Введение к работе
1.1. Актуальность темы. Предметом исследования диссертации являются системы уравнений принципа максимума Л.С.Понтрягина и такие их особенности как точки накопления переключений управления. Вопрос о структуре множества точек переключений управления является одним из центральных вопросов математической теории оптимального управления. Много усилий было затрачено на выяснение условий, которые гарантировали бы, что число переключений управления конечно на любом конечном интервале времени (Р.В.Гамкрелидзе, П.Бруновский, Г.Зуссман, Х.Шёттлер, А.А.Милютин и др.) Оказалось, однако, что такого рода условия могут быть получены лишь для ограниченного класса задач (скажем, для некоторого класса линейно-квадратичных задач управления, или для задач оптимального по быстродействию управления афинно-порожденными системами на многообразиях размерности не больше трех). В начале 90-х годов И.Купка доказал, что у гамильтоновой системы размерности п > 8, правая часть которой претерпевает разрыв в точках регулярной гиперповерхности, неустранимой особенностью является наличие траекторий со счетным числом пересечений с поверхностью разрыва на конечном интервале времени (траекторий с учащающимися переключениями). Таким образом, наличие учащающихся переключений является типичным для задач большой размерности.
Накопление точек негладкости не позволяет применять стандартные методы интегрирования систем уравнений принципа максимума Л.С.Понтрягина для нахождения траекторий с учащающимися переключениями. В связи с этим актуальным является получение необходимых и достаточных условий существования таких траекторий, исследование их геометрической структуры, получение необходимых и достаточных условий оптимальности экстремалей с накоплением переключений. С существованием участков экстремалей с учащающимися переключениями связано также получение условий их возможной стыковки (сопряжения) с участками особого управления.
Часть этих вопросов была решена в серии совместных работ М.И.Зеликина и В.Ф.Борисова, а также, независимо, в работах И.Купки. Для интегрирования разрыв-
ных гамильтоновых систем в окрестности точек накопления переключений управления пришлось адаптировать и обобщить методы разрешения особенностей дифференцируемых отображений в вырожденных неподвижных точках, а также многие классические методы геометрической теории дифференциальных уравнений. Работы М.И.Зеликина-В.Ф.Борисо-ва1 и И.Купки2 по теории режимов с учащающимися переключениями открыли самостоятельное и перспективное направление в геометрической теории оптимального управления. В диссертации получены новые результаты в этом направлении.
Цель работы. Исследование особенностей малых коразмерностей систем уравнений принципа максимума Понтря-гина для задач, линейных по скалярному управлению. Получение необходимых и достаточных условий существования точек с накоплением переключений для этого класса систем. Оценка коразмерности множества точек накопления переключений для систем общего положения. Исследование траекторий с учащающимися переключениями и, в частности, расслоений с двумерными и трехмерными слоями, заполненными траекториями с этой особенностью, в окрестности особых экстремалей порядка q > 3. Вычисление предельных циклов фактор-системы главной части системы уравнений принципа максимума Понтрягина в окрестности особой экстремали порядка q (при произвольном q^N).
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и опубликованы. На защиту выносятся следующие результаты.
1. Разработана техника разрешения особенностей систем уравнений принципа максимума Понтрягина с разрывом на гиперповерхности в окрестности некоторых типов вырож-
1 Zelikin, М. I., Borisov, V. F. "Theory of Chattering Control with
Applications to Astronautics, Robotics, Economics, and
Engineering". Boston, N.Y.: Birkhauser, 1994.
2 Kupka, I. "The ubiquity of Fuller's phenomenon." Nonlinear
controllability and optimal control. Monograph textbooks, Pure
Appl. Math. №133. N.Y.: Dekker, 1990. P. 313-350.
денных неподвижных (фуллеровских) точек, позволяющая исследовать геометрию двумерных интегральных подмногообразий, заполненных траекториями с учащающимися переключениями.
Доказано, что для открытого в слабой топологии Уитни множества гамильтонианов коразмерность множества фуллеровских точек гамильтоновых систем с тангенциальным разрывом на гиперповерхности не меньше 3 и не больше 7. Найдены новые необходимые условия существования точек с накоплением переключений у систем общего положения. Доказано наличие структуры расслоения с базой коразмерности 7 и кусочно-гладкими двумерными слоями, заполненными траекториями с учащающимися переключениями.
