Введение к работе
і. .
Актуальность темы. Исследование типичных налопараметрических семейств Сс числом параметров п<ЗЭ семейств гладких Скласса СЪ векторных полей на сфере - актуальная тема теории бифуркаций.
1. Для п=1 эта работа была проделана А.А.Андроновым и его
ученикани . Двух- и трехпараметрическим семействам посвящены
многочисленные исследования, начиная с 70-х годов по настоящее
2 время Сем. обзор и приведенные там ссылки:). Возникла потребность
составить исчерпывающие списки С«зоопарки»Э полициклов, которые
могут возникнуть в типичных малопараметрических семействах. Кроме
индивидуальных полициклов, яеобходино рассматривать также их
ансамбли, т.е. объединения полициклов, имеющих общую особую точку
или дугу.
Для случаев двух и трех параметров первый вариант списка
Сбез доказательства его полнотьй был составлен А.Ю. КотовоЙ в 1991
году. Он опубликован Ю. С. Ильяшенко под названием «зоопарк
Котовой».
2. При составлении списка ансамблей, возникающих в типичных
трехпараметрических семействах, А.Ю.Котова обнаружила принципиально
новое явление: одновременное существование континуума полициклов.
Ансамбли этого типа получили общее название «губы». Все они
содержат континуальный подансамбль, названный «тонкими губами»
Сем. рис.3 далее}. А.Ю.Котова доказала, что при бифуркациях «тонких
губ» может возникнуть любое наперед заданное число предельных
циклов, зависящее от вида отображения соответствия между двумя
Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г.,
Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. И.: Наука,
1967, 487с.
Yu.Ilyashenko and S.Yakovenko, Concerning the Hilbert
Sixteens Problem, «MS Transl.(2) vol.165, 1995.
Yu.S.Ilyashenko, Local dynamics and nonlocal bifurcations// В сборнике "Bifurcations and periodic orbits of vector fields" (ed. D.Schlomiuk), NATO ASI Series С (Mathematical and Physical Sciences), vol.40B, Kluwer, Dordrecht, Boston, London, 1993
трансверсаляии. Этот пример опровергал гипотезу о конечності множества числа топологических типов бифуркационных диаграмм для
4 фиксированного п, высказанную В.И.Арнольдом в 1985 году.
Таким образом, стала актуальной задача о построение бифуркационных диаграмм для «тонких губ».
3. Ансамбль «тонкие губы» не является максимальным, т.е. of обязан входить в некоторый больший ансамбль. Одним из полициклов, возникающих на топологической границе «тонких губ», является полицикл «седловая губа». Возникает задача построенш бифуркационной диаграммы для этого полицикла.
Цель работы. 1. Составление полного списка полициклов, которые могут возникнуть в типичных двух- и трехпараметрическю семействах гладких векторных полей на двумерной сфере.
-
Построение бифуркационных диаграмм ансамбля «тонкие губы».
-
Построение бифуркационной диаграммы полицикла «седлова* губа».
Общая методика исследования. Классификация полициклов v ансамблей в типичных малопаранетрических семействах представляет собой, по существу, комбинаторную задачу. Доказательство полноть списков использует результаты локальной и полулокальной теори* бифуркаций.
Построение бифуркационных диаграмм основано на теории конечно-гладких локальных нормальных форм. При исследованиі «тонких губ» использованы средства контактной геометри» Слежандровы расслоения и лежандровы особенности^.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являютсї новыми.
-
Составлены списки полициклов и ансамблей, возникающих е типичных малопараметрических семействах гладких Скласса С~Э векторных полей на двумерной сфере и доказана их полнота.
-
Построены бифуркационные диаграммы ансамбля «тонкие губы».
-
Построена бифуркационная диаграмма полицикла «седловая губа».
Попутно получены следующие результаты.
Арнольд В.И., Афрайнович B.C., Ильяшенко Ю.С. , Шильни-ков Л. П. Теория бифуркаций. В сб.«Соврененные проблены натенатики. Фундаментальные направления СИтоги науки и техн., ВИНИТИ АН СССРЭ» М., 1986, 5. 5-218
-
Обобщено понятие преобразования Лежандра.
-
Сформулировано понятие обобщенно-лежандровой двойственности и доказана теорема о ток, что двойственные обобщенные преобразования Лехандра взаинно обратны.
Приложения. Работа имеет теоретический характер. Ее
результаты могут найти применение при дальнейшей разработке
проблем конечности числа предельных циклов. 2 В статье в связи с проблемой Гильберта-Арнольда введено
понятие бифуркационного числа В(п). Полное исследование бифуркаций
полициклов из полученных списков позволяет вычислить В(2) и В(3).
В частности, для 2-параметрических семейств получается 2 Сем статью Э следующий результат.
Теорема. ВС2Э - 2.
Методы построения бифуркационных диаграмм могут стать основой для исследования «губ» других типов.
Конструкции, обобщающие преобразование Лехандра, могут найти применение в различных областях математики, механики, зкономики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре «Дифференциальные уравнения» Сруководитель - д. ф.-н.н. Ю. С. ИльяшенкоЗ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце. Работа 14Э написана в соавторстве с А.Ю. Котовой. Ей принадлежат следующие результаты:
-
Составление списка полициклов и ансамблей в двух- и трехпараметрических семействах Сбез доказательства его полнотьО.
-
Доказательство теоремы о произвольном числе предельных циклов, возникающих при бифуркации «тонких губ».
Определения к-зквивалентности особых точек и полициклов сформулированы редактором статьи 14Э С. Ю. Яковенко. Им же сформулированы вспомогательные утверждения. вошедшие в 1 этой статьи. Доказательства утверждений 2 и весь 3 этой статьи Сза исключением теоремы о произвольном числе предельных ЦИКЛ0ВЭ принадлежат автору диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разделенных на параграфы. Общий объем работы - 79 страниц. Библиография содержит 21 наименование.
