Содержание к диссертации
Введение
Chapter 1. Implicit one-step methods (with fixed step size) for functional differential equations 12
1. Statement of the problem 12
2. Implicit Euler method with piece-wise constant interpolation 13
3. Interpolation and extrapolation of the model pre-history . 16
3.1. Interpolating operators 16
3.2. Extrapolating operators 19
3.3. Interpolating-extrapolating operator 21
4. Implicit Runge-Kutta-like methods 21
4.1. General scheme 22
4.2. Convergence order 25
4.3. Approximation order 27
4.4. Potential for parallel computation 31
4.5. On the structure of functionals 32
Chapter 2. Numerical algorithms (with variable step size) for functional differential equations 34
5. Description of IRK-methods with variable step size control . 34
6. Convergence order 37
7. Methods of interpolation and extrapolation of the extended pre-history of discrete model 39
8. Choice of the step size 43
9. Numerical modeling of control time-delay system 45
Chapter 3. Testing and comparing explicit and implicit Runge—Kutta—like methods for functional differential equa tions 49
10. Realization and comparing explicit and implicit numerical methods with fixed step size 50
10.1. Testing of explicit and implicit Euler methods . 50
10.2. High order methods with fixed step size 63
11. Explicit and implicit methods with automatic step size control 66
11.1. Explicit Runge-Kutta-like method of 2(3) order with automatic step size control 66
11.2. Implicit trapezoidal method with interpolation and automatic step size control 67
12. Model examples (medicine and control theory) 79
12.1. HIV-infection model 79
12.2. Modeling of the linear quadratic control problem with delay 81
Bibliography 86
- Implicit Euler method with piece-wise constant interpolation
- Description of IRK-methods with variable step size control .
- Testing of explicit and implicit Euler methods .
Введение к работе
Актуальность темы. Изучение разнообразных явлений окружающего мира пОЗиОлисг .заключить, чти иудущте течение многих процессов оказывается зависящим не только от их настоящего, но и существенно определятся всей предысторией. Математическое описание указанных процессов может быть осуществлено при помощи уравнений с запаздываниями различных видов, называемых также уравнениями с последействием, функционально-дифференциальными уравнениями (ФДУ).
Основополагающий вклад в развитие теории функционально-дифференциальных уравнений внесли В. Вольтерра, Р. Беллман, Н.Н. Красовский, А.Д. Мышкис. Л.Э. Эльсгольц, Н.В. Азбелев, Р.Д. Драйвер, В.Б. Колмановский, К. Кордунеану, К.Л. Кук, А.Б. Куржанский, СБ. Норкин, В.Р. Носов, Ю.С. Осипов, Д.К. Хейл, С.Н. Шиманов и многие другие математики. Полученные при этом результаты находят значительные приложения в моделировании процессов автоматического регулирования, управления и устойчивости движений, механики, различных технологических процессов, биологин, медицины, химии, экономики и в других отраслях знаний.
Однако исследование систем с запаздыванием сопряжено со значительными трудностями, одной из которых является то, что аналитическое решение удается получить лишь в исключительных случаях. В связи с этим особенно актуальной является задача создания эффективных численных методов решения ^^^ общего вида и разработка их программной реализации современными вычислительными средствами. Недостаточная разработанность современного программного обеспечения в этой области является значительным препятствием для широкого применения моделей с последействием в прикладных задачах.
Среди многообразия исследований в области численных методов решения ФДУ отметим следующие направления.
1. Большое число работ посвящено численным методам, использующим специфику конкретного типа ФДУ, см. обзоры [1-3]. Особенно много исследований для уравнений с постоянным или переменным сосредоточенным запаздыванием и для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра. На эти типы уравнений перенесены практиче-
ски все известные для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) методы, однако использование их в пакетах общего назначения затруднительно, в силу того, что в методах, как правило, используется специфика уравнения.
