Групповые свойства моделей теплопроводности Свирщевский, С.Р.

Двумерный случай

В настоящее время в связи с проблемой управляемого термоядерного синтеза весьма актуальным является изучение различных задач физики высокотемпературной плазмы. Наиболее эффективным методом теоретического исследования таких задач является вычислительный эксперимент/ г/ - численное моделирование физических процессов и дальнейшее их изучение с помощью ЭВМ. Вычислительный эксперимент включает в себя не только выбор адекватных моделей,разработку вычислительных алгоритмов и реализацию их на ЭВМ, но и предварительное качественное изучение особенностей рассматриваемых явлений.Знание этих особенностей позволяет в каждой конкретной ситуации проводить вычисления более рациональным образом,сделать вычислительный эксперимент более целенаправленным.В связи с этим важны традиционные методы математического исследования - изучение асимптотик,анализ размерностей,методы теории возмущений,инвариантно-групповые методы и т.д. Широкое применение находит изучение отдельных классов частных решений: стационарных,бегущих волн,автомодельных решений.Известно, что все они являются частным случаем более общего класса инвариантных решений,которые отыскиваются средствами группового анализа дифференциальных уравнений///. Значение таких решений не исчерпывается тем,что они дают описание процессов в некоторых частных случаях или являются тестами для отладки вычислительных алгоритмов. Важно подчеркнуть, что часто эти решения описывают асимптотики (промежуточные асимптотики) процессов для достаточно общих начальных условий [?, $7 . В ряде случаев такие решения оказываются устойчивыми не только к возмущениям начальных данных,но и к возмущениям коэффициентов уравнений (см./ у ). Понимание отдельных черт сложных нелинейных процессов достигается также за счет рассмотрения различных упрощенных моделей.Например,в физике плазмы,наряду с исследованием системы уравнений рациональной магнитной гидродинамики,учитывающей большое число физических процессов,- рассматриваются и "чистая" газодинамика, "чистая" теплопроводность и т.д.

Важной составной частью исследования уравнений,описывающих тот или иной процесс,является изучение групповых свойств этих уравнений: отыскание группы преобразований Ли /У/или более общих преобразований Ли-Беклунда [2] относительно которых эти уравнения инвариантны.Отыскание группы преобразований выполняется с помощью алгоритмов группового анализа дифференциальных . уравнений[1,2.] и сводится к решению некоторых переопределенных систем линейных уравнений (определяющих урав нений группы),интегрирование которых во многих,важных для практики случаях,удается довести до конца. Поскольку преобразование,допускаемое уравнением,переводит всякое его решение снова в решение, то знание группы позволяет из известных частных решений получать многопараметрические (или даже зависящие от произвольных функций - в случае бесконечной группы) семейства решений.Кроме того,это облегчает построение так называемых инвариантных решений,которые под действием некоторой подгруппы допускаемой группы преобразований переходят в себя: их отыскание сводится к решению уравнения меньшей размерности,чем исходное.Как отмечалось выше, к классу инвариантных относятся многие широко используемые решения.Так,например,бегущие волны инвариантны относительно преобразований переноса,автомодельные решения - относительно растяжений и так далее. Другое применение допускаемой уравнением группы преобразований состоит в использовании ее для построения законов сохранения.Для задач,допускающих вариационную постановку,законы сохранения строятся по теореме Нетер [Ю] ,в общем случае - с использованием теории преобразований Ли-Беклунда/ 7 . Групповые свойства уравнений используются также при изучении вопроса о существовании преобразования,связывающего различные уравнения,в частности преобразования,переводящего данное уравнение в линейное.

