Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. СТРУКТУРА С ВЫСОКИМ УСКОРЯЮЩИМ ГРАДИЕНТОМ II
I. Расчет электромагнитных полей в ускоряющих структурах 12
2. Режим работы и возбуждения ускоряющей структуры с высоким градиентом 16
3. Характеристики ускоряющих структур... 20
4. Перераспределение запасенной энергии в секции при СВЧ-пробое в одной из ускоряющих ячеек... 23
5. Ускоряющая структура на стоячей волне с дополнительными резонаторами связи 26
ГЛАВА II. ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 29
I. Численный метод расчета электромагнитного поля заряженного сгустка, движущегося в ускоряющей структуре 30
2. Динамика полей излучения одиночного сгустка... 35
3. Поля излучения в ускоряющей структуре 41
ГЛАВА Ш. ПРОДОЛЬНАЯ ДИНАМИКА ЧАСТИЦ СГУСТКА В УСКОРЯЮЩЕЙ СТРУКТУРЕ 48
I. Эффективность ускорения одиночного сгустка в режиме накопленной энергии 48
2. Энергетический спектр ускоренных частиц
сгустка 51
ГЛАВА ІV. ПОПЕРЕЧНАЯ ДИНАМИКА ЧАСТИЦ СГУСТКА В ЛИНЕЙНОМ УСКОРИТЕЛЕ 54
I. title4 Механизм развития поперечной неустойчивости одиночного сгустка в линейном ускорителе 55
2. Метод подавления поперечной неустойчивости... 64
ГЛАВА V. СТОХАСТИЧЕСКИЙ РАЗОГРЕВ ПУЧКА 64
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 71
ІИТЕРАТУРА 74
ФОТОГРАФИИ И РИСУНКИ 81
- Расчет электромагнитных полей в ускоряющих структурах
- Численный метод расчета электромагнитного поля заряженного сгустка, движущегося в ускоряющей структуре
- Эффективность ускорения одиночного сгустка в режиме накопленной энергии
- СТОХАСТИЧЕСКИЙ РАЗОГРЕВ ПУЧКА
Расчет электромагнитных полей в ускоряющих структурах
В периодической структуре собственные поля и собственные частоты определяются в результате решения однородных уравнений Максвелла совместно с граничными условиями на поверхности структуры и условием периодичности где Zc - импеданс свободного пространства, 2) "" период структуры, К-г - продольная компонента волнового вектора, Q - \{/J) -сдвиг фазы поля на элементе периодичности.
В структуре, обладающей азимутальной симметрией, поля представляются в виде разложения по азимутальным гармоникам. Для определения азимутально симметричных полей достаточно решить уравнение второго порядка относительно одной функции F - X Н ір
Для определения несимметричных полей необходимо решение двух уравнений второго порядка относительно двух функций, например, относительно векторов Герца G t и Сг ip.
Расчет полей и частот ускоряющих структур со сложной геометрией периодической ячейки возможен только численными методами. Аппроксимация уравнений и граничных условий на основе конечно-разностного метода [33-34] или метода конечных элементов(35-36J приводит к однородной системе обыкновенных уравнений, которая решается прямым методом или итерационным. В прямом методе собственные частоты определяются из условия обращения в нуль детерминанта системы уравнений. При использовании итерационного метода последовательные приближенные значения собственных частот определяются из соотношения.
В работе автора [Іб]уравнения (I.I) аппроксимируются конечно-разностными уравнениями на ортогональных разностных сетках. Используются все шесть компонент электромагнитного поля. Метод решения разностных уравнений состоит в выделении исследуемого вида колебаний путем многократной фильтрации начального приближенного распределения а К v - волновые числа фильтра.
Структура численного фильтра аналогична используемому в радиотехнике фильтру Чебышева. Метод позволяет сканировать по частотному диапазону и определять всевозможные типы собственных колебаний.
В некоторых случаях оказывается эффективным и вариационный метод [37]. Поле Н в исследуемой области V0 представляется в виде разложения по собственным полям резонатора более простой геометрии, который охватывает исследуемую область. Коэффициенты разложения определяются из условия экстремума функ-вдонала типа .
