Введение к работе
Алтуалыюстъ тсли. Теория нелинейных колебаний яаляотся объектом"^ непрерывных- и плодотворных исследований многих поколений математиков и физиков. Она находит саше разнообразные приложения, ей принадлежит заслуга объяснения многих примечательшіх явлений реального мира.
Одним из важнейших разделов теории нелинейішх колебаний является проблема изучеігия периодических и ограниченных решешій лолинойшх дифференциальных уравнений.
Наиболее глубоко изученными являются уравнения, содержащие малий параметр. У истоков теории малого параметра находятся идеи и методы, впервые сформулированные в работах А.М.Ляпунова и А.Пуанкаре. Среди многих работ, иосвящешшх дальнейшему развитии теории малого параметра, достаточно упомянуть извостныо монографии Н.Н.Боголюбова и В.А.Митропольского , В.М.Волосова и Б.И.Моргунова, И.Г.Малкина, Н.Н.Моисеева , М.Розо . Определяющую роль при исследовании уравнений с малым парамотром играют линойдша части уравнений, свойства которых позволяют изучать вопроси существования периодических и ограниченных рошений нолшіейзшх уравнений, эффективно строить эти решения, исследовать их устойчивость и пр.
Переход к уравнениям с "существенными" иелинейностпми, как правило, требует разработки принципиально новых подходов и методов. Существенный вклад п теорию таких уравнений внесли работы М.А.Красносельского и его учеников, А.Куфнера и С.Фучека, Е.-Л.Лионса, Ю.И.моймарка, В.А.Рлисса, Ф.Хартмана и др. В этих работах разработаны топологические, качествешшо и приближенные методы исследовагтя различных классов "существенно" нолинойшх уравнзшій.
Особое мосто сроди "сущоствошю" нелинейных дифференциальных занимают уравнения, содержащие однородные нолгаюйпостя. Анализ уравнений с однородным? излинойностяш в определенном смысло моаго считать первым пагом на пути норехода от лшойшх п "почти" лпнайтшх уравнений к изучению более сломшх урапногатй. Более того, если иметь в виду разлогеготя тейлоровского типа, то исследование уравнений с простейтамя однородными нолттойностякя иояга рассматривать как основу, которая позволят получать информации о решениях уравнений с полтойпостяия более слокяой
природы.
Среди уравнений, содержащих однородные нелинейности, наиболее изученными являются уравнения вида
их и
— = Р(х) * f(t.x) , х«= FT , (1)
dt где оператор Р(х) является непрерывным и положительно однородным порядка т > О :
Р(кх) = \тР(х) , \ > 0 , (2)
а воктор-функция f(t,x) непрерывна по совокупности переменных и либо является Т-периодичоской по перомогаюй t :
f(tiT.x) = f(t.x) , (3)
либо является ограітчеіпгой по переменной t (при фиксированном х):
3up\f(t,x)\ < со . (4)
При этом f(t,x) удовлетворяет условию
/ft.гл
Ііт зир — = 0 ; (5)
Ш»оо t |Т|
здесь и всюду ниже через | | обозначается евклидова норма в пространство Fp . Другими словами, при "больших" значениях |х| правая часть системы (1) "близка" к однородной функции Р(х).
Исследованию систем вида (1) посвящено большое число работ, в которых изучались вопросы о периодических и ограниченных решениях. Р.Гомори были получены условия существования периодических рошений (в случае N = 2). Теоремы Р.Гомори были существоішо усилены Н.А.Бобылевым на основе метода направляющих потенциалов . Случай, когда функции Р( ) зависят от времени, изучен в работах Э.Мухамадиева. Следующим шагом на пути исследования уравнсіпій с однородными нелинейностями является анализ уравнения (1) в ситуации, когда свойства однородности оператора Р(х) различны для разных компонент этого оператора. Другими словами, когда компоненты оператора
Р(х) = (Р,(х, Xjf) Ри(х, Ху)} , (6)
являются положительно однородными:
р^\х) = Лух; , Х> 0 , J = 1 ff . (7)
где числа т.. > О по обязательно все одинаковые.
Уравнения типа (1) при К = 2 в случао, когда равенства (7) выполняются при значениях я1 * т^ , детально. изучены в работах Э.Мухпмпдиева и Х.АОдгьаитова. В этих работах (в
которых рассматривалась и более общая ситуация, когда оператор Р зависит от переменной t) получены теореми существования периодических и ограниченных решений уравнения (1), указаны рецепты вычисления . характеристик, определяющих условия существования таких решений.