Инвариантные решения: канализация тепла,"спиральные" решения

Это уравнение может служить иллюстрацией того,что учет нелинейности часто приводит к качественно новым явлениям,не имеющим места в линейной теории. Так,исследования,проведенные в большом цикле работ (см./ ///и приведенную там библиографию), показали,что при определенных условиях в среде,распространение тепла в которой описывается уравнением (I),могут возникать устойчивые самоподдерживающиеся структуры.Характерными свойствами решений,описывающих такие структуры,является компактность носителя (локализация) и несуществование решения в целом (за конечное время функция U -температура-обращается в бесконечность). При этом говорят ff/J что горение происходит в режиме с обострением.Эти исследования показывают также,насколько глубокими и содержательными могут быть относительно простые модели. Известно [№,&] ,что поток тепла, вычисленный по закону Фурье,может в случае больших градиентов температуры превысить некоторый максимальный поток тепла,переносимый электронами в условной ситуации,когда все они движутся в одном направлении. Поэтому при изучении высокоинтенсивных процессов используют различные модели,учитывающие ограничения теплового потока. Одна из них-модель "обратных потоков",используемая в большинстве программ для численного решения задач лазерного термоядерного синтеза (см.,например,/"/7,1Z] ),- описывается уравнением где ос иу5 - некоторые постоянные. Более предпочтительной в ряде задач (и,кроме того,более физичной) - см./ 2, / 2/,а также библиографию в/У&7 - оказывается так называемая модель гиперболической теплопроводности: где / - температура, // - тепловой поток, Су - удельная теплоемкость, J - плотность, 32 - коэффициент теплопроводности, V - время релаксации теплового потока.Это - вторая модель,рассматриваемая в диссертации.

Следует отметить,что область применения уравнений (I) - (3) не ограничивается задачами физики плазмы.Так,уравнение (I) исполь- зуется для описания процессов теплопроводности и диффузии [?, S9-J2, 6,2? -30 У ,в теории фильтрации [Зі], в биологии [32] и в других областях [& 2] .Уравнение (2) применяется в физике моря для описания распространения колебаний температуры поверхности моря на глубину и для определения солености; как функции глубины и времени /» ЗЗ-ЗГ/тСистема уравнений (3) в случае постоянных se и применяется для описания теплопереноса в разреженных газах (см., например,/ 3/ ),где наблюдается конечная скорость распространения тепла.(Как известно, линейное уравнение Фурье дает бесконечную скорость распространения тепла.) Эта система применяется также в задачах термоупругости [з?] и в ряде других задач/5 /. В диссертации изучаются групповые свойствадвух из названных выше моделей,а именно моделей (I) и (3).Вопрос о групповых свойствах уравнения (2) можно считать решенным,поскольку заменой переменных _ и - sc . (в /?/7эта замена используется при рассмотрении задач физики моря) оно переводится в линейное уравнение - %с ? групповые свойства которого известны (см./ / ). Диссертация состоит из введения,трех глав и заключения. Первая глава посвящена исследованию групповых свойств и инвариантных решений уравнения (1),а также более общего уравнения анизотропной теплопроводности в двумерном и трехмерном случаях.Рассматриваются локальные группы Ли точечных преобразований. Относительно таких групп для указанных уравнений в I и 2 решена задача групповой классификации,то есть (ом[і])\ найдена группа преобразований,которая допускается уравнением при произвольных коэффициентах {К(и) MIQ(U) В случае уравнения перечислении все частные виды коэффициентов,которые приводят к расширению этой группы;соответствующие дополнительные преобразования также найдены. В I рассмотрен трехмерный случай,в 2 - двумерный.Одномерный случай исследован в [3-5] . Проведенная классификация показывает,что в изотропном случае наиболее широкая группа преобразований допускается при коэффициенте теплопроводности и источнике вида где л/ - размерность пространства, ос - произвольная постоянная. Это утверждение справедливо и в случае Особо выделяется случай N"2 ,когда допускаемая группа бесконечномерна. Нетрудно указать преобразование,позволяющее исключить источник (6),то есть сделать В анизотропном случае наибольшее расширение допускаемой группы происходит при тех же зависимостях коэффициента теплопроводности от U по одним направлениям при наличии линейной теплопроводности по другим. Изотропные случаи (5),(7) (иА/,-2, ) подробно изучены в 3.Показано,что преобразования,которые добавляются к допускаемой группе по сравнению со случаем более общих степенных коэффициентов К ,подобны сдвигам по пространственным переменным, причем преобразование подобия не меняет вида рассматриваемого уравнения.В случае У= ,когда допускаемая группа бесконечномерна, это преобразование используется для описания всех инвариантных решений. Следует отметить,что степенные зависимости Л от U с отрицательными показателями степени используются в различных задачах теплопроводности [ &&] и диффузии [» 4/ . В определенных температурных диапазонах коэффициент теплопроводности является убывающей функцией температуры для многих веществ f 2. 2 ,&,&$39j. В 4 рассмотрены два инвариантных решения для уравнений более общего вида,чем в 3. Первое решение удовлетворяет двумерному анизотропному уравнению теплопроводности с источником и описывает направленное распространение тепла,при котором горение происходит лишь в канале вдоль одной из осей координат (канализация тепла).

