх
\m-f(0. (12)
где хе RK, F(t)eR> tefO.T], состоит в следующем. Известно, что в результате реализованного неизвестного начального состояния х(0) происходит переходный процесс системы (12). Состояние системы x(t) недоступно непосредственному измерению, в распоряжении наблюдателя имеется лишь выходная функция F(t). Система (12) полностью наблюдаема, если значение х(0) по функции F(t) определяется однозначно. Вопросы полной наблюдаемости линейных стационарных систем изучались в упомянутых выше монографиях, в работах Асмыковича И.К. и Марченко В.М., Копейкиной Т.Б. и Цехан О.Б., Щегловой А.А., Campbell S.L., Cobb J.D., Koumboulis F.N. и Mertzios B.G., Yip E.L. и Sincovec R.F., Paraskevopoulos P.N. и др.. Как правило, рассматривался
случай AeL(Rs,Rs) и регулярного пучка А — ЛІ. Изучалась и полная наблюдаемость систем, возмущенных с помощью малого параметра (КопейкинаТ.Б., Цехан О.Б.).
Однако, для отмеченных задач достигнутые результаты охватывают далеко не все важные для приложений ситуации. Например, работы по развитию критерия Калмана об управляемости, как о существовании соответствующих управлений, не связывались, как правило, с вопросом о возможности построения соответствующих управлений. Для дескрипторных систем вида (6) и (8) ранее не рассматривался случай нерегулярного пучка. Для задач наблюдения не ставился вопрос определения состояния системы в любой момент времени t Є [0,Т].
Ликвидация подобных пробелов является достаточно актуальной задачей.
Цель работы
Настоящая работа посвящена распространению отмеченного круга проблем на более широкие классы задач: задачу управляемости с дополнительными краевыми условиями на функцию управления, задачу наблюдаемости с матричными коэффициентами произвольной размерности, построение функций состояния систем и управляющих функций для невозмущенных и возмущенных с помощью малого параметра систем, исследование поведения этих функций при стремлении параметра к нулю.
Методика исследования
Общие методы анализа, в частности, методы каскадного расщепления пространств на подпространства, теории дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми. Наиболее важными являются следующие:
Введено понятие полной условной управляемости динамической системы для случая дополнительных краевых условий на функцию управления.
Введено понятие определяющего элемента обратной связи системы управления, знания которого достаточно для построения функций состояния и управления.
Получен новый по форме критерий полной управляемости (полной условной управляемости) для линейной стационарной системы управления.
Получен новый критерий полной наблюдаемости для линейной стационарной системы наблюдения.
Расширено понятие относительной наблюдаемости системы. Получен соответствующий критерий относительной наблюдаемости.
Для всех систем получены явные формулы для нахождения функций состояния, а для системы управления получено также явное представление управляющих функций.
Теоретическая и практическая значимость
Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть положены в основу конкретных инженерных проектов.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях:
Воронежские весенние математические школы «Понтрягинские чтения - XIII», «Понтрягинские чтения - XIV», «Понтрягинские чтения -XV» (Воронеж: 2002 г., 2003 г., 2004 г.);
Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2003 г.);
Десятые математические чтения МГСУ (Москва, 2003 г.);
конференция «Функциональные пространства, дифференциальные операторы, проблемы математического образования», посвященная 80-летию Л.Д. Кудрявцева (Москва, 2003 г.);
конференция «Математика. Математическое образование» Российской ассоциации «Женщины-математики» (Воронеж, 2003 г.);
конференция «Математическое моделирование социальной и экономической динамики», MMSED - 2004 (Москва, 2004 г.);
международная научно-техническая конференция «Кибернетика и технологииXXI века» (Воронеж, 2004 г.);
ежегодные научные сессии ВГЛТА (Воронеж, 2001- 2004 г.);
семинары профессоров Булгакова А. И., Задорожнего В.Г., Куриной Г.А., Костина В А, Покорного Ю.В. (Воронеж, 2001 -2004 г.).
Публикации. Основные результаты отражены в 10 публикациях.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 149 страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 88 наименований.
