К теории начальных и краевых задач для междупредельных дифференциальных и разностных уравнений Чадаев Ваха Абдулмуслимович

Данный автореферат диссертации должен поступить в библиотеки в ближайшее время
Уведомить о поступлении

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - 240 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Чадаев Ваха Абдулмуслимович. К теории начальных и краевых задач для междупредельных дифференциальных и разностных уравнений : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.02 Нальчик, 2006 73 с. РГБ ОД, 61:06-1/859

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Теория дробного исчисления. Предварительные сведения 16

1.1. Исторический обзор 16

1.2. Специальные функции 17

1.3. Дробные интегралы и производные 19

1.4. Дифференциальные уравнения дробного порядка 22

Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка 26

2.1. Задача Коши в локальной и нелокальной постановках для квазилинейных уравнений дробного порядка 26

2.2. Видоизмененная задача Коши для нелинейного уравнения дробного порядка 33

2.3. Задача Коши для нелинейного уравнения дробного порядка. 37

2.4. Видоизмененная задача Коши для квазилинейного уравнения дробного порядка 41

2.5. Задача Коши для квазилинейного уравнения дробного порядка 47

Глава 3. Численное решение задачи Коши и краевой задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка 56

3.1. Модификация метода Эйлера для дифференциального уравнения с дробной производной 56

3.2. Численное решение краевой задачи для дифференциального уравнения дробного порядка методом модифицированной прогонки 61

3.3. Численное решение краевой задачи для однородного дифференциального уравнения с дробной производной 66

Заключение 69

Список литературы 70

Специальные функции
Дифференциальные уравнения дробного порядка
Видоизмененная задача Коши для нелинейного уравнения дробного порядка
Численное решение краевой задачи для дифференциального уравнения дробного порядка методом модифицированной прогонки

Введение к работе

Актуальность темы. Более углубленные исследования реальных процессов приводят к необходимости исследования дифференциальных уравнений дробного порядка. К таким процессам может быть отнесена проблема фильтрации жидкости в средах с фрактальной геометрией, физические аспекты стохастического переноса, исследование сплошных сред с памятью, математических моделей вязкоупругого тела, климатических моделей. С дифференциальными уравнениями дробного порядка связано решение гиперболо-параболических уравнений с характеристической линией изменения типа, также и нагруженных уравнений.

Дифференциальным уравнениям дробного порядка посвящены исследования Алероева Т.С., Барретта Д.Х., БечеловойА.Р., Вольтерра В., Джрбашяна М.М., Зарубина А.Н., Карасева И.М., Килбаса А.А., Кумыковой С.К., Лесковского И.П., Летникова А.В., Мандельбройта С, Маричева О.И., Нахушева A.M., Нахушевой В.А., Некрасова А.Б., Нерсесяна А.Б., Нестерова СВ., Пичера Е., Поста Е.Л., ПсхуА.В., Репина О.А., Самко С.Г., Сербиной Л.И., Сыоелла В., Хольмгрена X., Шханукова М.Х.

Цель работы. Основной целью работы является исследование видоизменной задачи Коши в локальной и нелокальной постановках для квазилинейных уравнений дробного порядка и качественный анализ решений канонических междупредельных дифференциальных уравнений. Также построение и исследование разностных аналогов дифференциальных уравнений дробного порядка для видоизмененной задачи Коши и его решение модифицированным методом Эйлера. И, наконец, решение краевой задачи для дифференциального уравнения дробного порядка методом модифицированной "прогонки".

Методы исследования. Результаты получены с использованием методов последовательных приближений, сжатых отображений, решения интегральных уравнений, а также теории разностных схем.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты.

1. Установлена связь между начальными условиями задачи Коши в локальной и нелокальной постановках, получено условие разрешимости задачи Коши для междупредельного дифференциального уравнения и также установлена эквивалентность этих задач для линейного дифференциального уравнения дробного порядка интегральному уравнению Вольтерра второго рода в одном случае и интегральному уравнению Фредгольма третьего рода в другом случае.