Существование и устойчивость такого решения были подтверждены численными расчетами на ЭВМ. Второе решение удовлетворяет изотропному уравнению теплопроводности с источником (рассматривались двумерный и трехмерный случаи).Оно характеризуется тем,что траекториями неоднород-ностей поля температуры,описываемого этим решением,являются спирали. Во второй главе продолжается исследование групповых свойств той же модели теплопроводности,что и в гл.1,но . с точки зрения более общих групп преобразований Ли-Беклунда.Одномерный случай также включен в рассмотрение.Более того,только этот случай оказывается содержательным:в 2 доказано,что при » f нетривиальная (то есть не сводящаяся к точечным преобразованиям Ли) группа Ли-Беклунда допускается лишь линейными уравнениями. Здесь // ,как и выше,-размерность пространства. В I рассматривается уравнение (I) при У / . Доказано, что нетривиальная группа Ли-Беклунда допускается лишь линейным уравнением и уравнением где J , & , CL , гґ - произвольные постоянные { Яг О )9 причем (9) Уравнение (8) без источника ( О. =- 0 ) было исследовано в работе Рю] ,где также указано преобразование,переводящее это уравнение в линейное.В настоящей работе найдены линеаризующие преобразования и для случаев я. 0 і 0 и#« 7, 4 0 . В 3 рассмотрены некоторые решения уравнения (8),инвариантные относительно преобразований Ли-Беклунда.Получено общее выражение для широкого класса таких решений. 4 посвящен групповой классификации с точки зрения преобразований Ли-Беклунда одномерного уравнения теплопроводности в неоднородной среде {Л и $ - функции от U , Ot ). Перечислены все нелинейные уравнения,допускающие нетривиальную группу Ли-Беклунда. Показано,что эти уравнения сводятся некоторой точечной заменой переменных к уравнению Уравнения вида (8) встречаются в различных задачах математической физики. TaKjB/ /w&z .ir, J-&J показано,что такое уравнение может описывать диффузию красителей в полимерных материалах, в /«? $/ оно используется для описания теплопроводности некоторых металлов,а в /" У - кристаллического водорода. Из (8) заменой U - U получается рассмотренная выше модель (2).

Инвариантные решения

В главе III изучаются групповые свойства системы уравнений гиперболической теплопроводности (3). В I эта система сводится к одному уравнению для функции U(t,x) удовлетворяющей соотношениям здесь Предполагается,что Cyj2 Mt / (последнего всегда можно достигнуть изменением масштабов).Для уравнения (10) затем проводится групповая классификация: в 2 - с точки зрения точечных,а в 3 - (для случая степенных Я и К ) - с точки зрения касательных преобразований Ли. Выделяется случай А= Qo/ist , К о ис ( или»в исходных переменных, « fl-vZ1, , Э2 =3 ),когда допускаемая группа касательных преобразований Ли бесконечномерна. В этом случае найдено преобразование (касательное первого порядка),переводящее (10) в телеграфное уравнение В 4 рассматривается случай:Л"Ссп4 , - произвольная функция.Полученные ранее результаты групповой классификации используются для построения (по теореме Нетер) законов сохранения,то есть (см.,например, №J ) дивергентных соотношений вида где 0 и 1&& - операторы полного дифференцирования по "6 и за соответственно,а функции " и зависят от " , , # и,в данном случае,от первых производных. С помощью (II) эти результаты записываются в терминах исходной системы (З).При этом функции оказываются зависящими от zf ,7" ,// и,в некоторых случаях,от С/ .Таким образом найдено три закона сохранения,которые допускаются при произвольной функции К , и по одному дополнительному закону сохранения для случаев K KQT жК- оё .Полученные законы сохранения можно использовать при построении разрывных решений, при создании полностью консервативных разностных схем и в других целях. Основные результаты диссертации,приведенные в Заключении, опубликованы в работах t4/m MJ и доложены на Международной конференции по физике плазмы и УТС (г.Звенигород,март 1983 г.), на XKIX научной конференции МФТИ (г.Москва,ноябрь 1983 г.),на научном семинаре ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР (руководитель -академик А.А.Самарский),на научном семинаре академика Н.Н.Моисеева в ВЦ АН СССР,на научном семинаре МЭИ по нелинейным дифференциальным уравнениям (руководители - член-корреспондент АН СССР С.И.Похожаев,профессора Ю.А.Дубинский,С.А.Ломов).

