Введение к работе
Актуальность. Математические модели многих реальных процессов описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, поэтому одной из важнейших задач является задача изучения асимптотических свойств решений таких уравнений. Причем очень часто бывает достаточно знать о свойствах лишь отдельных компонент решений дифференциальных уравнений.
Как известно, регулярный случай, то есть, когда характеристические показатели, первого приближения для нелинейного дифференциального уравнения.отличны от нуля, для дифференциальных уравнений с гладкими возмущениями исследовался многими авторами, в том числе классиками А.Пуанкаре и A.M.Ляпуновым. Однако даже регулярный случай, когда все характеристические показатели отрицательны, не гарантирует устойчивость тривиального решения. Здесь необходима равномерность экспоненциальных оценок решений по начальной точке. Только в этом случае можно говорить о примени-кости первого метода Ляпунова для нелинейных дифференциальных уравнений. Если же имеются нулевые характеристические показатели, то непосредственно через характеристические показатели-проблема устойчивости не решается.
В диссертационной работе асимптотические методы получаются по следующей схеме. Для исследуемого уравнения строится так называемое уравнение сравнения. Предполагается, что поведение ре-
шения уравнения сравнения известно. Затем через эталонную Функцию сравниваются решения этих двух уравнений. Удачный подбор уравнения сравнения и эталонной функции сравнения дает возможность для решения са*чх различных задач качественной теории дифференциальных уравнений, исследования поведения решений лиффе- .
ренциальных уравнений и, что самое важное, позволяет решать задачи теории устойчивости в критических случаях.
Первый метод Ляпунова, касающийся теории характеристических показателей, имеет широкое применение в теории и практике. Характеристический показатель решения Ztvl достаточно хорошо харак-. теризует изменение решения х , если ZLx.~l*0 , Если же ХМш0, то в этом случае характеристический показатель не характеризует изменение реяеяая. Эта трудность является не единственной в первом методе. Кроме того,- применение теории характеристических показателей к решанио проблем устойчивости решений нелинейных систем не всегда дает желаемый результат. Это показано в монографии Б.Ф.Былова. Р.Э.Вшюграда. Д.М.Г^юбмана.В.В.Немыцкого. В отличие от линейного случая, здесь не всегда можно гарантировать равномерность экспоненциальных оценок решений. Отсюда следует, что не всегда верны и получающиеся из них выводы об устойчивости, например, нуля. Если равномерность.по начальной точке имеет место выводы делаются аналогично, что,и для линейных систем. Именно при помощи ляпуновских преобразований системы приводятся к простершим, известным системам, Для ляпуновской группы преобразований на множестве всех линейных однородных дифференциальных уравнений с непрерывной ограниченной матрицей.в состав инвариантов входят спектр и устойчивость решений. Уравнения, которые друг в друга переводятся при помощи ляпуновского преобразования, называются асимптотически эквивалентными. Другими словами,' понятие асимптотической эквивалентности позволяет переводить одно уравнение в другое с сохранением важнейших качеств. Однако, если спектр содержит нуль, то даже лящгновское преобразование не всегда позволяет решить задачу о поведении решений. Здесь имеется ' в.виду, что в соответствующем классе эквивалентности простейшее
уравнение может содержать проблему нулевых характеристических псказателей. Ясно, что в этом случае группа преобразований Ляпунова не может решить задачу о поведении решений. Если же изменить эталонную функцию сравнения решений, которой будет не экспоненциальная функция, то в этом случае может удаться дальнейшее упрощение уравнения. Именно такая идея содержится в работах В.В. Немыцкого, Б.П.Демидовича, P.S.Винограда, Е.В.Воскресенского, Ф.Брауера-, В.Левинсона и других..
Цель работы. Получить асимптотические формулы, связывайте отдельные компоненты решений исследуемого уравнения и уравнения сравнения. Затем применить полученные результаты для решения проблем устойчивости отдельных компонент тривиального решения возмущенного линейного однородного дифференциального уравнения, а также.для решения вопроса асимптотического равновесия для отдельных компонент решений дифференциальных уравнений.
Методика исследований. В работе используются следующие методы:- 1) метод сравнения, основанный на применении принципа Ва-жевского; 2) метод вариаций произвольных постоянных Лагранжа; 3) первый метод Ляпунова; 4) метод; основанный на теоремах о неподвижной точке; 5) методы асимптотической эквивалентности дифференциальных уравнений Е.В.Воскресенского.
Научная новизна. 1. Получены новые асимптотические fорг-'-іи для отдельных компонент решений дифференциальных урпннений. 2. Приведены достаточные условия покомпонентной аси.\:птот;;чос:<о.'!. эквивалентности нелинейных дифференциальных уравнений. 3. Рассматривается асимптотическое интегрирование дифферош:;:альн!іу уравнений типа Эмдена - Фаулера. 3. Получены hob:jo лоітлт.-"::!;.-
ІГСЛОВЙЯ УСТОЙЧИВОСТИ ре'ПеНИЙ ПО ЧаСТИ Переменных И '/СТТ^'ИЕО-ТИ
резений при постоянно действующих возмущениях в части уравнений системы для возмущенных линейных однородных дифференциальных уравнений. 4. Исследуются асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений электрических цепей. 5. Показана возможность применения асимптотического равновесия дифференциальных уравнений в задачах экономической динамики.
Практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены при реше-. нии задач математической физики, экономической динамики, управления движением. '...-". :-"':'''. '.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы"докладывались и обсуждались на заседаниях семинара по дифференциаль-. ным уравнениям Мордовского госуниверситета (1988-1993 гг.), на Огаревских чтениях Мордовского госуниверситета (1990-И992 гг.), на международной конференции "Дифференциальные'и интегральные уравнения" в г.Самаре (май, 1992 г.), на семинарах по дифферен-циальным уравнениям в Санкт-Петербургском (декабрь, 1992 г.) и Нижегородском (октябрь, 1993 г.) госуниверситетах.
Публикации. По результатам исследований опубликовано семь
работ. Все результаты автором диссертации получены самостоятель
но. Соавторам принадлежит постановка задач, и Е.В.Воскресенским
указаны методы их решения. -
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 110 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и сгп'.ска литературы, включающего 69 наименований.