Для различных типов квазилинейных дифференциальных уравнений дробного порядка решена видоизмененная задача Коши, сведением исходного уравнения к интегральному, получены оценки для п-ых приближений.

Получен аналог метода Эйлера для дифференциального уравнения дробного порядка для решения задачи Коши.

4. Решена краевая задача для неоднородного дифференциального уравнения дробного порядка методом модифицированной "прогонки получен критерий устойчивости вычислительного процесса для нахождения коэффициентов "прогонки".

5. Дано решение краевой задачи для однородного дифференциального уравнения дробного порядка с использованием явной разностной схемы и критерий устойчивости вычислительного процесса.

Практическая и научная ценность. Работа является как теоретической, так и практической. Теоретическая часть может быть использована в теории дифференциальных уравнений дробного порядка, а практическая часть может быть применена для численного решения задачи Коши для конкретного дифференциального уравнения дробного порядка и также краевой задачи.

Апробация работы. Результаты докладывались в 1993 г. в работе школы-семинара по современным проблемам анализа и математического моделирования в НИИ ПМА КБНЦ РАН, г. Нальчик и включены в отчет по научно-исследовательской работе за 1992 г.; на региональной научно-практической конференции, посвященной 25-летию образования Чеченского государственного университета, 1997 г.; на региональной научно-практической конференции "Мир, согласие и сотрудничество посвященной 60-летию Чеченского государственного университета, 1998 г.; на региональной межвузовской научно-практической конференции "Вузовская наука - народному хозяйству 2002 г., г. Грозный; на региональной межвузовской научно-практической конференции "Вузовская наука в условиях рыночных отношений 10-11 декабря 2003 г., г. Грозный; на республиканской научно-практической конференции, 2004 г., г. Грозный; на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XVI 2005 г.

В первой главе собраны краткие сведения исторического характера; определения специальных функций, дробного интеграла и производной, дифференциальных уравнений дробного порядка, на которые необходимо опираться в работе.

Во второй главе изучается задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка.

В 2.1.1. рассмотрена задача Коши для дифференциального уравнения дробного порядка DS,y(t) = f(x,y), 0<х<1, 1>0 (1)

П^^гу(і)\_х=0=Ь<оо. (2)

Введем класс CJ [0, \ функций ср(х), имеющих дробную производную порядка а < 1 во всех точках х б]0, ] и представимых в виде (р(х) = х-Р(ро(х)_} где(р₀(х) ЄС[0,4

Задача (2) для уравнения (1) разрешима в классе Ср [0,^], если а+/3<1 для Ь = 0 и а:+/3=1 - для произвольного Ь.

Для простейшего междупределыюго дифференциального уравнения %/(0 = Я*) (з) единственное решение из класса Ср [0,] при а + /3 < 1 задается формулой _{*-> %}^х _{/ (О}

В отличие от условия (2) введем локальное условие \ітх¹-^ау(х) = У₀. (4)

Тогда единственное решение уравнения (3) для задачи (4) в классе С\-_а [0, ] задается формулой у (х) = У₀ X^а-¹ + >-* / (*) .

Задача (4) для уравнения порядка а < 1 названа видоизмененной задачей Коши.

В 2.1.2 рассмотрено дифференциальное уравнение дробного порядка а < 1 Dt y(t) + Yl^а (*) &^w 2/ W + ^a«+i 0*0 у w = / М. (⁵) «і > а_г+і, а_г(гг) Є С[0, l],i = 1, 2,..., п. Задано условие

1х=// DV у (t) |_ = у„

Ун - заданное число, ц Є [О, I]. Получено равенство lima;¹ ^а у (х) = ^ . . х->о ^yw Г {а) y,-f fit) устанавливающее связь между начальными условиями задачи Коши в локальной и нелокальной постановках. Из этой связи вытекает, что задача (6) для уравнения (3) в классе Ср [0, ] с а + (3 < 1 разрешима тогда и только тогда, когда y» = ff(t)

Пусть т₊ = {т : а_т > 0}, га_ = {га : а_т < 0}.