-
Идея непрерывных методов [4, 5] состоит в том, что численная модель задает не только значение в узлах, но и во всех промежуточных точках. Эти методы обладают большой степенью общности по отношению к различным типам ФДУ. Однако, большинство эффективных методов решения ОДУ (в том числе и применяемых в различных пакетах прикладных программ) не являются непрерывными. Особенно это касается неявных методов, среди которых непрерывные методы неизвестны.
-
В работах [6-8] был предложен новый подход к конструированию численных методов решения ФДУ. Эти методы основаны на идеях разделения конечномерной и бесконечномерной фазовых составляющих, построению по конечномерной составляющей полных аналогов известных для ОДУ дискретных алгоритмов, проведению по бесконечномерной составляющей (предыстории) интерполяции с заданными свойствами и использовании специальной техники вычисления производных функционала правой части ФДУ вдоль решения (эта техника названа і-гладким анализом) [9]. В качестве интерполяционных процедур была предложена интерполяция вырожденными сплайнами и экстраполяция продолжением.
В рамках этого подхода в данной диссертации численные конструкции распространяются на широко применяемый в ОДУ класс методов - неявные одношаговые методы типа Рунге-Кутты.
Неявные методы методы типа Рунге-Кутты (НРК-методы) обладают рядом существенных достоинств, прежде всего, они предназначены для решения жестких задач [1]. Кроме того, они обладают повышенной точностью и большими возможностями в распараллеливании по сравнению с явными методами.
Цель работы. Работа посвящена разработке и изучению свойств flPK-методов для ФДУ, в том числе, получении условий порядка СХОДИМОСТИ мсїОДОВ Ъ ЗаоИСймОСТй ОТ ПОрЯДКа ЛОКсьЛЬНСЙ сіїїіїрОКСїїмсі-
ции, от порядка интерполяции дискретной предыстории модели и от порядка ее экстраполяции; разработке алгоритмов с автоматическим
выбором шага и протестировании построенных методы на модельных и тестовых примерах жестких и нежестких систем.
Методы исследования. Основным методом исследования является аппарат численного моделирования. В диссертации также используется "методика исследования функционально-дифференциальных уравнений, основанная на понятиях и методах функционального анализа.
Научная новизна. Все существенные результаты работы являются новыми. Приведем основные из них.
-
Для широкого класса функционально-дифференциальных уравнений сконструированы неявные одношаговые численные методы решения, основанные на идее разделения конечномерной и бесконечномерной фазовой составляющей.
-
Получена теорема о порядке сходимости методов.
-
Доказана теорема о существовании решения нелинейного уравнения, возникающего в пошаговой формуле и разработаны подходы к решении этого уравнения.
-
Изучены способы интерполяции вырожденными сплайнами и экстраполяции продолжением дискретной предыстории модели в случаях постоянного и переменного шага.
-
Для неявных методов разработаны алгоритмы автоматического выбора шага.
6. Указанные алгоритмы протестированы на ряде жестких и
нежестких систем, имеющих явное решение.
7. Результаты работы применены к решению модельных задач из
медицины и теории управления системами с запаздыванием.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть применены для дальнейшей разработки численных алгоритмов решения ФДУ. С помощью сконструированных в работе алгоритмов и программного обеспечения могут быть численно изучены задачи моделирования реальных процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздыванием.
Апробация результатов работы. Результаты диссертации до-
рывные задачи управления и оптимизации"(Челябинск, июнь 1998); на международном конгрессе по автоматике (Анкоридж, май 1998);
на международной конференции по динамическим системам и их приложениям (Атланта, май 1999); на семинарах кафедры теоретической механики Уральского государственного университета, группы функционально-дифференциальных уравнений ИММ УРО РАН, на семинарах в Сеульском национальном университете и Кёнгмун университете.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 9 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения и трех глав, разбитых на 12 разделов. В работе приведено 34 рисунка. Общий объем диссертации 97 страниц, библиография содержит 128 наименований. Диссертация написана на английском языке.
