Введение к работе
Актуальность темы. Исследования, проводимые в диссертации, посвящены изучению влияния вырождения дифференциального оператора линейной начально-краевой задачи на ее корректность и анализу метода регуляризации некорректной краевой задачи. Вырождение главной части оператора на некотором множестве положительной меры является причиной некорректности рассматриваемых задач1,2. В диссертации предложена программа исследования некорректной задачи Копій для линейного эволюционного уравнения с вырождением (в том числе, для таких уравнений, как уравнение Шредингера, уравнение диффузии и уравнение Фоккера-Планка), позволяющая определить области корректности и некорректности в пространстве начальных данных, процедуру аппроксимации исходной некорректной задачи последовательностями регуляризованных корректных задач и предельные свойства последовательности регуляризованных решений, зависящие от исходного уравнения и не зависящие от выбора регуляризации.
Основным объектом исследований является задача Копій для уравнения Шредингера с гамильтонианом L, вырожденным на некотором подмножестве координатного пространства:
i—u{t) = Lw(t), t Є (0, +оо) = R+, (1)
м(+0) = и0; м0 Є Я, H = L2(R.d), de N. (2)
Здесь и : R+ —> Н - неизвестная функция, a L - линейный симметричный оператор в пространстве Н, заданный дифференциальным выражением второго порядка с вырожденной характеристической формой:
Liv(x) = div(g(x)gra,dv(x) + —[(a(x), gra,dv(x))+div(a(x)v(x))]+c(x)v(x). (3)
Коэффициенты gij{x), %-(с), c{x) дифференциального выражения (3) являются вещественнозначными измеримыми функциями, матрица-функция д{х) симметрична и неотрицательно определена. В диссертации исследовано влияние вырождения матрицы-функции д{х) на некотором подмножестве координатного пространства Rd на спектральные свойства гамильтониана задачи L, на постановку задачи и свойства ее решений.
1 Fichera G. On a unified theory of boundary value problems for elliptic-parabolic
equations of second order// Boundary problems in differential equations, The Uni
versity of Wisconsin Press, Madison, 1960, P. 97-120.
2 O.A. Олейник О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной
характеристической формой// Матем. Сб. 1966. Т. 69 (111), вып. 1, с. 111-140.
Дифференциальные уравнения второго порядка с вырождением изучались О.А. Олейник, Г. Фикера, СМ. Никольским, П.И. Лизоркиным, М.И. Фрейдлиным и многими другими авторами. Эффективным инструментом изучения задач указанного типа является принцип максимума. Однако консервативность оператора Шредингера и обратимость уравнения Шредингера по времени делают невозможным непосредственное применение принципа максимума, на котором основаны исследования статьи3.
Особенностью рассматриваемой в диссертации задачи является вырождение дифференциального оператора L на некотором множестве координатного пространства положительной меры (см. [7], [10]). В этом случае размерности дефектных подпространств оператора L зависят от поведения коэффициентов при младших производных. Если хотя бы один из индексов нетривиален, то квадратичная форма оператора L является неограниченной как сверху, так снизу. Указанные свойства оператора L являются препятствием для применения к исследованию задачи (1), (2) методов, связанных с изучением билинейной формы оператора, описанных в монографии4. В статье5 вариационные методы распространены с помощью регуляризации на дифференциальные операторы второго порядка в дивергентной форме. Условия, налагаемые в указаннной работе на коэффициенты при старшей производной, не выполнено для расссматриваемого в диссертации оператора с вырождением на множестве положительной меры.
В работе6 исследованы функциональные пространства с весом с помощью которых развит вариационный метод решения краевых задач для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области. Глубокий анализ влияния поведения коэффициентов вырождающегося дифференциального оператора на разрешимость краевой задачи и свойства ее решения проведен в цикле работ7. В этих исследованиях
3 О.А. Олейник, Е.В. Радкевич, Уравнения второго порядка с
неотрицательной характеристической формой. Итоги науки. Серия: математика.
Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1969.
4 О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева, Линейные и
квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
5 В. В. Жиков "К проблеме предельного перехода в дивергентных
неравномерно эллиптических уравнениях"Функ. ан. и его прил. 2001. 35: 1, 23-39.