Теорема 1. Если cij(x) Є C^O,^] для всех j Є га₊ и clj(x) Є С[0,] для всех j Є га_, то задача (6) для уравнения (5) эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма третьего рода а:¹-» (я)- / тт+ g y(t)dt (fl - t)^am J К (аг, *) 2/ (*) -^- E/ _{fcr/ (*-*)} ^4у(*)Л = ^(х), F(x) =

Г (a) ^{// w} + *'"" >* / W

Из (7) и (8) при \i —>0 получаем, что y(rc) - решение уравнения _х^_1_+us*/ВД-

Г («) (=1 / (* - <) _Св)

В классе Ci-_a [0, -] уравнение (9) всегда разрешимо единственным образом.

Теорема 2. Пусть dj(x) Є C^l[0, і] для всех j Є т+ и а^{х) Є С[0,] для всех j Є га_. Тогда задачи (2) и (2.1.13) для уравнения (2.1.15) в классе Cf__Q [0, ^] эквивалентны интегральному уравнению Вольтерра второго рода (2.1.24) и они всегда разрешимы и при том единственным образом.

В 2.2 для нелинейного уравнения дробного порядка D«_Qxy(t) = f{x,Dly{t)), где 0 < а < 1, {З < a,Q < х < h, рассмотрена задача Коши limx'-oyix) = y_Q. (11)

Обозначим через R_x множество точек (х,у) из области D, лежащей в ^{(*, х ^ау{х) — (х,у) Є D : О < х < h, -, а, 6₀) ^ ~ постоянные.

Г(а + 1) Теорема 3. Пусть f(x, z) - вещественная, непрерывная в области D функция, удовлетворяющая по z условию Липшица: |/(ж, z_x) - f(x, z₂)\ < A\z_x - z₂\ и ограничению max \f(x,z)\ = b₀ < oo.

Тогда решение задачи (2.2.2) для уравнения (2.2.1), в области Ri С D существует, непрерывно и единственно.

Заменой дифференциального уравнения эквивалентым интегральным уравнением методом последовательных приближений доказывается утверждение теоремы. Для п-го приближения получена оценка \Уп₊і - Уп\ < Aⁿb₀h^ⁿ⁺¹^-^nl3/T({n + 1)_а + 1 - п/3), которая при /3 = 0 совпадает с известной оценкой [25]. В 2.3 для нелинейного уравнения дробного порядка где 0<а<1, 0 < а, х є]0, Z[ рассмотрена видоизмененная задача Коши limz¹-^)^. (14)

Обозначим через D множество точек (ж, у, z) из области G, лежащей в R X R X R: D = {(x,y,z) (EG: 0<х<1, |ж^1_аг/(ж) - у₀\ < a, \x^l~^a+^z(x) - z₀\ < b} ,

IM , IM Via) „, , _г .,, > ГКП)' ⁶ > Г(«-/3 + 1)' ^Zo = ^ЙГЙ)' ^Г(а) = /«~ ^е"^Д; І, М - постоянные.

Теорема 4. Пусть f(x,y,z) - вещественнозначная, непрерывная в области G функция, удовлетворяющая условию Липшица по у и z: \f(x,yi,zi)- f(x,y₂,z₂)\ < N(\y₁-y₂\ + \z₁ -z₂\) и ограничению max \f(x,y,z)\ = M

Тогда решение задачи Коши в области D С G существует, непрерывно и единственно.

Теорема 4 доказывается аналогично теореме 3. Для n-ого приближения имеем оценку " l-kp

IW*) - *(*)! < N'Ml^gС*_п_Щп+1)а+1__щ при (3 = 0, если в качестве N взять JV/2 как и для оценки (12) имеем аналогичный результат.