Критерий полной условной управляемости системы
Известна классическая задача о полной управляемости системы где В Є L(Rfc,Mfe), D Є L(Re,R ), x{t) С Rfc, u( ) R , і Є [О,Г], (см. [11, [51, 13, [И] [18], 119], [25], [33], [35]). Система (1) называется системой управления, вектор - функция x{t) - состоянием системы, u(t) - управляющим вектором, управлением. Система (1) называется полностью управляемой (см., например, 13), если существует вектор-функция u(t), с помощью которой система переводится из любого состояния а\ в любое состояние ач за промежуток времени [О, Т], то есть траектория x(t) (t Є [0,7 ]) системы (1) удовлетворяет условиям Определение полной управляемости системы впервые было введено Р. Калманом в 1961 г. [18]. Он показал, что система (1) является полностью управляемой в том и только том случае, когда Матрицу (D BD ... Bk 1D) называют матрицей управления (управляемости). Свойства управляемости различных систем проанализированы в многочисленных монографиях, обзорах, статьях, где отражена и история вопроса 1 - 5, 17], М, 10 - [15], [18] - [21], [24], 25], [27] - [31], [33], [35 - [39], [41] - (46], [48] - [50, [52] - [55], [57] - [61], [63] - 73], [75] - [78. Управление в Если управление является функцией состояния системы, то говорят об управлении с обратной связью (например, см. (1], [19], [35]). Есть системы, которыми можно управлять с помощью некоторых компонент x(t). Нижеследующий пример показывает, что, подобрав подобающим образом некоторые компоненты состояния x(t), можно вычислить остальные компоненты x(t) и управление u(t). Пример 1. Рассматривается система ([13], стр. 226), описывающая "макроэкономическую модель, предназначенную для теоретического изучения вопроса о тенденциях в изменении долей потребления и накопления в национальном доходе": х\ - фонд производственного накопления, хч - фонд потребления (включая непроизводственное накопление), 1,2- приростные капиталоемкости, 7 - темп роста населения (считается постоянным), v - скорость роста фонда потребления на душу населения, со - отношение я?- v к объему —- e-7i фонда х% на душу населения, L население в начальный момент времени. За управление принимается функция ш, однако, далее ([13], стр. 228) автор говорит: "за управление примем х2" Действительно, подобрав подходящее #2, можно найти и tu(t) и Xi(i). В примере 1.5 гл.1 , п.5.2 данной работы рассматривается 3-х камерная нагревательная печь, разделенная на две зоны регулирования (см. [1], стр. 170). Температура каждой из зон ХІ (І — 1,2,3) связана с расходами топлива в зоне Uj(t) (j = 1,2) уравнением вида (1).
В этом примере вначале строится функция Х\{і) + 2x${t) и далее с ее помощью находятся Xi(t), і = 1,3, и управление (ііі(), игС )), переводящее систему из температурного режима (2) в режим (3) и удовлетворяющее дополнительному условию tfi(0) = иг(0) = 0. Эти примеры показывают; что, подобрав подобающим образом некоторые компоненты состояния x{t), можно вычислить остальные компоненты x(t) и управление u(t). (определяющим элементом) системы управления назовем вектор-функцию f{xix, ХІ2, ..., ХІЗ), ij k, зависящую от минимального количества компонент x(t), знания которой достаточно для нахождения остальных компонент состояния x(t) и надлежащего управления u(t). В данной работе показывается, что и система (1), и более общие дескрип-торные системы в случае полной управляемости имеют определяющие элементы обратной связи (гл.1, п. 2.2). Разработан метод нахождения определяющего элемента, приводятся формулы для построения остальных компонент x(t) и управления u(t). Рассматривается "более жесткая" система, а именно, изучается полная управляемость системы (1) с дополнительными ограничениями на управление u(t): Постановка задачи с условиями (5) естественна, например, для управляемых до момента t — 0 систем. В этом случае при t = 0 функция u(t) и ее производные имеют, вообще говоря, определенные значения. Также в задаче о мягкой стыковке движущихся объектов функция u{t) и ее производные должны принимать в конечный момент времени заданные значения. Введем следующее Определение 2 . Система (1) называется полностью условно управляемой, если существует вектор-функция u(t) Є ( "{Д3, [О,Т\). г = max(p, q), удовлетворяющая произвольным заданным условиям вида (5), с помощью которой система переводится за любой заданный промежуток времени [О, Т\ из любого состояния (2) в любое состояние (3). Отметим, что впервые задача управляемости системы (1) при условиях (5) исследована в [83J.