6 Л.Д. Кудрявцев, О вариационном методе отыскания обобщенных решений
дифференциальных уравнений в функциональных пространствах со степенным
весом. Дифф. уравнения, 19 (1983), 1723-1740.
7 В. П. Глушко, Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения.
Части 1-4// Дифф. уравнения. 1968, т. 4, вып. 9, с. 1584-1597; т. 4, вып. 11,
рассматриваестя вырождающийся на границе эллиптический оператор высокого порядка, на скорость вырождения которого накладывется ограничение типа условия Макенхаупта. Определена зависимость класса весовых функциональных пространств, обеспечивающих корректную разрешимость краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений, от поведения вырождающихся коэффициентов.
В диссертации рассматривается случай вырождения на множестве положительной меры и метод введения весовых функций трансформируется в метод эллиптической регуляризации (см. [1]-[6]).
В исследованиях Э. Хопфа, О.А. Олейник, Ж.-Л. Лионса, А.Н. Тихонова, И.М. Гельфанда, С.Н. Кружкова и ряда других авторов формировалось понятие регуляризации как аппроксимации некорректной задачи последовательностью корректных задач. Развитию методов эллиптической регуляризации посвящены работы В.В. Жикова, И.В. Мельниковой, СЕ. Пастуховой по аппроксимации операторов линейных краевых задач и полугрупп для эволюционных уравнений, работы М.И. Фрейдлина по регуляризации стохастических дифференциальных уравнений, работы С.Н. Кружкова, Е.Ю. Панова по исследованию уравнений и систем уравнений с частными производными первого порядка методом исчезающей вязкости, работы П.И. Плотникова по регуляризации нелинейных уравнений с переменным направлением времени (уравнений Гинзбурга-Ландау, уравнений химической кинетики). В работе Ю.В. Егорова8 проанализированы различные подходы к определению решения более сложных систем дифференциальных уравнений с частными производными (например, системе уравнений теории упругости) и отмечена неединственность процедуры расширения понятия решения.
Описание волн разряжения и ударных волн в газовой динамике сталкивается с проблемами корректной постановки начально-краевой задачи для уравнения с частными производными первого порядка. Эти проблемы были решены с помощью применения метода исчезающей вязкости в работах О.А. Олейник, С.Н. Кружкова и ряда других авторов. Было установлено отсутствие глобального классического решения, попытки расширить класс решений приводили к неединственности решения и недоопределенности условий на возможных линиях разрыва негладких решений (история этих исследований изложена, например, в монографии С.Н. Кружкова). Именно метод исчезающей вязкости позволил из множества различных условий на разрывы решений выделить
с. 1956-1966; 1969, т. 5, вып. 3, с. 443-445; т. 5, вып. 4, с. 599-611.
8 Ю.В. Егоров. К теории обобщенных функций// УМН. 1990. Т. 45. N 5. С. 3-37.
то единственное условие, которое, во-первых, определяет корректную начально-краевую задачу, во-вторых, решение указанной задачи является пределом последовательности решений задач с вязкой регуляризацией и, в-третьих, полученное из предельного перехода условие имеет физический смысл возрастания энтропии.
Исследования диссертации следуют схематически описанной выше программе применения метода исчезающей вязкости. Ставится цель определить понятие регуляризации вырожденного уравнения Шредингера и получить динамическое преобразование вырожденной квантовой системы с помощью предельного перехода по последовательности регуляризованных квантовых систем, а также исследовать зависимость поведения последовательности регуляризованных решений от выбора регуляризации, получить описание множества частичных пределов таких последовательностей и исследовать стохастические свойства расходящихся последовательностей (см. [5], [9], [12]).