В 2.4 для квазилинейного уравнения дробного порядка %у W + Е ^a*^Dy(t) = Я*. >ЬуШ (is) где 0 < (3 < а < 1; а > а\ > а₂ > ... > а_т, а* ЄЕ, ж Є (О, Z) рассмотрена видоизмененная задача Коши

Нтж¹-⁰!^) = уо. (16) а;->0

Пусть f(x, z) задана в области G С 1 х 1. Построим в этой области замкнутый прямоугольник D: D = {(х, z)eG: 0<х<1, \x^x-^a+pz(x) - z₀\ < b}, ^b > ^cz^ia'^ai⁺fwhi fe⁺^j^-Г¹ ^ZQ - ^ШГ(а-(ЗУ M - постоянная, а с будет определено в ходе доказательства.

Теорема 5. Пусть f(x, z) - вещественнозначная, непрерывная в области G функция, удовлетворяющая условию Липшица по z : \f(x,_Zl)-f(x,z₂)\ l-z₂\ и ограничению max \f{x,z)\ = M < oo. (x,z)eD

Тогда решение задачи Коши в области D С G существует, непрерывно и единственно.

Заменив исходное уравнение на интегральное и учитывая, что z(x) = D%_xy(t) имеем z(x) + I К(х, t)z(t)dt = F{x, z). (17) о Резольвенту ядра K(x, t) определим через повторные ядра R(x, t, -1) = ^{-іу-'К^х, t). (18)

Представим решение (17) через резольвенту z{x) = F(x, z)- R{x, s, -l)F(s, z(s))ds. (19) о В пространстве функций, имеющих суммируюмую производную порядка а — /3, введена метрика P(z2,Zl) = SUp X¹~^a+0\z₂(x) - Zi(x)\ 0<х<1 и рассмотрен оператор ip = Az.

Доказано, что оператор А является сжимающим.

В 2.5 рассмотрено квазилинейное дифференциальное уравнение дробного порядка D^a_Qxy{t) + J2an(x)Dgy(t) = f(x_:y(x),D⁰_Oxy(t)), (20) где а > (3 > а?і > а₂ > ... > а_т > 0, а_п(х) Є С²[0, /], п = 1,2, ...,т с начальным условием итя:¹-^вф) = Уо. (21)

Функция f(x,y,z) задана в области G С К³, построим в этой области замкнутый параллелепипед D = {(х,у) eG: 0<х<1, \х¹~^ау(х) - у₀\ < a, \x¹'^a+^z(x) - z_Q\ < 6}, а > cy_Ql^a~^ai + Ъ > cz_Ql^a~^ai + где z₀ = у₀Г(а)/Г(а - (3) и - + l^a-i a 2a — c*i ₊ M, с - постоянные. Y(a-(3) 2a-(3-a_x

Теорема 6. Пусть f(x,y,z) - веществепнозначная, непрерывная в области G и удовлетворяющая условию Липшица по переменным у, z: |/(я>Уь2і)-/(я,2/2,22)| < ^(І2/і-2/2І + кі-^2І), где N - постоянная, не зависящая от х, у, z, и ограничению max \f(x,y,z)\ = М < со. (x,y,z)eD

Тогда решение задачи (21) для уравнения (20) в области D С G существует, единственно и непрерывно почти всюду.

Способ доказательства аналогичен доказательству теоремы 5.

Третья глава посвящена численным методам решения задачи Коши и краевой задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка.

В 3.1 рассмотрено квазилинейное дифференциальное уравнение дробного порядка %/(*) =/(*,У(*)) (22) с начальным условием

2/(0) = 0.

Так как для любой функции у(х) Є Ж7₀[0, г] справедливо равенство * y'(t)dt (1-а)J (x-ty D^a_Qxy{t) = %У W = _V{i__a)J можно записать для разбиения х^ = kh ^{^г(1^_^а)^{2^у} ^(j^.⁽^_^t)e!}

Произведя замену получаем г/'(<) = -|^ + О(Л), v< е [ж₄-„ **], %,*(*) = fj^ + ^.-, (24) где s = к¹~^а.