Различным вопросам исследования систем вида (1) посвящены также работы и других авторов. Отметим среди них Д.С.Ушно, Liang Zhaojun , Уе Yanglan * в частности, Liang Zhaojun привел обзор известных результатов и формулировки открытых проблем в теории автономных систем вида (1) при N = 2 ив случае т1 / т^ .
Дальнейшее изучение дифференциальных уравнений с однородными нелинеЗностями представляет важную и актуальную задачу. В этой связи отметим, что в последнее время значительно возрос интерес к исследованию решений дифференциальных уравнений третьего порядка с однородными нелішейностями* такие уравноїшя возникают во многих практических и теоретических задачах.
Цель роботи. Для системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными главными частями при различных порядках однородаоствй исследовать вопросы существования периодических и ограниченных на всей числовой оси решений. Указать эффективные признаки существования таких решений, изучить возникающие при этом вопросы о гибридных решениях систем дифференциальных уравнений.
Нацчнаа новизт. Разработаны новые процедуры исследования периодических и ограниченных задач для системы грех обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными главными частями при различных порядках однородностей.
Получены новые теоремы об априорных оценках для периодических и ограниченных решений системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными главными частями.
Проведен анализ гибридных решений упорядоченных систем дифференциальных уравнении, изучены условия отсутствия ненулевых ограниченных гибридных решений.
Исследованы вопросы существования периодических решений систем дифференциальных уравнений запаздывающего типа с однородными главными частями.
Получены признаки существования у систем дифференциальных уравнений с однородными главными частями ненулевых периодических
рошений.
Практическая 'и теоретическая ценность. Работа теоретическая. Развитие в работе методи исследования периодических и ограниченных решений спетом дифференциальных уравнений с одшродшми главными частями могут бить использованы при анализе кошеротішх задач, приводящих к диффоронциальним уравноігаям укэзашгаго типа. Эти методы при естественной модификации могут быть распространены и на более широкие классы уравнений.
Мотори исследовсиіия._ В работе использованы общие методы теории нелинейных колебаний, теории дифференциальных уравнений с запаздывавшим аргументом, нелинейного функционального анализа, теории функций.
Апробация работы. Отдельные части диссертационной работы обсувдались на научных семинарах Таджикского государственного университета. Института математики Академии наук Республики Таджикистан, Института проблем управления Российской Академии наук, Худжандского университета. Результаты диссертации докладывались на Всосоюзной конференции по теории и приложениям Функционально дифференциальных уравнений (Душанбе, 1987 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Таджикского госуниворситета(Душанбе, 1988-1993 гг.), на конференциях молодых ученых и специалистов Таджикистана (Душанбе, 1986-1990 гг.).
Публикации. По томе диссертационной работы опубликовано пять научных статей, список которых приведен в конце автореферата.
Личный віиад. Постановки задач и некоторые идеи принадлежат научным руководителям. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.
Объел и структура роботи. Диссертационная работа изложена на 118 страницах машинописного текста, состоит из введения, двух глав, содержащих 9 параграфов, четырех рисуігков и списка цитированной литературы, включаюыего 49 наименований. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во вводении обосновывается актуальность рассматриваемых в диссертационной работе задач, приводится обзор литературных источников, формулируется цель исследований, кратка излагается основное- содержало работы.
периодических и дифференциальных
Работа посвящена изучению задач о
ограничегашх решениях систем обыкновенных
уравнений вида
— = P(x.y.z) і f(t,i,y,z) ,
= Q(X,y,2) I- g(t.X.y.Z) ,
(в)
— = R(x,y,z) і h(t,x,y,z) ,
где x, y, z, t - скалярные переменные, P( ) , Q( ) и R( ) -
непрерывные положительно однородные функции:
P(Xx,Xy,Xz) = XnP(x,y,z) , X > О ,
Q(Xx,Xy,Xz\ г XnQ(x,y,z) X > О , (9)
R(Xx,Xy,\z) = XmR(x',y,z) , X > О , .
при атом n, m > О , n / m . Функции f( ) , g( ) и h( ) предполагаются непроривішш по совокупности перемоншх, ограниченными по переменной t и удовлетворяющими условиям:
(10)
ГДЄ Г = У Xй і у1- + Z .