Другие задачи полной управляемости систем
Теорема 1.3 (критерий неуправляемости). Система (І) не является полностью условно управляемой тогда и только тогда, когда существует І Є N такое, что Di = 0. Теорема 1.4 (о существовании определяющего элемента обратной связи). Полностью условно управляемая система (1) имеет определяющий элемент обратной связи щ(і). Построив элемент Ui(t), можно найти u(t) и x(t). В силу наличия ядер у операторов D г 0,1У неединственности разложений пространств в прямые суммы подпространств и в силу неединственности способов построения определяющего элемента обратной связи, функции u{t) и x(t) определяются неединственным образом. Эта неединственность u(t) и позволяет находить управление в случае, когда накладываются дополнительные условия (например, в задачах оптимального управления). Система (1-21), рассмотренная в примере 1.1, - это система, которая априори является раоїцепленной на уравнения в подпространствах, то есть она имеет вид, к которому приводится система (1) методом каскадного расщепления, описанным в данной работе. Полная условная управляемость этой системы очевидна, хотя при использовании критерия Калмана (4) необходимо построить всю матрицу управляемости. Заметим, что количество ограничений, наложенных на значения функции u(t) и ее производных в точках t — 0 и t = Т (условия (5)), произвольно. Это количество влияет лишь на количество элементов Vi, используемых при построении определяющего элемента обратной связи щ(І). В случае, когда эти ограничения отсутствуют (то есть в случае классической постановки задачи) критерий полной условной управляемости системы (1) становится критерием полной управляемости этой системы. Возникает вопрос о связи полученного критерия с известными критериями (см. [1], 19j). В п. 2.3 доказывается эквивалентность условий нового критерия условиям критерия Кал мана. Устанавливается
Теорема 1.5 (об эквивалентности условий критериев). Для выполнения условия необходимо и достаточно, чтобы сугцествовало І Є N такое, что kerDf - Щ. При этом критерий Кал мана уточняется: в соотношении (4) играют роль лишь матрицы D, BD, ..., BlD, где I -\-1 - количество определенных в п. 1.2 подпространств пространства R . Остальные матрицы Bt+1D, Bl+2D,... Bk_1D состоят из вектор-столбцов, являющихся линейными комбинациями вектор-столбцов матриц D, BD, ..., B!D. Это следует из следующей теоремы. Теорема 1.6 (уточнение условия критерия Калмана). Уточняется и критерий, приведенный в [1] (стр. 228): система (1) полностью управляема тогда и только тогда, когда где г = rankD. Показывается, что в условии (10) нет "лишних" матриц тогда и только тогда, когда от исходного пространства "отщепляется" каждый раз лишь одномерное подпространство. Приводятся примеры 1-2 и 1.3, показывающие, что в матрицах условий (4) и (10) есть "лишние" матрицы. Приведенные примеры показывают, кроме тотх). эффективность применения предлагаемого критерия в случае 1 = 1. В параграфе 3 рассмотрена задача определения управляющей функции u(t), с помощью которой система (1) переводится из любого состояния гс(О) = (Ц) в любое состояние х(Т) = &о и удовлетворяет дополнительным условиям х (0) = ц, і = 0,р + 1, х (Т) — 6г, і = 0} -Ь 1. Показано, что ЭТИ УСЛОВИЯ При Определенных СООТНОШеНИЯХ Между Oj И Щ-1, і — 1,р 4- 1, и между Ьг- и Ьі-и і 1,9 + 1, можно свести к условиям и (0) = й, і = 0 , ««(Г) = Ср+1+І, і = 0 . То есть эта задача сводится к задаче, рассмотренной в 1, 2. В параграфе 3 рассмотрена также неоднородная система управления. Показано, что неоднородность в системе управления не влияет на управляемость системы, и методы нахождения функций состояния и управления, разработанные в 1, 2, применимы и в случае неоднородной системы. 