Пренебрегая вторым слагаемым в правой части (24), за разностный аналог регуляризованной производной dQ_X.y(t) в точке Х{ от функции у(х) принято выражение

Или окончательно

А^а _v(t) - ^Уі~^Уо і - і. _Уі - y₀A5f_! + у*Д²%ь-і Aox-2/W = їтт^—Ц¹; , г = 2, 3, ... . о_Хгу\ ; V(2-a)h^a

В качестве разностного аналога уравнения (22) и условия (23) имеем

Д,У(*) = /0*,й)> * = 1,2, ...; 2/о = 0. (25)

Из (25) получим _Уі = Г (2 - a) h^af (х_и _Уі) + ₂/₀A5f_₁ - 5>A²S? *_! = ^fo, 2/0-

В плоскости переменных (ж, у) определим множество D: D = {{х,у) : 0 < х < г, |ж^1-а?/(ж) - г/о| < а}, где а > Мг/Г(1 + а), М = max \f(x, у)\. (x,y)eD

Для определенности положим у(х) > 0, тогда у(х) < ах^а~¹.

Теорема 7. Пусть функция F(x,y) определена и непрерывно дифференцируема по у на интервале (0, ах^01-1), причем все ее значения R(F(x,y)) Є (0, ах"'¹). Тогда, если *(*.») при у < ах^а~^х, то: процесс итерации у_п = F (х, y_n-i) сходится независимо от начального значения у₀ Є (0, ах^а~^г); предельное значение у = lim у_п является единственным корнем

П-ЇОО уравнения у = F(x, у).

Таким образом, в качестве разностного аналога уравнения (22) можно рассмотреть систему

ДЬ,У(*) = /(*«-і,И-і), * = 1, 2, ... ; у₀ = 0. (26)

Так как ASj__k = 0 при к < і — 1, то при а = 1 получаем ^дох<2/(0 = ^АУі-і = Уі - Уі-і-

Стало быть, при а = 1 система (26) совпадает с системой разностных уравнений метода Эйлера, поэтому вышеописанный алгоритм назван модификацией метода Эйлера.

В 3.2 рассмотрено дифференциальное уравнение дробного порядка Ly = Dg^ly{t) + p(x)Diy(t) + q(x)y(x) = f(x) (27) с граничными условиями

2,(0) = у(1) = 0, (28) где 0 < а < 1, 0 < р < 1, у(х) Є АС[0,1], р(ж), q{x) Є С[0,1], Diy(t) = Щ^ду / !/'(*) (* - <)-"*> (29) D^ly(t) = Щ^ f ^(0)^ + fy"(t){x - t)-dt\ , (30) так как y{0) = 0.

Перейдя к разностным аналогам, имеем <»(') = г^у Дй-іД^» + ^5f'-"> (³¹) ^, »W - _r(1 _ _a) + _r(2 _ _a) 2-, ^Л »"^ЛІ'-' + г(2 - a)' ⁽ⁱ >

Отбросив последние слагаемые в правых частях (31) и (32), подставив полученные выражения в (27) имеем L^hy = A*y(t) +p{_Xi)^_Xiy{t) + д(_Хі)у(*і) = /(**)

Приведя подобные члены и учитывая, что Уо = Уы = 0? получим систему N — 1 уравнений с N — 1 неизвестными.

Допустим, что d_n>& - элементы матрицы этой системы. В матричной форме система уравнений имеет вид: DY = F, где матрица D является нижней почти треугольной или матрицей Хессенберга. Алгоритм решения системы уравнений (32) назовем модифицированным методом "прогонки".

Пусть а_п и (З_п^ - промежуточные коэффициенты, a L_n, К_п -коэффициенты "прогонки". Тогда Y_n = L_n- K_nY_n+l, п = 1,2,..., N - 2.