Автор благодарен своим научным руководителям С.П.Курдю-мову и В.А.Дородницыну за постоянное внимание и помощь в работе также академику А.А.Самарскому за проявленное к работе внимание. решений уравнения теплопроводности с источником(или стоком) в двумерном {/J= 2. ) и трехмерном (У=з ) случаях. Для уравнения (I.I) решена задача групповой классификации, то есть (см ГО ) найдена группа точечных преобразований(локальная группа Ли преобразований),которую допускает уравнение (I.I) при произвольных К;(ц), %№ і-ґ, (эта группа называется ядром основных групп); перечислены все частные виды (специализации)функций i(u), fU), Is 1,лї ,которые приводят к расширению группы допустимых преобразований по сравнению со случаем произвольных -/ Q(u)? і --/, А/ , соответствующие группы также найдены. " ) Случаи,когда допускается наиболее широкая группа преобразований, подробно исследованы в 3. Показано,что преобразования, которые добавляются к допускаемой уравнением (I.I) группе по сравнению со случаем более общих степенных коэффициентов теплопроводности, подобны сдвигам по пространственным осям координат, причем преобразование подобия на меняет самого уравнения. В случае //= г. ,когда допускаемая группа бесконечна,это преобразование используется для описания всех инвариантных решений. " ) Говоря точнее, как правило найдены не сами группы преобразований соответствующие им алгебры Ли инфинитезимальных операторов.Как известно,группа однозначно восстанавливается по ее алгебре с помощью уравнений Ли. В 4 рассмотрены два инвариантных решения для уравнений более общего вида,чем в 3. Первое решение удовлетворяет анизотропному уравнению (I.I) и описывает направленное распространение (канализацию) тепла,при котором горение происходит лишь в канале вдоль одной из осей координат.Приводятся результаты численных расчетов,подтверждающие аналитические выводы и предположения.Второе решение интересно тем,что траекториями неоднороднос-тей поля температуры,описываемого этим решением,являются спирали.

Групповая классификация проводится с точностью до преобразований эквивалентности 6- ,не меняющих дифференциальной структуры уравнения (1.1),а изменяющих лишь функции KiM, &№L t ЇУ . Два уравнения типа (І.І),получающиеся одно из другого преобразованиями из S ,называются эквивалентными и допускают подобные группы преобразований.Вычисления по методике f/J приводят в данном случае к следующей группе преобразований эквивалентности: Групповая классификация уравнения (I.I) в одномерном случае проведена в работах № &J . _ При изложении результатов групповой классификации трехмерного уравнения (I.I) удобно рассмотреть три случая:все три функции KfM, і 2.Ш) Кз(ц) непропорциональны \ К КЛ Кз Ъ две из трех функций //, , Xj пропорциональны Кі } Kj fix где набор (г, Л ) получается из набора ( 1,2,3 ) произвольной подстановкой. (С помощью преобразований эквивалентности второй случай сводится к случаю K»t « Kj Ф fy . Без ограничения общности будем считать,что /«/, у " f = а то есть во втором случае X/ a #з Ф й .) Все три функции Kf, Кл, К$ пропорциональны: Kf K K .С помощью преобразований эквивалентности этот случай сводится к fy « /(л « Afj .Итак,в третьем случае считаем Л/ " КШ) При произвольных (в рамках рассматриваемого случая) U(ujt L 7,,3 t уравнение (I.I) допускает группу переносов вдоль осей 7 /,. 3 «которые соответствуют инфинитезимальным операторам Группа преобразований,определяемая алгеброй Ли / операторов (1.3) (ядро основных групп),может быть расширена лишь при таких специализациях функций /Сі , Q , г = ,, З , которым соответствуют заштрихованные клетки таблицы 1,где приведена общая схема групповых свойств уравнения (I.I) в рассматриваемом случае.