4 посвящен исследованию полной управляемости системы, не разре шенной относительно производной (дескрипторной системы) с дополни , тельными условиями на управление в краевых точках. Рассматривается система (6) с прямоугольной матрицей А при производной. Подобные системы возникают, например, в задачах межотраслевой динамики, которые в ряде случаев можно формализовать как задачи управления линейными динамическими системами (6). Здесь накопление представляется как произведение вырожденной матрицы приростных фондоемкостсй А на производную валовых выпусков x(i). Вырожденность матрицы А связана с тем, что не все отрасли, участвующие в процессе производства, являются фондообразующими. Такой способ описания расширенного воспроизводства был впервые предложен В.В. Леонтьевым (см. [32]). Особенность уравнения (6) в сравнении с уравнением (1) состоит в следующем. Дифференциальное уравнение (1) при любой непрерывной функ
Полная управляемость возмущенных дескрипторных систем с краевыми условиями на управление
При описанном каскадном расщеплении возможны два исхода: Ї) т ті ... rn/_i = mi 0; 2) m mi ... m/_i mj = 0. В первом случае imDi = {0}, то есть D\ — 0, и решение Xi{t) уравнения (1. 49) может удовлетворять в общем случал; только одному из условий (1. 50), (1. 51), таким образом, система (1. 49) не является управляемой. Во втором случае kerD = {0} и в силу теоремы 1. 1 система (1. 49) является полностью условно управляемой, следовательно, и система (1. 1) является полностью условно управляемой. Итак, доказаны следующие две теоремы. Теорема 1. 2 (критерий полной условной управляемости). Система (1. 1) полностью условно управляема в том и только в том случае, когда существует І Є N, такое, что Di сюрьективеп. Заметим, что так что управляемость или неуправляемость системы (1.1) зависит от поведения некоторой части оператора В. Теорема 1. 3 (критерий неуправляемости). Система (1. 1) не является п.у.у. т,огда и только тогда, когда существует, І Є N такое, что Di = Q. Замечание 1.4 В теореме 1. 2 значение I равно значению к - 1 в том и только в том случае, если гщ — тщ-і — І, і = 1, /, то есть образы операторов Di - одномерные подпространства. Если же хотя бы один из операторов D{ действует в подпространство большей размерности, чем один, то / к — 1. обратной связи). Полностью условно управляемая система (1. 1) имеет определяющий элемент обратной связи ui(t). Действительно, построив ui(i) с помощью уравнения (1. 49) и условий (1. 50) - (1. 52), например так, как это было сделано при доказательстве теоремы 1.1, находим xi(t). Из (1. 48) при j = I находим xj_i(t) и из (1. 47) при j = I - функцию Ut \(t) с любым элементом Pt-iUi-\(t), удовлетворяющим условиям fl-itfiCO) = Pz-iaj-u+3, і = 0,p+l-l; ff4 (1. ooj Определив ui-\{t). находим Xi-\{t) и, следовательно, xi {t), затем uj_2(i) с соответствующим элементом Рі- щ 2{і)- И так далее, пока не построим u{t) с произвольным элементом Pu{t), удовлетворяющим условиям (1. 16). Таким образом, управление в форме обратной связи имеет вид В примере 1. 1 определяющим элементом обратной связи можно спитать функцию x2{t) — -7-. at Вернемся к примеру 1 из введения. Система (1. 1) имеет в данном случае вид Ьі(Щ - 7 6і W + ) (Ь - 7 Ь№? + ЬІ)) ( ї + )2 І _ ( - 7 ft,(ftj + Щ)) -ЬХ{Щ - 7 Ьі(Ч + )), В случае Ьз = 7 і( і + 1) оператор І?і - нулевой, и система (1. 57) не является полностью условно управляемой в силу теоремы 1. 3. В случае Щ ф 7 Ы 1 + Щ) можно убедиться, что D\