Доказано, что точное число предельных циклов некоторой (2п-1)-мерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью равно целой части от п/2. Как следствие, найдено число однопарамет-рических семейств автомодельных экстремалей для п-мерной задачи Фуллера как для случая симметричного, так и для случая произвольного несимметричного множества допустимых значений управления.
4. Для некоторого класса задач оптимального управле
ния доказано наличие расслоения с кусочно-гладкими двумер
ными слоями, заполненными траекториями с учащающимися
переключениями, в окрестности особых экстремалей порядка
п>Ъ.
5. Построен оптимальный синтез в трехмерной за
даче Фуллера. Доказана структурная устойчивость соответ
ствующего этому синтезу расслоения с трехмерными кусочно-
гладкими слоями, состоящими из траекторий системы
уравнений принципа максимума Понтрягина, по отношению к
произвольным малым (в смысле действия однопарамет-
рической группы симметрии) возмущениям правой части си
стемы.
Полученные результаты в целом составляют новое самостоятельное направление в геометрической теории управления, связанное с исследованием качественного поведения гамильтоновых систем с разрывом на гиперповерхности и построением расслоений, слои которых являются
интеральными многообразиями, заполненными траекториями с учащающимися переключениями.
Методика исследования. Основные результаты диссертации получены новыми методами, которые были специально разработаны автором для этих целей. Наряду с этим используется аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, математической теории оптимального управления, методы теории конечно-разностных уравнений, тео-ріш дифференцируемых отображений и методы разрешения особенностей алгебраической геометрии.
Научная и практическая ценность работы. Диссертация имеет теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы и развиваемая техника могут быть использованы как в общей геометрической теории управления при исследовании особенностей общего положения в задачах оптимального управления, так и в реальных задачах управления прикладного содержания при построении полной качественной картины оптимального синтеза. В настоящее время техника теории режимов с учащающимися переключениями уже позволила решить конкретные прикладные задачи, такие как задача Лоудена управления движением космического аппарата в ньтоновских поля тяготения, управление манипулятором (роботом) как с жестким, так и упругим соединением звеньев, задача наибыстрейшего торможения твердого тела вокруг неподвижной точки, оптимальная по быстродействию ориентация спутника в пространстве и ряд других.
Апробация и публикации. Результаты диссертации докладывались автором на международной конференции по нелинейному синтезу Международного института исследований прикладных систем (IIASA), Шопрон, Венгрия, 1989; на международной конференции по управлению при международном институте Л .Эйлера в Санкт-Петербурге в марте 1995 г., на международной конференции "Сингулярные решения и возмущения в управляемых системах" в Институте программных систем, Переяславль-Залесский, июль, 1997 г.; в летнем исследовательском институте американского математического общества "Дифференциальная геометрия и управление", Баулдер, Колорадо, США, июнь-июль, 1997 г.; на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы", Ватерлоо, Торонто, Кана
да, август, 1997 г; на международной конференции, посвященной 90-летию Л.С.Понтрягина, Москва, сентябрь, 1998; на международной конференции "Дифференциальные включения и управление", Переяславль-Залесский, 1998. Были сделаны доклады на семинаре профессора М.И.Зеликина по нелинейному синтезу на механико-математическом факультете МГУ, а также на объединенном московском семинаре по оптимальному управлению под руководством профессоров М. И.Зеликина, А.Б.Куржанского, М.Ю.Осипова, В.М.Тихомирова, А.В. Фурсикова на ВМК МГУ, на семинаре профессора В.И.Гурмана в Институте программных систем в г. Переяславль-Залесский. По теме диссертации опубликовано 10 работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Нумерация формул, теорем, лемм и т.д., — двойная и раздельная по главам. Первая цифра обозначает номер главы, вторая — номер формулы или утверждения. Объем диссертации — 163 страницы. Список цитированной литературы включает 97 наименований.
Благодарности. Прежде всего автор хотел бы выразить глубокую благодарность своему учителю, д.ф.м.н., профессору механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова М. И. Зеликину, под руководством которого в 1981 году были начаты наши совместные исследования по тематике диссертации. Эта работа проходила в рамках семинара по синтезу в нелинейных задачах управления и дифференциальных играх, многолетним руководителем и лидером которого является М.И.Зеликин. Его неизменное внимание, искренняя заинтересованность и деятельное участие и поддержка позволили автору завершить данную работу. Автор хотел бы также поблагодарить весь коллектив кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, где была вьшолнена диссертация, за творческую атмосферу, дружеское участие и всестороннюю помощь.