В классической физике и в квантовой механике возникает необходимость в исследовании систем с вырожденным гамильтонианом и влияния вырождения на свойства динамики таких систем. В частности, вырождение гамильтониана может возникнуть за счет зависимости массы системы от ее положения в координатном или фазовом пространстве9,10. Вырождение гамильтониана приводит к невозможности определить динамику системы уравнениями Л агранжа- Эйлера в классической механике и уравнением Шредингера в квантовой механике. Так в случае классической механики задача Коши для системы уравнений Л агранжа- Эйлера с вырождением может не иметь решений или иметь бесконечное множество решений11. Различные аналитические и геометрические подходы к определению динамики лагранжевои системы с сингулярными поверхностями вырождения лагранжиана в фазовом пространстве, влияние вырождения лагранжиана на поведение траекторий и на существование интегралов движения изучались в работах Ю.Н. Орлова и И.П. Павлоцкого12. Ряд результатов о вероятностных свойствах динамики классических систем, возникающих в предельном переходе в
9 М. Gadella, S. Киги, J. Negro, "Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching conditions", Phys. Letters A, 362 (2007), 265-268.
10 M. V. Karasev, Magneto-metric Hamiltonians on quantum surface in the config
uration space. Russ. J. Math. Phys. Vol. 14, N 1, p. 57-65.
11 Д-М. Гитман, И.Д. Тютин, Каноническое квантование полей со связями.
М.: Наука, 1986.
12 Orlov Yu.N., Pavlotsky LP. The Postgalilean Equation of Hydrodynamics with
Viscosity.// Physica A. 1990. V. 167. P. 903-918.
слабой топологии, изложен в монографии13.
В отличие от указанных работ по исследованию вырожденных систем классической механики в диссертации исследуется случай вырождения гамильтониана квантовой системы. Доказано, что вырождение линейного дифференциального оператора L приводит к тому, что задача Коши для уравнения Шредингера может не иметь решения, а обобщение понятия решения допускает различные формулировки. Для того, чтобы установить, какое динамическое преобразование фазового пространства задает гамильтониан с вырождением, изучаются невырожденные гамильтонианы Le из окрестности вырожденного и связанные с ними динамические преобразования Te(t), t > 0. Динамическое преобразование, задаваемое вырожденным гамильтонианом L, определяется с помощью процедуры регуляризации - предельного перехода по последовательности преобразований Le, заданных невырожденными гамильтонианами. В случае сходимости последовательности регуляризованных преобразований динамика вырожденной системы определена однозначно. Но такая сходимость не всегда имеет место. Существование нетривиального множества частичных пределов последовательности динамических преобразований рассматривается как проявление стохастических свойств системы с вырожденным гамильтонианом (см. [12]).
В работах Л. Аккарди, И.В. Воловича и других авторов (см.14) изучаются вероятнотстные свойства динамики квантовых систем, возникающих при исследовании стохастического предела. В рамках такого подхода вводятся в рассмотрение квантовые системы, являющиеся предельными точками в различных топологиях, близких к слабой операторной, некоторых последовательностей квантовых систем с унитарной эволюцией. Теория стохастического предела основана на расмотрении последовательностей квантовых систем в различных гильбертовых пространствах, предельная эволюция определяется в предельном пространстве и может проявлять свойство необратимости или нарушение полугруппового свойства динамического преобразования. Изучаются представления предельной динамики в терминах квантовых стохастических дифференциальных уравнений с различными формами квантовых случайных процессов.
В диссертации рассматривается близкая задача предельного перехода для последовательности квантовых динамических систем, действующих в
13 В. В. Козлов, Термодинамическое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. -
Москва-Ижевск, Современная Математика, 2002.
14 L. Accardi, Y. G. Lu, I. V. Volovich. Quantum theory and its stochastic limit.
Springer, Texts and monographs in physics, 2001.
фиксированном одночастичном гильбертовом пространстве Н. Сходимость последовательности унитарных полугрупп |Ue(t), е —> 0, } преобразований векторного пространства Н, где Ue(t) = e~*Le*, t > О, изучается в сильной и в слабой операторных топологиях, а сходимость последовательности динамических полугрупп {Te(t), є —> 0,} преобразований множества квантовых состояний изучается в *-слабой топологии и более слабых топологиях в виду отсутствия секвенциальной компактности последовательности в *-слабой топологии.