Теорема 8. Вычислительный процесс для нахооїсдения L_n и К_п устойчив, если существует такое число г > 1 + а, что для всех главных диагональных миноров D_n определителя D выполняется

В 3.3 для однородного дифференциального уравнения с дробной производной *"(*) + ЩАі) - Ау(з) = 0 (33) рассмотрена краевая задача у(0) -/V(0) = 0, 2/(1) = 0, (34)

Разностный аналог получим тем же методом, что и в 3.2. В данном случае тоже получена матрица Хессепберга для системы линейных уравнений, но последовательные значения у_п вычислены по явной схеме .. п—1

Ум =--; У^і>и2Ль, п = 1,2, ...,N. ""."+¹ _fc=o

Теорема 9. Если для любого є > 0 существует h > 0, что выполняется \Vn~ 2/(1)1 <є, то вычислительный процесс для нахооїсдения у^, к = 1,2, ...,N — 1 устойчив.

Специальные функции

Более углубленные исследования реальных процессов приводят к необходимости исследования дифференциальных уравнений дробного порядка. К таким процессам может быть отнесена проблема фильтрации жидкости в средах с фрактальной геометрией, физические аспекты стохастического переноса, исследование сплошных сред с памятью, математических моделей вязкоупругого тела, климатических моделей. С дифференциальными уравнениями дробного порядка связано решение гиперболо-параболических уравнений с характеристической линией изменения типа, также и нагруженных уравнений.

2. Для различных типов квазилинейных дифференциальных уравнений дробного порядка решена видоизмененная задача Коши, сведением исходного уравнения к интегральному, получены оценки для п-ых приближений.

3. Получен аналог метода Эйлера для дифференциального уравнения дробного порядка для решения задачи Коши.

Дифференциальные уравнения дробного порядка

Теорема 2. Пусть dj(x) Є Cl[0, і] для всех j Є т+ и а {х) Є С[0,] для всех j Є га_. Тогда задачи (2) и (2.1.13) для уравнения (2.1.15) в классе Cf_Q [0, ] эквивалентны интегральному уравнению Вольтерра второго рода (2.1.24) и они всегда разрешимы и при том единственным образом.

Выполненная работа по исследованию начальных и краевых задач для междупредельных дифференциальных и разностных уравнений позволяет сформулировать следующие результаты диссертации: 1) Дан качественный анализ свойств решений канонических междупредельных дифференциальных уравнений. 2) Установлена связь между начальными условиями задачи Коши в локальной и нелокальной постановках. 3) Установлена эквивалентность задачи Коши для дифференциального уравнения дробного порядка в одном случае интегральному уравнению Вольтерра второго рода, а в другом - интегральному уравнению Фредгольма третьего рода. 4) Для широкого класса нелинейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с дробной производной решена видоизмененная задача Коши. 5) Для численного решения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка получена модификация метода Эйлера. G) Получен алгоритм решения краевой задачи для дифференциального уравнения дробного порядка. Сформулирован критерий устойчивости вычислительного процесса. 7) Получена явная схема для численного решения краевой задачи для однородного дифференциального уравнения с дробной производной.

Видоизмененная задача Коши для нелинейного уравнения дробного порядка

С целью исследования отражательных характеристик ударно-сжатых плазменных образований создана методика неискажающей импульсной диагностики динамических объектов с применением лазерного излучения. На основе использования разработанных методик впервые исследованы отражательные свойства сильно-неидеальной плазмы инертных газов в широком диапазоне оптического спектра при варьировании электронной концентрации среды в пределах пе:=10+21+10+22см 3 и получен массив коэффициентов отражения для спектрального интервала 532+1064 нм. Анализ экспериментальных данных позволил обнаружить характерные особенности отражательных свойств сильно-неидеальной плазмы указанных термодинамических параметров: - отсутствие резкого перехода из слабоотражающего состояния в состояние с высоким коэффициентом отражения в окрестности критической электронной концентрации, - большие значения коэффициента отражения плазменного образования, характерные для металлов, при концентрациях электронов, превышающих критическую плотность, что в условиях эксперимента свидетельствует о высокой проводимости плазмы, - сильную зависимость отражательных характеристик ударно-сжатой плазмы от частоты зондирующего поля.

