Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Решения системы уравнений Власова-Пуассона в динамике пучков с линейными полями пространственного заряда 16
1.1. Самосогласованные распределения в 6-мерном фазовом пространстве 17
1.2. Самосогласованные распределения в 4-мерном фазовом пространстве 22
1.3. Огибающие непрерывного пучка 23
1.4. Огибающие сгустка конечной длины 29
1.5. Средние размеры согласованного пучка 32
Глава 2. Самосогласованные распределения фазовой плотности, приводящие к нелинейным полям пространственного заряда . 35
2.1. Характеристики непрерывных пучков 35
2.1.1. Критерий существования и предельные токи 38
2.1.2. Самосогласованная функция распределения 41
2.1.3. Эмиттанс согласованного пучка при нелинейном поле пространственного заряда 43
2.1.4. Частотные свойства степенных распределений 47
2.2. О кулоновском ограничении тока по продольному движению . 53
2.2.1. Самосогласованное распределение фазовой плотности 53
2.2.2. Предельный ток при конечной фазовой плотности 58
2.2.3. Группировка пучка и ограничение по поперечному движению 59
Глава 3. Приложения точных решений при анализе динамики пучков . 63
3.1. Предельное распределение фазовой плотности по поперечному движению 63
3.2. Предельные значения измеренного эмиттанса в RFQ 65
3.3. Нестационарная трехмерная динамика заряженных сгустков-эллипсоидов 69
3.4. Распределение фазовой плотности в 6-мерном фазовом пространстве для интенсивных пучков ионов 75
3.4.1. Распределение фазовой плотности 76
3.4.2. Огибающие пучка ... 81
3.4.3. Параметрическое рассогласование сильноточного пучка *4
3.5. Возмущение плотности заряда в равномерно заряженном пучке 90
3.5.1. Самосогласованная функция распределения 92
3.5.2. Вывод уравнений для возмущения плотности заряда . 95
3.5.3. Неустойчивости распределения заряда 97
Глава 4. Модели пучков при сложном взаимодействии степеней свободы 100
4.1. Рост эмиттанса пучка и связь степеней свободы по пространственному заряду 100
4.1.1. Уравнения движения и распределение заряда 101
4.1.2. Характеристики движения в полярных координатах . 102
4.1.3. Движение ансамбля частиц 106
4.2. Уравнения равнораспределения BRFQ 108
4.2.1. Равнораспределение при <р$ — -я /2 109
4.2.2. Равнораспределение и изменение параметров ускоряющего канала
4.2.3. Рост эмиттанса при несбалансированности энергии 112
4.3. Динамика продольного эмиттанса пучка в RFQ 117
4.3.1. Формирование сгустка в RFQ 117
4.3.2. Эволюция фазового портрета сильноточного пучка 120
4.3.3. Группировка в дрейфовом промежутке 121
4.3.4. Уменьшение продольного эмиттанса за счет фазовой отсечки 127
Заключение 129
Приложение
- Самосогласованные распределения в 4-мерном фазовом пространстве
- О кулоновском ограничении тока по продольному движению
- Предельные значения измеренного эмиттанса в RFQ
- Уравнения равнораспределения BRFQ
Введение к работе
При рассмотрении теоретических проблем, связанных с ускорением заряженных частиц, развитие техники ускорителей во многом определяет актуальность тех или иных теоретических разработок. Вопросы изучения пучков ионов, интенсивность в которых оказывает существенное влияние на динамику частиц, стали действительно актуальными в начале пятидесятых годов. Именно в этот период помещение квадрупольных линз внутри трубок дрейфа позволило поднять интенсивность пучков на несколько порядков. Предложенная впоследствии И. М. Капчинским и В. В. Владимирским модель "микроканонического" распределения фазовой плотности [ 1 ] позволила теоретически оценивать влияние пространственного заряда на поперечную динамику "длинных" равномерно заряженных пучков и сыграла заметную роль во многих дальнейших теоретических исследованиях. Однако дальнейшее развитие теории и техники ускорителей поставило на повестку дня новые вопросы перед динамикой частиц в интенсивных пучках. Это относится в первую очередь к разработке и созданию ускорителей с высокочастотной квадрупольной фокусировкой [2], [3]. Первый такой ускоритель был создан в ИФВЭ под руководством В. А. Теплякова. Сейчас такие ускорители, получившие широкое распространение под названием RFQ, работают и создаются во многих ускорительных центрах мира. Существенное снижение входной энергии в RFQ позволило решить ряд сложных технических вопросов по инжекции пучков в ускорители. Однако именно снижение входной энергии приводит к тому, что в RFQ продольные и поперечные размеры сгустков оказываются соизмеримыми при значительном влиянии пространственного заряда. Это приводит к необходимости рассмотрения в теории самосогласованных трехмерных моделей пучков. Появление RFQ стимулировало разработку многих аналитических и численных моделей пучков, а современный интерес к созданию все более интенсивных ускорителей для прикладных целей и сверхпроводящих ускоряющих структур оставляет вопросы изучения самосогласованной динамики актуальными и в настоящее время.