Программы, реализующие рассмотренные алгоритмы использовались для расчета полей основного и высших типов собственных колебаний резонаторов различной геометрии. На рис.1 приведены результаты контрольного расчета полей первых трех типов собственных колебаний сферического резонатора. На основе расчета полей была выбрана оптимальная геометрия резонатора для изучения СВД-пробоя [38]. Результаты расчета полей, соответствующих различным полосам пропускания диафрагмированного волновода ( Kz =0) приведены на рис.2-3, где показаны распределения электрического поля в пролетном отверстии и на диафрагме. Распределения электрического поля ИГ-типа колебания на поверхности диафрагм разной геометрии приведены на рис.4-5.
Численный метод расчета электромагнитного поля заряженного сгустка, движущегося в ускоряющей структуре
Метод расчета электромагнитного поля в ускоряющей структуре состоит в численном решении разностных аналогов уравнений Максвелла совместно с граничными условиями на поверхности структур. Уравнения аппроксимируются на двух ортогональных разностных сетках, построенных таким образом, чтобы граничные точки одной из сеток лежали на поверхности структуры. В этом случае выполнение граничных условий на поверхности ПРОИЗВОЛЬНОЙ геометрии тривиально.
Разностные сетки смещены относительно друг друга и взаимно перпендикулярны в точках пересечения. Для расчета координат внутренних узлов сеток используется разностная аппроксимация уравнений 41
Граница расчетной области задается в виде некоторой числовой последовательности, которая используется при решении разностного аналога уравнения для определения координат граничных точек сетки. Электромагнитное поле и плотность тока сгустка представляется в виде разложения по азимутальным гармоникам соответственно, и разностные уравнения строятся относительно азимутальных гармоник.
Интегрирование по времени осуществляется по явной схеме. Схема устойчива, если шаг по времени А і не превышает половину периода наиболее высокочастотного типа колебанийи - наименьший шаг координатной сетки.
Фурье-анализ разностных уравнений Максвелла показывает, что в бесконечном "сеточном" пространстве распространение волн происходит аналогично как в среде, обладающей дисперсией, причем наиболее сильно дисперсионные свойства проявляются на частотах, близких к граничной, определяемой шагом сетки. Приближенное дисперсионное соотношение имеет следующий вид где К а » Кг - компоненты волнового вектора.
Наличие дисперсии приводит к такому эффекту, как немонотонное расплывание короткого импульса, например, СУ; З - 32 что может существенно исказить результат счета.
Таким образом, достоверный расчет полей возможен только в том случае, когда возбуждаются волны с частотами много меньшими граничной частоты "сеточного" пространства. Это требование применительно к распределению заряда в сгустке означает, что распределение должно быть плавным, а характерный размер сгустка должен в несколько раз превышать шаг координатной сетки.
Эффективность ускорения одиночного сгустка в режиме накопленной энергии
Эффективное ускорение одиночного сгустка в ускоряющей структуре возможно в том случае, когда при минимальном энергетическом разбросе сгусток отбирает значительную часть запасенной в структуре электромагнитной энергии [9,57J .
Усредненное за период структуры поле Ес » действующее на частицы сгустка является суперпозицией поля внешнего генератора Ег и поля излучения ц где Еа - величина ускоряющего градиента, Е ц - амплитудное значение поля излучения, Л - рабочая длина волны, 1/7 - относительная фаза влета, f - координата в сгустке. Амплитудное значение поля
Величина подсадки ускорящего поля при максимальном отборе запасенной энергии достаточно велика Плач где - отношение максимального значения функции распределения поля излучения Ец к эффективному среднему значению (для плавного распределения заряда в сгустке ае /F ). В случае, когда величина подсадки мала, а именно доля отбираемой энергии.
Как следует из полученных соотношений, при $L ± доля отбираемой энергии определяется комбинацией а /с? , то есть при увеличении отверстия в диафрагме тот же эффект достигается при уменьшении размера сгустка (э — . Число ускоряемых частиц в сгустке в зависимости от величины подсадки ускоряющего поля.
Из полученных соотношений, которые подтверждаются численными расчетами следует, что в ускоряющей структуре Т[ -типа с параметрами при значении ускоряющего градиента Е = 100 МэВ/м, сгусток с числом частиц fj - 1,7 10 и продольным размером G = Змм, отбирает половину запасенной энергии при подсадке ускоряющего поля на
Механизм развития поперечной неустойчивости одиночного сгустка в линейном ускорителе
Уравнение, описывающее поперечное движение частиц имеет следующий вид релятивистский фактор, V = ( ,) -к , х - длина волны поперечных колебаний.