Тратим как оператор, действующий из imD в kerD ; Р\ = 0, Q\ = 0, т\ — 0, следовательно, система (1-57) является полностью условно управляемой. Элемент и\{) определяется следующим образом: «,( ) = (/ - QMt) = тЛ, f Wi№W + bMt))) bi+b22\bl(b2 (t)+blX1(t)) J Элементом X\ (t) является вектор-функция: Щ + Щ \ -bifaxtit) - b2X2(t)) J Уравнение (1.26) приводит к уравнению: j Jt(bixi(t) - Ъгх2{1)) = {Ьх + 7(й? + blmhx t) - &2a;2(i))+ +(b2 - 7r(&? + )№ !( ) + bix2{t)). 2 Для простоты обозначим: Уравнения (1. 65), (1. 67), (1. 69) образуют систему для нахождения i3 t4 коэффициентов v2, из, Щ с определителем Вронского для функций —. —, по формулам (1.72) и (171). Итак, установлено, что при Ь\ ф 7 i C i + Щ) существует управляющая функция cu(t), переводящая систему (1.57) из состояния х(0) = ат в состояние х(Т) = хт и удовлетворяющая условиям: w(0) = u/\ w[T) = uF. Найден определяющий элемент обратной связи z(t) = b%xi(t) +- bix it), знания которого достаточно для определения управляющей функции u{t) и состояния системы x(t). Заметим, что разложение пространств на подпространства не единственно, и при других разложениях можно получить другой определяющий элемент обратной связи. Так, в этом примере можно получить в качестве определяющего элемента функцию x it). Для этого систему следует записать в виде: ЩЇ) = % 7as2( ), (blXl(t) - b2x2(t)) = І (Ьгхгіі) - b2x2{t)) + ( - 7 ) ( ) Последнее уравнение этой системы имеет вид (1.59), где y(t) = bixt(t) - hx2{t), z(t) = x2(t), Определяющим элементом обратной связи является функция z{t) = x2(t). 2.3 Эквивалентность полной условной управляемости и полной управляемости. Уточнение известных критериев полной управляемости Заметим, что kerD = {0} тогда и только тогда, когда rankD = к. Отсюда следует, что условие критерия Калмана в случае rankD к и условие критерия, сформулированного в теореме 1. 2 для случая I 0 эквивалентны. Рассмотрим случай / 0, то есть т т± ... т Воспользуемся тем, что равенство rank(D BD ... Bk lD) = к эквивалентно разрешимости уравнения Dz, + BDz2 + ... + Bk lDzh = v (1. 75) при любом v Є Жк. Покажем, что решение уравнения (1. 75) существует при любой правой части в том и только в том случае, когда существует І Є N такое, что kerDf - {0}. Уравнение (1. 75) эквивалентно системе QBDz2 + QB2Dz3 + ... + QBk Dzk = Qv (1.76) zi + D+BDz2 + D+B2Dzz + ... + D+Bk Dzk = D+v + Pzu (1.77) где Pzi - произвольный элемент из kerD. Оператор QBD можно представить в виде QBD = QBQD + QB{I - Q)D = QB{I - Q)D = DXD, (1. 78) поскольку QD = 0. Тогда систему (1.77), (1.76) можно записать в виде: Zl = D+v - D+B{Dz2 + BDzz + ... + Bk 2Dzk) + Pzx (1.79) DxDz2 + QB\Dzs + ... + Bk 2Dzk) = Qv. (1.80) Из соотношения (1. 79) получаем 2l = /l(v,Z2, 3,...,Zb Pzl) (і 81) ГЛЄ /і - это правая часть в (1-79). Докажем следующую лемму. Лемма 1. 2 Уравнение (1. 71) эквивалентно системе Ч = fi{v,z2,...,zk, Pzi), (1. 82) zi = /1 (и, 21+1,..., zjt, Pzfe), АД-i - ADZJ-H + ОІ-ХОЇ-2 - QBl+1(Dz1+2+ { +BDzi+2 + ... + Bk-l 2Dzk) = Q/-iQi_2 - -. Qv, где /j, г = 1,/, - некоторые вект.ор-функции (они будут определены в процессе доказательства). Функции fi зависят от некоторых произвольных элементов, Pzit не играющих роли для доказательства эквивалентности условий критериев. Доказательство. Для случая 1 = 1 лемма уже доказана, так как (1.82) при I = 1 это (1.79) и (1.80). Воспользуемся методом математической индукции. Для этого покажем, что: а) из равенства Qi- к. Но и
Эквивалентность условий полупенного критерия условиям известного критерия полной наблюдаемости. Уточнение известного критерия