Состояние вопроса изучения самосогласованных распределений фазовой плотности и связанных с ними моделей пучков отражено во многих монографиях и обзорных статьях [4] - [7]. Однако в настоящее время не существует замкнутой и достаточно полной теории пространственного заряда в линейных ускорителях ионов. Причина этого заключается, прежде всего, в сложности корректного решения принципиально нелинейной системы интегро-дифференциальных уравнений Власова-Максвелла с реальными граничными и начальными условиями. Эта система уравнений описывает движение частиц в приближении самосогласованного поля и в динамике частиц в ускорителях является основой для описания физических процессов в интенсивных пучках. Настоятельная практическая необходимость в расчетах и оценках влияния пространственного заряда на динамику частиц приводит к широкому использованию модельного подхода.
В аналитическом подходе к исследованию задач самосогласованной динамики пучков ионов большое значение имеет метод, основанный на использовании первых интегралов уравнений движения. Произвольная функция от этих интегралов дает решение для функции распределения фазовой плотности, причем в силу сохранения интегралов движения вдоль траекторий такие распределения будут самосогласованными. Основная трудность при этом заключается в том, что уравнения движения зависят от распределения заряда, но, одновременно, и само распределение заряда эволюционирует в соответствии с уравнениями движения. Теория самосогласования и интегралов движения получила развитие в работах многих авторов, следует отметить работы О. И. Яркового [8], Э. А. Перельштейна и Г. Д. Ширкова [9], й. М. Капчинского [7], А. С. Чихачева [10]. Исследование распределений и, прежде всего, их устойчивости нашли отражение в работах Нойфера [11], Ванга и Смита [12], Ласлетта и Смита [13], Хофмана [14], Ванглера [15] и т. д. Это, естественно, далеко не полный перечень работ перечисленных авторов, посвященных затрагиваемой теме, как, впрочем, и сам перечень исследователей данной тематики.
В настоящее ремя численное решение уравнений самосогласованной динамики, несомненно, является основным методом изучения динамики сильноточных пучков. Невозможно представить себе ни одного проекта ускорителя, в котором не проводилось бы моделирование самосогласованной динамики. Однако, при изучении процессов в пучках по-прежнему велика роль аналитических методов, позволяющих раскрывать физическую сущность явлений и анализировать механизм возникновения различных процессов в пучках заряженных частиц.
Цель данной работы состоит в исследовании принципиально важных вопросов в динамике пучков ионов с учетом пространственного заряда: получение новых решений кинетического уравнения с самосогласованным полем при линейных собственных полях в 6-мерном и 4-мерном фазовом пространстве при произвольной зависимости от времени внешних линейных полей. получение самосогласованных стационарных нелинейных распределений для продольной и поперечной динамики. исследование приложений точных решений при анализе динамики пучков. исследование моделей пучков при сложном взаимодействии степеней свободы.
Научную новизну диссертации составляет разработка и применение новых подходов к решению самосогласованной системы уравнений Власова-Пуассона, исследование этих решений, а так же разработка ряда новых аспектов в моделях пучков, связанных с взаимным влиянием различных степеней свободы на движение частиц.
Разработан новый подход к получению решений системы уравнений Власова-Пуассона в линейных внешних и собственных полях, основанный на понижении размерности задачи и использующий для этого гиперплоскости, определяемые линейными интегралами уравнений движения. Решения получены для гамильтоновых систем с линейными полями общего вида и произвольной зависимостью от времени.
Разработан метод решения задач самосогласованной динамики продольно однородных пучков с нелинейным полем пространственного заряда в гладком приближении. Получены значения предельных токов и предельных эмиттансов для поперечного движения при нелинейных собственных полях пучка.
