Введение к работе
Актуальность темы. Параболические уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами рассматривались многими математиками [i]t[2],C3l, [Ч]} [5] и др. Исследовались при этом как линейные , так и нелинейные задачи. Основное внимание уделялось вопросам существования и единственности решения. Б связи с этим возникает актуальная задача об исследовании свойств решений, таких как асимптотика по пространственным переменным , колеблбмость решений. Заметим, что аналогичные вопросы полно, исследованы для эллиптических задач.
Параболические задачи с периодическими коэффициентами по т. встречаются в ряде задач математической физики.
[і] Колесов Й.С, Периодические решения квазилинейных параболических уравнений второго порядка. // Труды Моск. мат. об-ва, 21, / 1970 /, 103 - 134.
OH-3 ~tO UVouQulOHjOS, dQCLCbion, . // QuqiA''. У. JlcUL'. Oxford. 1599 ('і9ЧУ), 3>S9 -3«.
73J Mutcco Jll. Oh, eoLtuclwSS. pz/u'octi&i of-$о»іЛіи>РіЛікЯ<Х-1^ patcu&o-ti'c IQitatioH-S , // /J. )<"'/. Co. I9(i9s) , 3?i.-3&.
ІЧІ He.S$ P. , 3e-lta,m> Л. Оіь. ike, ptinjupat <>Lq&hsjoJjulz. o< cx^ p-Єли'ообі'с. ~рСса6а-&І2, opeX.adx>x^
f/Comm. Pa^iCo^L 2>1*М*ъ. Ц«.си6Єоил 9/919-241 [*Щ
[5J Кондратьев В.А,, Олейник О.А. О периодических по времени решениях параболического уравнения второго порядка во внешних областях. // Ьестник ЬіГУ, Сер. мат. ІУва, С. 38 - 47.
- z -
В нашей работе исследуются вопросы о существовании поло -жительных решений и асимптотическое поведение решений по пространственным переменным для линейных и нелинейных уравнений второго порядка.
Среди работ, посвященных параболическим уравнениям с периодическими коэффициентами по времени, наиболее близкими к нашей работе являются [4], [5],
В работе ^рассматривается задача на собственное значение для параболического оператора второго порядка с периодическими коэффициентами по с и иссследуется вопрос о существо -вании ведущего собственного значение /т.е. для которого существует положительная собственная функция /. В этой работе предполагается, что коэффициенты гладкие функции и рассматривае -мая область имеет гладкую границу. Аналогичные вопросы в те -ории эллиптических уравнений исследованы в работах f6]f[7jf/8] В нашей работе предполагается, что && — произвольная огра -ничейная область и коэффициенты ограниченные , измеримые Функции.
В работе /5J рассматривается линейное уравнение второго порядка без младших членов во внешности компакта и исследуется асимптотическое поведение периодических по с решений при /х/->оо,
/"^Красносельский Г".А.» Соболевский U.K. О неотрицательной собственной функции первой краевой задачи для эллиптического уравнения. // УШ, 1961, T.I6, № I, С. ЬЛ - 199.
Г г<7 Кондратьев В.А., Керимов Т.Ьі, С спекре эллиптического оператора второго порядка. // Мат. заметки, Т.20, р З, 1976
/"8]Асланян А.Г., Лцдский В.Г.С спектре эллиптических уравнений. // Мат. заметки, 1970, Т.7, С. 49о- оОг,
Мы последуем асимптотическое поведение решений линейных и нелинейных уравнений в областях различной структуры.
Цель работы. Исследование свойств периодических по времени решений, а именно : существование и асимптотическое по -ведение по пространственным переменным.
Научная новизна. В диссертации доказано существование ве -дущего собственного' значения спектральной задачи в ограниченной области с однородным краевым условием Дирихле. Найдены условия несущштвования положительных периодических по времени решений нелинейного параболического уравнения во внешности компакта. Исследовано' также асимптотическое поведение по пространствен -ным переменным решений ряда линейных и нелинейных параболических уравнений второго порядка.
Методы исследования. В диссертации используются результа -ты теории параболических уравнений /"9], результаты о фундамен -тальных решениях линейных параболических уравнений с разрывными коэффициентами /10].
Приложения. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, а также в задачах математической физики.
Аппробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре механико-математического Факультета МГУ по уравнениям с частными произ-
[9"] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Москва " Наука " 1967,
Сі О] JlloKSPK %).G. Bounds ^fot ikt fUsKoU-
bb&iistaJ- Scruciion-S, of a. po'Kxboli'd. еои^ґои ые"с . уЦ&4к,. See . L9S4 . %Ъ, 2>9о~2>9.
водными под руководством проф. В.А.Кондратьева и проф. Е.М.Лан-диса, на семинаре МИРАН по уравнениям с частными производными.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора , список которых приведен.в конце автореферата.
Структура и обьем диссертации. Работа состоит из введения , трех глав, разбитых на 8 параграфов, и списка литературы, со -держащего 34 наименований. Общий обьем диссертации 102 отрнниц.
