Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена некоторым аспектам динамики шестимерных автономных гамильтоновых систем, то есть систем с тремя степенями свободы. Системы дифференциальных уравнений, которые можно записать в гамильтоновой форме, являются классическим объектом исследования в теории дифференциальных уравнений. Они описывают математические модели явлений, возникающих в различных разделах современной физики, механики, гидродинамики, нелинейной оптики, химии (задачи молекулярной динамики). В некотором смысле можно сказать, что большинство физических задач на базисном уровне, без учета диссипации, описываются гамильтоновыми системами, и поэтому их изучение представляет первостепенный интерес.
В настоящее время общепризнано, что большинство гамильтоновых систем имеет весьма сложную динамику и одним из основных проявлений этой сложности является наличие в них гомоклинических траекторий к инвариантным множествам различного типа. Известно, что изучение гомоклинических траекторий и поведения гамильтоновой системы в окрестности таких траекторий началось с работ А. Пуанкаре, обнаружившим сложное поведение устойчивого и неустойчивого многообразий седловой неподвижной точки при наличии трансверсальной гомоклинической траектории. Затем это изучение было продолжено в работах Дж. Биркгофа: для случая двумерных симплектических диффеоморфизмов им было доказано существование счетного множества седловых периодических траекторий в окрестности трансверсальной гомоклинической траектории к седловой неподвижной точке. Следующий шаг был сделан С. Смейлом, доказавшим, при условии линеаризации диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки, теорему о сложной структуре поведения траекторий в малой окрестности трансверсальной гомоклинической траектории. Однако задача об описании структуры множества всех траекторий, целиком лежащих в малой окрестности гомоклинической орбиты, им не была решена. Эта задача без каких-либо дополнительных предположений была затем решена Л.П. Шильниковым. Все это касалось изучения гомоклинических траекторий к седловым периодиче-
ским траекториям гладких потоков или, соответственно, гомоклинических траекторий седловых неподвижных точек гладких диффеоморфизмов.
Л.П. Шильников был первым, кто обнаружил сложную динамику траекторий гладкого трехмерного потока в окрестности гомоклиническои траектории к состоянию равновесия типа седло-фокус. Эта ситуация имеет место в предположении положительности седловой величины седло-фокуса. При переходе к гамильтоновому случаю, ввиду симметрии спектра линеаризации потока в состоянии равновесия, это условие не выполняется. Пытаясь перенести результат Л.П. Шильникова на гамильтонов случай, Р. Девани обнаружил, что в окрестности трансверсальнои гомоклиническои траектории седло-фокуса гамильтоновой системы имеется инвариантная подсистема, описываемая на некоторой секущей как топологическая схема Бернул-ли из двух символов. Затем Л.М. Лерманом было получено полное описание системы в окрестности трансверсальнои гомоклиническои траектории к седло-фокусу на критическом уровне гамильтониана (то есть содержащем седло-фокус и гомоклиническую траекторию) и показано, что при переходе к близким уровням гамильтониана в системе происходит большое число различных бифуркаций, в результате которых система усложняется и, в частности, число состояний схемы Бернулли, которая описывает поведение некоторой инвариантной гиперболической подсистемы, имеющейся на всех близких уровнях гамильтониана, растет и стремится к бесконечности при подходе к критическому уровню.
Важность исследования гомоклинических явлений состоит в том, что наличие гомоклинических траекторий к седловым периодическим траекториям приводит к сложной динамике соответствующей гамильтоновой системы и, в частности, может служить обоснованием неинтегрируемости гамильтоновой системы. Вопросы же интегрируемости или неинтегрируемости системы важны в прикладных задачах. Кроме того, изучение структуры системы в окрестности гомоклиническои траектории является важным с точки зрения понимания структуры неинтегрируемой гамильтоновой системы и позволяет существенно продвинуться в исследовании особенностей такого поведения.
Цель работы. В диссертации изучаются некоторые задачи, связанные с существованием гомоклинических траекторий к периодическим движениям различного типа при наличии эллиптических направлений и изучением структуры гамильтоновой системы с тремя степенями свободы в окрестности таких гомоклинических траекторий с целью достижения лучшего понимания динамики неинтегрируемой гамильтоновой системы.
Общие методы исследования. В работе используются методы теории динамических систем, нормальной формы, теория КАМ, методы функционального анализа, метод усреднения, методы симплектическои геометрии и дифференциальной топологии.
Научная новизна. К настоящему моменту вопросы о структуре системы в окрестности гомоклинических траекторий к периодическим траекториям, не являющимся чисто седловыми, исследованы недостаточно. Все полученные в диссертации результаты являются новыми и вносят вклад в развитие теории гамильтоновых систем. Перечислим эти результаты:
-
Доказана устойчивость по Ляпунову состояния равновесия гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в критическом случае кратных частот (то есть при гамильтоновой бифуркации Хопфа) при положительном знаке аналога ляпуновской величины.
-
В случае периодической гамильтоновой бифуркации Хопфа в гамильтоновой системе с тремя степенями свободы, имеющей периодическое решение, доказано существование гомоклинических траекторий к рождающемуся периодическому движению типа седло-фокус при дополнительном условии обратимости системы.
-
Доказано существование четырех гомоклинических траекторий к каждому диофантову инвариантному КАМ-тору на центральном многообразии периодической траектории гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, имеющей периодическую траекторию типа седло-центр и гомоклиническую траекторию к ней. Построен оператор рассеяния для линеаризованной на гомоклиническом решении гамильтоновой системы.
Теоретическая и практическая значимость. С одной стороны, изучение структуры системы в окрестности гомоклинической траектории является важной задачей с точки зрения понимания структуры неинтегрируемой гамильтоновой системы. С другой стороны, наличие некоторых структур в фазовом пространстве (в том числе и гомоклинических траекторий) может служить критерием неинтегрируемости системы. А вопросы интегрируемости или неинтегрируемости динамической системы очень важны в прикладных задачах. Таким образом, хотя работа и носит теоретический характер, ее результаты могут иметь приложения в различных моделях прикладных наук как критерии хаотического поведения и неинтегрируемости.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа ННГУ им. Лобачевского (руководители: д.ф.-м.н., профессор А.Д.Морозов, д.ф.-м.н., профессор Л.М.Лерман), на семинарах НИИ прикладной математики и кибернетики ННГУ им. Лобачевского (руководитель: зав. отделом № 1 НИИ ПМК, д.ф.-м.н. СВ. Гонченко), а также на следующих всероссийских и международных конференциях: Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2008 и 2012 гг.); VIII Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Н. Новгород, 2008 г.); Международной студенческой конференции «Наука и Прогресс» (Санкт-Петербург, 2012 г.); Международной конференции «Анализ и особенности» (Москва, 2012 г.); Международной конференции «Динамика, бифуркации и странные аттракторы» (Н.Новгород, 2013 г.).
Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата. Из них 4 статьи опубликованы в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертации. Все основные результаты диссертации принадлежат автору. В работах, выполненных совместно с Л.М. Лерманом, автору принадлежат доказательства всех основных результатов, Л.М. Лерману принадлежат постановки задач, участие в обсуждении результатов и общее руководство работой.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 51 наименования. Объем диссертации составляет 107 страниц машинописного текста. Диссертация также содержит 7 иллюстраций.