В рамках модели продольного движения получено точное решение самосогласованной задачи. Исследовано влияние конечной фазовой плотности в продольных фазовых переменных на предельный ток.
На примере RFQ показано, что даже при стремлении к нулю входного эмиттанса, измеренный эмиттанс на выходе ускорителя ограничен снизу значением, определяемым геометрией канала и током пучка.
При изучении формирования сгустков в RFQ показано, что в процессе увеличения влияния пространственного заряда сгусток переходит в качественно новое состояние с удвоенной частотой продольных колебаний и, хотя это состояние впоследствии разрушается из-за нелинейности колебаний, оно влияет на всю последующую динамику. Найдено значение тока бифуркации, при котором происходит удвоение частоты.
Исследовано параметрическое рассогласование сильноточного пучка по поперечному движению за счет пространственного заряда при исходной рассогласованности по продольному движению.
Построена теория возмущений продольно однородного пучка. Получен спектр частот поперечных колебаний, при которых возникает неустойчивость поперечного движения и значения токов, при которых наступает резонанс.
Исследована модель роста эмиттанса пучка за счет перераспределения энергии по степеням свободы. Необратимость роста ореола пучка возникает благодаря процессу перемешивания фаз в нелинейной колебательной системе.
Для условий равнораспределения энергии в RFQ получены принципиально новые условия для больших синхронных фаз.
Новые решения уравнений Власова-Пуассона проясняют особенности влияния нелинейности распределения заряда на самосогласованную динамику сильноточных пучков ионов. Полученные в диссертации результаты позволяют анализировать эффекты появления ореола у эмиттанса пучка и выбирать параметры ускорителя, позволяющие минимизировать этот процесс.
Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, были использованы при выборе параметров ускорителей с пространственно однородной квадрупольной фокусировкой. Исследования предельных токов и других характеристик пучка по продольному и поперечному движению носят общий характер, и могут быть использованы при оценке влияния пространственного заряда на динамику частиц в ускорителях различного типа. Для RFQ получены значения фаз на выходе из ускорителя, минимизирующих эмиттанс пучка. С помощью численных методов проанализирована динамика образования продольного эмиттанса в RFQ. Сформулированы предложения по изменению геометрии ускорителя, при которых удается существенно снизить продольный эмиттанс пучка.
Многие из полученных результатов были инициированы разработкой ускорителей с высокочастотной квадрупольной фокусировкой, ; как с простраственно однородной, так и с пространственно периодической. Новые результаты по оценке параметров этих ускорителей приведены в приложении.
Результаты, представляемые к защите:
Самосогласованные распределения фазовой плотности в 6-мерном и 4-мерном фазовом пространстве, приводящие к линейным полям пространственного заряда.
Самосогласованные распределения фазовой плотности с нелинейными полями пространственного заряда для поперечного и продольного движения в жесткофокусирующем канале ускорителя.
Исследование самосогласованных решений. Уравнения огибающих для линейного случая и значения предельных токов для нелинейного решения.
Результаты расчетов минимального эмиттанса на выходе RFQ,
5.: Теория возникновения состояний с удвоенной частотой продольных колебаний.
Теория параметрического рассогласования сильноточного пучка за счет пространственного заряда.
Теория возмущений сильноточного продольно однородного пучка.
Модель необратимого роста эмиттанса пучка.
Условия равнораспределения энергии в RFQ.
10.Предложение по изменению параметров RFQ и получения существенно меньшего продольного эмиттанса пучка. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [16]-[46], докладывались и опубликованы в трудах Совещаний по ускорителям заряженных частиц IX, X, XI (г. Дубна, 1985 г., 1987 г., 1988 г.,), XII (г. Москва, 1990 г.), XIII (г. Дубна, 1992 г.), XIV, XV, XVI, XVII (г. Протвино, 1994 г., 1996 г., 1998 г., 2000 г.), а также докладывались на I, III, V международном семинаре по динамике пучков и оптимизации (Workshop BDO, г. Санкт-Петербург, 1994 г., 1996 г., 1998 г.).
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. Изложение материала построено по принципу движения от абстрактного к конкретному. В первой главе рассматриваются проблемы динамики при весьма общих предположениях, а в последней приводятся результаты расчетов по вполне конкретному ускорителю.