Анализ вида экспериментальной зависимости коэффициента отражения плазмы от электронной концентрации позволил сделать оценку важнейшего параметра плазмы - частоты межчастичных столкновений.

На основе численного решения уравнения распространения зондирующего электромагнитного излучения в среде проанализировано влияние переходного слоя плазмы на ее отражательные свойства. Показано, что для описания всей совокупности экспериментальных данных на основе использования существующих моделей проводимости таких сред без привлечения дополнительных механизмов диссипации энергии необходимо допустить существование переходного слоя, имеющего протяженность порядка -6-Ю"7 м, что превышает оценки сделанные с применением экстраполяции положений теории идеальной плазмы в область высоких плотностей.

Научная и практическая ценность. В результате проведенных исследований отражательной способности ударно-сжатых плазменных образований получен массив коэффициентов отражения сильно-неидеальной плазмы для зондирующего излучения в интервале длин волн ХЗОНд=532+-1064 нм при вариации в широких пределах термодинамических параметров плазмы. Новые данные применены для корректировки существующих моделей высокочастотной проводимости плазмы и могут быть использованы в расчетах теплофизических свойств сред, находящихся в условиях сильного межчастичного взаимодействия.

Основные результаты диссертационной работы представлены на научно-координационных сессиях «Исследования неидеальной плазмы» (Президиум РАН, Москва, 1998, 2002-2005 гг.) и на международных конференциях «Strongly Coupled Coulomb Systems» (Москва, 2005 г.), «Уравнения состояния вещества» (п. Эльбрус, Кабардино-Балкарская республика, 2002-2006 гг.)

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы, содержит 117 страниц, включая 5 таблиц, 26 рисунков и 106 наименования цитируемой литературы.

Первая глава диссертации содержит обзор литературы по волновым методам исследования свойств плазмы. Развитие физики плазмы, наиболее интенсивно протекающее со второй половины прошлого столетия, сопровождалось развитием приемов диагностики плазменных объектов, среди которых методы исследования, основанные на взаимодействии с электромагнитными волнами, являются одними из важнейших. Достижения физики идеальной плазмы предоставляют возможность на основе многочисленных разновидностей волновых методов проводить успешную диагностику идеальной плазмы и надежно определять ее макроскопические параметры. Применение методов зондирования плазмы направленным излучением позволяет получать разнообразную информацию об электронной подсистеме плазменного образования: о распределении концентрации в пространстве и средней энергии электронов, частоте их столкновений с другими частицами и т.д.

Идея исследования плазмы с применением направленного электромагнитного излучения основана на регистрации параметров волны, претерпевшей изменения характеристик в результате взаимодействия с исследуемой средой. Эффективность данного метода особенно высока при частотах зондирующего поля по порядку величины близких к плазменной (ленгмюров-ской) частоте среды.

Следует отметить, что наибольшее развитие получили методы зонди-, рования плазмы направленными волнами в пространстве, свободном от высокочастотных устройств (названные методами «свободного пространства»), К настоящему моменту разработаны разнообразные способы определения параметров плазменного образования с помощью анализа излучения, возникшего в результате взаимодействия плазмы с зондирующей волной. Так, концентрацию носителей заряда и частоту столкновений частиц среды удается определить по фазе и амплитуде волны, прошедшей через плазменный объект. С помощью отраженных волн оказывается возможным исследовать коллективные движения частиц, определять пространственное распределение электронов плазмы.