Implicit Euler method with piece-wise constant interpolation
In Section 6 we investigate convergence of IRK-methods with variable step size. The notions of residual and its order, convergence order of the method are introduced.
We prove (similar to the case of the constant step size) that IRK-method with variable step size has the convergence order equals to the minimal value among the approximation order (residual) and the order of interpolating-extrapolating operator IE. In this result we essentially use the constant that limits ratio of the maximal step to the minimal step.
In Section 7 we investigate the order of the interpolating operator (of the extended discrete model) constructed by degenerate splines of degree p. Note, if we use non-uniform grid then the interval [tn — r, tn] can contains not natural number of steps of a numerical method. So, in order to preserve the accuracy of the interpolation it is necessary to use (for constructing the left polynomial in the spline) some points of the grid of the previous interval [tn — 2r, tn — T]. If we use such modification, then under sufficient smoothness of the exact solution the interpolating operator of the extended pre-history of the discrete model by degenerate splines of degree p has the order p + 1. Because the extrapolating operator by continuation of the degenerate spline of the degree p has the order p + 1, hence there exists interpolating-extrapolating operator IE with required in the theorem on convergence order (see previous section) properties.
In Section 8 we describe the procedure of automatic step size control. We base on the Runge rule of practical error estimation modified according to the specific features of the proposed approach. On the basis of the local error (depending on the step size) we derive algorithms of automatic decreasing and increasing of steps depending on a given accuracy. Two variants are considered: error estimate of one method with two different step sizes, and error estimate of two embedded methods (methods with similar Butcher matrices). Such procedures are the bases of modern numerical methods applied in software programs for ODE and FDE.
In Section 9 we investigate the possibility of application of numerical methods for solving positional control problems for systems with delays. We gave the problem statement of the positional (conflict) control in the framework of differential game theory, and consider the reduction of this problem to the discrete scheme. The notion of the optimal strategy (positional control) having the accuracy order with respect to the step discretization. It is shown that under some assumptions such strategy (in combination with a suitable numerical method) guarantee necessary (a priori given) accuracy, moreover in the framework of this scheme one can organize the procedure of automatic step size control.
Chapter 3 is devoted to comparison on some models of computing properties of explicit and implicit one-step methods of solving FDE. Main goal of the chapter is to to show that implicit numerical methods are more effective than explicit methods for solving stiff FDE.
In Section 10 we describe two simplest methods: explicit Euler method and implicit Euler method with a constant step size and piece-wise constant interpolation. The results of realization of these methods for stiff and non-stiff problems are presented. We describe the technique of realization of the implicit Euler method for linear systems and for nonlinear systems (using Newton-Raphson method). In this section we also compare explicit and implicit methods of high orders with a constant step size.
Description of IRK-methods with variable step size control
Prom the theorem it follows that (besides properties of the interpolating-extrapolating operators) basic moment in constructing high order methods consists in effective estimation of the residual, and, hence, suitable choices of the coefficients of the Butcher tableaus. To define the approximation order of methods one can use directly all correspponding results of Chapter 1: all results of subsection 4.3 (Approximation order) are valid for methods described in this section.
Testing of explicit and implicit Euler methods
The present chapter is devoted to comparing explicit and implicit one-step methods of solving functional differential equations on some test-examples. For testing we choose some stiff and non-stiff FDE which exact solutions are known. We consider both algorithm with fixed step size and algorithms with automatic step size control. Results of numerical simulating some medical and control models are presented.
From ODE theory it is well known [56, 52) that the solution of the stiff system consists of slow and fast components. After some moment the solution of the system is almost completely defined by slow components. However, presence of the fast components influence on stability of explicit methods because requires to use very small step.
Remember, in the structure of FDE (1.1) we distinguish the finite dimensional and infinite dimensional components, so we can define FDE stiffness an a manner similar to ODE [56, 52].
We understand the stifness of FDE system in the following (finite dimensional) sense.