В первой главе рассмотрены проблемы построения самосогласованных решений, приводящих к линейным полям пространственного заряда как в 2-мерном, так и в 3-мерном конфигурационном пространстве. Внешнее воздействие описывается гамильтоновыми системами с линейными полями общего вида с произвольной зависимостью от времени. Оценки влияния пространственного заряда с помощью представления сгустков или потоков частиц в виде равномерно заряженных эллипсоидов и цилиндров проводились многократно, начиная с самого развития представлений о сильноточной динамике. Серьезные трудности возникают при переходе от феноменологического описания к построению самосогласованных решений для данных систем в фазовом пространстве. В диссертации рассмотрен подход к решению данной задачи, основанный на методе понижения размерности. С помощью линейных интегралов движения решения строятся на соответствующих гиперповерхностях в 6-мерном и 4-мерном фазовом пространстве, ограниченных с помощью квадратичных интегралов движения. Для некоторых решений выписаны уравнения для огибающих. Однако, основная задача в данной главе - доказательство существования решений данной проблемы. Отсюда и достаточно сильное отличие этой главы от остальных глав, в которых уделяется основное внимание не математическим, а физическим сторонам рассматриваемых вопросов.
Во второй главе рассматривается построение и свойства распределений фазовой плотности, приводящих к нелинейным полям пространственного заряда. В силу чрезвычайной математической сложности отдельно рассматриваются вопросы поперечного и продольного движения. Для поперечного движения для усредненного пучка удается построить метод получения самосогласованных решений, основанный на построении функции распределения от одного интеграла типа энергии через плотность заряда в конфигурационном пространстве. Примененный метод позволяет получать значения предельных токов для различного типа нелинейностей, причем показано, что значение предельного тока сильно зависит от характера нелинейности, так, для распределения плотности в конфигурационном пространстве убывающем квадратично, предельный ток вдвое меньше, чем при равномерном распределении заряда. При равномерном распределении заряда и движении в линейных внешних полях эмиттанс пучка теоретически может принимать сколь угодно малые значения. При рассмотрении существенно нелинейных распределений заряда это принципиально не так. Для конкретных распределений плотности в диссертации получены минимальные значения эмиттансов пучка, достижимых для данных распределений. Для продольного движения в рамках приведенной физической модели получено точное самосогласованное решение. Изучена проблема предельного тока, причем для исследованного решения получен не только ток безразличного равновесия, но, что самое главное получены предельные значения тока по продольному движению в случае не равного нулю продольного эмиттанса пучка. Показано, сколь значительное влияние неоднородная продольная группировка пучка оказывает на поперечное ограничение тока.
В третьей главе ряд точных решений самосогласованных уравнений применяется для анализа ряда явлений в динамике пучков с пространственным зарядом. Для поперечного движения в RFQ исследован вопрос о минимально возможном значении эмиттанса на выходе ускорителя, что связано с тем, что за время выхода пучка из ускорителя успевает существенно измениться фаза высокочастотного фокусирующего поля. Получены оптимальные фазы выхода пучка из ускорителя.
Для условий входа пучка в RFQ на самосогласованной модели эллипсоидов исследовано начало процесса формирования сгустков при монохроматической инжекции. Получены качественные оценки параметров пучка и ускорителя, при которых продольная динамика в сгустке существенно меняется. Удается отразить ситуацию, при которой сгусток частиц при увеличении влияния пространственного заряда переходит в качественно новое состояние с удвоенной частотой продольных колебаний. Этот результат подтверждается при численном моделировании динамики, что отражено в последней главе диссертации. В этой же главе рассмотрено приближенное решение самосогласованных уравнений для "длинных" сгустков, с помощью которого исследована возможность параметрических резонансов при колебаниях продольно несогласованного пучка параметрически воздействующих через пространственный заряд на поперечное движение. Для продольно однородного пучка построена теория возмущений решения системы уравнений Власова-Пуассона. Получен спектр значений частот поперечных колебаний с учетом пространственного заряда, при котором движение частиц становится неустойчивым. Неустойчивости имеют степенной характер нарастания и проявляются в форме вынужденного резонанса. Механизм возникновения резонансов состоит в том, что имеющееся в начальный момент возмущение плотности заряда эволюционирует во времени и оказывает периодическое вынужденное воздействие на движение частиц в пучке.