Основную роль в построениях диссертационной работы играет развитый Я.Лоро и Ю.Шаудером метод доказательства существования решения нелинейных уравнений. Применительно к рассматриваемым в диссортации задачам этот метод приводит, например, к следущему принципу разрешимости системы (8) в классе периодических функцій: если для всех Г-пориодических рошоний всех систем
— = T(x,y,z) і Xf(t.x.y.z) ,
dt
— = Q(x,y,z) + \g(t,x,y,z) Л (11)
dt
— = R(x,y,z) * \h(t,x,y,z) ,
dt
гдо О < к < 1 , спраьодлігеа общая априорная оценка сверху и
векторное поле
Mt) = u(t) - и(Т) - J Tla,u(e)lda , (12)
где u = (x,y,z) и F = (P,Q,R) , на сферах больших радиусов пространства С[0,Т) имеет ненулевое вращение, то система (8) имеет по крайней мере одно Г-периодическое решение.
Диссертационная работа состоит из двух глав, включающих девять параграфов. Первая гл.чва посвящено вопросам об априорных оценках для периодических и ограниченных решений системы (11). Вторая глава содержит исследования, относящиеся к вопросам существования рошоний указанного типа у системы (8), а также некоторым приложениям.
Первая глава состоит из пяти параграфов. В 1 приводятся постановки основных задач, изучаемых в работе, о также формулируется ряд необходимых в последующих построениях сведений.
В 2-4 изучаются условия существования общей априорной оценки для всех ограниченных решений всех систем (11) . Показывается, что эти условия связаны со свойствами ураЕНония
R(x,y,z) = О . (13)
В 2 и 3 изучается ситуация, когда
R(0,0,tD *0 (14)
и выполняется одно из двух условий:
Условие 2.1. Уравнение (13) при каждой фиксированной паре (х.у) имеет единственное ропюппо z = ФЛг.у.) .
Условие 2.2. Уравненио (13) при каждой фиксированной паро (х.у) * (0,0) имеет ровно дпп р.-.;іГ'Ш:я z = ф, Г.г.і/> и z = <\>?(т,у),
В 4 изучается шх>тягогпл;«;г'Л к м-П ситу'жии. ког-до
,г;,'.:.">, і > - і'1; (15)
.гок утом гпзедголпгается, что
R(x,y,1)R(x,y,-1) * О , \x\+\y\ * О . (16)
В 2 изучается ситуация, когда выполняется Условие 2.1. Наряду с (8) вводится в рассмотрение однородная системо
— = РГх,у,ф(х,у)1 ,
(17)
at ay
— = QCx,y,$(x,y)] ,
dt
Основной в 2 является
Теорела 2.1. Пусть m > п > О и выполнено Условие 2.1. и соотношение (14) . Пусть система (17) не имеет ненулевнх ограниченных решений. Тогда существует число М = U(f,g,h) < м такое, что для всех ограниченных решении (x(t), y(t), z(t)) всех систем (11) справедлива общая априорная оценка
^(t) + yz(t) + z2(t) < If2 , -« < t < » . (18)
В 5 3 изучается ситуация, когда выполняется Условие 2.2. Наряду с (8) рассматриваются также системы
— = Р1х,у,ф.(х,у)) .
dt '
— = Q(x,y,^(x,y)J ,
(19)
— = РГх,у.фр(х,у)1 ,
dt
— = йіх,у,ф2(х,у)і ,
(20)
Пусть tQ (-«>,»J и вектор-функция (x(t), y(t)) является решением системы (19) при t < t0 и решением системи (20) при t > t0 . Тогда будем говорить, что (x(t), y(t)) является гибридным решением упорядочетюй пары систем (19)-(20). Будем говорить, что систе.ма
— = P(X,IJ,Z),
— - Q(x,y,z), \ (21)
dt
— = R(x.y.z),
at
обладаот Основним свойством, если выполнены следующие условия:
1 системи (19) и (20) но имеют ненулевых ограниченных
решений;
2 если
Щх.у.г) > О ( R(x,y,z) < О ) при '^(х,у) < z < <рг(х,у) ,
то упорядоченная пара систем (19)-(20) (упорядоченная пара систем (20)-(19)) не имеет ненулевого ограниченного гибридного решения.
Справедлива
Теорем 3.1. Пусть т > п > 0 , ш > 1 . Пусть выполнено соотношение (І4) и Условие 2.2 . Пусть , наконец , система (21) обладаот Основным свойством. Тогда существует Ы , О < И < со , такое, что для всех ограїшчошшх решений (x(t), y(t), z(t)) всох систем (11) справедлива общая априорная оценка (18).
