Введение к работе
Актуальность темы. В настоящей работе рассматривается автономная система дифференциальных уравнений, зависящая от действительного скалярного параметра. Предметом исследования является вопрос существования у такой системы нетривиальных , периодических решений.
Вопросы существования периодических решений и их нахождения всегда являлись и являются одними из важнейших в теории дифференциальных уравнений. В настоящее время теория бифуркаций периодических решений очень бурно развивается. В дополкэ-ние к известный трудам математиков Нижегородской школы, монографиям Малкина И.Г., Э.Хопфа за последние годы появились работы Г.Киелхофера,.Цаовича В.И., Витричеяко И.Е., Каштанова А.Я., Чейфи Н., Хойла С, Юргена С, Саттингера Д.Г., Ван-дербаухеде.А., связанные с бифуркациями периодических решений в критических случаях.
Несмотря на достигнутые успехи, в целом теория бифуркаций периодических решений изучена не полностью. Большой интерес представляет разработка методов для качественного исследования систем дифференциальных уравнений, завиоящих от параметра, с целью нагоядекия условий существования ненулевых периодических решений таких систем. Достаточно общих методов, позволяющих решить проблему, нэ существует. Поэтому научное значение имеют даже частные признаки для частных систем. Изучз-нив условий существования ненулевых периодических решений находит много приложений в различных вопросах теоретической физики, математической экологии, астрономии, в теории аатоколо-
4 баний. Вот почему работы, связанные с бифуркациями периодических решений, не теряют своей актуальности в настоящее время.
Цель паботы. В диссертационной работе решается задача о нахождении достаточных условий существования периодических решений автономной системы дифференциальных уравнений в критическом случае кратных чисто мнимых собственных чисел матрицы линейного приближения.
Методика исследования.
Основным методом решения задачи, поставленной в данной работе, является представление решения изучаемой системы в виде ряда Фурье по тригонометрической системе Є^,р2:u=v+ w, где v - некоторый отрезок ряда Фурье, uv - остаток ряда. В связи с этим с работе разрешаются две проблемы: доказательство существования бесконечномерной компоненты w решения и и нахождение достаточных условий для существования ненулевой конечномерной компоненты V.
Научная новизна. В диссертации рассматривается критический случай теории бифуркаций, когда матрица линейного приближения изучаемой системы имеет кратные чисто мнимые собственные числа при любом значении параметра. Вывод о существовании ненулевого периодического решения системы делается в зависимости от поведения мнимой части собственного числа при изменении параметра и от многочленов наименьшей степени в разложении правой части системы.
Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть ислользованы-пг>и исследовании систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, описывающих математичес-
кие модели экологических, биологических, йстрсношгеоспяг, колебательных, и т.д.процессов.
Апробация диссертации. Результаты диссертацші иэодгояра*-но докладывались на семинарах по качественной теория дяффэрец-циальных уравнений в Рязанском госудврственноы падагопгеззЕом институте им. С.А.Есенина, в Нижегородском университете.
Публикации. По результатам исследований, вкполташгз: э диссертации, опубликованы работы [1-А] .
Структура и объем работы. Диссертация состоиэ аз введения, трех глав, списка литературы,, акяпчакцего 81 изэзмггэ, изложена на 97 страницах машинописного текста. СОДШШШЕ РАЕОШ