В четвертой главе рассмотрен ряд вопросов нелинейной нестационарной динамики пучков в линейных ускорителях с учетом пространственного заряда. Усредненные параметры пучка описываются, в настоящее время, известными, неплохо работающими моделями, сложнее дело обстоит при описании малых групп частиц, например, появления ореола пучка ионов. В диссертации рассмотрена простая физическая модель образования ореола. В этой модели вводится основной стационарный сгусток и в его кулоновском поле и внешнем фокусирующем поле происходит движение малой группы частиц с амплитудой продольных колебаний, превышающей размер сгустка по продольной координате и с малой амплитудой поперечных колебаний. При сочетании внешнего собственного поля сгустка и внешнего линейного поля траектории частиц оказываются незамкнутыми, и происходит достаточно быстрый рост амплитуды поперечных колебаний отдельных частиц и практически необратимый, из-за перемешивания фаз, рост эмиттанса. По существу предлагается гипотеза о том, что ореол образуется за счет рассеяния отдельных частиц на макроскопических неоднородностях пучка. В рассматриваемой упрощенной модели пучка роль неоднородности играет сам основной сгусток. И на простых моделях и при моделировании динамики заметен процесс перераспределения энергии по степеням свободы. Особую роль, в связи с этим, играют состояния пучков с равными по степеням свободы энергиями. Согласно гипотезе равнораспределения [48] при этих состояниях минимизированы переходы энергии из одной степени свободы в другую, приводящие к ухудшению качества пучка. В диссертации впервые сформулированы условия равнораспределения в RFQ с учетом принципиальной нелинейности продольных колебаний и получены условия адиабатического изменения параметров RFQ, при которых сохраняется равенство энергий вдоль всего ускорителя. При определенных физических условиях получены соотношения для роста эмиттанса за счет перераспределения энергии.
В последнем параграфе четвертой главы представлены результаты численного исследования формирования сгустка в RFQ. Предлагается такое изменение параметров и геометрии ускорителя, которое позволяет уменьшить ширину продольного спектра скоростей в пучке, до полутора раз в широком интервале токов от нуля до 100 мА. Предлагаемые изменения рассчитаны на инжекцию непрерывного пучка, дальнейшего снижения ширины спектра можно достичь при специально отсеченном пучке на входе.
В диссертации приведено приложение, в нем рассмотрены вопросы динамики частиц в ускорителях с пространственно периодической высокочастотной квадрупольной фокусировкой. Рассмотрен механизм формирования эффективности ускорения на оси многоэлектродного зазора. Получено правило векторного сложения эффективностей отдельных зазоров. Получены основные соотношения по устойчивости поперечного движения. Эти результаты являются новыми для систем с фокусировкой ускоряющими полями. Они помещены в приложение, поскольку не затрагивают вопросов пространственного заряда непосредственно. Однако, именно благодаря развитию техники ускорителей вопросы самосогласованной динамики ионов представляют не только абстрактно теоретический, но и вполне практический интерес.
Самосогласованные распределения в 4-мерном фазовом пространстве
Изложенный подход может быть применен при исследовании самосогласованной динамики продольно однородных пучков. В этом случае все частицы предполагаются синхронными по продольному движению, а фокусирующие поля - не зависящими от продольной координаты. Результаты могут быть применены и к пучкам, распадающимся на сгустки, если продольный размер сгустка намного превосходит поперечный. Поставим задачу о построении самосогласованных распределений в j 4-мерном фазовом пространстве поперечного движения, отвечающих равномерно заряженным пучкам эллиптического сечения. Уравнения поперечного движения с учетом собственного поля в этом случае линейны, что позволяет ввести интегралы движения С,,...,С4, определяющиеся через фундаментальную систему решений по формулам (1.3). Известное микроканоническое распределение в терминах интегралов С, записывается в виде
Действуя по аналогии с предыдущим разделом, получим еще два класса самосогласованных распределений