Из уравнения можно исключить амплитудное значение (т путем замены переменной 2 релятивистский фактор, определяющий начальную энергию частиц. Параметр Z = Z (% G) может рассматриваться как эффективное расстояние, на КОТОРОМ уже заметно проявляется действие поперечных сил. После замены уравнение будет иметь следующий вид.
Анализ решений уравнения (I.I) показывает, что при произвольно малом начальном отклонении происходит быстрое нарастание амплитуда поперечных колебаний частиц, причем скорость нарастания слабо зависит от величины начального отклонения. Это означает, что действие поперечных сил полей излучения приводит к развитию поперечной неустойчивости пучка. Скорость нарастания поперечного размера пучка в основном зависит от Z и Ц На рис.36 представлено решение уравнения (ІУ.І), описывающее увеличение поперечного размера сгустка, движущегося в ускоряющей секции ( jx -0 , )( сои ь+). При И $. 3 увеличение поперечного размера слабо зависит от вида функции Otx и аппроксимируется экспоненциальной зависимостью.
При относительно малой длине секции поперечный угол, который получает частица с координатой отклонение траектории движения сгустка от оси секции. В линейном ускорителе с сильной периодической фокусировкой развитие поперечной неустойчивости носит резонансный характер. Действительно, отклонения впередилетящих частиц сгустка периодически изменяются с частотой поперечных колебаний,поэтому, сила, действующая на позадилетящие частицы, также является периодической с той же частотой, что и частота свободных колебаний частиц. Процесс развития поперечной неустойчивости сгустка представлен на рис.37, где приведено расположение частиц сгустка на фазовой плоскости в различные моменты времени : (через промежуток времени, равном I + І/І6 периода колебаний).
Решение уравнения (ІУ.І), описывающее увеличение эффективного фазового объема, определяющего поперечный размер сгустка в ускорителе при К cotfsf, представлено на рис.38 для различного вида функций Q - ("- ))и , п =0; 0,5; І. В случае сильной фокусировки, т.е. тогда, когда что с точностью до коэффициента аналогично условию (ІУ.2) (т.к. при фокусировке квадрупольными линзами в центре области устойчивости Я - -— = 5 Є ), увеличение эффективного фазового объема сгустка может быть аппроксимировано зависимостью вида ф ру == хр Е Расчетные зависимости ш ф( с) при различных значениях JA , для функции 2± "»Т""1 приведены на рис.39
Стохастический разогрев пучка
Основным эффектом, приводящим к значительному увеличению фазового объема пучка является поперечная неустойчивость одиночного сгустка в линейном ускорителе, в предыдущей главе было показано, что неустойчивость может быть подавлена введением линейного распределения энергии частиц вдоль сгустка. Но вследствие разброса по энергии любые случайные возмущения, приводящие к увеличению амплитуды поперечных колебаний, приводят к увеличению эффективного фазового объема. Этот процесс представлен на рис.48, где показано расположение частиц на фазовой плоскости в различные моменты времени. В начальный момент сгусток, имеющий малый фазовый объем, получает поперечный угол (удар). Частицы сгустка начинают совершать колебания с частотами, определяемыми их энергией, и постепенно "разбегаются" по фазам. На фазовой плоскости сгусток растягивается по периметру эллипса и через промежуток времени А"Ь - — ( AV изменение частоты поперечных колебаний в сгустке), полностью его заполняет. Площадь эллиь са и определяет приобретенный эффективный фазовый объем сгустка. При движении в ускорителе сгусток испытывает большое количество случайных ударов, причем приращение амплитуд для различных частиц сгустка различны. В результате, первоначально точечный сгусток "расплывается" на фазовой плоскости, что показано на рис. 49. Статистически усредненное распределение плотности частиц ciy-стка по амплитудам поперечных колебаний при различном числе ударов приведено на рис.50.
Случайные удары обусловлены погрешностями выставки элементов фокусирующей системы (смещение центров квадрупольных линз, поворот и наклон линз относительно оси ускорителя, отклоненияградиентов магнитных полей линз от номинальных значений) и ускоряющей системы (смещение и перекос ускоряющих секций, отклонение набираемой энергии в отдельной секции от номинальной). Следует отметить, что возможны и систематические возмущения, как, например, искривление оси ускорителя вследствие колебания грунта, обусловленное сейсмической волной.
