Введение к работе
Актуальность темы. Нахождение точных решений квазилинейных параболических уравнений является сложной и не всегда решаемой задачей. Данная диссертационная работа посвящена теоретическому обоснованию сходимости и получению оценок скорости сходимости проекционно-разностных методов, позволяющих эффективно строить приближенные решения квазилинейного параболического уравнения. Установлены оценки погрешности приближенных решений к точному в различных нормах. Доказана сходимость и прослежена зависимость порядка скорости сходимости погрешности к нулю.
Проекционно-разностные методы для приближенного решения линейных параболических задач изучены достаточно хорошо. А для квазилинейных задач исследований крайне мало, и в большей своей части они представляют собой изучение частных случаев параболических уравнений. Поэтому исследования применения проекционно-разностных методов для нахождения решений квазилинейных параболических уравнений является интересной и актуальной задачей.
Целью работы является получение и теоретическое обоснование результатов о сходимости проекционно-разностных методов со схемой Эйлера по времени, неявной только в главной части. В результате приближенная задача оказывается линейной, что достаточно существенно в приложениях. Кроме того, разностная схема при этом получается устойчивой.
Необходимые оценки погрешности приближенных решений должны быть ориентированы на применение весьма эффективных в приложениях проекционных подпространств типа "конечных элементов" и быть точными по порядку аппроксимации.
Методика исследований. При изучении проекционно-разностных методов наиболее подходящим способом описания параболической задачи является вариационная формулировка.
Важным обстоятельством в обосновании оценок погрешности является методика первоначального сравнения приближенного решения не с точным решением, а с его проекцией, в соответствующем гильбертовом пространстве, на проекционное подпространство. В результате получается некоторая базовая оценка погрешности, в условиях разрешимости
исходной задачи.
Далее, из оценок погрешности для предельно плотной в соответствующем пространстве последовательности проекционных подпространств получается сходимость погрешности к нулю. А также, из этих оценок получаются оценки с порядком скорости сходимости как по времени, так и по пространству.
Научная новизна. Результаты, полученные в диссертационной работе являются новыми. Рассматривается вариационная постановка задачи как наиболее приспособленная к теории проекционно-разностных методов. Важной особенностью рассматриваемого приближенного метода является сведение нелинейной задачи к линейному устойчивому приближенному методу. Сформулированы приближенные задачи, установлены оценки в разных нормах точные по порядку аппроксимации как по времени так и по пространству. Доказана сходимость приближенных решений к точному решению с порядком скорости сходимости.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты имеют как теоретическую, так и практическую направленность и могут быть использованы при исследованиях конкретных параболических уравнений и приближенном решении таких задач.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Крымской осенней математической школе-симпозиуме —
и Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна — 2010, Воронежской весенней математической школе "Современные методы качественной теории краевых задач - Понтрягинские чтения - XXI" —
ежегодных научных сессиях Воронежского государственного университета, семинаре под руководством профессора И.Я. Новикова и семинаре под руководством профессора А.Г. Баскакова.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7]. Из совместных публикаций с научным руководителем [1], [6] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работы [1] и [6] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 параграфов, первый из которых разбит на два пункта и списка литературы, содержащей 63 источника. Общий объем диссертации — 97 страниц.