Численное решение краевой задачи для дифференциального уравнения дробного порядка методом модифицированной прогонки

Далее описываются исследования транспортных свойств плотной плазмы методами лазерной диагностики. Применение результатов теории идеальной плазмы к плазменным объектам с высокой плотностью носителей заряда и, особенно, в случае, когда значение параметра кулоновской неидеальности превосходит величину Г-0.2, приводит к значительным расхождениям с экспериментальными данными. Построение физических моделей неидеальной плазмы, адекватно описывающих поведение среды в этих условиях, возможно только при корректном учете столкновительных процессов и, именно поэтому, исследования этих процессов в плотной плазме являются особенно актуальными. Во второй главе описываются разработанные методики ударно-волновой генерации сильно-неидеальных плазменных состояний и диагностирования плотной динамической плазмы.

Созданная методика генерации в лабораторных условиях ударно-сжатой плазмы, позволяет получать плазменные образования с параметром кулоновской неидеальности до Г 2.2 при максимальном значении плотности носителей заряда до 1022 см 3.

Для получения однородного, имеющего достаточную протяженность вдоль направления зондирования плазменного образования, был использован гидродинамический метод создания сильных ударных волн путем соударении металлического диска (ударника), разогнанного до гиперзвуковой скорости, и мишени (газовой кюветы) с последующими необратимым разогревом и столкновительной ионизацией инертного газа во фронте ударной волны, вошедшей в газовый объем. Тщательный подбор геометрических параметров и материала ударника, базы разгона, а также материала и конструкции газовой кюветы позволил в режиме плоского однократного сжатия получать динамические плазменные образования хорошей повторяемости.

Варьирование плотности и электронной концентрации плазмы достигалось изменением начального давления газа, значения которого составляли 2 -г 5.7 МПа. Задача исследования отражательных свойств динамических коротко-живущих плазменных объектов, имеющих экстремальные термодинамические параметры: электронную концентрацию до ne 1022 см"3, плотность плазмы до р 3.8 г/см при давлениях до Р 20 ГПа и параметре неидеальности до Г 2, приводит к необходимости использования импульсного метода зондирования, что определяется, прежде всего, требованием надежной идентификацией полезного сигнала на фоне мешающего излучения. Наличие интенсивного собственного теплового излучения плотной плазмы (тплазмы 3.3-104 К) предопределяет применение лазеров, как источников зондирующего излучения достаточной яркостной температуры. Для исследования отражательных свойств динамической сильно-неидеальной плазмы инертных газов была разработана и реализована методика моноимпульсной диагностики, обеспечивающая неискажающие изме- рения коэффициентов отражения короткоживущей движущейся плазмы на фоне ее собственного сильного теплового излучения. Основу системы диагностики составляют А1гОз:Сг - (длина волны зон-дирующего излучения Лзонд. = 694 нм) и Y3AlsOi2:Nd +DKDP - (длина волны зондирующего излучения Лзонд. = 532 нм и Л30нд. = 1064 нм) лазерные блоки. Третья глава посвящена изложению основных результатов исследования отражательных свойств сильно-неидеальной плазмы.

В числе приемов изучения свойств электронной подсистемы вещества методы, основанные на взаимодействии среды с электромагнитным излучением, являются важнейшими. В данной работе электронные свойства сильно-неидеальной плазмы исследуются на основе анализа отклика плазмы на воздействие электромагнитной волной умеренной интенсивности. Высокая концентрация носителей заряда в неидеальной плазме - пе 1022 см 3 - приводит к необходимости использования излучения оптического диапазона для исследования ее отражательных свойств.

В настоящей работе выполнено исследование отражательных свойств сильно-неидеальной ударно-сжатой плазмы инертных газов с применением лазерного излучения умеренной интенсивности, длина волны которого варьировалась в широких пределах - Л30Нд. = 532...1064нм.

К теории начальных и краевых задач для междупредельных дифференциальных и разностных уравнений Чадаев Ваха Абдулмуслимович

Специальные функции

Дифференциальные уравнения дробного порядка

Видоизмененная задача Коши для нелинейного уравнения дробного порядка

Численное решение краевой задачи для дифференциального уравнения дробного порядка методом модифицированной прогонки

Похожие диссертации на К теории начальных и краевых задач для междупредельных дифференциальных и разностных уравнений