В 4 изучается вопрос об априорных оценках (18) для ограниченных решений системы (11) в предположении, что система (8) является автономной и выполнены соотношения (15) и (16).
Установлена
Теорем 4.1. Пусть О < п < т < п+1 . Пусть система (8) являотся автономной и виполнеїш соотношения (15) и (16). Тогда существует число U , 0 < U < «. , такое , что для всех ограїшчошшх решений (x(t), y(t), z(t)) всох систем (11) справедлива общая априорная оценка (18).
Одним из условий в теореме 3.1 является требование отсутствии у упорядоченной пары систем (19)-(20) ненулевых огршшчешшх гибридных решений. В 5 изучается вопрос об условиях отсутствия таких решения у упорядоченной пары систем вида
dx „
— = Р(х) . х е R2 , . (22)
. at
— = Q(x) , х є Л2 , (23)
где V(x) и Q(x) - положитолыго-одіїородішо функции порядка т > О Положим х = (і,т\) и
Р(х) = (?,(l,T)),?2a,T))) , Q(x) = (Q,(Z,r}),Q?(t,ri)) ,
Через Q($) и г)(ф) ( О < ф < 2% ) обозначим одну из непрерывных ветвей соответственна функций
Р2(соз$,з1п/р) Q2Гcosф,зtпф^
И(ф) = Arctg . С(ф) = Arctg - ,
Р^(сооф,зЩ) Я^(созф,зІп$)
причем ОГО; и Г)СО) ( О < 0(0) < 2% , О < Г}(0) < 2% ) ость углы соответственно между векторами (1,п) и (Р1(1,0),Рп(1,0)) и между векторами (1,0) и (Q^(1,0),Q2(1,0)) , отсчитнпаомыо от (1,0) в положительном направлении.
Пусть Фк и Ф. - множества всех корней, соответственно, уравнений ОГф; - ф = 2Рж и т)Гф.» - ф = (21*1)% .
Если каждый корень уравнения 8(ф; - ф = кк меньше каждого корня уравнения Э(ф) - ф = Ск-1)г, то говорят, что система (22) обладает свойством Гомори.
Будем говорить, что множества А и 5 на числовой прямой отделимы, если существует число а такое, что либо Ас («>, а) и В с (a, m) , либо Л с Лз, <») и В с С-«>, а; .
Пусть системы (22) и (23) обладают свойством Гомори. Пусть при любых фиксированных целых к и I множества Ф. и Ф, отделимы. Тогда будем говорить , что упорядоченная пара систем (22)-(23) обладает свойством Гомори.
Теореш 5.1. Упорядоченная пара систем (22)-(23)' но имеот ненулевых ограниченных гибридных решепий, если и только осли она обладает свойством Гомори.
Вторая глава состоит из четырех параграфов. В 5 6 приводятся признаки существования периодических и ограниченных роиений системы (8). Приведем некоторые из полученных результатов.
Теорема 6.1. Пусть в условиях одной из теорем 2.1, 3.1 или 4.1 векторное поле (12) имеет ненулевое вращение на сферах SM = (u(t) е СГО.Т) : [u(t)\c - Ч) при всех достаточно больоих 1 > О. Тогда система (8) имеет по крайней мере одно Г-периодичоскоо решение.
Тсорела 6.2. Пусть для всех ограниченных решений всох систем (11) им*от место общая априорная оценка (18). Пусть индекс нулевой осг.гой точки векторного гтолл
F(w) = ( F(w), Q(u>). R(w) ) , w = (x.y.z) , (24)
отличен от нуля: Ind (F,Q) t 0 . Тогда система (8) имеет по крайней мере одно У-периодическое решение.
Теорема 6.3. Пусть в условиях одной из теорем 2.1, 3.1 или 5.2 выполнено соотношение Ind (F.B) Ф 0 . Тогда система (8) имеет по крайней мере одно Т-периодическое решение.
Теорела 6.4. Пусть правые части системы (8) являются ограаичешшми по t функциями. Пусть имеет место априорная оценка (18) . Пусть, наконец , Ind (F,B) ї О . Тогда система (8) имеет по крайней мере одно ограниченное решение.
В 7 обсуждается вопрос о распространении результатов }j 2-6 на дифференциальные уравнения более сложной природы. Рассматривается система дифференциальных уравнений запаздывающего типа
— = F(x.y.z) + f[t,x(t),x(t-i),y(t),y(t-i),z(t),z(t-t)),
(It
(25)
— = Q(x,y,z) + Btt,x(t),x(%-i),y(t),y(t-x),z(t),z(t-i)), dz
= R(x,y,z) + h(t,x(t),x(t-i),y(t),y(t-x),z(t),z(t-i)].