Отсутствие частичных пределов в *-слабой топологии последовательности регуляризованных динамических полугрупп {Te(t), є —> 0,} и необходимость анализа ее предельного поведения приводят к идее представить указанную последовательность как случайный процесс на множестве параметров регуляризации Е = (0,1) с конечно-аддитивной мерой ц, сосредоточенной в произвольной проколотой окрестности предельной точки е* = 0. Применение конечно-аддитивных мер в описании квантовых случайных процессов и развитие общей теории случайных процессов с конечно-аддитвными переходными функциями содержатся в работе15. В случае расходимости последовательности регуляризованных динамических полугрупп предельная эволюция множества квантовых состояний определяется многозначным отображением и случайными процессами.
Цели исследования.
-
Изучить влияние геометрии области вырождения, скорости вырождения коэффициентов и их гладкости на корректность задачи Копій для уравнения Шредингера и спектральные свойства вырожденного гамильтониана.
-
Исследовать некорректные задачи Копій методом исчезающей вязкости и определить регуляризацию некорректной задачи в терминах аппроксимаций вырожденного гамильтониана.
3. Дать вероятностную интерпретацию расходимости
последовательности решений регуряризованных задач,
аппроксимирующих исходную некорректную задачу.
4. Исследовать свойства случайного процесса, которым
является последовательность регуляризованных решений, и свойства
математических ожиданий указанных процессов.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Результаты о зависимость индексов дефекта (п_,п+)
15 Л. Аккарди, О. Г. Смоляное Расширения пространств с циллиндрическими мерами и носители мер, порождаемых лапласианом Леви. Матем. Заметки. 1998. Т. 64. N 4. С. 483-492.
вырожденного гамильтониана L от геометрии области вырождения и гладкости коэффициентов дифференциального выражения.
-
Описание класса допустимых последовательностей задач Копій, аппроксимирующих некорректную задачу Копій с вырожденным оператором L и называемых регуляризацией, удовлетворяющих следующему условию: тип поведения (а именно, сходимость, компактность и множество частичных пределов) последовательности решений регуляризованных задач un(t) = e~lL,ntuo, п Є N, определяется спектральными свойствами оператора L. Описание множества частичных пределов последовательности регуляризованных полугрупп {e~*Lrl*} в терминах расширений вырожденного симметрического гамильтониана L.
-
Теоремы о сходимости в слабых топологиях последовательности регуляризованных операторов плотности pn(t,uo) = e~гL,^/э(г^o)eгL,^, п Є N, соответствующих решениям регуляризованных задач.
-
Представление последовательности регуляризованных операторов плотности случайными процессами на измеримом пространстве с конечно аддитивной мерой (Е,2Е,р) и значениями в банаховом пространстве (В(Н))* квантовых состояний. Теоремы о связи множества частичных пределов последовательности регуляризованных операторов плотности {pe(t,uo), є —> 0,} в слабых топологиях, определяемых конечными наборами функционалов из предсопряженного банахова пространства В{Н) ограниченных операторов, и математическими ожиданиями случайных процессов.
5. Теоремы о динамических свойствах семейства TM(t), t > О
усредненных по мере р регуляризованных динамических преобразований
Te(t), t > 0, є Є Е. Описание области инъективности и сюрьективности
усредненных преобразований TM(t).
Научная новизна 1. Симметрическому, но не самосопряженному оператору в гильбертовом пространстве с помощью процедуры регуляризации сопоставляется, в зависимости от его спектральных свойств, либо однозначная изометрическая полугруппа в пространстве квантовых состояний, либо случайный процесс со значениями во множестве динамических преобразований совокупности квантовых состояний.
2. Дано определение регуляризации вырожденного оператора в терминах аппроксимации его графика графиками операторов корректных задач. Приведены примеры последовательностей регуляризованных гамильтонианов - линейных дифференциальных операторой 2-го, 4-го и т.д. порядков. Найдены необходимые и достаточные условия сходимости последовательности регуляризованных полугрупп в сильной операторной
топологии. Получены связи между сходимостями последовательности полугрупп и сходимостями их генераторов в различных операторных топологиях. Определено множество частичных пределов совокупности последовательностей регуляризованных полугрупп.