Конкретный анализ работы с данными распределениями рассмотрим на примере одного из них в следующем разделе. Практический интерес представляют уравнения, описывающие эволюцию параметров пучка (огибающих, частот поперечных колебаний и прА со временем. В случае микроканонического распределения уравнения для огибающих получены в [1]. Аналогичные уравнения могут быть получены и для других распределений. Рассмотрим, например, пучок с распределением фазовой плотности (1.23) в жесткофокусирующем канале. Уравнения поперечного движения с учетом собственного поля пучка запишем в виде [7]
Е0-т0с2у Я - длина волны ускоряющего поля, у- фактор Лоренца, v = yj - безразмерное время, U- потенциал собственного поля, Qx{t), Qy(t} -функции, отвечающие внешнему фокусирующему полю (величина г изменяется на единицу при изменении времени t на период ВЧ поля.),
Будем рассматривать фазовое пространство с координатами г = (rl,.„,r4) = (x,x,y,y). Элементы матрицы фундаментальной системы решений будем обозначать {г/ } = 4, где і - номер решения ( номер столбца в матрице M{t) ). Удобно выбрать безразмерную фундаментальную систему решений с условием нормировки для определителя Вронского: W = \. Распределение тогда можно записать в виде
О кулоновском ограничении тока по продольному движению
В дальнейшем примем следующие предположения. Движение стационарно. Продольные компоненты как собственного, так и внешнего поля не зависят от поперечных координат и их значения принимаются для приосевого движения. При расчете поля пространственного заряда положим сначала, что плотность заряда z - продольная, а г - поперечные координаты в цилиндрической системе. По г распределение ограничивается апертурой г = а, на которой потенциал полагаем равным нулю. В [21] получено приближенное выражение для потенциала u(z, г) с распределением (2.74) на оси где ф{г) - продольная плотность заряда, g - функционал, определяемый поперечным распределением заряда
Приближение типа (2.75) применялось уже для различных оценок, связанных с действием пространственного заряда в теории линейных и циклических ускорителей [11], [53]. Одним из основных условий применимости (2.75) является то, что длина сгустка должна быть существенно больше а.
Действие внешнего поля определим эквивалентной бегущей волной. Канонические переменные: разность фаз несинхронной и синхронной частиц и обратная разность их энергий W = p- ps\p=ws-w. Обозначения плотностей ф{г\\}/{г) будут отличаться от обозначений фаз у/,ф наличием аргумента. Гамильтониан - импульс и скорость синхронной частицы, х - частота внешнего поля; у - фактор Лоренца. Потенциальная функция в (2.79), (2.80) е - заряд ускоряемых ионов, О0 - частота малых продольных колебаний в нерелятивистском приближении, и{у/) - потенциал (2.75) в точке \j/.
Рассмотрим теперь следующую функцию распределения фазовой плотности:
Из дальнейшего будет видно, что при таком распределении в системе с самосогласованным гамильтонианом (2.77) возможна реализация безразличного равновесия, т.е. экстремального использования фазирующих свойств (2.79). Интегрируя /(H) по импульсной переменной, получаем линейную плотность заряда
Подставим (2.83) в (2.82) и найдем из (2.82) самосогласованное распределение заряда т{у/) нормирована на полный заряд сгустка Q = — I,I - средний со импульсный ток. Граничное значение гамильтониана Н0 равно У{у/) в граничных по у/ точках сгустка y/ y/j-, и поскольку т(у/) в этих точках спадает до нуля (2.82), то v{y/i) = v{y/f) = 0 и HQ=vQ(y/j)-v0(y//). Учитывая это,проинтегрируем обе части (2.84) по ц/ от yrt до y/f и получим затем следующее соотношение:
Предельные значения измеренного эмиттанса в RFQ
Упоминавшийся ранее эмиттанс это - традиционное понятие площади проекции фазового объема на плоскость канонически сопряженных координат в определенный момент времени. В случае идеального канала он сохраняется и ограничен снизу лишь нулевым значением. Однако, с практической точки зрения не менее важна и другая характеристика, назовем ее условно измеренным эмиттансом. Измеренный эмиттанс - площадь на плоскости тех же сопряженных координат, занятая представляющими точками пучка, но уже не в определенный момент времени, а при прохождении частицами определенного значения продольной координаты. Зависимость поперечных полей от момента выхода частицы из ускорителя (дефокусировка, фокусировка ускоряющим полем) приводит к тому, что измеренный эмиттанс превышает мгновенное значение эмиттанса. На примере RFQ далее показано, что даже при стремлении к нулю входного эмиттанса измеренный эмиттанс на выходе ускорителя ограничен снизу значением, определяемым лишь геометрией канала и током пучка.
