Введение к работе
'.-'
Актуальность темы и цель работы. Большое число систем, т>;шлящи7ся в ф^ических, биологических, химических или » тематических задачах, демонстрирует поведение, которое -ор^т 1гк описано с помощью взвимодействуощих осцилляторов. При л (ітаточно слабо? взав?«од:?;отвии в системе осцилляторов их фазовое щюстранство содержит прит гиваодий- тор, размер-ость которого Р'нша числу осцилляторов. Яолее того, потягивающие торы с потоками близкими к линейным могут возникать и в системах, которые їіношнє совсем и не напоминают осцилляторы. Это дает возможность моделировать динамику систем осцилляторов с помощью потоков (векторных полей) на торе. При достаточно слабом взаимодействии осцилляторов поток не п-мепюм торе имеет трансверсальное сечеые, которое является (п-1)-мерным тором. ' Поток несет точки этого трансверсального сечения по n-мерному тору, а заі'ем возвращает их' обратно на сечение. Полученное отображение первого зозвращения (отображение пос іедоваянч или Пуанкаре) потока к і -вчение сохраняет всю качественную информацию об исходном потоке.
В общем случае, к^лечно, невозможно явно построить динамическую систему на торе, соответствующую конкретным уравнениям движения. Но качественное исследование динамики системы может быть сделано и с помощью простейших, канонических форл векторных полей или отображений. Например, для системы двух взаимодействующих осцилляторов в качестве "типичного отображения часто выступает стандартное синус-отображение окружности *
Xt-*X+n-EBlnHlCr,
где параметры О и є отражают соизмеримость частот осцилляторов и
амплитуду их взаимодействия, соответственно. ,
Для орбиты отображения окружности можно определить число вращения, которое измеряет среднее отношение частот осцилляторов и не зависит от выбора ороиты отображения. Качественная динамика системы определяется типом втого числа вращения. Если оно . рационально, что соответствует случаю фазового захвата или резонанса, то поток на притягивающем инвариантном двумерном торе в фазовом пространстве системы двух осцилляторов в типичной ситуации имеет периодические траектории, к которым остальные траектории асимптотически приближаются, В квазиперюдическом случае, т.е. когда число вращения иррационально, все траектории всюду плотно заполняют двумерный тор, и поток является вргодическим.
При описании бифуркаций в каноническом семействе синус-отображений окружности естественно рассматривать бифуркационную диаграмму с иомощыо областей резонанса, т.е. множеств значений параметров (0,е), для которых отображение имеет периодическую орбиту с задаинш числом вращения. Расположение ьтих областей на плоскости параметров показывает, как изменяется динамика системы при вариации О и е. Структура областей резонанса изучалась Арнольдом1 и Эрманом,2 которне использовали каноническое семейство
' Лрнольц В.И. Малы? знаменатели, Т. 00 отображениях окружности на себя.- Изв. АН. сор. ыатем., 19Ы,, т.25, 0,21-86.
г Herman M.R. Sur la oonjtigaison diff*rentiable doe
..-3-
в качестве примера. Множество диффеоморфизмов с рациональным числом вращения p/q .(частоты осцилляторов соизмеримы) ограничено парой гладких кривих, образующих тем более узкий язык, чем больше q, который своим острием упирается в прямую є=0. Арнольд3 показал, что если в этом семействе синус-функцию заменить на ироизволышп тригонометрический многочлен' степени d, то ширина области резонанса p/q не будет превосходить. С]е|г, где r--l-q/d].
Системы с тремя или большим числом частот имеют гораздо более богатую динамику. Например, квазипериодическоэ движение на трехмерном (соотв. n-мэрном, п>3) торе хотя и структурно неустойчизо, произвольно малое С2 (соотв. С) возмущение приводит к появлению (структурно устойчивого) странного вгтрактора (йоэль' и Такенс? Ныохаус и др.5). Эта работы подтолкнули исследователей к изучена так называемого сценария Рюэля-Такенса возникновения хаоса через разрушение квазигориодического трехчвстотного режима. При етом как численно, так и експериментально было показано, что притягивающий тор размерности больше двух, сохраняющийся при малых возмущениях,
dlff*omorphisraes du oerole & dee rotations.- Publ; Math. IHE3-, 1979., v.49., p.5-234.
Арнольд В.И. Замечания о теории возмущений для задач типа
Натье.- ЭТИ., 1983., т.38., вып.4., о.189-203-
Ruelle D., Takens ?. On the nature of turbulence.- Comrmin. Math. Phys., 1971.. v.20., p.167-192.
Nertioueo S .3.,, Ruelle D., Takene P. Oocurenoe of strange axiom A attraoto;rs near quae lperiodio і Iowa on Iй, ir>>3,- Cornmuri. Math. Phys., 1978., v.64., p.35-40.
о -4-.
. может наблюдаться в реальных фізических задачах.
Среднее отношение частот.по' ока на прчтя—геаицем многомерном торе зависит от выбора траектории потока. В ??висимости от числа рациональных соотношений между средами частотами траєкторна м м'тсем говорить о фазовом захвате различного порядка. Предельный слуаи - когда все частоты захвачены в резонанс, и '-оток имеет периодическую траектор; ю.