Касательные преобразования первого порядка

В этой главе продолжается изучение групповых свойств уравнения (1.1),но с точки зрения более общих преобразований, а именно касательных преобразований Ли-Беклунда / 7 Для Уравнения теплопроводности с источником (или стоком) в одномерном, двумерном и трехмерном случаях решена задача групповой классификации.Показано,что все уравнения вида (2.1),допускающие нетривиальные (то есть отличные от точечных и касательных преобразований Ли) преобразования Ли-Беклунда, допускают бесконечную группу таких преобразований,содержащую преобразования сколь угодно высокого порядка.Все такие уравнения являются либо линейными,либо переводятся в линейные некоторым преобразованием. В I показано,что в одномерном случае ( Ж= / ) нетривиальную группу преобразований Ли-Беклунда допускают лишь линейное уравнение & и -ё -произвольные постоянные, и уравнение J- , & , CL VLS -постоянные,причем йъ-О .Уравнение (2.2) без источника {& о ) было исследовано в работе C40J , где также указано преобразование,сводящее это уравнение к линейному .Ниже найдены и линеаризующие преобразования и для случаев Сі о і ё о и й ,// , Заметим,что уравнение вида (2.2) встречаются в различных задачах математической физики. Так в &,/х»іГ,з&] показано, что такое уравнение может описывать диффузию некоторых веществ (красителей) в полимерных материалах; в/йС/оно используется для описания теплопроводности в простых металлах, а в [&9J -в твердом кристаллическом водороде.Во Введении отмечалась также связь этого уравнения с используемой в физике плазмы моделью "обратных" потоков. Преобразование,переводящее (2.2) при а 6 0 в линейное уравнение, по-видимому, впервые найдено в Ш]. Эти вопросы рассматривались также в /?0,4t,A%SC J . В 2 показано,что неодномерное уравнение (2.1) допускает нетривиальную группу Ли-Беклунда лишь в линейном случае ( f , В 3 рассмотрены некоторые решения уравнения (2.1) приА/=/, инвариантные относительно преобразований Ли-Беклунда.Получено общее выражение для широкого класса таких решений. 4 посвящен групповой классификации с точки зрения преобразований Ли-Беклунда одномерного уравнения теплопроводности в неоднородной среде (# и Q - функции от и « ).

Перечислены все нелинейные уравнения,допускающие нетривиальную группу Ли-Беклунда. I. Одномерный случай. В этом параграфе проведена групповая классификация одномерного уравнения теплопроводности то есть найдены все пары функций ,при которых уравнение (2.3) допускает нетривиальную группу Ли-Беклунда. I. Введем некоторые понятия теории групп Ли-Беклунда (см. Г&З Рассмотрим эволюционное уравнение їїусть#? -многообразие,заданное уравнением (2.4) и всеми его дифференциальными следствиями в пространстве точек и т.д.Однопараметрическая группа Ли-Беклунда,допускаемая многообразием 1ц ,задается преобразованиями вида где , і? , V e # ,$ -пространство аналитических функций от конечного числа (своего для каждой функции) аргументов 4 и utt иі » " і &- -"параметр" группы;многоточие означает продолжение формул преобразования на производные,встречающиеся в уравнении (2.4). Символомofa)обозначен остаток формального степенного ряда по CL ;в случае,когда ряды в (2.5) сходятся, символ cfii) приобретает обычное свое значение . В число аргументов функций i- , f , V не включены переменные вида 11 t%%i поскольку их можно выразить через U , Uf , иг ,.. с помощью исходного уравнения (2.4). Преобразования (2.5) можно задавать операторами вида , -операторы полного дифференцирования: Операторы /f образуют алгебру Ли с обычным определением коммутатора. Необходимое и достаточное условие инвариантности уравнения (2.4)(точнее многообразия #j ) относительно преобразования (2.5) записывается в виде Можно показать,что операторы где Mf о/С? -произвольные функции из ,допускаются любым уравнением (2.4) и образуют идеал / в алгебре / операторов /Г .Поэтому имеет смысл рассматривать фактор-алгебру /J, , ,элементы которой (называемые каноническими операторами) имеют вид Критерий инвариантности уравнения (2.4) принимает тогда вид С учетом (2.6) это уравнение можно представить в виде где введен дифференциальный оператор Знание одного решения V уравнения (2.8) часто дает возможность строить последовательности решений этого уравнения. Именно,пусть для Р# и некоторого дифференциального оператора /л определен коммутатор/& AJ-f l "А/ . .Тогда (см./Зт/), если на решениях (2.4) /, удовлетворяет уравнению Лакса где /,, определяется выражением S?/ =/ Л5 (то есть получается дифференцированием коэффициентов оператора А по г ) , то оператор / переводит всякое решение У уравнения (2.8) в решение IV того же уравнения.Действительно,(2.9) эквивалентно уравнению и,следовательно,на решениях (2.4) Таким образом,действие дифференциального оператора / порождает бесконечную цепочку решений уравнения (2.8). Заметим (см. / /),что разрешимость уравнения (2.9)(в определенном классе операторов L ,вообще говоря,не дифференциаль- ных)является необходимым условием того,что (2.8) имеет решения V(i,«яг,и, и1, v ttm) сколь угодно высокого порядка 17?_ и,значит, уравнение (2.4) допускает бесконечную группу преобразований Ли-Беклунда.Этот факт имеет большое практическое значение, поскольку решение уравнения Лакса (2.9) зачастую представляет собой более простую задачу,чем решение определяющего уравнения (2.8). 2. Ниже излагается процедура решения определяющего уравнения (2.8).