Измеренный эмиттанс зависит от фазы выхода пучка из RFQ. Фазу выхода определим как фазу высокочастотного поля в момент выхода синхронной частицы из ускорителя. Для характерных параметров RFQ [54] форма эмиттанса приведена на рис. 3.1 при длине сгустка Входной эмиттанс пропорционален площади одного эллипса Флоке на рис. 3.1, а выходной измеренный эмиттанс при этом пропорционален площади, захватываемой всеми эллипсами на каждой из фигур. При фазе выхода w — наблюдается минимум эмиттанса на выходе из ускорителя для обоих плоскостей (см. рис. 3.2), выберем эту фазу для дальнейшего исследования. Воспользуемся далее системой уравнений [7] для модулей функции Флоке при не равном нулю мгновенном эмиттансе Отсюда можно численными методами получить параметры эллипсов Флоке и зависимость выходного измеренного эмиттанса от входного эмиттанса и тока. Из рис. 3.3 видно, что выходной эмиттанса при єіп -»0 к нулю не стремится.
Это происходит потому, что даже в предельном случае (параграф 3.1), когда мгновенный эмиттанс представляет собой отрезок прямой линии этот отрезок совершает на плоскости (х,х) движение, обусловленное изменением во времени угла наклона и длины этого отрезка. Таким образом на выходе из RJFQ отрезком очерчивается некоторая площадь, которая и была бы зафиксирована при проведении реального измерения эмиттанса. Предельный эмиттанс можно оценить в рамках гладкого приближения. На рис. 3.4 изображена схема, соответствующая расчету предельного эмиттанса в гладком приближении.
Уравнения равнораспределения BRFQ
В интенсивных пучках ионов возможно перераспределение энергии по степеням свободы за счет коллективных процессов. Особую роль, в связи с этим, играют состояния с равными по степеням свободы энергиями. Согласно гипотезе равнораспределения [64] при этих состояниях минимизированы переходы энергии из одной степени свободы в другую, приводящие к ухудшению качества пучка.
Условия равнораспределения для линейных систем сформулированы в [64]. Однако, для ускорителей характерна исходная нелинейность продольных колебаний. Особенно это существенно для RFQ, т.к. здесь сгусток занимает долгое время практически всю область устойчивости по продольному движению. Здесь будут сформулированы условия равнораспределения для RFQ и получены условия адиабатического изменения параметров RFQ, при которых сохраняется равенство энергий вдоль всего ускорителя [40], [42]. Кроме того, при определенных физических предположениях, получены соотношения для роста эмиттанса за счет перераспределения энергии.
Кратко напомним условия равнораспределения для линейных систем, которые понадобятся для сравнения с полученными результатами. Для гармонических колебаний по продольной z и поперечной х координатам и согласованного пучка (постоянные поперечные а и продольные Ъ огибающие) нормализованные эмиттансы здесь ft и а - набеги фаз на периоде фокусировки, X - длина волны. Максимальная энергия будет у частиц с максимальными амплитудами
Равенство энергий, при учете (4.18), (4.19), приводит к следующим условиям равнораспределения:
В начале RFQ продольный размер сгустка можно считать заданным Ъ = — и 2 при выполнении (4.20) можно определить исходный радиус пучка Конечно, уравнение (4.21) не так просто, т.к. условие самосогласованности связывает входящие в (4.21) величины.
Как в линейном, так и в нелинейном случае гамильтонианы зависят от вида функций распределения фазовой плотности. Для сгустков, в; которых продольный размер существенно больше поперечного, можно указать функцию распределения по z [11], [21] приводящую к зависимости гамильтониана от кулоновского взаимодействия только через один параметр - частоту малых продольных колебаний а:
Для линейных продольных колебаний (4.22) приводит к линейным колебаниям и с учетом пространственного заряда [11]. Для нелинейных продольных колебаний в RFQ [20], [21] распределение (4.22) приводит к потенциальной функции: отличающейся от Wt(z) при токе равном нулю заменой а на т0. По существу, функция (4.23) соответствует потенциальной функции (2.78) и отличается от (2.78) обозначениями и введением других переменных.
Поскольку для минимизации роста эмиттанса большое значение имеет первоначальное соотношение между максимальными значениями энергии W, и ж Wt рассмотрим условия равнораспределения для g s —. В этом случае равенство энергий:
В отличие от гармонических колебаний нелинейность сразу накладывает ограничения на область изменения а,Ь:
Поскольку, реально, b принимает, при рассматриваемой синхронной фазе;, максимальное значение, то значение радиуса пучка при инжекции