При изучении многочастотной модуля нам на помощь приходят век.орные поля или отображения п-тора, причем в к.честве канонического опять ж уделю ьзять семейство динамических систем, заданных тригонометшчес"им многочленом (семейство типа Матъе/. Например, семейство отображений
. -Х+0*Р(:Г) ,
где Р - тригонометрический многочлен, периодичный с периодом 1 по каждой компоненте.
ііри отсутствии взаимодействия между осцилляторами (є=0) моделирующее отображение превращается в сем-:-Ягтво сдвигов тора хн-х+П. Динамика этих сдвигов полностью определяется арифметическими сьойствами вектора П. Если П несоизлеріл (из условия (k.flKZ с целочисленным к следует fc=0>, то ьсе орбите., отображения всюду плотно заполняют тор. Если ». условие соизмерим :ти выполняется для ' независимых целочисленных векторов й, то : е орбиты сдвига всюду п. гаы на торах размерности п-ї. Наконец, если число соотношений _оизмеримости равно п размерности исходного тора, і все орбиты периодичны.
L,jH ненулевом взаимодействии картина значительно усложняотся. Однако, как и в двухчастотном случр?, в пространстве параметров (О,є) гчделяются области резонанса с іюриодичесі.лми орбитами. Эти области Сезанн между собгЧ полосами пар параметров, для которых Ишолненн соотношения фазового захват раз. ічного порядка. Ьти полосы накладываются друг на друга, образуя многомерную Фрактальную паутину.
Ним и др." доказали ряд результатов о форме областей резонанса. Они также изучали некоторые из бифуркационных пероходов, ксторие могут наблюдаться в двупараметрическсм семейств" отображений двумерного ті„а внутри областе!, резонансь, ограїшчив свое внимание на локальшх бифуркациях. В случа системы трех взаимо действующих осцилляторов паутина фазового захвата исследовалась Линсеем и КеммингочТ которые поставили ряд экспериментов с взаимодействующими нелинейныг' электрическими осцилляторами для изучения трехчастотной квазигириодичности. Бэзан и др.8 представили более детальный, как численный, так и теоретический, анализ паухины для семейства отображений двумерного
Kim S., MacKay R.S., Guckenheimer J. Reeonance regions for families of torua maps.- Nonlinear!ty., 1989., v.2., p.391-404.
Linsay P.S., Cumraing А.її. Three-frequenoy quasiperiodieity, phase locking, чпсі the onsst of ohaos.- Рпувіоа D.. 1989., v.40., p.196-217.
Bacoens C., GucRenheimer J., Kim S., MaoKay R.E. v.iree coupled oscillators: mode-looking, global bifurcations and toroidal ohaos.- rhysica P., 1991.., v.49., p.337-475.
-,6-
тора и ее бифуркационной структуры в окрестности области резонанса. Эшвин и др.9 изуч' ти парам-трг -еское пространство системы трех электронных осцилляторов, чтобы проверить некоторые из бифуркационных переходов, предска-чшшх Бэзан и др.
Цель настоящей работы .- определение асимптотического порчдения областей резонанса и фазового захвата дел семейств динамических систем на торе в окрестности сдвигов тора на постоянный вектор и исследование фр"чы "областей резо"анса для семейств типа Матье.
Научная новизна. Основные результаты диссертации:
1. Получена оценки сверху ширины областей резонанса Дли
семейств динамических систем на торе типа .«атье.
-
Установлена форма областей резонанса для типичных семойсіь тшір Матье.
-
Дано строгое математическое определение фазового захвата в динамических системах на торе, и на его основе получено оценка сверху ширины областей фазового захвата для семейств динамических систем типа Матье.
Матод-j исследования, используются методы теории динамических систем, Тиории дифференциальных уравнений и теории возмущений.
Приложения. Работа носит теоретический -гарг<тер. Подученные результаты являю: -я продвижением в области иі.'ал»доваіШЯ,
9 Ashwin ?.В., Cuasohi «Т., King Сі.Р Rotation Bets and j>l»ase-locking in a thref-OBoillator system,- Warwick Preprints,, v. ^3. j
- T -
бифург. іционной структуры семейств динамических систем ни торе и могут найти дальнейшее применения в этой области и при г ~сле драний поведения реальных физических систе".
Апробация работы. Результаты диссертации были доложтш плтором и обсуждались на Мевдун'родне* конференции ..*. 1.1.Г.Петровского "Дифференциальные уравнения и <. дежнне вопроси" (МГУ. 1991 г.); на дві іадцатом ежегодном симпозиуме "Діш динамики" (Берлин, Германия, 1991 г.); на третьей Советско-американской конференции по хаосу (Вул. Хол, США, 1991 г.); на научно-исследовательском семинаре отдела аналитических и числе нш к методов математической Физики Вычис чтельного центра /Ч СССР (п т руководстпом Л.П.Прудникова, 1988 і\); на научно-исследовательском семинаре "Особенности дифференцируемых отображений" (под руководством В.И.Арнольда, МТУ, 1991 ".).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура диссертации. ДиссертВмИЯ изложена на 68 страницах и состог'т из вводеіьія, тре; глав и списка литератур, насчитывающего ! 52 наименования.