3. Установлено, что в общем случае произвольная последовательность
регуляризованных операторов плотности {pe(t), е —> 0}, расходится
в *-слабой топологии пространства В*{Н), определяемой всеми
линейными непрерывными функционалами из предсопряженного
пространства ограниченных операторов В(Н). Предложено рассмотреть
расходимость последовательности регуляризованных операторов
плотности {pe(t), е —> 0} как схему возникновения стохастичности в
динамике квантовой системы с вырожденным гамильтонианом.
4. Вводится обобщение понятия случайного процесса как
параметризованного семейства измеримых отображений, заданных
на измеримом пространстве с неотрицательной нормированной мерой,
которая может не быть счетно аддитивна (последняя возможность
и является обобщением принятого определения). Расходящаяся
последовательность регуляризованных операторов плотности
рассматривается как случайный процесс со значениями во множестве
квантовых состояний Т,{Н) (части единичной сферы пространства В*{Н),
лежащей в положительном конусе) на вероятностном пространстве
(Е,2Е,р). Здесь Е = (0,1) - множество параметров регуляризации, 2Е -
алгебра всех его подмножеств, р - конечно аддитивная нормированная
неотрицательная мера на множестве Е, заданная на алгебре 2Е и
сосредоточенная в произвольной окрестности предельной точки 0
множества Е. Посредством математических ожиданий введенных
случайных процессов дано параметрическое описание множества
частичных пределов последовательности регуляризованных операторов
плотности.
-
Определено банахово пространство интегрируемых в смысле Петтиса по конечно аддитивной мере функций со значениями в гильбертовом пространстве Н (в банаховом пространстве, содержащем множество квантовых состояний). Расходящаяся последовательность регуляризованных полугрупп представлена как унитарное преобразование введеного гильбертова пространства.
-
Сформулирована и решена задача об определении введенного случайного процесса по данным наблюдений за его математическими ожиданиями. Предложена процедура аппроксимации неизвестного начального состояния процесса решениями конечного множества вариационных задач.
Теоретическая и практическая ценность
Результаты работы имеют теоретическое значение. Методы и результаты работы, кроме самостоятельного интереса с точки зрения теории вырождающихся дифференциальных операторов и некорректных краевых задач, могут иметь применения в теории функций, в квантовой механике и физике полупроводников.
Апробация диссертационной работы
Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры высшей матемитики МФТИ под руководством Г.Н. Яковлева и Е.С. Половинкина; на семинаре ИПМ РАН под руководством В.В. Веденяпина, М.В. Масленникова Ю.Н. Орлова;, на семинарах ВЦ РАН под руководством А.А. Абрамова и Б.В. Пальцева, под руководством А.А. Шананина; на семинарах Математического института им. В.А. Стеклова РАН под руководством акад. СМ. Никольского и чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева, под руководством А.К. Гущина, А.А. Дезина и В.П. Михайлова, под руководством акад. B.C. Владимирова и член-корр. РАН И.В. Воловича; на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством В.В. Власова, А.Г. Костюченко и К.А. Мирзоева, под руководством А.Г. Костюченко и А.А. Шкаликова, под руководством В.В. Жикова, А.С. Шамаева и Т.О. Шапашниковой, под руководством В.А. Кондратьева и Е.В. Радкевича, под руководством акад. В.В. Козлова и член.-корр. РАН Д.В. Трещева, под руководством О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе; на семинаре ВГПУ под руководством В.В. Жикова; на семинаре ВМК МГУ под руководством акад. В.А. Ильина и акад. Е.И. Моисеева; на семинаре РУДН под руководством А.Л. Скубачевского; на семинаре МЭИ под руководством А.А. Амосова и Ю.А. Дубинского.
Публикации Результаты диссертации опубликованы в 24 работах, из них 12 статей в научных журналах и 12 тезисов докладов на международных конференциях. Все результаты совместных статей [3], [11], включенные в диссертацию, получены лично автором.
Структура диссертации. Диссертация "Динамика квантовых систем с вырожденным гамильтонианом" состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 124 наименований.