где і > О , функции P , Q и R удовлетворяют соотношениям (9), а нелинейности / , g и h непрерывны по совокупности переменных, ограничены по переменной t и удовлетворяют соотношениям
|/ftfx1,x2,i/1,y2,z1,z2J|
lim sup Г-»ш t
= о ,
(26)
lgrt,i1,x2,j/1,j/2,z1,z2;i
1 lm аир г-»ю t
|hft,x1,x2,y1,y2,z1,z2J|
llm аир r+m t
г*
~xT7
v x^ + y^ + zl- +x\* y\
і z
|. Для системы (25) устанав-
ливаются аналоги утверждений, получешшх в 2-6.
В 8 рассматриваются скалярные дифференциальные уравнения вида
t * I
u - R(u,u ,u ) - h(t,u,u ,u ) = 0. (27)
где R(x,y,z) - положительно-однородная функция порядка т > О , а функция h(t,x,y,z) удовлетворяет соотношению
)b.(t.x.y.z)\ . -^-
llm пир ——--_"- --- = О , г = Xе* \fi~z?~.
r+a, t г"
На уравпоітио (27) распространяются полученные в 2-6 результаты. Приведем некоторые из них.
Пусть выполнено Условие 2.2. и <р^(х,у) и <р~(х,у) - это решения уравнения (13). Рассмотрим скалярные уравнения
ф,ГГД; = \г , (28)
Ф2(1,ц) = у? , (29)
и системы дифференциальных уравнений
х\ = .V . у] = ф, Гдг.уJ , ГЭС»
г" = .V . У* = Ф2Г^,у) , C37J
Георева 8.f. Пусть R(0,0,*1) * О и m > Г . Пусть выполнены Условие 2.2 и уравнения R(x,y,z) > О ( R(x,y,zi < 0 ) прл ф^х.у) < г < ^(х,у) ,
то упорядоченная пара систем (30)-(31) ( упорядочонпвя тара систем (31)-(30)) обладает свойством Гонора. Тогда для всох ограниченных решений всех уравнений вида (27), в которих вместо h(') рассматриваются функции W-J, 0< \ < Т, справедлива обшая априорная оценка
\U(t)\Z * \\1 (t)\Z * \u](t)\2 < ff < 00 . -4D < t < СО .
Teopem 8.2. Пусть в условиях теоремы 8.1 выполнено соотношение Ind (F,Q) t 0. где T(x,y,z) - (y,z,R(x,y,z)). Тогда уравнение (27) тлеет по крайней мере одно огрзттчонпоо вместо с производными первого и второго порядков репопие.
В 8 приводится также ряд иллюстративных приморов.
В 5 9 обсуждается вопрос о суиоствовонии популотдіх периодических решений системы (8) . Рассматривается ситуация, когда (8) представляется так ко в виде
й1 at
PQ(x,y,z) і fQ(t,x.y,z) , Q0(x,y,z) і gQ(t,x,y,z) ,
(32)
— ^ RQ(x,y.z) t hQ(t,x.y,z) ,
Z Ш вир г->Э t
- = o.
Itm аир r+O t
Ilm аир r+O t
где функции PQI в0ий0 - полокитолілю однородные порядков n0, nQ и mQ соотвотствешю. при этом лл / mQ , а функции /0, gQ и hQ являются Г-периодическими по t , причем
т.о. система бесконечности.
(8) "почти" однородна не только в окрестности но и в окрестности нулевой точки, фазового пространства (с другими, вообще говоря, порядками однородности). На систему (32) першосятся (с вотиствонныыи модификациями) результаты 5 2-6. При этом априорные оценки для ограїшчешшх решений (x(t),y(t).z(t)) семейства систем вида (32) (когда в іграьой части присутствует парамотр \: см. (It)) устанавливаются не "сверху" (как это было в 5 2-6), а "снизу", т.е. устанавливаются оценки типа
вир (^(t) * у2^) + z2(t)) > р > О . %
Основной в 9 является
Теорела 9.3. Пусть для системи (8) выполнены условия одной из теорем 2.1 или 3.1, а для системи (32) - условия их аналогов. Пусть (nd (F, Q) * Ind (FQ, Q) , где F - векторюв поле (24) п FQ * (FQ, Qq, Rq) . Тогда система (8) имеет по крайней цоро одно ненулевое ^-периодическое решение.