Подставив в (2.8) вместоР правую часть уравнения (2.3) и заменив производные U. через (2.3),получим уравнение для определения фуНКЦИИ V(if X, a,Uft иъ) ТГ (/ и +м иг)и + ЛМ/И/Тґ + MV X+O!V, (2.10) где штрих обозначает дифференцирование по U , Можно показать,что при К d2 уравнение (2.10) определяет группу Ли точечных преобразований (вычисленную в f3 -A J , поэтому в дальнейшем полагается,что_ h J . Заметим,что выразив , через правую часть уравнения (2.3), мы исчерпали все имеющиеся связи между производными.Поэтому уравнение (2.10),левая и правая части которого являются полиномами относительно л+2 і /гі-f »Д0ЛЖН0 удовлетворяться тождественно. Так как V(x,t, u,at, ,. mj иА ) не зависит от у/ ил г , то коэффициенты при а г , U, + f , в уравнении (2.10) следует приравнять нулю.В результате получаем систему Решая эти уравнения,получим где функции dft) и Wit 1 ut " л- ; подлежат определению. Подставив (2.II) в (2.10),повторяем процедуру расщепления-приравниваем к нулю коэффициенты при Un и ,откуда получаем Эти коэффициенты позволяют уточнить зависимость У от _/ : где F fi & и) удовлетворяет системе Кроме того,получаем,что при о(Ф 0 ( в противном случае V не зависит от U -см.(2.II))необходимо,чтобы MfU) удовлетворяла уравнению интегрирование которого дает где 2, 6 -произвольные постоянные. Из (2.14) при # О , -ёФ О и при ЯїО получим,соответственно, с помощью очевидной линейной замены,не меняющей структуры уравнения (2.3),две возможности В случае а) из (2.13) следует В случае б) система (2.13) дает Так как Jb не зависит от U ,то отсюда следует,что 2- , -произвольные постоянные,причем Дальнейший анализ случаев а) и б) приводит к следующему классификационному результату. Уравнение (2.3) допускает нетривиальную группу преобразований Ли-Беклунда лишь в случаях: I) K = f Q aU- --& a. , -произвольные постоянные, 3) g = и , Q aU , О. -произвольная постоянная, 4) #-и 2 0. = , & -произвольная постоянная. Заметим,что при А Ф о уравнение (случай 3) точечной заменой переменных переводится в уравнение Также легко указать точечное преобразование,переводящее уравнение, соответствующее случаю 1,в линейное уравнение теплопроводности без источника. Поскольку указанные точечные замены не меняют структуры группы преобразований Ли-Беклунда,в дальнейшем ограничимся анализом следующих случаев: Случай I.

Похожие диссертации на Групповые свойства моделей теплопроводности

Исследование свойств гамильтоновых систем и функций цены в динамических моделях ростаУсова, Анастасия Александровна

Разработка теоретической модели оценки коэффициента теплопроводности в рамках плазмоподобной концепции растворов электролитов Бубеева Ирина Алексеевна

Неидеальные кристаллы с ангармоническими модами : (Сверхпроводящие свойства и теплопроводность)Чулкин, Евгений Петрович

Теплопроводность и механические свойства строительных материалов на основе минерального и растительного сырьяЯкубов Самардин Эмомович

Исследование термодинамических свойств и фононной теплопроводности многослойных наноструктурСлепнёв Андрей Геннадиевич

Теплопроводность и таблицы транспортных свойств паров магния при высоких температурах Окулич-Казарин Евгений Геннадьевич

О стохастических свойствах моделей Каги и РенкоСпиряев, Максим Александрович

Электронные свойства в моделях с сильными корреляциямиЛовцов, Сергей Владимирович

Исследование термодинамических и критических свойств сложных моделей магнетиков методами Монте-КарлоИбаев Жавраил Гаджиевич

Исследование критических свойств фрустрированных моделей Гейзенберга методами Монте-КарлоБадиев, Магомедзагир Курбанович