Найдем связь между полученным критерием полной наблюдаемости и известным (см. [5], [19]) критерием ( ): для того, чтобы система (2. 1), (2. 2) была полностью наблюдаемой, необходимо и достаточно, чтобы система имела единственное решение z = 0. Известно (см. [5], 19]), что для определения полной наблюдаемости можно обойтись меньшим количеством соотношений в (2. 30), но это количество (I) не было установлено. Имеет место Лемма 2. 2 Решениями системы Л6ЛЛЮТПСЯ ЭЛСМеНТНЫ Z КЄТ Am и только они. Доказательство. Рассмотрим элемент z є kerA, то есть z = Pz. Из (2. 31. 1) получаем: Bz = PBz, тогда (/ - P)Bz = 0 и (/ - P)BP{Pz) - 0 ИЛИ A\Z = 0, то есть z = Pz = P\Z. Из (2. 31. 2) получаем: B2z = PB2z, тогда (/ - P)B2z = 0, то есть (/ - P)BP(PBz) - 0, или AiBz - 0. Отсюда Bz = PiBz = Px{PBz), тогда (P-P PBz = 0 и (F - PY)PBP{Pz) = {Р - Рі)РВР(Рхг) = 0, или A2z 0. То есть z = Pz = P\z = P2z. Из (2. 31. 3) находим B3z = PB3z, тогда (I - P)B3z = О, то есть (/ - P)BP{PB2z) = 0, или AxPB2z = 0, где PB2z = P1PB2z, то есть (P-P1)PB2z = 0, следовательно, (P Px)PBP(PiBz) = 0. Или A2Bz = О, откуда Bz = P2Bz и (Рх - P2)Bz = 0. Здесь (Pi - P2)Pi(PBz) = = (Pi - P2)PiPBP(Pz) - {Pi - P2)PiPBPPlP2z = 0, значит, A3z = 0 и 2 = Pz = Ргг = P2z = P3z. Действуя таким же образом, из (2. 31. m) получаем: И наоборот, в силу эквивалентности приведенных преобразований, элемент z — Pmz является решением системы (2. 31) - (2. 31. т). Из леммы 2. 2 следует, что условие kerAp = {0} эквивалентно тому, что система имеет единственное решение Z = 0, Таким образом, доказана эквивалентность полученного в данной работе критерия полной наблюдаемости системы (2. 1), (2. 2) р + 1 условиям известного критерия. При этом выявлено, что этих р + X условий вполне достаточно для выявления полной наблюдаемости или ненаблюдаемости системы, а оставшиеся к — р условий известного критерия являются излишними. То есть критерий ( ) уточняется следующим образом
Теорема 2. 4 Пусть р таково, что kerAp = {0}- Для того, чтобы система (2. 1)Т (2. 2) была полностью наблюдаемой, необходимо и достаточно, чтобы из того, что ABiz = 0 (г = 0,р), следовало z = 0 (то есть 1=р+1). Рассмотрим Пример 2. 2 Пусть к — $ + 5иД — diag (її, ОД где - її единичная матрица в К1, О - нулевая матрица в R4, В = (hy), &12 = Ь\ъ и = Ьіь = 0, z Є R5. Имеем: Р — diag {0\,h)\I — Р = diag (I\,O4), где 0\ - матрица в R1, /4 - единичная матрица в М4, А\ = (/ — Р)ВР = 0. Здесь = 1, система не является полностью наблюдаемой в силу теоремы 2. 2. В этом случае система уравнений имеет решение Z = Это же z является решением и следующих уравнений в (2. 30): AB2z = 0, ABzz = 0, ABAz = 0, ABbz = 0, то есть последние четыре уравнения в (2. 30) являются излишними. Известен (см. 18) следующий факт: система является полностью управляемой тогда и только тогда, когда двойственная система: является полностью наблюдаемой. Подтвердим этот факт с помощью критериев полной управляемости и полной наблюдаемости, полученных в п. 2.2 гл. I и 2 гл.И. Воспользуемся тем, что для любого оператора Н, действующего из пространства Шк в Шв имеют место разложения: Пусть Рн - проектор на кегН и QH - проектор на кегН , отвечающие разложениям (2.35), (2.36). Соответственно, для сопряженного оператора Н Є Ь(Ша;Жк) справедливы разложения: и Рн - проектор на кегН , QH - проектор на кєг(Н ) . Отсюда следуем что Рн - проектор на подпространство кегН, отвечающий разложению (2.35), - есть проектор на подпространство, являющееся прямым дополнением к образу оператора Н . И проектор на подпространство, являющееся прямым дополнением к образу оператора Н, есть проектор на кегН . То есть: если Рн проектор на ядро оператора Я, a Q -проектор на коядро Н, то Кроме того, проекторы, отвечающие разложениям (2. 35), (2. 36) и (2. 37), (2. 38) являются самосопряженными: Перейдем к доказательству дуальности задач управляемости и наблюдаемости. В силу теоремы 1. 2 (п. 2.2 гл.1) система (2. 32) является полностью управляемой тогда и только тогда, когда существует число / Є N такое, что kerD — {0}, где то есть Df - есть оператор (/? )(, построенный при исследовании полной наблюдаемости системы (2. 33), (2. 34) с заменой А на D . Тогда ker(Di) — {0} в том и только в том случае, когда ker(D )i — {0}, а это есть полное условие полной наблюдаемости - что и требовалось доказать.
