Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время имеется довольно много работ, посвященных изучению квазиэллиптических уравнений во всем пространстве Д„; в частности, доказаны теоремы о разрешимости уравнений, о регулярных свойствах решений, об асимптотическом поведении решений на бесконечности, об изоморфных свойствах квазиэллиптических операторов.
Теория краевых задач для квазиэллиптических уравнений начала развиваться с 60-х годов прошлого столетия (Л. Р. Волевич, В. П. Михайлов, Г. Г. Казарян, С. М. Никольский, С. В. Успенский и др.). Наиболее изученными являются краевые задачи для квазиэллиптических уравнений в полупространстве Д+. В частности, доказаны теоремы о локальной регулярности и о нетеровости некоторых краевых задач (L. Аг-keryd, A. Cavallucci, Т. Matsuzawa, F. Ornella, С. Parenti, Е. Pehkonen, М. Troisi). Первые теоремы существования для общих краевых задач в Д+ для однородных квазиэллиптических уравнений в Соболевских пространствах W\ были получены в работах С. В. Успенского. Теоремы существования для краевых задач для неоднородных уравнений во всей шкале Соболевских пространств W1, 1 < р < оо, доказаны в работах Г. В. Демиденко, где, в частности, установлено, что индекс краевых задач в Д+ зависит от порядков дифференциальных операторов, размерности п и степени суммируемости р. Формулы решения краевых задач с помощью ядер Пуассона получены в работах Г. А. Карапетяна. Оценки решений краевых задач в пространствах Гельдера содержатся в работах В. С. Белоносова, Г. А. Шмырева. В отличие от квазиэллиптических уравнений число работ по краевым задачам для квазиэллиптических систем пока весьма ограничено.
Диссертация посвящена изучению краевых задач в полупространстве для одного класса квазиэллиптических систем. Этот класс был введен в работах Л. Р. Волевича [1] и содержит, в частности, однородные эллиптические системы, эллиптические и параболические системы по Петровскому, параболические системы по Эйдельману, однородные квазиэллиптические системы и др.
Цель работы. Основной целью диссертации является изучение разрешимости общих краевых задач для квазиэллиптических систем в полупространстве во всей шкале Соболевских пространств Wj,, 1 < р < оо, и в Соболевских пространствах Wj, а со специальными степенными веса-
ми, получение Lp-оценок решений, исследование регулярности решений.
Основные результаты. Проведены исследования корректности общих краевых задач в Д+ для квазиэллиптических систем в Соболевских пространствах W1 и Соболевских пространствах со специальными степенными весами Wp а. Установлены следующие результаты.
Для систем с постоянными коэффициентами доказаны теоремы о безусловной разрешимости и единственности в пространствах W1 при ограничениях на показатель суммируемости р > р* > 1.
Установлены достаточные условия разрешимости в пространствах Wp при р < р*. Такими условиями являются условия ортогональности правых частей некоторым полиномам.
Показано, что достаточные условия разрешимости близки к необходимым, при этом выделен класс краевых задач, для которых эти условия являются необходимыми.
Установлены точные Ьр-оцевки решений краевых задач.
Доказаны теоремы о безусловной разрешимости в весовых Соболевских пространствах Wl а при специальном выборе степенного веса.
Доказаны теоремы о регулярности решений.
Основные результаты перенесены на случай переменных коэффициентов.
Методика исследований. Доказательство теорем существования проводится с использованием конструкции приближенных решений краевых задач, предложенной в работах Г. В. Демиденко. Эта конструкция основана на использовании операторов усреднения С. В. Успенского по "касательным" переменным. При получении Ьр-оценок и исследовании регулярности решений краевых задач устанавливаются точные оценки некоторых сингулярных интегралов. При этом применяются теоремы вложения и продолжения для Соболевских пространств, используется теорема о мультипликаторах П. И. Лизоркина.
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.
В диссертации доказаны новые теоремы о разрешимости общих краевых задач в Д+ для квазиэллиптических систем в Соболевских пространствах Wp и Wp а. Впервые получены условия разрешимости краевых задач для систем во всей шкале пространств W' 1 < р < оо. Теоремы о безусловной разрешимости обобщают известные результаты по краевым задачам для квазиэллиптических уравнений. Теоремы о достаточных условиях разрешимости усиливают соответствующие результаты
по краевым задачам для квазиэллиптических уравнений.
Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались и обсуждались на конференциях: XLI-XLIII и XLVI Международные научные студенческие конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2003-2005 гг., 2008 г.), IV Международная конференция по математическому моделированию (Якутск, 2004 г.), Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (Новосибирск, 2007 г.), Российская конференция "Математика в современном мире" (Новосибирск, 2007 г.). Основные результаты докладывались на семинарах: семинар "Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики" (руководитель: профессор А. М. Блохин), семинар "Избранные вопросы математического анализа" (руководитель: профессор Г. В. Демиденко), семинар "Прикладная гидродинамика" (руководитель: член-корр. РАН В. В. Пухначев).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7].
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объем работы 173 страницы. Список литературы состоит из 88 наименований.
